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北师大版七年级数学下册精品教案《2.1 第1课时对顶角、余角和补角》.pdf一. 教材分析本节课的主题是对顶角、余角和补角。
这是初中数学的基础知识，对于学生掌握数学的基本概念和几何知识具有重要意义。
通过本节课的学习，学生可以了解到对顶角、余角和补角的定义和性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在进入本节课的学习之前，已经掌握了角的初步知识，对于角的分类和度量有一定的了解。
但是，对于对顶角、余角和补角的概念和性质可能还不够清晰，需要通过本节课的学习来进一步深化理解。
三. 教学目标1.了解对顶角、余角和补角的定义和性质。
2.能够运用对顶角、余角和补角的知识解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.对顶角、余角和补角的定义和性质。
2.运用对顶角、余角和补角的知识解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主探索对顶角、余角和补角的知识。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.几何图形模板。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的几何图形，引导学生观察其中的对顶角、余角和补角，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）讲解对顶角、余角和补角的定义和性质，通过PPT展示相关的几何图形，让学生直观地理解这些概念。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何图形模板，自己动手操作，验证对顶角、余角和补角的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，巩固对顶角、余角和补角的知识。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用对顶角、余角和补角的知识解决。
教师引导学生进行分析，指导解题方法。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调对顶角、余角和补角的定义和性质，提醒学生注意在实际问题中的运用。
2.1两条直线的位置关系第1课时对顶角、余角和补角教学目标1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．(重点，难点) 教学过程一、情境导入如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？二、合作探究探究点一：对顶角及其性质【类型一】对顶角的概念下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )解析：选项A中的两个角的顶点没有公共；选项B、D中的两个角的两边没有在互为反向延长线的两条直线上，只有选项C中的两个角符合对顶角的定义．故选C.方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．【类型二】直接运用对顶角的性质求角度如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．解析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．方法总结：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．探究点二：补角和余角【类型一】利用补角和余角计算求值已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，求∠B 的度数．解析：根据∠A 与∠B 互余，得出∠A ＋∠B ＝90°，再由∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，从而得到∠A ＝3∠B ＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．解：∵∠A 与∠B 互余，∴∠A ＋∠B ＝90°.