【名师金典】版高考数学大一轮复习 第1节 坐标系课件(选修44)

y tan θ＝ x(x≠0)
4．圆的极坐标方程 曲线 圆心在极点，半径 为 r 的圆 圆心为(r,0)，半径 为 r 的圆
π 圆心为r，2 半径 ，
图形
极坐标方程
ρ＝ r__ (0≤ θ<2π) __ __ ____
π π ρ ＝ 2 r cos θ __________－2≤θ≤2
(ρ， ) __称为点 M 的极坐标．其中 ρ 称为点 M 的极径，θ 对__ __θ __
极角 称为点 M 的________
图 33
3．极坐标与直角坐标的互化 点M 互化公式 直角坐标(x，y)
x＝ ρcos θ， y＝ ρsin θ
极坐标(ρ，θ)
2 2 x ＋ y ρ＝
2
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 φ：
x′＝ y′＝
λ· x ，λ＞0， 的 作 用 下 ， 点 P(x ， y) 对 应 到 点 μ· y ，μ＞
P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
对点训练
5X′＝x， 4Y′＝y，
在平面直角坐标系中，经过伸缩变换
曲线 C 变为曲线 X′2＋Y′2＝1， 求曲线 C 的方
程．
【解】 设曲线 C 上任意一点(x，y)，经过变换后对应的 点为(X′，Y′)， x X′＝ ， 5 X ′ ＝ x ， 5 由 得 4Y′＝y， Y′＝y . 4 x2 y2 得曲线 C 的方程为 ＋ ＝1. 25 16
1 不妨设 P1(1,0)， P2(0,2)， 则线段 P1P2 的中点坐标为2，1 ，
1 所求直线斜率为 k＝ ， 2 1 1 于是所求直线方程为 y－1＝ x－2 ， 2 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3 故所求直线的极坐标方程为 ρ＝ . 4sin θ－2cos θ
3 中，令 θ＝0，得 ρ＝1， 2
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆 C 经过点
P
π 2， ， 4 π 2 ＋1 －2×1× 2cos ＝ 4
2 2
所以圆 C 的半径 PC＝ 1，
于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ. 则 ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x， 故圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图 33 所示， 在平面内取一个定点 O(极点)，自极点 O 引一条射线 Ox(极 轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针 ______方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标： 平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长 度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画， 这两个数组成的有序数
(3)直线过
π Mb，2 则直线 且平行于极轴，
l 的极坐标方程
ρsin θ＝b 为____________.
考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换 (2014· 辽宁高考改编)将圆 x2＋y2＝1 上每一点的 横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (1)求曲线 C 的标准方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标 原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．
规律方法 1 1.解答该类问题应明确两点： 一是根据平面 直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换 前的 P(x，y)与变换后的点 P′(x′，y′)的坐标关系，利用 方程思想求解． 2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其 实质是将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入转化．
选修 4－4
坐标系与参数方程
第一节
坐标系
[ 考情展望]
1.理解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标
系伸缩变换作用下平面图形的变化特点.2.能在极坐标系中用 极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中 表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能 在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心 在极点的圆)的方程．
【解】 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲 线C
x＝x1， 上的点(x，y)，依题意，得 y＝2y1.
2 由 x2 ＋ y 1 1＝1 得
y 2 2 x ＋ 2 ＝1，故曲线
2 y C 的方程为 x2＋ ＝ 4
1.
2 y x2＋ ＝1， x＝1， x＝0， 4 (2)由 解得 或 y＝0 y＝2. 2x＋y－2＝0，
代入曲线 X′2＋Y′2＝1.
考向二 极坐标与直角坐标系的互化 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 心为直线 标方程．
π ρsinθ－3 ＝－ P
π 2， ，圆 4
3 与极轴的交点，求圆 C 的直角坐 2
图 34
【解】 在
π ρsinθ－3 ＝－
ρ＝ 2_ r__ sin__ θ (0≤θ<π) __ __
为 r 的圆
5.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 α，则直线 l
θ＝ α 的极坐标方程是__ __ __(ρ∈R)．
(2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴， 则直线 l 的极坐标方
cos θ＝a __. 程为ρ __ ________
规律方法 2
1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的
关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan y θ＝ (x≠0)． x 2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意 ρ，θ 的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公 式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧．