2019届二轮(文科数学) 专题跟踪训练4 专题卷 (全国通用)

最新高考数学二模试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效）1．已知全集U=R，集合M={x|0＜x＜2}，集合N={x|x≥1}，则集合M∩（∁U N）等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．∅2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值（）A．130 B．260 C．156 D．1684．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．若正实数a，b满足a+b=4，则log2a+log2b的最大值是（）A．18 B．2 C．2D．26．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别（0，10] （10，20] （20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.647．已知圆x2+（y﹣2）2=4的圆心与抛物线y2=8x的焦点关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y﹣2=08．已知一个三棱柱的底面是正三角形，且侧棱垂直于底面，此三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为（）A．24+B．24+2C．14D．129．一个算法流程图如图所示，要使输出的y值是输入的x值的2倍，这样的x值的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．610．区间[0，2]上随机取一个数x，sin的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．11．已知直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交A，B两点，O为坐标原点，若△AOB是正三角形，则双曲线的离心率是（）A．B． C．D．12．已知函数y=f（x），y=g（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B． C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．15．若曲线f（x）=x2﹣e x不存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．16．下列4个命题：①∃x∈（0，1），（）x＞log x．②∀k∈[0，8），y=log2（kx2+kx+2）的值域为R．③“存在x∈R，（）x+2x≤5”的否定是”不存在x∈R，（）x+2x≤5”④“若x∈（1，5），则f（x）=x+≥2”的否命题是“若x∈（﹣∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+＜2”其中真命题的序号是．（请将所有真命题的序号都填上）三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．在△ABC中，已知AC=3，sinA+cosA=，（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=3，求BC的值．18．某企业有两个分厂生产某种零件，现从两个分厂生产的零件中随机各抽出10件，量其内径尺寸（单位：mm），获得内径尺寸数据的茎叶图如图．（Ⅰ）计算甲厂零件内径的样本方差；（Ⅱ）现从乙厂这10零件中随机抽取两件内径不低于173cm的零件，求内径176cm的零件被抽中的概率．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=C1C=AC=2，D是A1C1上的一点，E是A1B1的中点，C1D=kA1C1．（Ⅰ）当k为何值时，B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四棱锥A﹣BCDE的体积．20．在直角坐标平面内，已知两点A（1，0），B（4，0），设M是平面内的动点，并且||=2||．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）自点B引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．（Ⅰ）若f′（1）=9，f（x）的图象过点（2，7），求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a＞2时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PB，PC是⊙O的割线，它们与⊙O分别交于B，D 和C，E，延长CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．（Ⅰ）求证：AP∥BE；（Ⅱ）求证：M是AP的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）点（x，y）在曲线C上，试求x﹣2y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R）．（Ⅰ）若（x，y）∈A，试求u=x2+y2的取值范围；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，试求集合B表示的区域面积．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效）1．已知全集U=R，集合M={x|0＜x＜2}，集合N={x|x≥1}，则集合M∩（∁U N）等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先根据集合补集的定义求出集合N的补集，然后根据交集的定义求出所求即可．【解答】解：∵N={x|x≥1}，∴C U N={x|x＜1}M∩（C U N）={x|0＜x＜1}故选A．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可．【解答】解：∵（1+2i）z=4+3i，∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i）5z=10﹣5i，z=2﹣i，故选B．3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值（）A．130 B．260 C．156 D．168【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质化简已知等式的左边前两项，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，再利用等差数列的求和公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a5+a9﹣a7=10，∴（a5+a9）﹣a7=2a7﹣a7=a7=10，则S13==13a7=130．故选：A4．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN=BC=4，PA=4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由此能求出异面直线PA与MN所成的角．【解答】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON，则OM BC，ON PA，∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN=BC=4，PA=4，得OM=2，ON=2，MN=4，cos∠ONM===．∴∠ONM=30°．即异面直线PA与MN成30°的角．故选：A．5．若正实数a，b满足a+b=4，则log2a+log2b的最大值是（）A．18 B．2 C．2D．2【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=4，∴4≥，化为：ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号．则log2a+log2b=log2（ab）≤log24=2，其最大值是2．故选；B．6．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别（0，10] （10，20] （20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64【考点】频率分布表．【分析】根据表格可以看出（10，20]的频数是13，（20，30]的频数是24，（30，40]的频数是15，把这三个数字相加，得到要求区间上的频数，用频数除以样本容量得到频率．【解答】解：由表格可以看出（10，20]的频数是13，（20，30]的频数是24，（30，40]的频数是15，∴（10，40）上的频数是13+24+15=52，∴样本数据落在（10，40）上的频率为=0.52．故选C．7．已知圆x2+（y﹣2）2=4的圆心与抛物线y2=8x的焦点关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y﹣2=0【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得圆的圆心和抛物线的焦点坐标，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线l的斜率，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心为C（0，2），抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），可得CF的中点为（1，1），直线CF的斜率为=﹣1，可得直线l的斜率为1，则直线l的方程为y﹣1=x﹣1，即为y=x．故选：A．8．已知一个三棱柱的底面是正三角形，且侧棱垂直于底面，此三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为（）A．24+B．24+2C．14D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和题意求出三棱柱的棱长、判断出结构特征，由面积公式求出各个面的面积，加起来求出该棱柱的全面积．【解答】解：根据三视图和题意知，三棱柱的底面是正三角形：边长2，边上的高是，侧棱与底面垂直，侧棱长是4，∴该棱柱的全面积S==24+，故选：B．9．一个算法流程图如图所示，要使输出的y值是输入的x值的2倍，这样的x值的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，根据条件，分x＜1，1≤x＜4，x≥4三种情况分别讨论，满足输出的y值是输入的x值的2倍的情况，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值．当x＜1时，由x2+7x+4=2x，解得：x=﹣4，﹣1满足条件；当1≤x＜4时，由3x+1=2x，可得：x无解；当x≥4时，由3x﹣4=2x，解得：x=6，或﹣2（舍去），故这样的x值有3个．故选：B．10．区间[0，2]上随机取一个数x ，sin 的值介于到1之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】求出0≤sinx ≤的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：当0≤x ≤2，则0≤x ≤π，由0≤sin x ≤，∴0≤x ≤，或≤x ≤π，即0≤x ≤，或≤x ≤2，则sin x 的值介于0到之间的概率P=；故选A ．