高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习

函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。

（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。

例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。

精编高一数学人教A 版必修一函数解析式的求法与练习一． 换元法题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1．若xx x f -=1)1(,求)(x f . 2 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；3 已知f （x ）=1，则f （x+1） 二．配变量法题2．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .三．待定系数法题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .练习：（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知反比例函数()f x 通过（2，3）求()f x（3）已知幂函数()f x 通过（2，41），求()f x （4）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ；（5）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；（6）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ． （7）设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.四．解方程组法只含有一种函数出现x 和-x 或1/x1设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.练习 ： 已知f （x ）+2f （-x ）=+2x 4x+3 求f （x ）2任何一个函数可以写成一个奇函数和偶函数之和Eg ：已知f(x)+g(x)= +2x 2x+1 ，其中f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，求f(x)和g （x ）五．特殊值代入法题5．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ， 求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ .六．利用给定的特性求解析式.题6．设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表达式.练习1．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时, x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.练习2：已知定义域为R 的奇函数f （x ），当x>0, f （x ）=+2x 2x+1,则x<0,求f （x ）练习3：已知定义域为R 的函数f （x ），周期为2，当 0<x<2 时，f （x ）=+2x 2x则当98<x<100,求f （x ）七 根据函数图像求解析式例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。

求函数的解析式之老阳三干创作一、解析式的表达形式——解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等.1、一般式是大部分函数的表达形式,例一次函数：b kx y +=)0(≠k ；二次函数：c bx ax y ++=2)0(≠a 正比例函数：xk y =)0(≠k ；正比例函数：kx y =)0(≠k 2、分段式：函数在定义域的不合子集上对应法例不合,可用n 个式子来暗示函数,这种形式的函数叫做分段函数.例1、设函数(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ,则满足41)(=x f 的x 的值为.3、复合式：若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数.例2、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g .二、解析式的求法—按照已知条件求函数的解析式,经常使用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等.1待定系数法——若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求出系数.例3、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数)(x f y =的解析式.阐发：二次函数的解析式有三种形式：① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f2、换元法——例4、已知：11)11(2-=+x x f ,求)(x f . 注意：使用换元法要注意t 的规模限制,这是一个极易忽略的地方.3、配凑法——例5、已知：221)1(x x x x f +=+,求)(x f .注意：1、使用配凑法也要注意自变量的规模限制；2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用配凑法求解析式.4、赋值（式）法：例6、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立,且0)1(=f .(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式.5、方程法——例7、已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x f x f ,求)(x f . 三、练习（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若x x x f -=1)1(,求)(x f .（二）．配凑法3．已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式.4．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .（三）．待定系数法5．设)(x f 是一元二次函数,)(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .6．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.（四）．解方程组法7．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.8．（1）若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).（五）．特殊值代入法9．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ,求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ . 10．已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f（六）．利用给定的特性求解析式.11．设)(x f 是偶函数,当x ＞0时,x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时,)(x f 的表达式.12．对x∈R,)(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x∈[－1,0]时,x x x f 2)(2+=求当x∈[9,10]时)(x f 的表达式.。

