2018年高一数学寒假假期作业(五)函数的最大(小)值(解析版)

第二课时　函数的最大(小)值课标要求素养要求1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.新知探究观察如图所示的函数y ＝f (x )，x ∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1　图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示　最大值点是x ＝2，最大值是3；最小值点是x ＝0，最小值是－3.问题2　图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示　极大值点是x ＝－2，极大值是2；极小值点是x ＝0，极小值是－3.问题3　一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示　函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.1.函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值　函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.拓展深化[微判断]1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)提示　也可能在极值点处取到.3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)提示　有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.4.函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，则f (x )在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值.(√)[微训练]1.连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析　由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值.答案　D2.(多空题)函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋6在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________.解析　f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3，又f (－4)＝－583，f (4)＝－23，故f (x )的最大值为f (－1)＝233，最小值为f (－4)＝－583.答案　233　－583[微思考]1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A ，则A 中的元素个数可能是多少？提示　可能为0，1，2.2.在开区间内的连续函数f (x )在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？提示　是.题型一　求函数的最值【例1】　求下列各函数的最值.(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π].解　(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f (x )在[－1，1]上为增函数.故当x ＝－1时，f (x )min ＝－12；当x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3，计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (2π3)＝π3＋32，f(4π3)＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.规律方法　求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.【训练1】　求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2，4]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数.解　(1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2).令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表x －2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f ′(x )＋0－0＋f (x )－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x ＝4时，f (x )取最大值35.当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.即f (x )的最大值为35，最小值为－37.(2)f ′(x )＝(1e x)′－(e x )′＝－1e x－e x ＝－1＋e 2xe x.当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上是减函数.故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f (x )的最小值为e －a －e a ，最大值为0.题型二　含参数的函数的最值问题【例2】　已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解　(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴所求切线的斜率为f ′(2)＝12，切点为(2，2－ln 2)，∴所求切线的方程为y －(2－ln 2)＝12(x －2)，即x －2y ＋2－2ln 2＝0.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e )上单调递增，故f (x )min＝f(1a )＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.规律方法　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.【训练2】　已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0，2]上的最大值.解　f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.(1)当2a 3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .(2)当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.(3)当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝{8－4a 　（0<a ≤2），0 （2<a <3），综上所述，f (x )max ＝{8－4a 　（a ≤2），0 （a >2）.题型三　由函数的最值求参数问题【例3】　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b b －16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【训练3】　已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h ′(x )＋0－0＋h (x )28－4当x ＝－3时，取极大值28；当x ＝1时，取极小值－4.而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则k ≤－3.所以k 的取值范围为(－∞，－3].一、素养落地1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.二、素养训练1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析　f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案　D2.函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析　因为y ′＝1－cos x ，当x ∈[π2，π]时，y ′>0，则函数在区间[π2，π]上为增函数，所以y的最大值为y max＝π－sin π＝π，故选C.答案　C3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.答案　A4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案　－715.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案　－4基础达标一、选择题1.已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A.f (a )－g (a ) B.f (b )－g (b )C.f (a )－g (b )D.f (b )－g (a )解析　令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).答案　A2.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A.[0，1) B.(0，1)C.(－1，1)D.(0，12)解析　∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B.答案　B3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A.－π2B.2C.π6＋ 3 D.π3＋1解析　f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈[－π2，0]，所以sin x ∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2].所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在[－π2，0]上恒成立.所以f (x )在[－π2，0]上单调递增.所以f (x )min ＝－π2＋2cos (－π2)＝－π2.答案　A4.若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A.2B.1C.233D.0解析　∵f (x )在x ＝π3处有最值，∴x ＝π3是函数f (x )的极值点.又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′(π3)＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2.答案　A5.关于函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.下列说法中：①它的极大值为283，极小值为－43；②当x ∈[3，4]时，它的最大值为283，最小值为－43；③它的单调减区间为[－2，2]；④它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析　∵函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)·(x ＋2).由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)>0，得x >2或x <－2，此时函数单调递增；由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)<0，得－2<x <2，此时函数单调递减，∴③正确；当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝283，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝－43，∴①正确；x ∈[3，4]时，f (x )单调递增，它的最大值为f (4)＝433－4×4＋4＝283，最小值为f (3)＝333－4×3＋4＝1，∴②错误；f ′(0)＝－4，f (0)＝4，∴它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，∴④正确，故选C.答案　C二、填空题6.(多空题)设函数f (x )＝ln x x，x ∈[1，4]，则f (x )的最大值为________，最小值为________.解析　由f (x )＝ln x x 得f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ；令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e.∴函数f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，4]上单调递减，且f (1)＝0，f (4)＝ln 44>0，∴f (x )的最大值为f (e)＝ln e e ＝1e ，f (x )的最小值为f (1)＝0.答案　1e　07.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________.解析　f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题意得m 2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2).答案　(－4，－2)8.已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.解析　∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1).即15x －3y －2＝0.答案　15x －3y －2＝0三、解答题9.已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e ，e ]上的最大值.解　(1)f ′(x )＝a x－2bx (x >0).由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，得{f ′（1）＝0，f （1）＝－12，即{a －2b ＝0，－b ＝－12，解得{a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在[1e，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e ]上的最大值为f (1)＝－12.10.已知函数f (x )＝2e x (x ＋1).(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值.解　(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值.(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上单调递减，在(－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)，∴f (x )min ＝{－2e －2，－3<t <－2，2e t （t ＋1），t ≥－2.能力提升11.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.解析　由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f(1a )＝－ln a －1＝－1.解得a ＝1.答案　112.已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值.解　函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上是增加的.∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞).(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )是单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )是减少的，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )是增加的，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.③当a ≥e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32相矛盾.综上所述，a 的值为 e.创新猜想13.(多选题)下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )A.f (x )>0的解集是{x |0<x <2}B.f (－2)是极小值，f (2)是极大值C.f (x )没有最小值，也没有最大值D.f (x )有最大值无最小值解析　由f (x )>0得0<x <2，故A 正确.f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，当－2<x <2时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )取得极小值，当x ＝2时，f (x )取得极大值，故B 正确.当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0，且f (2)>0，结合函数的单调性可知，函数f (x )有最大值无最小值，故C 不正确，D 正确.答案　ABD14.(多选题)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )存在两个不同的零点B.函数f (x )既存在极大值又存在极小值C.当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D.若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2解析　A.令f (x )＝0，解得x ＝－1±52，所以A 正确；B.f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）e x ，当f ′(x )>0时，－1<x <2，当f ′(x )<0时，x <－1或x >2，(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确.C.当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ，再根据单调性可知 ，当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图象可知，t 的最大值是2，所以不正确.故选ABC.答案　ABC。

