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13.4.3 经过一已知点作已知直线的垂线【学习目标】1.掌握经过一已知点作已知直线的垂线的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。
2.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。
【学习重难点】掌握经过一已知点作已知直线的垂线的作法。
【学习过程】一、课前准备1.已知点与已知直线有哪两种不同的位置关系：，．因此要分别按这两种情况作图．二、学习新知自主学习：1、经过已知直线上一点作已知直线的垂线．已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB 的垂线．如图，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线．作法：第一步：作平角ACB的；第二步：反向延长射线．则直线CD就是所要作的垂线．想一想：还有其它的作法吗？作法2：第一步：第二步：第三步：则。
动手试一试，现在你知道具体作法了吧，你能说说其中的道理吗？2、经过已知直线外一点作已知直线的垂线．已知直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB 的垂线．如图19．3．7，若以点C为圆心，能作与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线”可知，只需作出∠DCE的平分线．作法：第一步：第二步：第三步：则。
实例分析：例1、例利用直尺和圆规作一个等于45°的角．作法：1．；2．；3．．∠DAB就是所要作的角（如图19．3．8所示）．【随堂练习】请你根据图3所示的作图痕迹,填写画线段AB的垂直平分线的步骤.第一步:分别以______、_______为圆心,以大于______一半的长度为半径画弧,两弧在AB的两侧分别相交于点________和点_______;第二步:经过点_____和点_______画______;直线MN就是线段AB的垂直平分线.【中考连线】用尺规作图,不能作出惟一三角形的( )A.已知两角和夹边;B.已知两边和其中一边的对角C.已知两边和夹角;D.已知两角和其中一角的对边【参考答案】随堂练习A;B;AB;M;N;M:N;MN.中考连线B。
[13.4 3.作已知角的平分线]
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一、选择题
图K －32－1
1．观察图K －32－1中尺规作图的痕迹，下列结论错误的是( ) A ．PQ 为∠APB 的平分线 B ．PA ＝PB
C ．点A ，B 到PQ 的距离不相等
D ．∠APQ ＝∠BPQ 二、填空题
图K －32－2
2．2017·邵阳如图K －32－2所示，已知∠AOB ＝40°，现按照以下步骤作图： ①在OA ，OB 上分别截取线段OD ，OE ，使OD ＝OE ；②分别以点D ，E 为圆心，以大于1
2DE
的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点C ；③作射线OC .则∠AOC 的大小为________．
三、解答题
3．如图K －32－3所示，试把∠EOF 四等分，作出图形并写出作法.链接听课例2归纳总结
图K －32－3
4．如图K －32－4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BA 延长线上的一点，E 是AC 的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作∠DAC 的平分线AM ；②连结BE 并延长交AM 于点F .
(2)猜想与证明：试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由.链接听课例3归纳总结
图K －32－4
探究推理数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
作法：如图K －32－5，①在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD ＝OE ；
②分别以点D 和点E 为圆心，大于1
2DE 的长为半径作圆弧，两弧在∠AOB 内交于点C ；
③作射线OC .OC 就是∠AOB 的平分线．
图K －32－5
小聪只带了三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
步骤：如图K －32－6，①利用三角板上的刻度，在OA 和OB 上分别截取OM ，ON ，使OM ＝ON ；
图K－32－6
②分别过点M，N作OM，ON的垂线，交于点P；
③作射线OP.则OP为∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是________；
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由；
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明)
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．C
2．[答案] 20°
[解析] 由作图的步骤知，OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝20°.
3．解：作图如图．
作法：(1)作∠EOF的平分线OA；
(2)分别作∠EOA和∠AOF的平分线OB，OC，则射线OA，OB，OC将∠EOF四等分．4．解：(1)如图所示：
(2)AF∥BC且AF＝BC.
理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C.
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C＝∠FAC，∴AF∥BC.
∵E为AC的中点，∴AE＝EC.
在△AEF和△CEB中，
∵∠FAE＝∠C，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，
∴△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.
[素养提升]
[导学号：90702280]
解：(1)S.S.S.
(2)小聪的作法正确．理由：
∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°.
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP＝OP，OM＝ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(H.L.)，
∴∠MOP＝∠NOP，
即OP平分∠AOB.
(3)如图所示．
步骤：①利用刻度尺在OA，OB上分别截取OG，OH，使OG＝OH；
②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；
③作射线OQ.则OQ为∠AOB的平分线．。