11．已知直线x=2a 与双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）相交A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 是正三角形，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立方程求出A ，B 的坐标，结合三角形是正三角形，建立方程关系求出a ，b 的关系进行求解即可．【解答】解：当x=2a 时，代入双曲线方程得﹣=1，即=4﹣1=3，则y=±b ，不妨设A （2a ， b ），B （2a ，﹣b ），∵△AOB 是正三角形，∴tan30°==，则b=a ，平方得b 2=a 2=c 2﹣a 2，则a 2=c 2，则e 2=，则e=，故选：B12．已知函数y=f（x），y=g（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，且|f′（x）|越来越大，即表示f （x）的单调递减的程度越来越大，而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，从四个选项中判断，可以得知答案．【解答】解：由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，所以f（x）与g（x）均单调递减，从图象中可以看出|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，即下凸；而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，即上凸．从四个选项中判断，可以得知，选择：D．故选：D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的指定位置）13．已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是﹣3 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由向量=（2，4），=（1，1），我们易求出向量若向量+λ的坐标，再根据⊥（+λ），则•（+λ）=0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于λ的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：+λ=（2，4）+λ（1，1）=（2+λ，4+λ）．∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0，即（1，1）•（2+λ，4+λ）=2+λ+4+λ=6+2λ=0，∴λ=﹣3．故答案：﹣314．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为15．若曲线f（x）=x2﹣e x不存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[0，e）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）=ax﹣e x=0无实数解，即有a=，设g（x）=，求得导数和单调区间，求得极小值，结合图象即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x2﹣e x的导数为f′（x）=ax﹣e x，由f（x）不存在垂直于y轴的切线，可得ax﹣e x=0无实数解，由a=，设g（x）=，可得g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增；当x＜0或0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0），（0，1）递减．即有g（x）在x=1处取得极小值，且为e，由于直线y=a与y=g（x）图象无交点，可得0≤a＜e，故答案为：[0，e）．16．下列4个命题：①∃x∈（0，1），（）x＞log x．②∀k∈[0，8），y=log2（kx2+kx+2）的值域为R．③“存在x∈R，（）x+2x≤5”的否定是”不存在x∈R，（）x+2x≤5”④“若x∈（1，5），则f（x）=x+≥2”的否命题是“若x∈（﹣∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+＜2”其中真命题的序号是①④．（请将所有真命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数和对数函数的性质进行判断．②根据对数函数的性质进行判断．③根据特称命题的否定是全称命题进行判断．④根据否命题的定义进行判断．【解答】解：①当x∈（0，1），（）x＞0，log x＜0．∴∃x∈（0，1），（）x＞log x．故①正确，②当k=0时，满足k∈[0，8），但此时y=log2（kx2+kx+2）=log22=1，此时函数的值域为{1}，不是R．故②错误③“存在x∈R，（）x+2x≤5”的否定是”任意x∈R，（）x+2x＞5”，故③错误，④“若x∈（1，5），则f（x）=x+≥2”的否命题是“若x∈（﹣∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+＜2”，正确，故④正确，故答案为：①④．三．解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）17．在△ABC中，已知AC=3，sinA+cosA=，（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=3，求BC的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由得，由此能求出sinA的值．（Ⅱ）由得，由此及余弦定理能求出BC的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，由此及0＜A＜π，即得，故，∴sinA=sin=；（Ⅱ）由，得，由此及余弦定理得，故，即BC=．18．某企业有两个分厂生产某种零件，现从两个分厂生产的零件中随机各抽出10件，量其内径尺寸（单位：mm），获得内径尺寸数据的茎叶图如图．（Ⅰ）计算甲厂零件内径的样本方差；（Ⅱ）现从乙厂这10零件中随机抽取两件内径不低于173cm的零件，求内径176cm的零件被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图，先求出甲厂零件内径的平均数，由此能求出甲厂零件内径的样本方差．（Ⅱ）设内径为176cm的零件被抽中的事件为A，利用列举法能求出内径176cm的零件被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图，得甲厂零件内径的平均数为：==170，甲厂零件内径的样本方差：S2=[2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=57．（Ⅱ）设内径为176cm的零件被抽中的事件为A，从乙厂抽中两件内径不低于173cm的零件有：共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；∴内径176cm的零件被抽中的概率P（A）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=C1C=AC=2，D是A1C1上的一点，E是A1B1的中点，C1D=kA1C1．（Ⅰ）当k为何值时，B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四棱锥A﹣BCDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（Ⅰ）由题意可知，k=时，B，C，D，E四点共面．然后利用三角形中位线定理可知DE∥B1C1，再由B1C1∥BC，得DE∥BC，由此说明B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在三棱锥A﹣BCD中，利用等积法求出点A到平面BCDE的距离h，然后代入四棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）当k=时，B，C，D，E四点共面．事实上，若k=，则D是A1C1的中点，又E是A1B1的中点，∴DE∥B1C1，又B1C1∥BC，∴DE∥BC，则B，C，D，E四点共面；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，即D为A1C1的中点，又A1A⊥平面ABC，A1ACC1是矩形，此时，，又A1A⊥平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，由V A﹣BCD=V B﹣ACD，设点A到平面BCDE的距离h，则，∴，则=．20．在直角坐标平面内，已知两点A（1，0），B（4，0），设M是平面内的动点，并且||=2||．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）自点B引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知条件，设点M坐标，代入||=2||，化简即可得动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）射线AQ与射线AN关于直线x=1对称，证明k QA+k NA=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设M（x，y），，，由于，则=，化简得，x2+y2=4，动点M的轨迹E的方程x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），N（x2，y2），直线l：y=k（x﹣4），联立，得（1+k2）x2﹣8k2x+16k2﹣4=0，判别式△=16（1﹣3k2）＞0，解之：，，，又因为y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），k QA+k NA===，由于2x1x2﹣5（x1+x2）+8=+=0，所以，k QA+k NA=0，即，k QA=﹣k NA，因此，射线AQ与射线AN关于直线x=1对称．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．（Ⅰ）若f′（1）=9，f（x）的图象过点（2，7），求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当a＞2时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值，将点（2，7）代入函数表达式，求出b的值，从而求出函数的解析式即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1﹣a=9，∴a=﹣8，∵f（x）图象过点（2，7），∴，∴b=9，f（x）解析式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≤0时，显然f′（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）内是增函数；当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=±，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣）﹣（﹣，0）（0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以f（x）在区间（﹣∞，﹣]，[，+∞）上是增函数，在区间（﹣，0），上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＞0时，f（x）在（0，）内是减函数，在[，+∞）内是增函数，若即2＜a＜4时，f（x）在内是减函数，在内是增函数，f（x）最大值为f（1），f（2）的中较大者，＞0，∴当2＜a＜4时，f（x）max=f（1）=1+a+b，若即a≥4时，f（x）在[1，2]上递减，f（x）max=f（1）=1+a+b，综上，a＞2时，f（x）在区间[1，2]上的最大值f（x）max=f（1）=1+a+b．﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PB，PC是⊙O的割线，它们与⊙O分别交于B，D 和C，E，延长CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．（Ⅰ）求证：AP∥BE；（Ⅱ）求证：M是AP的中点．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由已知题意可得△PMD∽△CMP，∠MPD=∠C，结合∠EBD=∠C得∠EBD=∠MPD，即可证得结论；（Ⅱ）由△PMD∽△CMP得MP2=MD•MC，即可证明M是AP的中点．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠MPC=∠MDP且∠PMD=∠PMC，∴△PMD∽△CMP，∴∠MPD=∠C，又∠EBD=∠C，∴∠EBD=∠MPD，∴AP∥BE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）△PMD∽△CMP，∴即MP2=MD•MC，又MA是圆的切线，∴MA2=MD•MC，即MA2=MP2，∴MA=MP，即M是AP的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）点（x，y）在曲线C上，试求x﹣2y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．由倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ，方程变形为3ρ2+ρ2sin2θ﹣12=0，利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出．（Ⅱ）由曲线C的直角坐标方程，可设x=2cosθ，y=sinθ．利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为7ρ2﹣ρ2cos2θ﹣24=0．由倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ，方程变形为3ρ2+ρ2sin2θ﹣12=0，再由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y得曲线C的直角坐标方程是．（Ⅱ）由曲线C的直角坐标方程，可设x=2cosθ，y=sinθ．则z=x﹣2y==，则﹣4≤z≤4，故x﹣2y的取值范围是[﹣4，4]．[选修4-5：不等式选讲]24．设A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R）．（Ⅰ）若（x，y）∈A，试求u=x2+y2的取值范围；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，试求集合B表示的区域面积．【考点】集合的表示法．【分析】（Ⅰ）若（x，y）∈A，表示的区域如图所示的正方形，即可求u=x2+y2的取值范围；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，表示的区域是以原点为圆心，，2为半径的圆环，即可求集合B表示的区域面积．【解答】解：（Ⅰ）A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R），表示的区域如图所示的正方形，原点到区域的距离的范围是[，2]，∴u=x2+y2的取值范围是[2，4]；（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w2+v2=x2+y2，（x，y）∈A}，表示的区域是以原点为圆心，，2为半径的圆环，∴集合B表示的区域面积是π•22﹣π•2=2π．若要功夫深，铁杵磨成针！2016年10月16日。

最新高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{0，4} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）A．1 B．C．D．73．已知复数z1=a+i，z2=a﹣ai，且z1•z2＞0，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣14．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．﹣1 D．5．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．366．在以下区间中，函数f（x）=e x+x3﹣4存在零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]7．等差数列{a n}中，已知a2+a6+a10=36，则该数列前11项和S11=（）A．132 B．66 C．33 D．118．a﹣b+1＞0是a＞|b|的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．10．设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C． D．11．椭圆的右焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A，B，若△FAB的周长等于8则△FAB的面积为（）A．1 B．C．D．212．已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（）A．m＞n B．m＜n C．m+n＞0 D．m+n＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有份．14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为．15．已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为．16．已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且．（1）求角C；（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=4．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1；（2）求点C1到平面AB1D1的距离．19．连锁水果店店主每天以每件50元购进水果若干件，以80元一件销售；若供大于求，当天剩余水果以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从连锁店60元一件调剂，以80元一件销售．（1）若水果店一天购进水果5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）店主记录了30天水果的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若水果店一天购进5件水果，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，求每天的利润在区间[150，200]的概率．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的内接等边三角形AOB的面积为（其中O为坐标原点）．（1）试求抛物线C的方程；（2）已知点M（1，1），P，Q两点在抛物线C上，△MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形，求证：直线PQ恒过定点．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4--1：几何证明选讲]22．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．[选修4--4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）求C1上任意一点P到C2距离d的最大值．[选修4--5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{0，4} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中方程的解确定出A，列举出集合B中的元素确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x2﹣3x≤0，x∈N}={0，1，2，3}，则A∩B={0，1，2}，故选：D．2．已知均为单位向量，它们的夹角为120°，那么=（）A．1 B．C．D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得，再利用求向量的模的方法，求出的值．【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为120°，∴=1•1•cos120°=﹣，∴====，故选：B．3．已知复数z1=a+i，z2=a﹣ai，且z1•z2＞0，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则化简，求解即可．【解答】解：复数z1=a+i，z2=a﹣ai，可得：z1•z2=a2+a+ai﹣a2i，∵z1•z2＞0，∴a﹣a2=0，a2+a＞0，解得a=1．故选：B．4．函数的最大值与最小值之和为（）A．B．0 C．﹣1 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据x的取值范围，求出x﹣的取值范围，再利用正弦函数的图象与性质求出函数y的最大、最小值即可．【解答】解：当0≤x≤3时，﹣≤x﹣≤，所以函数y=2sin（x﹣）（0≤x≤3）的最大值是2×1=2，最小值是2×（﹣）=﹣，最大值与最小值的和为2﹣．故选：A．5．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．36【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤10，S=1，k=3满足条件k≤10，S=4，k=7满足条件k≤10，S=11，k=15不满足条件k≤10，退出循环，输出S的值为11．故选：B．6．在以下区间中，函数f（x）=e x+x3﹣4存在零点的是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】根据导函数判断函数f（x）=e x+x3﹣4单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=e x+x3﹣4，∴f′（x）=e x+4∵e x＞0，∴f′（x）=e x+4＞0∴函数f（x）=e x+x3﹣4，在（﹣∞，+∞）上为增函数，f（2）=e2+23﹣4=e2+4＞0，f（1）=e1+13﹣4＜0，∴f（1）•f（2）＜0，∴函数f（x）=e x+x3﹣4的零点所在的区间为（1，2）故选：C．7．等差数列{a n}中，已知a2+a6+a10=36，则该数列前11项和S11=（）A．132 B．66 C．33 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=11a6，由此能够求出结果【解答】解：等差数列{a n}中，∵a2+a6+a10=36，∴3a6=36，∴2a6=24=a1+a11，∴S11=11a6=132，故选：A．