数学·必修1(人教A 版)1.3.2 函数的最大（小）值►基础达标1．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12答案：B2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43答案：D3．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( )A ．－2和1B ．2和－2C ．2和－1D ．－1和2解析：∵f (x )＝x 2－2，x ∈[0,2]是单调递增函数，∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.答案：B4．函数y ＝(x －1)2，x ∈(－1,5)的最小值为______．答案：05．已知f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3(x ∈R)，那么函数f (x )的最小值为________．解析：∵f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3，设x ＋4＝t ，则x ＝t －4，∴f (t )＝4(t －4)2＋4(t －4)＋3＝4t 2－28t ＋51.∴f (x )＝4x 2－28x ＋51＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋2，∴f (x )min ＝2.答案：26．已知0＜t ≤14，那么1t －t 的最小值是() A.154 B.638 C ．2 D ．－2解析：∵y ＝1t －t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上为减函数，∴t ＝14时有最小值154.答案：A►巩固提高7．函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的值域是() A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12解析：画y ＝x 2＋x 在[－1,3]部分的图象知y min ＝－14，y max ＝12.即所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.答案：B8．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5)，则此函数的值域为( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5)C ．[－4,5]D ．[－4,5)答案：D9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g (t )．求g (t )的表达式．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由图1知截取了减区间上的一段g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.②当1＜t ＋1≤2，即0＜t ≤1时，正巧将顶点截取在内，g (t )＝f (1)＝1(图2)．③当t ＋1＞2，即t ＞1时，由图3知截取了增区间上一段g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上知，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0＜t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (－2≤x ＜1)，－x 2＋2x (1≤x ＜3)，求f (x )的值域．解析：f (x )＝⎩⎨⎧ (x －1)2－1(－2≤x ＜1)，－(x －1)2＋1(1≤x ＜3)，作出f (x )的图象(如下图)．由图可知，f (x )的值域为(－3,8]．1．函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .2．函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M [f (x )≥M ]．3．判断函数的最大(小)值的方法：①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；②利用图象求函数的最大(小)值；③利用函数单调性判断函数的最大(小)值．4．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最大值f (b )．5．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最小值f (b ).。

高一数学寒假作业：最大最小值检测试题二
高一数学寒假作业：最大最小值检测试题二
寒假是一个漫长的假期，在假期里很多同学都在抓紧时间学习，小编推荐高一数学寒假作业：最大最小值检测试题二一文，相信你看过以后会有很大的收获：
高一数学寒假作业：最大最小值检测试题二
1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是()
A.1
B.0
C.14
D.不存在
解析：选B.由函数f(x)=x2在[0,1]上的图象(图略)知，
f(x)=x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)=0.
2.函数f(x)=2x+6，x[1，2]x+7，x[-1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()
A.10,6
B.10,8
C.8,6
D.以上都不对
解析：选A.f(x)在x[-1,2]上为增函数，f(x)max=f(2)=10，f(x)min=f(-1)=6.
3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为()
A.1
B.2
C.-1
D.不存在
解析：选A.因为函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1.对称轴为x=1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax=-1+2=1.。

高一数学函数的最值的知识点在高一数学中，函数的最值是一个重要的知识点。

在解决最值问题时，我们需要掌握一些基本方法和技巧。

本文将介绍函数的最值概念、求解最大值和最小值的方法以及一些应用题，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数的最值概念函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。

在函数图像上，最大值对应的点叫做函数的最大值点，最小值对应的点叫做函数的最小值点。

二、求解最大值和最小值的方法1. 寻找定义域求函数最值前，首先找出函数的定义域。

只有在定义域内，函数的取值才有意义。

2. 导数法函数的最值通常出现在函数的极值点处。

求解极值时，我们可以使用导数法。

具体步骤如下：a. 求出函数的导数。

b. 求出导数等于0的点，这些点即为函数的驻点。

c. 求出驻点的函数值，取其中最大值和最小值即为函数的最值。

3. 区间端点法当函数在定义域的端点处时，也可能出现最值。

所以在求解最值时，还需要考虑函数在定义域端点处的取值。

比较定义域内的所有驻点、定义域端点和端点处的函数值，选取其中的最大值和最小值即为函数的最值。

4. 解析法对于含有一个变量的函数，我们可以通过解方程的方法求解最大值和最小值。

具体步骤如下：a. 整理函数表达式，消去分式和根式等。

b. 求出函数的导数，并解方程f'(x)=0。

c. 求出驻点，并带入函数表达式求出对应的函数值。

d. 比较所有的函数值，选取其中的最大值和最小值即为函数的最值。

三、最值在应用题中的应用最值的概念在很多实际问题中都有应用。

下面通过一个具体的应用题来说明。

题目：某地温度每小时的变化满足函数T(t)=-t^2+t+12，其中t 表示小时数，T(t)表示温度。

求出温度的最大值和最小值。

解析：根据题目中给出的函数T(t)=-t^2+t+12，我们可以通过求导数的方法求解最值。

首先，我们求出导数T'(t)=-2t+1。

接下来，我们解方程T'(t)=0，得到t=1/2。

第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值．教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f(x)＝1x，x∈(0,2)，y＝f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f(x)没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.题型一求已知函数的最值例1 (1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f(x)＝－x3＋3x2－6x＋5在[－1，1]上的最值；(2)求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最值．题型二由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[跟踪训练2] 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．题型三利用函数最值证明不等式例3 已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0.[跟踪训练3] 设f(x)＝x－1x－2ln x．证明：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题例4 已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．[跟踪训练4] 已知函数f(x)＝x ln x(x>0)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．题型五与函数图象有关的综合问题例5 已知函数f(x)＝xe x，x∈R.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．[跟踪训练5] 若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．题型六导数在解决实际问题中的应用例6 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[跟踪训练6] 用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则以下正确的为( )A．M的最小值为25B．当M最小时，x2＝125C．M的最小值为45D．当M最小时，x2＝654．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________.5．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A．1，－1 B．1，－17C．17,1 D．9，－192．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－log 2(x ＋1)在区间[0,1]上的最小值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－13．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )4．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π25．(多选)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的结论正确的是( )x －1 0 4 5 f (x )1221B ．函数f (x )在[0,2]上是减函数C ．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点 二、填空题6．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值为________.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2. (1)求f (x )的最小值； (2)求证：e x －ln x >2310.(参考数据：e ≈1.65) 10．如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少对周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE ＋PF 的值最小时AE 和BF 的值．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a 的值；(2)已知k ≤2，当x >1时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 2<1，请说明理由．第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值． 教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y ＝f (x )的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f (x )＝1x，x ∈(0,2)，y ＝f (x )的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f (x )没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y ＝f (x )有最大值和最小值．例如：函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |－1≤x ≤1，x ≠0，1x ＝0，作图可知f (x )无最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.答案(1)无(2)15 (3)1题型一求已知函数的最值例1 (1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[解](1)因为f(x)＝x3－12x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，又f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2π3或x ＝4π3. 因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f (x )＝－x 3＋3x 2－6x ＋5在[－1，1]上的最值； (2)求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x －6＝－3(x 2－2x ＋2)＝－3(x －1)2－3， ∴f ′(x )在[－1,1]内恒小于0. ∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴当x ＝－1时，取得最大值为f (－1)＝15； 当x ＝1时，取得最小值为f (1)＝1.即f (x )在[－1,1]上的最小值为1，最大值为15. (2)∵f ′(x )＝3e x －e x x 2－2e x x ，∴f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0， ∴函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； 当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 题型二 由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2) 2 f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．[跟踪训练2] 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．解f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故需比较f(0)与f(1)的大小及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝6 3.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－62x2＋1.题型三利用函数最值证明不等式例3 已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0. [证明] 当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln (x＋m)≤ln (x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x＋2，ln (x0＋2)＝－x0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函数，因此需要进行分离．事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明．应选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增加计算量，此时经验的作用凸显，因为e x ≥1＋x ，所以找到使1＋x ≥ln (m ＋x )成立的m 是解决本题的关键．