又∵∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，∴设∠B ＝x ，∴∠A ＝3∠B ＋30°＝3x ＋30°，∴3x ＋30°＋x ＝90°，解得x ＝15°，故∠B 的度数为15°.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．【类型二】 补角、余角和角平分线的综合计算如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC ＝90°，OM 、ON 分别是∠AOB ，∠AOC 的平分线，∠AOB 与∠COM 互补，求∠BON 的度数．解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°.根据角的和差，可得∠AOB ＋∠BOM ＝90°.根据角平分线的性质，可得∠BOM ＝∠AOB .根据解方程，可得∠AOB 的度12数．根据角的和差，可得答案．解：∵∠AOB 与∠COM 互补，∴∠AOB ＋∠COM ＝180°，即∠AOB ＋∠BOM ＋∠COB ＝180°.∵∠COB ＝90°，∴∠AOB ＋∠BOM ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴∠BOM ＝∠AOB ，即∠AOB ＋∠AOB ＝90°，解得∠AOB ＝60°，∴∠AOC ＝∠BOC ＋∠1212AOB ＝90°＋60°＝150°.∵ON 平分∠AOC 得∠AON ＝∠AOC ＝×150°＝75°.由角的和1212差，∴∠BON ＝∠AON －∠AOB ＝75°－60°＝15°.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．【类型三】 补角和余角的性质如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．(1)如图①，若CE 是∠ACD 的角平分线，那么CD 是∠ECB 的角平分线吗？并简述理由；(2)如图②，若∠ECD ＝α，CD 在∠BCE 的内部，请你猜想∠ACE 与∠DCB 是否相等？并简述理由；(3)在(2)的条件下，请问∠ECD 与∠ACB 的和是多少？并简述理由．解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD ＝90°，∠ECB ＝90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD 和∠DCB 的度数即可；(2)∠ACE 与∠DCB 相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根据角的和差关系进行等量代换即可．解：(1)CD是∠ECB的角平分线．理由如下：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，∴∠ECD＝45°.∵∠ECB＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠DCB，∴CD是∠ECB的角平分线；(2)∠ACE＝∠DCB.理由如下：∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，∴∠ACE＝∠DCB；(3)∠ECD＋∠ACB＝180°.理由如下：∠ECD＋∠ACB＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB＝∠ACD＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.方法总结：此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．三、板书设计1．对顶角相等；2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．教学反思本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步。