函数解析式的求法高中数学解题方法一、单选题1．已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（ ） A ．f (x )= -x B ．f (x )=x -1 C ．f (x )=x +1D ．f (x )= -x +12．已知函数()f x 满足()22124,xf x x +=⋅+则()f x =（ ）A ．2(1)22xx -+B ．2124x x ++ C ．21(1)22x x +-+ D ．2(1)24xx -+3．已知函数()2141f x x -=- ()x R ∈，若()15f a =，则a 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．84．已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．11x + B ．1x x+ C ．1x x + D ．1x +5．已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()2f 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．66．已知)1fx =+()f x 的解析式为（ ）A ．()()210f x x x =-≥ B ．()()211f x x x =-≥C ．()()20f x x x =≥D ．()()21f x xx =≥7．已知函数()()224f x x m x m =+-+是偶函数，()mg x x =在(),0-∞上单调递增，则实数m =（ ） A ．2-B ．4-C ．2D ．2±8．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212- 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221342f x x a x a a =-+--，若对任意x ∈R ，()()11f x f x -≤+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．66⎡-⎢⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．22⎡-⎢⎣⎦第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10．若一次函数()f x 满足(())2f f x x =+，则()f x =_________．11．函数1)1f x =+，则()f x =__________（注明定义域） 12．已知函数()f x 满足221(tan )sin cos f x x x=，则()f x 的解析式为__________.13．已知()()222f x f x x x +-=+，则()f x 的解析式为________. 14．()f x 满足：12()1f x f x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，()f x =________. 15．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()()2f x x x =+，则当0x ≤时，()f x =________________.16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x = ________.三、双空题 17．已知f 1-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=x 2+21x，则函数f (x )=_______，f （3）=_______．四、解答题18．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，函数()y f x =的解析式为()21xf x =+.（1）求当0x <时，函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =在区间[]4,2--上的值域. 19．设a 是实数，2()21x f x a =-+(x ∈R ).（1）试证明：对于任意a ，()f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数.20．已知定义域为R 的函数()f x 和()g x ，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()12x f x g x ++=.（1）求函数()f x 和()g x 的解析式； （2）解不等式:()()2f x g x ；（3）已知实数0λ>，且关于x 的方程()()10x f x g λ-+=有实根，求λ的表达式(用x 表示)，并求λ的取值范围.21．已知函数())ln f x x =的图象关于原点对称.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性； （3）若[]0,1x ∈，不等式()()1144220xxxx f m f m -+-⎡⎤⎡⎤+++⋅->⎣⎦⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知()133x x b f x t--=+是定义在R 上的奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，且1a ≠，若对于任意[)1,x ∈+∞，存在[]2,1m ∈-，使得()21522m x x f a x +-+-≤成立，求a 的取值范围． 23．已知函数2()21g x x ax =-+且函数(1)y g x =+是偶函数，设()()g x f x x= （1）求()f x 的解析式：（2）若不等式()0f x mx -≥在区间[1,2]上有解，求实数m 的取值范围；（3）若方程2(21)2021xx f k-+-=-有三个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 24．已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f xg x x=，且函数()2y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立，求n 的取值范围；（3）若函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.参考答案1．D 【分析】利用待定系数法可求出结果. 【详解】设f (x )=ax +b (a ≠0)，则有01a b b +=⎧⎨=⎩，，所以a = -1，b =1，所以f (x )= -x +1． 故选：D 2．D 【分析】 利用换元法可求. 【详解】令21,t x =+则12t x -=， 则()21221(1)24224t tt t f t ---⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭. 即()2(1)24xx f x -=+. 故选：D. 3．C 【分析】首先利用换元法求出函数的解析式，由解析式即可求解. 【详解】由()2141f x x -=-，()x R ∈， 令21x t -=，则12t x +=， 所以()141212t f t t +=⨯-=+， 所以()1152a a f =+=，解得7a =. 故选：C4．C 【分析】利用配凑法求函数的表达式. 【详解】111()111x f x x x==++， ∴()()01xf x x x=≠+； 故选：C ． 5．D 【分析】配方可得2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得出()f x 解析式，求出()2f . 【详解】2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22f x x ∴=+ ()22226f ∴=+=.故选：D. 6．B 【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域. 【详解】))2111fx ==+-，令11t =≥，()()211f t t t ∴=-≥，则()()211f x x x =-≥，故选：B.本题主要考查换元法求函数的解析式，遗忘函数定义域是易错点，属于基础题. 7．A 【分析】首先利用函数()()224f x x m x m =+-+是偶函数，得出2m =或2m =-，再检验是否满足()mg x x =在(),0-∞上单调递增即可.【详解】因为函数()()224f x x m x m =+-+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()()()222244x m x m x m x m -+--+=+-+对于定义域内的x 恒成立，所以()2240m x -=，即240m -=，解得：2m =或2m =-，当2m =时，()2g x x =，在(),0-∞上单调递减，不符合题意，舍去.当2m =-时，()2g x x -=，此时是偶函数，满足在()0,∞+上单调递减，所以在(),0-∞上单调递增，复合题意， 所以2m =-， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由()()224f x x m x m =+-+是偶函数，求出m 的值，还要熟悉幂函数的图象和性质. 8．B 【分析】根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log 3xxt +≤，换元30x p =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，②①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2x f x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-， 由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3xx xt g x f x x +-=+-=≤，令30x p =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题． 9．C 【分析】根据绝对值的意义把函数写成分段函数，作出函数的图象，平移图象，寻找对应的条件求解. 【详解】当0x >时，()()2221342f x x a x a a =-+-- ∴当20x a <≤时，()()()2221134222f x a x a x a x x =-+--=-=-；当223a x a <≤时，()()()222221134222f x x a a x a a a =-+--=-=-.当23x a >时，()()()22222113428422f x x a x a a x a x a =-+--=-=-， 即()2222222222224,3,3,,34,3x a x a a a x a f x x a x a a a x a x a x a⎧+<-⎪-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪-≤≤⎪⎪->⎩，画出其图象如下，要使对任意()(),11x R f x f x ∈-≤+，则将()f x 向右平移一个单位得到的()1f x -的图象， 将()f x 向左平移一个单位得到的()1f x +的图象，对任意x ∈R ，()()11f x f x -≤+成立，∴()1f x -的图象都在()1f x +的图象的下方，此时只需要A 点在B 点的左侧（或重合）即可，A 点的横坐标为241a -，B 点的横坐标为241a -+，即224141a a -≤-+， 即282a ≤，即214a ≤， 得1122a -≤≤，即实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：C . 【点睛】本题考查函数的表示方法和函数的奇偶性，考查函数的图象和图象变换，把不等式恒成立转化为图象位置关系是解决本题的关键．属于较难的题目. 10．1x + 【分析】设()f x kx b =+，利用(())2f f x x =+可得,k b 的值，从而可求()f x 的解析式. 【详解】设()f x kx b =+，则()()2(())1f f x k kx b b k k b =++=++，故21(1)2k k b ⎧=⎨+=⎩，故1,1k b ==，故()1f x x =+，故答案为：1x +. 11．222(1)x x x ++≥- 【分析】利用换元法可得函数()f x 的解析式. 【详解】1t =，则2(1)x t =+，1t ≥-， 所以22()(1)122f t t t t =++=++，1t ≥-， 所以2()22(1)f x x x x =++≥-. 故答案为：222(1)x x x ++≥-. 【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数()f x 的解析式，换元时要注意新元的取值范围. 12．221()2f x x x=++（0x ≠） 【分析】利用同角三角函数的关系把221sin cos x x用正切表示，即可得到()f x 的解析式 【详解】由222222221sin cos 11(tan )sin cos sin cos cos sin x x f x x x x x x x+===+22222222sin cos sin cos 1tan 1+1+cos sin tan x x x x x x x x++=+=+221tan 2tan x x =++， 得221()2f x x x=++. 故答案为：221()2f x x x=++（0x ≠）【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，利用了221sin cos x x =+化简，属于基础题 13．()2123f x x x -= 【分析】由2()2()2f x f x x x +-=+，2()2()2f x f x x x -+=-，联立可求解． 【详解】因为2()2()2f x f x x x +-=+，（1） 所以2()2()2f x f x x x -+=-， 所以22()4()24f x f x x x -+=-，（2） （2）-（1）可得，21()23f x x x =-．故答案为：21()23f x x x =-．【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14．21133x x++()0x ≠ 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】12()1f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①用1x 替换x 可得()112()1f f x x x-=+，② 将①2⨯+②，可得()21133f x x x =++()0x ≠ 故答案为：21133x x++()0x ≠ 【点睛】本题考查了方程组法求解析式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．()2x x - 【分析】当0x <时，0x ->，利用()()f x f x =--可求得结果. 【详解】因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以当0x =时，(0)0f =，当0x <时，0x ->，[]()()(2)(2)f x f x x x x x =--=---=-， 综上所述：当0x ≤时，()(2)f x x x =-. 故答案为：()2x x - 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的性质求解是解题关键. 16．()1x x - 【分析】设0x <，则0x ->，代入0x ≥的解析式， 由函数的奇偶性即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->，由0x ≥时，()()1f x x x =+， 所以()()()1f x x x -=--，又函数为偶函数，即()()f x f x -=，所以()()()()11f x x x x x =--=-. 