[跟踪训练3] 设f (x )＝x －1x－2ln x ．证明：当x ≥1时，f (x )≥0恒成立．证明 f (x )＝x －1x－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝x －12x 2≥0，∴f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)．∴f (x )≥f (1)＝1－1－2ln 1＝0对于x ∈[1，＋∞)恒成立. 题型四 利用函数最值解决不等式恒成立问题 例4 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，解得0<x <1e ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .令f ′(x )>0，得ln x ＋1>0，解得x >1e，∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1恒成立．∵x >0，∴a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)，则h ′(x )＝1x －32＋12x2＝－x －13x ＋12x 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )↗极大值↘max ∴若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 则a ≥h (x )max ＝－2，即a ≥－2， 故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； ②f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min ； ③f (x )＞g (x )恒成立⇔[f (x )－g (x )]min ＞0；④a ＞f (x )能成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )能成立⇔a ＜f (x )max . [跟踪训练4] 已知函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解 (1)由f (x )＝x ln x (x >0)，得f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，得x >1e ；令f ′(x )<0，得0<x <1e.∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .故f (x )在x ＝1e 处有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，无极大值．(2)由f (x )≥－x 2＋mx －32及f (x )＝x ln x ，得m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 恒成立，问题转化为m ≤⎝⎛⎭⎪⎫2x ln x ＋x 2＋3x min . 令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x(x >0)，则g ′(x )＝2x ＋x 2－3x 2，由g ′(x )>0⇒x >1，由g ′(x )<0⇒0<x <1.所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝4，因此m ≤4，所以实数m 的最大值是4. 题型五 与函数图象有关的综合问题 例5 已知函数f (x )＝xex ，x ∈R . (1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值； (2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数．[解] (1)已知函数的定义域为R ，f ′(x )＝1－xe x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )的极大值为f (1)＝1e，所以函数的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，极大值为1e，无极小值．(2)显然，当x→－∞时，f(x)＝xe x→－∞，又x>0时，f(x)>0，且x→＋∞时，f(x)＝xe x→0，所以作出f(x)＝xe x的图象如下．(3)由函数f(x)的图象得，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝1e，故方程f(x)＝a(a∈R)解的个数为当a≤0或a＝1e时，方程有一解；当a>1e时，方程无解；当0<a<1e时，方程有两解．画函数f(x)大致图象的步骤如下：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．[跟踪训练5] 若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数． 解 (1)已知函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞；f ′(x )＝1x·x 2－ln x ·2xx 4＝1－2ln xx 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )＝ln xx 2的极大值为f (e)＝ln e e2＝12e ， 所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e ，单调递减区间为(e ，＋∞)，极大值为12e，无极小值． (2)f (1)＝0，当x →＋∞时，f (x )＝ln x x 2→0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝－e 2，所以作出f (x )＝ln xx 2的图象如下．(3)由函数f (x )的图象得，当x ＝e 时，f (x )有最大值12e.故方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数为当a <－e 2或a >12e时，方程无解； 当－e 2≤a ≤0或a ＝12e时，方程有一解；当0<a<12e时，方程有两解.题型六导数在解决实际问题中的应用例6 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[解]设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝CD2＋BD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．则y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[跟踪训练6] 用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3.1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值答案 A解析因为f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台答案 A解析设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y 1－y 2)2，则以下正确的为( )A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝65答案 BC解析 由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，得y 1＝ln x 1－x 1＋2，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2，得y ′＝1x－1，与直线x ＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离d ＝|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝45.过点(2，ln 2)与x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0，由⎩⎨⎧x ＋2y －4－2ln 2＝0，2x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC ．4．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________. 答案 2 －2 解析 ∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0可得x ＝1或x ＝－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.5．已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f (x )＝x 3－12x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．17,1 D ．9，－19答案 C解析 令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，f (－2)＝17，f (－3)＝10，f (0)＝1，所以最大值为17，最小值为1.故选C ．2．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －log 2(x ＋1)在区间[0,1]上的最小值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1 答案 B解析 因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－log 2(x ＋1)是减函数，所以g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (1)＝－12.故选B ．3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )答案 A解析 令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]，则h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴h (x )是[a ，b ]上的减函数．∴h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max ＝f (a )－g (a )．故选A ．4．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2答案 B解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值，也是最大值．