2． 1两条直线的地点关系第 1 课时对顶角、补角和余角1．理解并掌握对顶角的观点及性质，会用对顶角的性质解决一些实质问题；2．理解并掌握补角和余角的观点及性质，会运用其解决一些实质问题．(要点，难点 )一、情境导入如图，若把剪刀当作是两条订交的直线组成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？二、合作研究研究点一：对顶角及其性质【种类一】对顶角的观点以下图形中，∠ 1 与∠ 2 是对顶角的是()分析：选项 A 中的两个角的极点没有公共；选项 B、 D 中的两个角的两边没有在互为反向延伸线的两条直线上，只有选项 C 中的两个角切合对顶角的定义．应选 C.方法总结：对顶角是由两条订交直线组成的，只有两条直线订交时，才能组成对顶角．【种类二】直接运用对顶角的性质求角度如图，直线AB、 CD， EF 订交于点O，∠ 1＝ 40°，∠ BOC＝110°，求∠ 2 的度数．分析：联合图形，由∠ 1 和∠ BOC 求得∠ BOF 的度数，依据“对顶角相等”可得∠2 的度数．解：由于∠ 1＝ 40°，∠ BOC＝ 110° ( 已知 )，因此∠ BOF＝∠ BOC－∠ 1＝ 110°－ 40°＝ 70°.由于∠ BOF ＝∠ 2(对顶角相等 )，因此∠ 2＝70° (等量代换 )．方法总结：两条订交直线组成对顶角，这时应注意“ 对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，而后联合已知条件进行转变．研究点二：补角和余角【种类一】利用补角和余角计算求值已知∠ A 与∠ B 互余，且∠ A 的度数比∠ B 度数的 3 倍还多 30°，求∠ B 的度数．分析：依据∠ A 与∠ B 互余，得出∠ A＋∠ B＝ 90°，再由∠A 的度数比∠ B 度数的 3 倍还多 30°，进而获得∠ A＝ 3∠ B＋30°，再把两个算式联立刻可求出∠2的值．解：∵∠ A 与∠ B 互余，∴∠ A＋∠ B＝ 90° .又∵∠ A 的度数比∠ B 度数的 3 倍还多 30°，∴设∠ B＝ x，∴∠ A＝3∠ B＋30°＝ 3x＋ 30°，∴ 3x＋ 30°＋ x＝ 90°，解得 x＝ 15°，故∠ B 的度数为15° .方法总结：本题把角的关系联合方程问题一同解决，题，利用方程来解决．【种类二】补角、余角和角均分线的综共计算即把相等关系的问题转变为方程问如图，已知∠ AOB 在∠ AOC 内部，∠ BOC＝ 90°， OM、 ON 分别是∠ AOB，∠AOC 的均分线，∠ AOB 与∠ COM 互补，求∠ BON 的度数．分析：依据补角的性质，可得∠AOB＋∠ COM ＝ 180° .依据角的和差，可得∠AOB ＋∠ BOM ＝ 90° .依据角均分线的性质，可得∠ BOM ＝ 1∠ AOB.依据解方程，可得2∠ AOB的度数．依据角的和差，可得答案．解：∵∠ AOB 与∠ COM 互补，∴∠ AOB＋∠ COM ＝ 180°，即∠ AOB＋∠ BOM ＋∠ COB ＝180° .∵∠ COB＝90°，∴∠ AOB＋∠ BOM ＝ 90° .∵OM 是∠ AOB 的均分线，∴∠ BOM＝1∠ AOB，即∠ AOB＋1∠ AOB＝90°，解得∠ AOB＝ 60°，∴∠ AOC＝∠ BOC＋∠ AOB＝2290°＋ 60°＝150 °.∵ ON 均分∠ AOC 得∠ AON ＝1∠ AOC ＝1× 150°＝ 75°.由角的和差，∴∠22BON ＝∠ AON－∠ AOB＝ 75°－ 60°＝ 15°.方法总结：本题考察了余角与补角及角均分线的有关知识，利用了补角的性质，角的和差，角均分线的性质进行计算，解决问题必定要联合图形仔细剖析，做到数形联合．【种类三】补角和余角的性质如图，将一副直角三角尺的直角极点 C 叠放在一同．(1)如图①，若 CE 是∠ ACD 的角均分线，那么CD 是∠ ECB 的角均分线吗？并简述理由；(2)如图②，若∠ ECD ＝α，CD 在∠ BCE 的内部，请你猜想∠ACE 与∠ DCB 能否相等？并简述原因；(3)在 (2)的条件下，请问∠ECD 与∠ ACB 的和是多少？并简述原因．分析： (1)第一依据直角三角板的特色获得∠ ACD＝90°，∠ ECB＝90° .再依据角均分线的定义计算出∠ ECD 和∠DCB 的度数即可； (2)∠ ACE 与∠ DCB 相等，依据“等角的余角相等”即可获得答案； (3)依据角的和差关系进行等量代换即可．解： (1)CD 是∠ ECB 的角均分线．原因以下：∵∠ ACD ＝90°， CE 是∠ ACD 的角均分线，∴∠ ECD ＝ 45° .∵∠ ECB＝ 90°，∴∠ DCB ＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴∠ ECD ＝∠ DCB，∴CD 是∠ ECB 的角均分线；(2)∠ ACE＝∠ DCB .