故答案为：()1x x - 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 17．22x + 11 【分析】利用换元法可求出()f x ，进一步可得(3)f . 【详解】 令1x t x -=，则222211()22x x t x x+=-+=+， 所以2()2f t t =+，所以2()2f x x =+， 所以2(3)3211f =+=. 故答案为：22x +；11.18．（1）()21x f x -=+；（2）[5,17]； 【分析】（1）由偶函数有()()f x f x =-，令0x <即有()21x f x --=+，即可知0x <时函数()y f x =的解析式；（2）根据函数解析式在[]4,2--上的单调性即可求值域. 【详解】（1）由函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，即()()f x f x =-， 令0x <，则0x ->，∴()21x f x --=+，即()21x f x -=+，（2）由（1）知：()21x f x -=+在(),0-∞上单调递减， ∴在区间[]4,2--上，(4)17f -=，(2)5f -=，故值域为[5,17]. 19．（1）证明见解析；（2）1a =.【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可； （2）由奇函数定义可得22()2121x xa a --=--++，化简后可求出a 的值 【详解】（1）证明：设12x x R ∈、，且12x x <， 则1212122222()()()()21212121x x x x f x f x a a -=---=-++++ 12122(22)(21)(21)x x x x ⋅-=+⋅+， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <， ∴1222x x <即12220x x -<，又由20x >得1210x +>，2210x +>，∴12())0(f x f x -<即12()()f x f x <， ∴此结论与a 取值无关，∴对于a 取任意实数，()f x 在R 为增函数； （2）解：若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即22()2121x xa a --=--++， 变形得222(21)2212121x x x xa -+=+=+++，解得1a =， ∴当1a =时，()f x 为奇函数. 【点睛】此题考查函数单调性的证明，考查奇函数的性质，属于基础题20．（1）()22xxf x -=-，()22xxg x -=+；（2）21log 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2222121x x xλ+-=+，⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）利用奇偶性，结合()()12x f x g x ++=，得到1()()2x f x g x -+-+=，联立方程解得()f x 和()g x 的解析式即可；（2）代入函数解析式并化简得到223x ≥，再结合指数函数单调性解不等式即可；（3）代入函数解析式并分离参数得到2222121x x xλ+-=+，再进行换元20x t =>，使22212111t t t t t λ+--==+++有正根，设2t m -=，则2m >-，转化成2145m m m λ=+++有2m >-的实根，最后对m 进行讨论，结合对勾函数的单调性研究值域问题即可.【详解】解：（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，因为1()()2x f x g x ++=，所以1()()2x f x g x -+-+-=，即1()()2x f x g x -+-+=，联立两个方程，可解得1122()222x x x x f x +-+--==-，()22x x g x -=+；（2）2()()f x g x ≥可化为()22222x xx x ---≥+，化简得232x x -≥⨯，即223x ≥， 而2log 332=，所以22log 3x ≥，得21log 32x ≥， 所以不等式2()()f x g x ≥的解集为21log 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）关于x 的方程()()10f x g x λ-+=有实根，即()222210x x x xλ----++=有实根， 所以()()22212120x x x λ⎡⎤--++=⎢⎥⎣⎦有实根，则2222121x x xλ+-=+． 令20x t =>，则()22110t t t λ--++=有正根，所以22212111t t t t t λ+--==+++有正根， 因为222211(22)1(2)4(2)5t t t t t λ--=+=+-++-+-+，设2t m -=，则2m >-，2145mm m λ=+++．当0m =时，1λ=，此时22x t ==，方程有实根1x =；当0m ≠且2m >-时，方程即2145541m m m m mλ++==++-有2m >-的实根，则11λ-的值域，即是54m m++的值域.因为对勾函数5()4m m mϕ=++在(2,0)-上递减，在上递减，在)+∞上递增，故(2,0)m ∈-时，1()(2)2m ϕϕ<-=；(0,)m ∈+∞时()4m ϕϕ≥=+所以1112λ<--或141λ≥+-0λ>，故解得01λ<<或1λ<≤，综上所述：λ取值范围是⎛ ⎝⎦． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21．（1）1a =；（2）()f x 在R 上单调递增；（3）()1,-+∞ 【分析】（1）易知()f x 为奇函数，可得()()0f x f x +-=，代入解析式，可求出a 的值； （2）先判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，再结合()f x 是定义在R 的奇函数，可推出()f x 在定义域上单调递增；（3）根据()f x 的奇偶性，可得()()44222x xx x f m f m --⎡⎤⎡⎤++>-⎣⎦⎣⎦在0,1上恒成立，再结合函数()f x 的单调性，可知()()44222x xx x m m --++>-在0,1上恒成立，进而令22(01)x x t x -=-≤≤，可得30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而不等式可转化为2220t mt m +++>在30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，进而分离参数可得22212t m t +>-+，求出2212t t +-+的最大值，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数， 所以()()0f x f x +-=，即))()22ln lnln ln 0x x x a x a +=+-==，解得1a =.（2）易知()f x 的定义域为R，令()g x x =，因为函数y =y x =都在[)0,+∞上单调递增，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，根据复合函数的性质，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增， 又因为()f x 是定义在R 的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增. （3）由题意，()()1144220xxxx f m f m -+-⎡⎤⎡⎤+++⋅->⎣⎦⎣⎦在0,1上恒成立，等价于()()44222xxxx f m f m --⎡⎤⎡⎤++>-⎣⎦⎣⎦在0,1上恒成立，则()()44222x xx x m m --++>-在0,1上恒成立. 令22(01)x x t x -=-≤≤，显然22(01)x x t x -=-≤≤是增函数，则30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.