故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为π6.5．(多选)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的结论正确的是( )x －1 0 4 5 f (x )1221B ．函数f (x )在[0,2]上是减函数C ．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点 答案 AB解析 由f ′(x )的图象可知，当－1≤x <0或2<x <4时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数，当0<x <2或4<x ≤5时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，即当x ＝0时，函数f(x)取得极大值，当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A正确；函数f(x)在[0,2]上是减函数，故B正确；作出f(x)的图象如图1，若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；由y＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，若f(2)≤1，当1<a<2时，f(x)＝a有四个根，如图2.若1<f(2)<2，当1<a<2时，f(x)＝a不一定有四个根，有可能是两个或三个，如图3，故函数y＝f(x)－a不一定有4个零点，故D错误．故选AB．二、填空题6．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值为________.答案1 e解析令y＝f(x)＝x e－x，则f′(x)＝e－x－x e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴函数的最大值为f(1)＝1e.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．答案 5 8解析依题意可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．由2＝k110得k1＝20；由8＝10k2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y＝20x＋4x5(x>0)，y′＝－20x2＋45，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0<x<5时，y′<0；当x>5时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值，故当仓库建在离车站5 km处时，费用之和最小，费用之和的最小值为205＋4×55＝8万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.答案 7解析 因为对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，所以对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋ax≤k恒成立，即6ln x ＋x 2－9x ＋a x ≤k min ⇒6ln x ＋x 2－9x ＋ax≤－1⇒a ≤－6ln x －x 2＋8x ，所以当x ∈(0,4]时，不等式a ≤－6ln x －x 2＋8x 恒成立．令f (x )＝－6ln x －x 2＋8x ，x ∈(0,4]，则a ≤f (x )min ，f ′(x )＝－2x 2＋8x －6x＝－2x －2x －3x，当f ′(x )>0时，⎩⎨⎧2x －2x －3<0，0<x ≤4⇒1<x <3，当f ′(x )<0时，⎩⎨⎧2x －2x －3>0，0<x ≤4⇒0<x <1或3<x ≤4，所以函数f (x )在区间(0,1)和(3,4]上单调递减，在区间(1,3)上单调递增．f (1)＝0－1＋8＝7，f (4)＝－6ln 4－16＋32＝16－6ln 4，因为16－6ln 4－7＝9－6ln 4＝3×(3－ln 16)＝3ln e 316>0，所以f (x )min ＝7，所以a ≤7，a 的最大值为7.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2. (1)求f (x )的最小值；(2)求证：e x－ln x >2310.(参考数据：e ≈1.65)解 (1)由f (x )＝e x －e x －e2，得f ′(x )＝e x －e ， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的极小值也是最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x －e x －e2≥0， 即e x≥ e x ＋e2，则e x －ln x ≥ e x －ln x ＋e 2. 令g (x )＝e x －ln x ＋e 2， 则g ′(x )＝e －1x ＝e x －1x(x >0)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－ln 1e ＋e 2＝1＋12＋e 2≈3＋1.652＝23.2510>2310.所以e x－ln x >2310.10．如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少对周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE ＋PF 的值最小时AE 和BF 的值．解 (1)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，AP ＝8，则AE ＝8tan α， 所以S △PAE ＝12PA ·AE ＝32tan α.同理，在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，PB ＝1，则BF ＝1tan α， 所以S △PBF ＝12PB ·BF ＝12tan α，故△PAE 与△PFB 的面积之和为 32tan α＋12tan α≥232tan α·12tan α＝8，当且仅当32tan α＝12tan α，即tan α＝18时，取“＝”， 故当AE ＝1 km ，BF ＝8 km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小． (2)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，则PE ＝8cos α. 同理，在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，则PF ＝1sin α. 令f (α)＝PE ＋PF ＝8cos α＋1sin α，0<α<π2， 则f ′(α)＝8sin αcos 2α－cos αsin 2α＝8sin 3α－cos 3αsin 2αcos 2α.令f ′(α)＝0，得tan α＝12，记tan α0＝12，0<α0<π2，当α∈(0，α0)时，f ′(α)<0，f (α)单调递减； 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α0，π2时，f ′(α)>0，f (α)单调递增． 所以tan α＝12时，f (α)取得最小值，此时AE ＝AP ·tan α＝8×12＝4，BF ＝BPtan α＝2.所以当AE ＝4 km ，BF ＝2 km 时，PE ＋PF 的值最小．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a＋1>0，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a 的值；(2)已知k ≤2，当x >1时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 20<1，请说明理由．解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的导数为f ′(x )＝1x＋a ，因为函数f (x )的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1，所以f ′(t )＝1t＋a ＝3，又因为函数f (x )的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y －(ln t ＋at )＝3(x －t )，即y －(ln t ＋3t －1)＝3(x －t )，y ＝3x ＋ln t －1，所以⎩⎨⎧1t ＋a ＝3，ln t －1＝－1，解得a ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝ln x ＋2x ，因为f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1，所以ln x >k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x －1，所以x ln x ＋x －k (x －3)>0.令g (x )＝x ln x ＋x －k (x －3)，g ′(x )＝2＋ln x －k ， 由x >1，k ≤2，可得ln x >0,2－k ≥0，即有g ′(x )>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，可得g (x )>g (1)＝1＋2k ≥0，所以－12≤k ≤2，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2.(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 20<1，则e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b 2x 20＝e ln (x 0＋1)－x 0＋b 2x 20＝(x 0＋1)·e －x 0＋b2x 20<1.令H (x )＝(x ＋1)·e －x ＋b2x 2－1，则H ′(x )＝e －x －(x ＋1)e －x ＋bx ＝x (b －e －x )， 令H ′(x )>0，解得x >－ln b ，令H ′(x )<0， 解得0<x <－ln b ，则x ＝－ln b 是函数H (x )的极小值点，也是最小值点．故H (x )的最小值为H (－ln b )＝(－ln b ＋1)·e ln b ＋b 2ln 2b －1＝b2ln 2b －b ln b＋b－1.再令G(x)＝x2ln2x－x ln x＋x－1(0<x<1)，则G′(x)＝12(ln2x＋2ln x)－(1＋ln x)＋1＝12ln2x>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(x)<G(1)＝0，则H(－ln b)<0.故存在正数x0＝－ln b，使得e e f(x0＋1)－3x0－2＋b2x2<1.。

第2课时　函数的最大(小)值基础过关练题组一　函数最大(小)值的概念及其求解1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是( )A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点2.(2020北京清华附中高二下期末)函数f(x)=x·e x的最小值是( )A.-1B.-eC.-1eD.不存在3.(2020浙江杭州六校高二下期中)已知函数f(x)=x3-12x,x∈[-3,3],则f(x)的最大值为( )A.-9B.-16C.16D.94.如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.5.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)求函数f(x)=x3-12x+6,x∈[-3,3]的单调区间,并求函数f(x)的最值.题组二　含参函数的最大(小)值问题6.若函数f(x)=asin x+13sin 3x 在x=π3处有最大(小)值,则a 等于( )A.2B.1C.233 D.07.若函数f(x)=-x 3+mx 2+1(m ≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m 的取值范围是 ( )A.(0,3)B.(-3,0)C.(-∞,-3)D.(3,+∞)8.已知函数y=ax 2x -1(x>1)有最大值-4,则a 的值为( )A.1B.-1 C.4D.-49.(2020浙江杭州高二下期中)函数f(x)=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围为 .10.已知a 是实数,函数f(x)=x 2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.题组三　利用函数的最大(小)值解决不等式问题11.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值是( )A.2B.-2C.1D.-112.已知函数f(x)=ln a+ln x在区间[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范x围为 .13.设函数f(x)=ln x-x+1.(1)求函数f(x)的极值;(2)证明:ln x≤x-1.14.已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对任意x≥1,都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.题组四　利用导数解决生活中的优化问题15.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x>0),要使利润最大,则该产品应生产( )A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与零售价M(单位:元)有如下关系:N=8300-170M-M2,则该批材料零售价定为 元时利润最大,利润的最大值为 元.17.时下,网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种方式.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数,已知格x(单位:元/套)满足关系式:y=mx-2销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考虑售出的套题).试确定销售价格x为何值时,网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)18.将一块2m×6m的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求①至⑦全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m3.(1)写出y关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,水箱的容积最大?能力提升练题组一　函数最值问题的求解与应用1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=12ln x的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时,a=( )A.52B.22C.1D.122.(2020重庆七校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:x-1045f(x)1221y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示:给出下列关于函数f(x)的命题:①函数y=f(x)是周期函数;②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.43.()已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.题组二　含参函数的最大(小)值问题4.(2020广东揭阳高二下期末,)若函数f(x)=13x3+x2-1在区间(m,m+3)上存在最小值,则实数m的取值范围是( )A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)5.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33,则a的值为( )A.3-1B.34C.43D.3+16.(2019吉林高二期末,)函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则ab= .7.()已知函数f(x)=-2a2ln x+12x2+ax(a∈R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.题组三　利用函数的最大(小)值解决不等式问题8.()若对任意的x>0,恒有ln x ≤px-1(p>0),则p 的取值范围是( )A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)9.()已知f(x)=ln(x 2-m,若∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是( ),+∞B.-∞,,+∞D.-∞,-10.(多选)()定义在R 上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b 为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是( )A.函数g(x)=-2是函数f(x)=ln x ,x >0,1,x ≤0的一个承托函数B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x 的一个承托函数C.若函数g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]D.值域是R 的函数f(x)不存在承托函数11.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=sin x-1,g(x)=a 2ln x-x,若对任意x 1∈R 都存在x 2∈(1,e)使f(x 1)<g(x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .深度解析12.(2020北京西城高三第一学期期末,)已知函数f(x)=e x -ax+12x 2,其中a>-1.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)≥12x2+x+b对任意x∈R恒成立,求b-a的最大值.题组四　利用导数解决生活中的优化问题13.()某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)=400x-12x2,0≤x≤400,80 000,x>400,则总利润最大时,年产量是( )A.100万吨B.150万吨C.200万吨D.300万吨14.()现有一个帐篷,它下部分的形状是高为1m的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为( )A.1mB.32m C.2m D.3m15.()某厂生产x件某种产品的总成本为c(x)=1 200+275x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为 件时,总利润最大.16.(2019山东泰安高三上期中,)如图,AOB是一块半径为r的扇形空地,∠BOG=π6,∠AOB=π2.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH,剩余的地方进行绿化.设∠AOD=θ.(1)记活动场地与停车场占地总面积为f(θ),求f(θ)的表达式;(2)当cosθ为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大?答案全解全析基础过关练1.C　根据函数的极值与最值的概念知,选项A,B,D都不正确.故选C.2.C　由题意得,f'(x)=e x+xe x=(1+x)e x.令f'(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增..故选因此f(x)在x=-1处取得极小值也是最小值,且最小值为f(-1)=-1eC.3.C　由题意得,f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x=±2,易知f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,又f(-2)=16,f(3)=-9,所以f(x)的最大值为16,故选C.4.解析　由题图可知y=f(x)在x1,x3处取极小值,在x2处取极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).5.解析　依题意得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,列表如下:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3 f'(x)+0-0+f(x)15↗22↘-10↗-3所以函数f(x)在(-3,-2)和(2,3)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,且函数f(x)的最大值是22,最小值是-10.6.A　∵f(x)在x=π处有最大(小)值,3∴x=π3是函数f(x)的极值点.又∵f'(x)=acos x+cos3x(x∈R),∴π3+cosπ=0,解得a=2.7.A　由题得f'(x)=-3x2+2mx,令f'(x)=0,得x=2m3或x=0(舍去),因为f(x)在区间(0,2)内的极大值为最大值,所以2m3∈(0,2),即0<2m3<2,所以0<m<3.8.B　依题意得'=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax2-2ax(x-1)2=a1-令y'=0,解得x=2或x=0(舍去).若函数在区间(1,+∞)上有最大值-4,则最大值必然在x=2处取得,所以4a1=-4,解得a=-1,此时y'=-x(x-2)(x-1)2,当1<x<2时,y'>0,当x>2时,y'<0,可以验证当x=2时y取得最大值-4,故选B.9.答案　(0,1)解析　由题意得,f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,得x2=a.∵x∈(0,1),∴要使f(x)在(0,1)内有最小值,只需0<a<1,即0<a<1.当0<x<a时,f'(x)<0,当a<x<1时,f'(x)>0,可以验证当x=a时f(x)取得最小值,故a的取值范围是(0,1).10.解析　由题意得,f'(x)=3x2-2ax.令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.①当2a3≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.②当2a3≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.③当0<2a 3<2,即0<a<3时, f(x)在0,2a3上单调递减,在2a 3,2上单调递增,从而f(x)max =8-4a (0<a ≤2),0(2<a <3).综上所述, f(x)max =8-4a (a ≤2),0(a >2).11.C 由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-2x .令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍).当x ∈(0,1)时, f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1.由题意知m ≥1,因此实数m 的最小值为1.12.答案　[e,+∞)解析　由题意得, f'(x)=1x·x -(ln a +ln x )x 2=1-(ln a +ln x )x 2.因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,所以f'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a ≥1-ln x 在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=1-ln x,易知函数g(x)=1-ln x 在区间[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max =g(1)=1,故ln a ≥1,即a ≥e.13.解析　(1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -1=1-xx ,令f'(x)=0,得x=1.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘因此,当x=1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(1)=0.(2)证明:由(1)可知函数f(x)在x=1处取得最大值,且最大值为0.即f(x)=ln x-x+1≤0,得 ln x ≤x-1.14.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x.令f'(x)>0,解得x>1e ,令f'(x)<0,解得0<x<1e .故f(x)的最小值为=-1e .(2)依题意得, f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a ≤ln x+1x 对任意x ∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=ln x+1x ,则g'(x)=1x -1x 2=x -1x 2.当x ≥1时,g'(x)≥0,故g(x)在[1,+∞)上是增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,因此a ≤g(x)min =g(1)=1,故a 的取值范围为(-∞,1].15.A 设利润为y 万元,则y=y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=-2x 3+18x 2(x>0),∴y'=-6x 2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,∴应生产6千台该产品.16.答案　30;23 000解析　设该商品的利润为y 元,由题意知,y=N(M-20)=-M 3-150M 2+11 700M-166 000,则y'=-3M 2-300M+11 700,令y'=0,得M=30或M=-130(舍去),当M ∈(0,30)时,y'>0,当M ∈(30,+∞)时,y'<0,因此当M=30时,y 取得极大值,也是最大值,且y max =23 000.17.解析　(1)由题意知当x=4时,y=21,代入y=mx -2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元.由(1)可知,套题每日的销售量y=10x -2+4(x-6)2,2<x<6,所以每日销售套题所获得的利润+4(x -6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6),则f '(x)=12x 2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f '(x)=0,得x=6(舍去)或x=103.当x ∈2,,f '(x)>0,函数f(x)单调递增;当x ,6时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.18.解析　(1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为6-2x2=(3-x)m.故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x =2x 3-8x 2+6x(0<x<1).(2)由(1)得y'=6x 2-16x+6,令y'=0,解得x=4+73(舍去)或x=4-73,所以y=2x 3-8x 2+6x(0<x<1)在0,,,1内单调递减,所以当x=4-73时,水箱的容积最大.能力提升练1.D 由题意知|PQ|=a 2+1-12ln a.设h(x)=x 2+1-12ln x(x>0),则h'(x)=2x-12x =4x 2-12x,令h'(x)=0,得4x 2-1=0,解得x=12(负值舍去).当x 在(0,+∞)上变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表:因此,当|PQ|最小时a 的值为12,故选D.2.A 由函数f(x)的定义域为[-1,5],知函数y=f(x)不是周期函数,故①错误;由题图知在[0,2]上f'(x)≤0,故f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;依题意可画出函数f(x)的大致图象如图所示:如果当x ∈[-1,t]时, f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为5,故③错误;当x=2时,f(2)的值不确定,故1<a<2时,函数y=f(x)-a 的零点个数不确定,故④错误.故选A.3.解析　(1)由题意得, f'(x)=-3x 2+6x+9.令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增.又f(x)在[-2,-1]上单调递减,所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x 3+3x 2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.4.D 函数f(x)=13x 3+x 2-1的导函数为f'(x)=x 2+2x,令f'(x)=0,得x=-2或x=0,故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,则x=0为极小值点,x=-2为极大值点.由f(x)在区间(m,m+3)上存在最小值,可得m<0<m+3,解得-3<m<0,此时f(m)=13m 3+m 2-1=13m 2(m+3)-1>-1=f(0),因此实数m 的取值范围是(-3,0),故选D.5.A 由f(x)=x x 2+a 得, f'(x)=a -x 2(x 2+a)2,当a>1时,若x>a ,则f'(x)<0, f(x)单调递减,若1<x<a ,则f'(x)>0, f(x)单调递增,故当x=a 时,函数f(x)有最大值12a =33,得a=34<1,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=12,不符合题意.当0<a<1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.此时最大值为f(1)=1a +1=33,得a=3-1,符合题意.故a 的值为3-1.故选A.6.答案　1解析　∵函数f(x)=ax 4-4ax 3+b(a>0),x ∈[1,4],∴f'(x)=4ax 3-12ax 2,令4ax 3-12ax 2=0,解得x=0或x=3,f(1)=b-3a, f(3)=b-27a, f(4)=b,且a>0,∴b-27a<b-3a<b.