原因以下：∵∠ ACD＝ 90°，∠ BCE＝ 90°，∠ ECD ＝α，∴∠ACE ＝ 90°－α，∠ DCB ＝ 90°－α，∴∠ ACE＝∠ DCB ；(3)∠ ECD ＋∠ ACB ＝ 180 °.原因以下：∠ECD ＋∠ ACB ＝∠ ECD ＋∠ ACE ＋∠ ECB ＝∠ACD ＋∠ ECB＝ 90°＋ 90°＝ 180° .方法总结：本题主要查考了角的计算，要点是依据图形分清角之间的和差关系．三、板书设计1．对顶角相等；2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．本节课学习了对顶角及其性质．教课中可让学生自己画这些角，联合图形说出对顶角的特色．对顶角的辨别是易错点，能够联合例题进行练习，让学生在学习中不停纠错，不停进步。
数学教学设计
6.3余角、补角、对顶角（2）
【教学目标】：
1、知道对顶角的定义，会画一个已知角的对顶角。
2、知道对顶角相等，并能用它解决一些简单的实际问题。
3、经历观察、操作、说理、交流等过程，进一步发展推理能力。
4、让学生经历从复杂图形中分解出基本图形的过程，渗透化归思想。
【教学重点、难点及解决办法】
教学重点：对顶角的概念及其性质
教学难点：利用对顶角相等解决一些简单的问题
解决办法：强调图形的基本特征，逐步培养学生的审题、识图和推理能力。
【学情分析】
学生已经初步认识了两条直线相交的情况，能够找出其中的邻补角，知道一对邻补角的位置特征和数量关系，并能解决一些简单的几何问题。
在学习方法和能力上，学生已经具备了初步的自学、讨论、观察、操作、说理等方法和能力，这都为本节课教学活动的开展提供了有力的知识和能力背景。
【教学准备】
课件，直尺或三角尺
【教学过程】
一、创设情境，生成新知
师：生活中，要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围墙，该如何测量？（课件出示下图）
生1：通过测量AOB
∠的邻补角的大小，计算出AOB
∠的度数。
师：具体地如何操作呢？
生1：延长AO ，在AO 的延长线上取一点记作C ，测量BOC ∠的度数，则
BOC AOB ∠-=∠︒180。
师：（课件展示）很好。
我们通过测量可以测出角的度数，进一步可以算出未知角的度数。
那么，还有其他方法吗？
生2：还可以延长BO ，测量AOD ∠的度数，AOD AOB ∠-=∠︒180。
师：（课件展示）正确。
同样是利用邻补角的知识。
师：如图，我们发现AOB ∠的邻补角有两个，分别是BOC ∠和AOD ∠，那么，这两个角的顶点和两条边分别有什么关系呢？
生3：BOC ∠和AOD ∠的顶点都是O ，边OB 与边OD 共线，边OC 与边OA 共
线。
生4：它们有公共顶点O ，BOC ∠的边OC 是AOD ∠的边OA 的反向延长线，边OB 是AOD ∠的边OD 的反向延长线。
师：同学们回答的都很好。
简单的说，BOC ∠和AOD ∠有公共顶点，且角的两边互为反向延长线。
师：如图，像这样，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
（课件展示，板书对顶角的定义）
因此，1∠与3∠是对顶角。
师：图中还有对顶角吗？ 生5：2∠与4∠
师：好，请坐。
【评析】 生活情境导入，不仅激发了学生学习的兴趣，更重要的是诱发了学生探索，获取知识的欲望，生成新知，并形象地认识了对顶角的位置特征。
同时在潜意识里让学生意识到拥有数学知识的重要性，体会数学来源于生活，并应用于生活。
紧扣对顶角的定义，强调以下两点： （1） 对顶角成对出现。
（2） 对顶角需满足有公共顶点，且角的两边互为反向延长线。
巩固练习：
1、 判断：相等的角是对顶角
2、 说一说：下列各图中，1∠和2∠是对顶角吗？为什么？
【评析】 本组题目主要是为了巩固对顶角的概念，通过练习，使学生掌握辨别对顶角的两点要求，同时利用反例验证概念，使学生加深印象，而且最后一幅图也为探讨对顶角的性质做铺垫。
二、积极诱导，再生新知
师：如图，具有特殊位置关系的对顶角有何数量关系呢？为什么？ 例如： BOC ∠和AOD ∠（即1∠和2∠） （课件展示）
B
C
D
A
O
1
2
同学们以小组为单位讨论。
生1：相等。
因为这两个角都是BOD ∠的邻补角。
师：非常好。
同学们都知道同角的补角相等，因此BOD ∠的补角BOC ∠和