()22442222x x x x t --+=-+=+，所以2220t mt m +++>在30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立.则22212t m t +>-+，令11222u t u ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，则229294112142u u t u u u t -++==+-≥=+，当且仅当94u u=，即32u =时，等号成立.所以22212t t +-≤-+ 所以22m >-，即1m >-， 故m 的取值范围为()1,-+∞. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）()13331x x f x +-=+；（2）)10,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用函数是奇函数可得()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得,b t 的值，求出()f x ，再检验()()f x f x -=-成立即可；（2）构造函数()()()22561212312x g x f x x x x =-++=--++，利用函数的性质判断出()g x 的单调性，使得()21522m f x x x a +-++≤成立等价于()()max max g x h m ≤成立，即可求解. 【详解】解：（1）因为()133xx b f x t--=+是定义在R 上的奇函数，所以()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，即12103331b b b tt ---=⎧⎪⎨--=-⎪++⎩，解得131t b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则()11133313133x x xx f x +---==++经检验：()13331x x f x +-=+时，()()1133333113x x x xf x f x -++----===-++满足()f x 是R 上的奇函数， 所以()13331x xf x +-=+. （2）令()()2522g x f x x x =-++， 由（1）可知()()()22331656121312312x x x g x x x x -++=-++=--+++． 易证函数631xy =+与()2112y x =--+均是[)1,+∞上的减函数， 则()g x 是[)1,+∞上的减函数，且()()max 12g x g ==． 令()()121m h m am +=-≤≤，对于任意[)1,x ∈+∞，存在[]2,1m ∈-，使得()21522m f x x x a +-++≤成立等价于()()max max g x h m ≤成立， 即()max 2h m ≤成立．若01a <<，则()h m 在[]2,1-上单调递减，()()1max 12h m h a a-=-==， 故12a≥，解得102a <≤；若1a >，则()h m 在[]2,1-上单调递增， ()()2max 1h m h a ==，故22a ≥，解得：a ≥综上所述，a的取值范围为)10,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 23．（1）()()1()20g x f x x x x x ==+-≠；（2）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）1(,1)2-. 【分析】（1）()g x 对称轴为x a =，(1)g x +对称轴为0x =，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数m ，转化为求函数的最值；（3）令()210x r r =->，把方程有三个不同的实数根求参数的问题转化为二次函数根的分布问题求解. 【详解】(1) 函数2()21g x x ax =-+的对称轴为x a =， 因为()g x 向左平移1个单位得到(1)g x +， 且(1)y g x =+是偶函数， 所以1a = ， 所以()()1()20g x f x x x x x==+-≠. (2) ()0f x mx -≥， 即120m x xx -+≥- 又[1,2]x ∈ ，则2212111x x x m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭≤， 因为211014x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3) 方程2(21)2021x x f k -+⋅-=-， 即22120211122x x x k +-+-⋅-=--， 化简得221421120x x k ---+=+， 令()210x r r =->，则24120r r k -+=+， 若方程2(21)2021x x f k -+⋅-=-有三个不同的实数根， 则方程24120r r k -+=+必须有两个不相等的实数根12,r r ，且1201,1r r <<>或1201,1r r <<=， 令2()412h r r r k =-++，当1201,1r r <<>时，则(0)120(1)220h k h k =+>⎧⎨=-+<⎩， 即112k -<<， 当21r =时，1k =，2()43h r r r =-+，13r =舍去，综上，实数k 的取值范围是1(,1)2-. 【点睛】关键点睛：函数不等式能成立问题用参数分离法；把方程有三个不同的实数根求参数的问题转化为二次函数根的分布问题是解决本题的关键.24．（1）()()640g x x x x =-+≠（2）52n ≥-（3）6k =，零点为0，-2，2 【分析】（1）由(2)f x -是偶函数，求出m 后可得()g x ；（2）等式()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立，可用分离参数法转化为求函数最值；（3）可换元22log (4)p x =+，()()()22222log 490log 4y g x k x =++⋅-=+化为关于p （2p ≥）的方程，原函数有三个零点，即原方程有三个解，由对称性（或偶函数）知0x =是一个解，即2p =是新方程的一个根，由此可求得k ，从而求得另外的根，即求得函数的零点．【详解】（1）∴()()22f x x m x m =+--， ∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∴()2y f x =-是偶函数，∴60m -=，∴6m =.∴()246f x x x =+-，∴()()640g x x x x=-+≠. （2）∴()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立，∴2264646411t n t t t t tι-+=-+=-++. 令2641z t t =-++，1s t =，则12s ≤-，256412z s s =-++-，∴52n ≥-. （3）令()22log 4x p +=，则2p ≥，方程()()()22222log 490log 4g x k x ++⋅-=+可化为()290g p k p +⋅-=，即62490k p p p -++-=，也即()25260p p k p-+-=. 又∴方程()()()22222log 490log 4g x k x ++⋅-=+有三个实数根， ∴()25260p p k p-+-=有一个根为2，∴6k =.∴2560p p -+=，解得2p =或3p =. 由()22log 42x +=，得0x =，由()22log 43x +=，得2x =±， ∴该函数的零点为0，-2，2.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，考查函数的零点．解题中不断进行转化．不等式恒成立转化为求函数的最值，函数的零点转化为方程的解，对数型方程转化为一般分式型方程，从而易于求解．。