8．a﹣b+1＞0是a＞|b|的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a＞|b|，可得a＞b或a＞﹣b，可得a﹣b＞0＞﹣1，或a+b＞0．反之：由a﹣b+1＞0，取a=2，b=﹣5，则a＞|b|不成立．即可判断出结论．【解答】解：由a＞|b|，可得a＞b或a＞﹣b，∴a﹣b＞0＞﹣1，或a+b＞0．由a﹣b+1＞0，取a=2，b=﹣5，则a＞|b|不成立．∴a﹣b+1＞0是a＞|b|的必要不充分条件．故选：C．9．盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，先求出基本事件总数，两件颜色不相同的对立事件是两件颜色相同，由此能求出两件颜色不相同的概率．【解答】解：盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，基本事件总数n==15，两件颜色相同包含的基本事件个数m==4，∴两件颜色不相同的概率为p=1﹣=1﹣=．故选：D．10．设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C． D．【考点】数列的求和．【分析】通过q6=4•q•q7可知q=，进而可知a n=，利用对数的运算性质、裂项可知b n=﹣2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：依题意，a2=q，a4=q3，a8=q7，则q6=4•q•q7，即q2=，又∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q=，∴a n=，∵=log2（a1a2a3…a n）==﹣∴b n =﹣=﹣2（﹣），故所求值为﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣， 故选：A ．11．椭圆的右焦点为F ，直线x=t 与椭圆相交于点A ，B ，若△FAB 的周长等于8则△FAB 的面积为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】F ．设直线x=t 与x 轴相交于点D （t ，0），由于△FAB 的周长等于8，可得|AB|+|AF|+|BF|=8=4×a ，因此直线x=t 经过左焦点（﹣，0）．解出即可得出．【解答】解：F ．设直线x=t 与x 轴相交于点D （t ，0），∵△FAB 的周长等于8，∴|AB|+|AF|+|BF|=8=4×2，因此直线x=t 经过左焦点（﹣，0）．把x=﹣代入椭圆方程可得：y 2=1﹣=，解得y=．∴|AB|=1．∴△FAB 的面积==， 故选：C ．12．已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn ＜0，则使不等式f （m ）+f （n ）＞0成立的m 和n 还应满足的条件为（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m+n ＞0D ．m+n ＜0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的证明．【分析】本题是一个分段函数，由题意知应先确定m ，n 的正负，得出关于，m ，n 的不等式，化简变形根据符号来确定m ，n 所应满足的另外的一个关系．【解答】解：不妨设m ＞0，n ＜0，则=，由n ﹣m ＜0，f （m ）+f （n ）＞0，故m+n ＜0故应选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有450 份．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用分层抽样性质和概率性质求解．【解答】解：∵用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，∴文科试卷共有600×=150，∴理科试卷共有600﹣150=450份．故答案为：450．14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为6+2+2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，在△PEB中，PB=，同理可得PC=，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD==3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF==2∴此几何体的表面积S=2×2++=6+2+2．故答案为：6+2+2．15．已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为（1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点A（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，求得切线的斜率，化为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，进而得到切点的坐标．【解答】解：设切点A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的导数为y′=，可得=1，即为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数为+2m＞0，则f（m）递增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解为m=1．可得n=0．即为A（1，0）．故答案为：（1，0）．16．已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出对应的图象，求出交点坐标，结合平行四边形的面积建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±ax，（不妨设a＞0），设与y=﹣ax平行且过P的直线方程为y=﹣a（x﹣1）=﹣ax+a，由，得，即A（，a），则平行四边形OBPA的面积S=2S△OBP=2××1×a=a=1，得a=2，即双曲线的方程为x2﹣=1，则双曲线的a1=1，b1=2，则c==，即双曲线的离心率e===，故答案为：三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且．（1）求角C；（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意结合等差数列和三角形的知识可得B=，A+C=，再由及和差角的三角函数公式变形易得C=；（2）由（1）可得A=，由正弦定理可得b值，再由勾股定理可得c值，由等面积可得R的方程，解方程可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，∴2B=A+C，由A+B+C=π可得B=，A+C=，又∵，∴cos（﹣C）+cosC=，∴﹣cosC+sinC+cosC=，即cosC+sinC=，由和差角的三角函数公式可得sin（C+）=，∴C+=，解得C=；（2）由（1）可得B=，C=，故A=，由正弦定理可得b===2，由勾股定理可得c==4，由等面积可得（2+4+2）R=×2×2，解方程可得R=﹣1．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=4．（1）求证：平面BDC1∥平面AB1D1；（2）求点C1到平面AB1D1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面平行的判定．【分析】（1）通过证明线面平行，证明平面BDC1∥平面AB1D1；（2）利用等体积法，求点C1到平面AB1D1的距离．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1∥AD且B1C1=AD，∴B1C1DA是平行四边形，∴C1D∥B1A，∵B1A⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，∴C1D∥平面AB1D1，同理BD∥平面AB1D1，∵C1D∩BD=D，∴平面BDC1∥平面AB1D1；解：（2）设点C1到平面AB1D1的距离为h．∵AB1=AD1=2，B1D1=4，∴由=得=，∴h=，∴点C1到平面AB1D1的距离为．19．连锁水果店店主每天以每件50元购进水果若干件，以80元一件销售；若供大于求，当天剩余水果以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从连锁店60元一件调剂，以80元一件销售．（1）若水果店一天购进水果5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）店主记录了30天水果的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量 3 4 5 6 7频数 2 3 15 6 4若水果店一天购进5件水果，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，求每天的利润在区间[150，200]的概率．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系，即可求出函数的解析式．（2）分别求出当日需求量为n时，对应的频数，利用古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）当1≤n≤5时，y=30n+（5﹣n）×（﹣10）=40n﹣50，当n＞5时，y=30×5+（n﹣5）×20=20n+50，则y=．（2）当日需求量为3，频数为2天，利润为40×3﹣50=70，当日需求量为4，频数为3天，利润为40×4﹣50=110，当日需求量为5，频数为15天，利润为30×5=150，当日需求量为6，频数为6天，利润为30×5+20=170，当日需求量为7，频数为4天，利润为30×5+20×2=190，则当天的利润在区间[150，200]上，有25天，故当天的利润在区间[150，200]上的概率P==．20．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的内接等边三角形AOB 的面积为（其中O 为坐标原点）．（1）试求抛物线C 的方程； （2）已知点M （1，1），P ，Q 两点在抛物线C 上，△MPQ 是以点M 为直角顶点的直角三角形，求证：直线PQ 恒过定点． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），由|OA|=|OB|，可得+2px A =+2px B ，化简可得：点A ，B 关于x 轴对称．因此AB ⊥x 轴，且∠AOx=30°．可得y A =2p ，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．（2）由题意可设直线PQ 的方程为：x=my+a ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．与抛物线方程联立化为：y 2﹣my ﹣a=0，利用∠PMQ=90°，可得=0利用根与系数的关系可得=m+，或=﹣（m+），进而得出结论．【解答】（1）解：设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），∵|OA|=|OB|，∴+2px A =+2px B ，化为（x A ﹣x B ）（x A +x B +2p ）=0，又x A ，x B ≥0，∴x A +x B +2p ＞0，∴x A =x B ，|y A |=|y B |，因此点A ，B 关于x 轴对称． ∴AB ⊥x 轴，且∠AOx=30°．∴=tan30°=，又=2px A ，∴y A =2p ，∴|AB|=2y A =4p ．