AOD ∠相等。
师：那么，同学们会不会用完整的说理过程说明呢？ 生：能。
生1： Θ BOC ∠+BOD ∠=180︒ AOD ∠+BOD ∠=180︒
∴BOC ∠=AOD ∠(同角的补角相等) 师：同样的，我们也可以利用AOC ∠进行说明。
过程为： 生： Θ BOC ∠+AOC ∠=180︒ AOD ∠+AOC ∠=180︒
∴BOC ∠=AOD ∠(同角的补角相等)
师：因此，我们得出了对顶角的重要性质：对顶角相等。
（板书） 强调指出：“对顶角相等”这一性质是由于对顶角特殊的位置关系而推到的数量关系，数形结合。
若在今后碰到对顶角这样的已知条件，可以利用对顶角相等。
【评析】 在启发学生认识对顶角，并归纳出概念的基础上，学生不难得出对顶角相等的性质。
让学生分组讨论，充分发挥学生学习的主动性，不仅活跃了课堂气氛，更重要的是培养了学生的推理和逻辑思维能力。
三、例题讲解
例1：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分AOC ∠，︒=∠25AOE ，求BOD ∠的度数？
B
C
D
A
O
E
分析：要求BOD ∠的度数，根据对顶角相等，只需求出其对顶角AOC ∠的度数。
又因为OE 平分AOC ∠，所以AOE AOC ∠=∠2。
而︒=∠25AOE ，所以问题得到了解决。
解： Θ OE 平分AOC ∠
∴ AOE AOC ∠=∠2（角平分线的定义） 又Θ ︒=∠25AOE ∴ ︒=∠50AOC
∴ ︒=∠=∠50AOC BOD （对顶角相等）
变一变：如图，直线AC 、DE 相交于点O ，OE 是∠AOB 的平分线，∠COD=50°，试求∠AOB 的度数。
C
A
D
O
E
B
【评析】 通过本例题的讲解，一方面巩固了对顶角的性质，另一方面让学生体会了几何说理题中由已知条件归纳结论，由问题进行逆向推理的有机结合，为今后的几何学习打下基础。
另外，在讲解过程中注重学生的配合，让学生们参与进来，尝试着分析题目，理解推理过程，从而有条理的写出说理过程。
四、巩固练习
1、如图，直线AB 、EF 相交于点D ，∠ADC=90°。
A
B
C
D
E
F
1
2
（1）1∠的对顶角是______；2∠的余角有___________。
（2）若1∠与2∠的度数之比为１︰４，求BDF ∠的度数。
说明：在找某个角的余角或补角时，不要忘记了一些相等的角（例如对顶角）。
2、如图，AB 、CD 相交于点O ，∠DOE=90°，∠AOC=72°。
求∠BOE 的度数。
A B
D
C
E
O
【评析】 练习题让学生独立思考，大胆尝试。
首先要求做到分析问题的思路清
晰，虽然还有部分学生的说理过程不是很流畅，但通过学生板演，集体讲评纠正
后，学生们对分析问题，并相应的写出清晰的过程印象更加深刻。
这样，逐步培养学生的审题、识图推理能力，更有利于学生今后灵活运用知识，举一反三。
五、延伸与拓展
找找规律——数对顶角
方法一：两条直线相交于一点，得到两对对顶角；三条直线相交于一点，只需在两条直线相交的基础上，看第三条直线与哪些直线相交，相交一次得两对对顶角；四条直线相交于一点，在三条直线相交的基础上，看第四条直线与哪些直线相交，同样的，相交一次得两对对顶角；如此类推，便可以从中总结出规律，计算出n条直线相交于一点，有多少对对顶角。
方法二：首先选定一条边，按顺时针或逆时针的顺序依次标角——标单个的角，两个一组合的角，三个一组合的角等等；然后依次选下一条边，重复刚才的标角操作，边标记边数角，直到标记的角开始重复结束。
如此类推，便可以从中总结出规律，计算出n条直线相交于一点，有多少对对顶角。
【评析】教学时立足于巩固“对顶角的概念”这一基本要求，又敢于提高难度，延伸与拓展，追求一种更高的境界，关注学生细致观察、有条理的思考的能力训练。
不仅让学生学习、掌握知识，更要让学生具备数学的眼睛、数学的头脑，从复杂几何图形中分解出基本图形，探索数学规律。
六、实际应用
学习了对顶角的概念及其性质后，您对于测量两堵墙所成的角的度数问题，还有其他方法吗？
【评析】由测量两堵墙所成的角的度数问题，利用邻补角引出对顶角，最后，再次利用对顶角相等解决此实际问题，首尾呼应，使学生加深了对知识的理解。
七、课堂小结
1、对顶角的定义
2、对顶角的性质
3、会画一个对顶角
【评析】课堂小结以提问形式，由学生自己讨论，归纳总结，不仅培养了学生的概括表达能力，而且让学生对本节课内容有了整体把握，环环相扣，形散而神不散。
八、布置作业：课本P162 习题6.3。