∵f(x)的最大值为3,最小值为-6,∴b=3,b-27a=-6,解得a=13,∴ab=13×3=1.7.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时, f(x)=-2ln x+12x 2+x,则f'(x)=-2x +x+1=x 2+x -2x ,∴f'(1)=0.又f(1)=32,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=32.(2)f'(x)=-2a 2x +x+a=x 2+ax -2a 2x=(x -a )(x +2a )x(x>0).若a=0,则f'(x)=x>0, f(x)的单调递增区间为(0,+∞).若a<0,当x ∈(0,-2a)时, f'(x)<0,当x ∈(-2a,+∞)时, f'(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞).若a>0,当x ∈(0,a)时, f'(x)<0,当x ∈(a,+∞)时, f'(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).(3)由(2)知,当a<0时, f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞).当-2a ≤1,即-12≤a<0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)min =f(1)=12+a;当1<-2a<e,即-e2<a<-12时, f(x)在(1,-2a)上单调递减,在(-2a,e)上单调递增,则f(x)min =f(-2a)=-2a 2ln(-2a);当-2a ≥e,即a ≤-e2时, f(x)在[1,e]上单调递减,则f(x)min =f(e)=-2a 2+e22+ae.综上,f(x)min+a,-12≤a <0,a 2ln(-2a ),-e2<a <-12,a 2+e 22+ae,a ≤-e 2.8.D 原不等式可化为ln x-px+1≤0,令f(x)=ln x-px+1,则f(x)max ≤0.由f'(x)=1x -p 知, f(x)在0,,,+∞上单调递减,故f(x)在x=1p 处取得极大值,也是最大值,故f(x)maxp,则有-ln p ≤0,解得p ≥1.9.A 由题意得, f'(x)=2xx 2+1,易得f(x)在[0,3]上单调递增,所以f(x 1)∈[0,ln·ln 12,易得g(x)在[1,2]上单调递减,所以g(x 2)∈14-m,12-m .因为∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),所以只需0≥14-m ⇒m ≥14.故当m ≥14时,满足题意.10.BC ∵当x>0时, f(x)=ln x ∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2对一切实数x 不一定都成立,故A 错误.令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0恒成立,∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x 的一个承托函数,故B 正确.令h(x)=e x -ax,则h'(x)=e x -a,若a=0,由题意知,结论成立.若a>0,令h'(x)=0,得x=ln a,∴函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数,∴当x=ln a 时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a,∵g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,∴a-aln a ≥0,∴ln a ≤1,∴0<a ≤e.若a<0,当x →-∞时,h(x)→-∞,故不成立.综上,当0≤a ≤e 时,函数g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,故C 正确.不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立,故g(x)=2x-1是f(x)=2x 的一个承托函数,故D 错误.故选BC.11.答案　(2e,+∞)解析　因为对任意x 1∈R 都存在x 2∈(1,e)使f(x 1)<g(x 2)成立,所以f(x)max <g(x)max ,又f(x)=sin x-1,所以f(x)max =0,即存在x ∈(1,e),使a2ln x-x>0,此时ln x>0,所以a>0,因此问题可转化为存在x ∈(1,e),使2a <ln xx成立,设h(x)=ln xx ,则2a <h(x)max ,对h(x)求导得h'(x)=1-ln xx 2,当x ∈(1,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)<h(e)=1e ,即2a <1e ,所以a>2e,所以实数a 的取值范围是(2e,+∞).解题模板易错警示　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤:12.解析　(1)当a=0时,f(x)=e x+1x2,则f'(x)=e x+x,所以f(0)=1,f'(0)=1.2所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y+1=0.x2,(2)当a=1时,f(x)=e x-x+12则f'(x)=e x-1+x.因为f'(0)=0,且f'(x)=e x-1+x在(-∞,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).(3)由f(x)≥1x2+x+b对任意x∈R恒成立,得e x-(a+1)x-b≥0对任意x∈R恒2成立.设g(x)=e x-(a+1)x-b,则g'(x)=e x-(a+1).令g'(x)=0,得x=ln(a+1)(a>-1).当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:x(-∞,ln(a+1))ln(a+1)(ln(a+1),+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.所以函数g(x)的最小值为g(ln(a+1))=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b.由题意,得g(ln(a+1))≥0,即 b-a ≤1-(a+1)ln(a+1).设h(x)=1-xln x(x>0),则h'(x)=-ln x-1.因为当0<x<1e 时,-ln x-1>0;当x>1e 时,-ln x-1<0,所以h(x)在0,,在1e,+∞上单调递减.所以当x=1e 时,h(x)max =1+1e .所以当a+1=1e ,b=a+1-(a+1)ln(a+1),即a=1e -1,b=2e 时,b-a有最大值,最大值为1+1e .13.D 当年产量为x 万吨时,总成本为(20 000+100x)元,总利润为f(x)元,∴总利润f(x)=400x -12x 2-20 000-100x,0≤x ≤400,80 000-20 000-100x ,x >400,即f(x)=300x -12x 2-20 000,0≤x ≤400,60 000-100x ,x >400,所以f'(x)=300-x ,0≤x ≤400,-100,x >400,①当0≤x ≤400时,令f'(x)=0,得x=300,由f'(x)<0得300<x ≤400,此时f(x)是减函数,由f'(x)>0得0<x<300,此时f(x)是增函数,∴当0≤x ≤400时,f(x)max =300×300-12×3002-20 000=25 000;②当x>400时,f(x)是减函数,∴f(x)<60 000-100×400=20 000,∴当x=300时,f(x)有最大值.故选D.14.C 设OO 1为x m,则1<x<4,设底面正六边形的面积为S m 2,帐篷的体积为V m 3.则由题设可得,正六棱锥底面边长为32-(x -1)2=8+2x -x 2(m),于是S=6×34(8+2x -x2)2=332(8+2x-x 2),所以V=13×332(8+2x-x 2)(x-1)+332×(8+2x-x 2)=32(8+2x-x 2)[(x-1)+3]=32(16+12x-x 3)(1<x<4),则V'=32(12-3x 2).令V'=0,解得x=2或x=-2(舍去).当1<x<2时,V'>0,V 单调递增;当2<x<4时,V'<0,V 单调递减.所以当x=2时,V 最大.故选C.15.答案　25解析　设产品的单价为p 万元,根据已知,可设p 2=kx,其中k 为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,所以p 2=250 000x,p=500x ,x>0.设总利润为y 万元,则y=500x ·x-1 200-275x 3=500x -275x 3-1 200,则y'=250x -225x 2.令y'=0,得x=25.故当0<x<25时,y'>0;当x>25时,y'<0.因此当x=25时,函数y 取得极大值,也是最大值.16.解析　(1)由题意得,在矩形OCDE 中,∠AOD=θ,∴OC=rcos θ,OE=rsin θ,∴矩形OCDE 的面积为S 矩形OCDE =OC ·OE=r 2sin θcos θ.又∠BOG=π6,四边形EFGH 是矩形,∴HG=rsin π6=r2,OH=rcos π6=3r 2,∴-sin θ,∴矩形EFGH 的面积为S矩形EFGH =HG ·-sin θ,∴f(θ)=S 矩形OCDE +S 矩形EFGH=r 2sin θcos -sin θ=r 2sin θcos θ-12sin θ+∈0,(2)由(1)可得, f'(θ)=r 2cos 2θ-sin 2θ-12cos θ=r 22·(4cos 2θ-cos θ-2),令f'(θ)=0,得4cos 2θ-cos θ-2=0,解得cos θ=1+338或cos θ=1-338(不合题意,舍去),令cos θ0=1+338,则θ0∈0,当θ∈(0,θ0)时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增;当θ∈θ0,, f'(θ)<0, f(θ)单调递减,∴当θ=θ0时, f(θ)取得最大值,即cos θ=1+338时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.。