∴S △AOB ==3，解得p=．∴抛物线C 的方程为y 2=x ．（2）证明：由题意可设直线PQ 的方程为：x=my+a ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．联立，化为：y 2﹣my ﹣a=0，△＞0，∴y 1+y 2=m ，y 1y 2=﹣a ．∵∠PMQ=90°，∴=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，化为：x1x2﹣（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴﹣+3y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴a2﹣m2﹣3a﹣m+2=0，配方为=，∴=m+，或=﹣（m+），当=m+时，a=m+2，直线PQ的方程化为：x=m（y+1）+2，直线PQ经过定点H（2，﹣1）．当=﹣（m+）时，直线PQ的方程化为：x=m（y﹣1）+1，直线PQ经过定点H（1，1），舍去．综上可得：直线PQ经过定点H（2，﹣1）．21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）求导数，确定函数的单调性，g（x）=0有唯一解，g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，由此求a的值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．a≤0时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；a＞0，函数在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，函数有极小值f（）=a ﹣alna；（2）g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=（x2﹣ax﹣a）．令g′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（舍），x2=，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上是单调递减函数；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．∴当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，∴2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1=0①，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．∵h（1）=0，∴方程①的解为x2=1，即=1，解得a=．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4--1：几何证明选讲]22．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点（Ⅰ）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC，求证：AC⊥BD；（Ⅱ）如图2，若AC⊥BD于点E，AB=6，DC=8，求⊙O的面积S．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（Ⅱ）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．∵DF是直径，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，∵∠FCA+∠ACD=90°∴∠BDC=∠FCA=∠BAC∴等腰梯形ACFB∴CF=AB．根据勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=100，∴DF=10，∴OD=5，即⊙O的半径为5，∴⊙O的面积S=25π．[选修4--4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3．（Ⅰ）求C1与C2交点的直角坐标；（Ⅱ）求C1上任意一点P到C2距离d的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为普通方程．利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可把曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3，化为直角坐标方程．联立即可解得C1与C2交点的直角坐标，注意x∈[0，2]．（II）由x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]），它的图象是y轴右侧的半圆及其y轴上的两点（0，±2）．由图象可知：点P到直线C2的距离的最大值的点是（0，2）．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（θ∈[﹣，]为参数），化为普通方程：x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]）．曲线C2的极坐标方程为2ρ（cosθ﹣sinθ）=3，化为直角坐标方程：2x﹣2y﹣3=0．联立，x∈[0，2]，解得，∴C1与C2交点的直角坐标为．（II）∵x2+y2=4（x∈[0，2]，y∈[﹣2，2]），∴它的图象是y轴右侧的半圆及其y轴上的两点（0，±2）．由图象可知：点P到直线C2的距离的最大值的点是（0，2）．∴d max==．[选修4--5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥log a（x+1）在x≥0上恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当0＜a＜1时，在（0，+∞）上，不等式显然成立；当a＞1时，结合f（x）、g（x）的图象，可得当g（x）的图象经过点（1，2）时，a=，要使不等式f（x）≥g（x）=log a（x+1）恒成立，a≥，综合可得，a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|，不等式f（x）≥x+3，即|x+1|+2|x﹣1|≥x+3，即①，或②，或③．解①求得x ＜﹣1，解②求得﹣1≤x ≤0，解③求得 x ≥2，故原不等式的解集为{x|x ≤0，或x ≥2}．（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≥log a （x+1）在x ≥0上恒成立，即|x+1|+2|x ﹣1|≥log a （x+1）在x ≥0上恒成立．由于g （x ）=log a （x+1）的图象经过点（0，0），且图象位于直线x=﹣1的右侧，当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上，log a （x+1）＜0，f （x ）＞0，不等式f （x ）≥g （x ）=log a （x+1）恒成立．当a ＞1时，结合f （x ）=、g （x ）的图象，当g （x ）的图象经过点（1，2）时，a=，要使不等式f （x ）≥g （x ）=log a （x+1）恒成立，a ≥，综上可得，a 的取值范围为（0，1）∪[2，+∞）．若要功夫深，铁杵磨成针！2016年9月3日。

2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。

仿真冲刺卷(四)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)82.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则等于( )(A)+i (B)+i(C)--i (D)--i3.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(﹁q);④(﹁p)∨q中,真命题是( )(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④4.小王的手机使用的是每月300M流量套餐,如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况,下列叙述中正确的是( )第4题图(A)1日～10日这10天的平均流量小于9.0M/日(B)11日～30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量(C)从1日～10日这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大(D)从1日～10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小5.(2018·成都二诊)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(2 018)等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)06.(2018·龙岩期末)《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日共织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第十日所织尺数为( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)127.(2018·安徽淮北一模)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )第7题图(A)(B)(C)(D)8.(2018·山东、湖北重点中学三模)在满足条件的区域内任取一点M(x,y),则点M(x,y)满足不等式(x-1)2+y2<1的概率为( )(A)(B)(C)1-(D)1-9.如图所示的程序框图中,输出s等于( )第9题图(A)45 (B)-55 (C)-66 (D)6610.(2018·山东、湖北重点中学三模)已知三棱柱ABC A 1B1C1的侧棱垂直于底面,该棱柱的体积为2,AB=4,AC=2,∠BAC=60°,若在该三棱柱内部有一个球,则此球表面积的最大值为( )(A)8π(B)(16-8)π(C)2π(D)(4-2)π11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,若∠P M F=30°,·=0,则等于( )(A)(B)(C)2 (D)12.(2018·安徽师大附中高三最后一卷)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a,b∈R)有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是( )(A)(-,-) (B)(-,-1)(C)(-,-)∪(-,-1) (D)(-,-1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·山西太原模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ= .14.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为.15.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,2S n=(n+1)a n,若存在唯一的正整数n使得不等式-ta n-2t2≤0成立,则实数t的取值范围为.16.已知曲线y=e x+a与y=(x-1)2恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+=.(1)求A;(2)若BC边上的中线AM=2,高线AH=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)(2018·泸县一中)如图1,已知矩形ABCD中,点E是边BC上的点,AE与BD相交于点H,且BE=,AB=2,BC=4,现将△ABD沿BD折起,如图2,点A的位置记为A′,此时A′E=.(1)求证:BD⊥平面A′HE;(2)求三棱锥D A′EH的体积.19.(本小题满分12分)(2018·江西联考)微信是当前主要的社交应用之一,有着几亿用户,覆盖范围广,及时快捷,作为移动支付的重要形式,微信支付成为人们支付的重要方式和手段.某公司为了解人们对“微信支付”的认可度,对[15,45]年龄段的人群随机抽取n人进行了一次“你是否喜欢微信(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;(2)在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中,用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓励金”活动,求第四、五、六组应分别抽取的人数;(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾,求所选派的2人没有第四组人的概率.20.(本小题满分12分)(2018·山东实验中学一诊)已知平面上的动点R(x,y)及两定点A(-2,0),B(2,0),直线RA,RB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP,MQ⊥x轴.若直线MN和直线QP交于点S(4,0),那么四边形MNPQ的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.21.(本小题满分12分)(2018·晋中调研)已知函数f(x)=e x-ax2+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0时,g(x)≤f(x).请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)≤3;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若t∈M,证明:t2+1≥+3t.1.C 由题意得{2}⊆N⊆{0,1,2},因此集合N的个数是22=4个,选C.2.C 由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以===--i.故选C.3.C 由不等式的性质可知,命题p是真命题,命题q为假命题,故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③﹁q为真命题,则p∧(﹁q)为真命题,④﹁p为假命题,则(﹁p)∨q为假命题,所以选C.4.C(6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2)=9.14,故A错误;11×20+91.4=311.4>300,这个月总流量超过套餐流量,故B错误;结合图象可知C正确,D 错误.故选C.5.D 令x=-2,则f(2)-f(-2)=2f(2),所以f(2)=-f(-2),又y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,f(x)为偶函数. 所以f(2)=f(-2),所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),所以T=4,f(2 018)=f(2)=0.故选D.6.B设第一天织布a1尺,从第二天起每天比第一天多织d尺,由已知得解得a1=1,d=1,所以第十日所织尺数为a10=a1+9d=10,故选B.7.B 由三视图得该几何体是从四棱锥P ABCD中挖去一个半圆锥,四棱锥的底面是以2为边长的正方形,高是2,圆锥的底面半径是1,高是2,所以所求的体积V=×2×2×2-×π×12×2=,故选B.8.B 由约束条件作出可行域,如图.则A(1,0),B(3,4),C(-2,9).所以AB==2,AC==3.由tan∠BAx=2,tan∠CAx=-3,则tan∠BAC=tan(∠CAx-∠BAx)==1,所以∠BAC=. 因为S△ABC=×2×3×sin=15.可行域落在(x-1)2+y2=1内的扇形面积为×π×12=.故所求概率为=.故选B.9.B 执行程序框图,第一次,s=0,n=1,T=1,s=1,不满足n>9,n=2;第二次,T=-4,s=-3,不满足n>9,n=3;第三次,T=9,s=6,不满足n>9,n=4;第四次,T=-16,s=-10,不满足n>9,n=5;第五次,T=25,s=15,不满足n>9,n=6;第六次,T=-36,s=-21,不满足n>9,n=7;第七次,T=49,s=28,不满足n>9,n=8;第八次,T=-64,s=-36,不满足n>9,n=9;第九次,T=81,s=45,不满足n>9,n=10;第十次,T=-100,s=-55,满足n>9,输出s=-55,故选B.10.C 已知三棱柱ABC A 1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=4,AC=2,∠BAC=60°,则BC=2,所以BC⊥AC,此直角三角形内切圆半径r=-1,又因为该棱柱的体积为2,可得AA1=,而=<-1,所以若在该三棱柱内部有一个球,则此球半径的最大值为,球表面积的最大值为4π×()2=2π.故选C.11.B 因为抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,设P点到准线的距离为d,因为∠PMF=30°,则d=|PF|=|PM|,又因为·=0,所以PM⊥PN,故|PM|=|PN|,故==×=,故选B.12.C f(1)=sin=,作函数y=f(x)的图象如图,要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a,b ∈R)有且仅有6个不同实数根,设t=f(x),则当t<0时,方程t=f(x)有0个根,当t=0时,方程t=f(x)有1个根,当0<t≤1或t=时,方程t=f(x)有2个根,当1<t<时,方程t=f(x)有4个根,当t>时,方程t=f(x)有0个根.设方程t2+at+b=0的两个根为t1,t2,①若t1=,1<t2<,则t1+t2=-a∈(,),故a∈(-,-);②若0<t 1≤1,1<t 2<,则t 1+t 2=-a ∈(1,),故a ∈(-,-1).综上,实数a 的取值范围是(-,-)∪(-,-1).故选C.13.解析:建系如图,设正方形ABCD 边长为1,则=(1,),=(,1),=(1,1),由=λ+μ知所以2=λ+μ,所以λ+μ=.答案:14.解析:由条件可得②两边同加丙+乙,得甲+丙+2乙>乙+丁+2丙,所以乙>丙, 由③知丁>乙>丙,由①得甲-丁=乙-丙>0,所以甲>丁.故阅读量由大到小为甲、丁、乙、丙.答案:甲、丁、乙、丙15.解析:n≥2时,a n=S n-S n-1=-,整理得=,又a1=1,故a n=n,不等式-ta n-2t2≤0可化为n2-tn-2t2≤0,设f(n)=n2-tn-2t2,若t=0,则f(n)=n2>0,所以t≠0,Δ=t2+8t2>0,由-2t2<0,f(0)=-2t2<0,由题意可得解得-2<t≤-1或≤t<1.答案:(-2,-1]∪[,1)16.解析::y=(x-1)2的导数y′=2(x-1),y=e x+a的导数为y′=e x+a,设与曲线y=e x+a相切的切点为(m,n),y=(x-1)2相切的切点为(s,t),则有公共切线斜率为2(s-1)=e m+a=,又t=(s-1)2,n=e m+a,即有2(s-1)==,即为s-m=-1,即有m=(s>1),则有e m+a=2(s-1),即为a=ln 2(s-1)-(s>1),令f(s)=ln2(s-1)-(s>1),则f′(s)=-,当s>3时,f′(s)<0,f(s)递减,当1<s<3时,f′(s)>0,f(s)递增.即有s=3处f(s)取得极大值,也为最大值,且为2ln 2-3,由恰好存在两条公切线,即s有两解,可得a的范围是a<2ln 2-3.答案:(-∞,2ln 2-3)17.解:(1)因为1+=,所以1+=,即=,因为sin(A+B)=sin C≠0,sin B≠0,所以cos A=,又因为A∈(0,π),所以A=.(2)由M是BC中点,得=(+),即=(++2·),所以c2+b2+bc=32,①由S=AH·BC=AB·AC·sin A,得bc=a,即bc=2a,②又根据余弦定理,有a2=b2+c2-bc,③联立①②③,得()2=32-2bc,解得bc=8.所以△ABC的面积S=bcsin A=2.18.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,BE=,AB=2,BC=4,所以AE⊥BD,因此,图2中,BD⊥A′H,BD⊥EH.又因为A′H交HE于点H,所以BD⊥平面A′HE.(2)解:因为矩形ABCD中,点E是边BC上的点,AE与BD相交于点H,且BE=,AB=2,BC=4, 所以AE==5,BD==10,△BEH∽△DAH,所以===,所以AH=A′H=4,EH=1,DH=8,因为A′E=,所以A′H⊥EH,所以S△A′HE=×4×1=2.所以三棱锥D A′EH的体积=.19.解:(1)画图,由频率表中第四组数据可知第四组总人数为=150,再结合频率分布直方图可知n==1 000,所以a=0.04×5×1 000×0.5=100,第二组的频率为0.3,所以p==0.65.(2)因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人,由分层抽样原理可知,第四、五、六组分别取的人数为4人,2人,1人.(3)设第四组4人为A1,A2,A3,A4,第五组2人为B1,B2,第六组1人为C1.则从7人中随机抽取2名所有可能的结果为A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1C1,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2C1,A3A4,A3B1,A3B2,A3C1,A4B1,A4B2,A4C1,B1B2,B1 C1,B2C1共21种;其中恰好没有第四组人的所有可能结果为B1B2,B1C1,B2C1共3种,所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为P==.20.解:(1)由题知x≠±2,且k1=,k2=,则·=-,整理得,曲线C的方程为+=1(y≠0).(2)设MP与x轴交于点D(t,0),则直线MP的方程为x=my+t(m≠0),设M(x1,y1),P(x2,y2),由对称性知Q(x1,-y1),N(x2,-y2),联立可得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,所以Δ=48(3m2+4-t2)>0,由M,N,S三点共线知k MS=k NS,即=,y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理,得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以=0,即24m(t-1)=0,t=1.所以直线MP过定点D(1,0),同理可得直线NQ也过定点D(1,0)(或由对称性判断),即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0).21.(1)解:由题设得f′(x)=e x-2ax,所以解得a=1,b=e-2.(2)证明:由(1)知,f(x)=e x-x2+1,令函数h(x)=f(x)-g(x)=e x-x2-(e-2)x-1,所以h′(x)=e x-2x-(e-2),令函数ϕ(x)=h′(x),则ϕ′(x)=e x-2,当x∈(0,ln 2)时,ϕ′(x)<0,h′(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,ϕ′(x)>0,h′(x)单调递增,又h′(0)=3-e>0,h′(1)=0,0<ln 2<1,h′(ln 2)<0,所以,存在x0∈(0,1),使得h′(x)=0,当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,h′(x)>0;当x∈(x0,1),h′(x)<0,故h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 又h(0)=h(1)=0,所以h(x)=e x-x2-(e-2)x-1≥0,当且仅当x=1时取等号.故当x>0时,g(x)≤f(x).22.解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则所以|AB|=|t1-t2|===.所以4cos2α=2,cos α=±,α=或.23.(1)解:依题意,得f(x)=则不等式f(x)≤3,即为或或解得-1≤x≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}.(2)证明:由题得,g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3,当且仅当(2x-1)(2x+2)≤0,即-1≤x≤时取等号.所以M=[3,+∞).由t2-3t+1-==,因为t∈M,所以t-3≥0,t2+1>0,所以≥0,所以t2+1≥+3t.。