高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。

实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。

和换元法一样，最后结果要注明定义域。

高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习一、 定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .=6)1(5)1(2++-+x x【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 解：设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([ xx f +=∴11)( 【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x xx f +=++=+，求)]([x g f .解：2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x xx x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.解：)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ. 二、 待定系数法：〔主要用于二次函数〕函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于所求函数类型〔如一次函数，二次函数，正、反例函数等〕及函数的*些特征求其解析式的题目。

其方法：所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设bax x f +=)()0(≠a ，则【例2】二次函数f 〔*〕满足f 〔0〕=0，f 〔*+1〕= f 〔*〕+2*+8，求f 〔*〕的解析式.解：设二次函数f 〔*〕= a*2+b*+c ，则 f 〔0〕= c= 0 ①f 〔*+1〕= a 2)1(+x +b 〔*+1〕= a*2+〔2a+b 〕*+a+b ② 由f 〔*+1〕= f 〔*〕+2*+8 与①、②得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得⎩⎨⎧==.7,1b a 故f 〔*〕= *2+7*. 【例3】1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。

必修一函数解析式的求法必修一函数解析式的求法一、换元法题目1：已知$f(3x+1)=4x+3$，求$f(x)$的解析式。

解：设$u=3x+1$，则$x=\dfrac{u-1}{3}$，代入已知条件得：f(u)=4\cdot\dfrac{u-1}{3}+3=\dfrac{4}{3}u-1$$所以$f(x)=\dfrac{4}{3}x-1$。

练1：若$f(x)=\dfrac{x}{1-x}$，求$f(x)$。

解：设$u=1-x$，则$x=1-u$，代入已知条件得：f(u)=\dfrac{1-u}{u}$$所以$f(x)=\dfrac{1-x}{1-x}=1$（$x\neq1$）。

二、配变量法题目2：已知$f(x-\dfrac{1}{x})=x^2+\dfrac{1}{x^2}$，求$f(x)$的解析式。

解：设$u=x-\dfrac{1}{x}$，则$x=\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}$，代入已知条件得：f(u)=\left(\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2} {u+\sqrt{u^2+4}}\right)^2$$所以$f(x)=\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2}{x+ \sqrt{x^2+4}}\right)^2$。

练2：若$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$。

解：设$u=x+1$，则$x=u-1$，代入已知条件得：f(u-1)=u+2(u-1)=3u-2$$所以$f(x+1)=3(x+1)-2=3x+1$，即$f(x)=3x-2$。

三、待定系数法题目3：设$f(x)$是一元二次函数，$g(x)=2x\cdot f(x)$，且$g(x+1)-g(x)=2x+1\cdot x^2$，求$f(x)$和$g(x)$。

解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$g(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$，代入已知条件得：2a(x+1)^3+2b(x+1)^2+2c(x+1)-2ax^3-2bx^2-2cx=2x+x^2$$整理得：begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{1}{2}\\c=0\end{cases}$$所以$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x$，$g(x)=x^3-x^2$。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

此法较适合简单题目。

例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x xx x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。

应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。