最新高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，4）C．（0，1] D．（0，4）2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0） C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=cos（2x+）B．g（x）=cos（2x+）C．g（x）=cos（+）D．g（x）=cos（+）6．已知直线l：x+y=2与圆C：x2+y2﹣2y=3交于A，B两点，则|AB|=（）A．B．2C．D．7．已知函数f（x）=，若f（f（﹣1））=2，在实数m的值为（）A．1 B．1或﹣1 C．D．或﹣8．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．409．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形10．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．2B．C．D．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．双曲线=l的一个焦点坐标为（3，0），则该双曲线的离心率为______．12．某单位有职工200人，其年龄分布如下表：年龄（岁）[20，30）[30，40）[40，60）人数70 90 40为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，则年龄在[30，40）内的职工应抽取的人数为______．13．已知实数x，y满足，则x﹣2y的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①函数f（x）的图象关于坐标原点对称；②∀x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；③∃k∈R，使方程f（x）=k没有的实数根；④若数列{a n}是公差为的等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知数列{a n}中，a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．（I）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（Ⅱ）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．19．在三棱柱ABC﹣A1B l C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM=AC．（I）若三棱锥A1﹣C1ME的体积为，求AA1的长；（Ⅱ）证明：CB1∥平面A1EM．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF2|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设．若λ∈[1，2]，求△ABF2面积的取值范围．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）证明：当x∈[1，+∞）时，不等式恒成立；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与2tan（a﹣）的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={x|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，4）C．（0，1] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A，再利用并集的定义求出集合A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={x|﹣1≤x＜4}=[﹣1，4）．故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0） C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z====1+2i．复数对应点（1，2）在第一象限．故选：A．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=cos（2x+）B．g（x）=cos（2x+）C．g（x）=cos（+）D．g（x）=cos（+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得到结论．【解答】解：函数y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到g（x）=sin（2x+）的函数图象．故选：B．6．已知直线l：x+y=2与圆C：x2+y2﹣2y=3交于A，B两点，则|AB|=（）A．B．2C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的弦长公式|AB|=2，求出d与r，代入公式，可得答案．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=3是以（0，1）为圆心，以r=2为半径的圆，圆心到直线l：x+y=2的距离d=，故|AB|=2=，故选：A．7．已知函数f（x）=，若f（f（﹣1））=2，在实数m的值为（）A．1 B．1或﹣1 C．D．或﹣【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，建立方程关系进行求解即可，【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=1+m2≥1，则f（f（﹣1））=f（1+m2）=log2（1+m2）=2，则1+m2=4，得m2=3，得m=或﹣，故选：D．8．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.03+0.05）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.03+0.02）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．9．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF ⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．10．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．2B．C．D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x2求解，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣2=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．双曲线=l的一个焦点坐标为（3，0），则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的焦点坐标，建立a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线=l的一个焦点坐标为（3，0），∴c=3，则c2=a2+5=9，即a2=9﹣5=4，则a=2，则双曲线的离心率e==，故答案为：12．某单位有职工200人，其年龄分布如下表：年龄（岁）[20，30）[30，40）[40，60）人数70 90 40为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，则年龄在[30，40）内的职工应抽取的人数为18 ．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样原理进行求解即可．【解答】解：由已知得，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本进行调查，年龄在[30，40]内的职工应抽取的人数为：40×=18．故答案为：18．13．已知实数x，y满足，则x﹣2y的取值范围是[﹣4，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0），联立，解得B（2，3），令z=x﹣2y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为2﹣2×3=﹣4．∴x﹣2y的取值范围是[﹣4，1]．故答案为：[﹣4，1]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=•（2﹣），不满足退出循环的条件，k=2，α=；第二次执行循环体，S=•（2﹣）•，不满足退出循环的条件，k=3，α=；第三次执行循环体，S=•（2﹣）••1，不满足退出循环的条件，k=4，α=；第四次执行循环体，S=•（2﹣）••1•，不满足退出循环的条件，k=4，α=；第五次执行循环体，S=•（2﹣）••1••（2+），满足退出循环的条件，故输出的S值为：S=•（2﹣）••1••（2+）=，故答案为：15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①函数f（x）的图象关于坐标原点对称；②∀x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；③∃k∈R，使方程f（x）=k没有的实数根；④若数列{a n}是公差为的等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有①②④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①根据奇函数的性质可直接判断；②构造函数，利用导函数判断函数的单调性，求出最值即可；③根据函数的连续性和值域可判断；④根据函数表达式和题意可判断．【解答】解：①函数f（x）为奇函数，故图象关于坐标原点对称，故正确；②∀x＞0，f（x）﹣3x=sin2x﹣2，令g（x）=sin2x﹣2，g'（x）=2（cos2x﹣1）＜0，∴g（x）递减，g（x）＜g（0）=0，∴f（x）＜3x恒成立，故正确；③由函数为奇函数，且值域为（﹣∞，+∞），故无论R为何值，方程f（x）=k都有实数根，故错误；④若数列{a n}是公差为的等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sin2a l+sin2a2+sin2a3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知数列{a n}中，a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．可得=2+（n﹣1），即可得出a n．（2）由a n==2．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵a1=1，又数列{}（n∈N*）是公差为1的等差数列．∴=2+（n﹣1）=n+1，∴a n=．（2）∵a n==2．∴数列{a n}的前n项和S n=2+…+=2=．17．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．（I）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（Ⅱ）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率，再根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）；共有25种，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，∴两次都没有中奖的概率为P=，（Ⅱ）两次抽奖奖金之和为100元的情况有：①第一次获奖100元，第二次没有获奖，其结果有（3，1），（3，5），故概率为P1=，②两次获奖50元，其结果有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），故概率为P2=②第一次没有中奖，第二次获奖100元，其结果有13.53，故概率为P3=，∴所求概率P=P1+P2+P3=．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．19．在三棱柱ABC﹣A1B l C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM=AC．（I）若三棱锥A1﹣C1ME的体积为，求AA1的长；（Ⅱ）证明：CB1∥平面A1EM．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由A1A⊥AB，AC⊥AB可知AB⊥平面ACC1A1，故E到平面ACC1A1的距离等于AB，于是VV=V，根据体积列出方程解出A1A；（II）连结AB1交A1E于F，连结MF，由矩形知识可知AF=，故MF∥CB1，所以CB1∥平面A1EM．【解答】解：（I）∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，又A1A⊥AC，A1A⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，A1A∩AC=A，∴AB⊥平面ACC1A1，∵BB1∥平面ACC1A1，∴V=V====．∴A1A=．（II）连结AB1交A1E于F，连结MF，∵E是B1B的中点，∴AF=，又AM=，∴MF∥CB1，又MF⊂平面A1ME，CB1⊄平面A1ME∴CB1∥平面A1EM．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF2|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设．若λ∈[1，2]，求△ABF2面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意即可得出F1（﹣1，0），F2（1，0），根据抛物线的定义以及点P在抛物线上即可得出P点坐标，从而可以求出|PF1|，从而根据椭圆的定义可得出a=2，进而求出b2=3，这样即可得出椭圆的方程为；（Ⅱ）根据题意可设l：x=my﹣1，联立椭圆方程并消去x可得到（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理便可得到（1），而由可得到y1=﹣λy2，带入（1）并消去y1，y2可得．而由λ的范围便可求出的范围，从而得出，可以得到，根据m2的范围，换元即可求出△ABF2的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义，得点P到直线x=﹣1的距离为，且点P在抛物线y2=4x 上；∴；∴；∴由椭圆定义得，；∴a=2；又a2﹣b2=1，∴b2=3；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）据题意知，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my﹣1，代入椭圆方程，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则：（1）；∵；∴﹣y1=λy2带入（1）消去y1，y2得：；∵λ∈[1，2]；∴；∴；解得；∴==；令，则m2=t2﹣1；∴；∵；∴；∴△ABF2面积的取值范围为．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）证明：当x∈[1，+∞）时，不等式恒成立；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与2tan（a﹣）的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）可化为（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0，构造函数，确定函数的单调性，即可证明：当x∈[1，+∞）时，不等式恒成立；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与2tan（a﹣）的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；证明：（Ⅱ）可化为（x+1）lnx﹣2（x﹣1）≥0，令h（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1）（x≥1），则h′（x）=+lnx﹣1，令φ（x）=+lnx﹣1（x≥1），则φ′（x）=，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=0，即h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，∴；解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，∵f（tana）=lntana，2tan（a﹣）=2•，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜2tan（a﹣），a=，tana﹣1，f（tana）=2tan（a﹣），＜a＜，tana＞1，f（tana）＞2tan（a﹣）．2016年9月20日。

2019届高三数学第二轮复习文科数学配套巩固练习卷四1、复数z ＝i （2＋i ）的共轭复数是(A) 1＋2i (B) 1－2i (C) －1＋2i (D) －1－2i2、已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝(A) {x ｜0＜x ＜2} (B) {x ｜0≤x ＜2} (C) {x ｜2＜x ＜3} (D) {x ｜2＜x ≤3} 3、设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和．若S 5＝25，a 3＋a 4＝8，则｛a n ｝的公差为 (A ）－2 （B ）－1 (C ）1 (D ）24．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5y x a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（A ）42万元 （B ）45万元 （C ）48万元 （D ）51万元5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为 （A ）72 （B ）64 （C ）48 （D ）32 6．己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数 y ＝f （x ）的图象，可把函数y ＝sin2x 的图象A ）向左平行移动6π个单位长度 B ）向右平行移动6π个单位长度 C ）向左平行移动12π个单位长度 D ）向右平行移动12π个单位长度7．在△ABC 中，∠ABC=60°，BC ＝2AB ＝2，E 为AC 的中点，则AB BE ＝（A ）一2 （B ）一l （C ）0 （D ）l8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为（参考数据：5≈2.236）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189．已知偶函数f （x ）的图象经过点（一1，2），且当0≤a ＜b 时，不等式()()f b f a b a--＜0恒成立，则使得f （x 一l ）＜2成立的x 的取值范围是 （A ）（0，2） （B ）（一2，0）（C ）（－∞，0）∪（2，＋∞） （D ）（－∞，一2）∪（0，＋∞） 10、(2016·全国Ⅱ卷,文11)函数f(x)=cos 2x+6cos(π2-x)的最大值为( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)711、(2011年新课标全国卷,文7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( ) (A)-45 (B)-35 (C)35 (D)4512、（安徽定远重点中学2019届高三第一次模拟卷）.若，则等于（ ） A.B.C. 2D. 1/213. 函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) (A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π14.(江西省2019届七校联考)5.将函数sin(2)y x θ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个函数()f x 的图像，则“()f x 是偶函数”是“4πθ=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15．(吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试7)已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨π⎪>⎪⎩≤，则下列结论正确的是( )A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）奇函数C ．f （x ）的图象关于直线4x π=对称 D ．f （x ）在52x π=处取得最大值 16. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A. 3,1-B.2,2-C. 33,2-D. 32,2-17、[2017·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin (2B －A)的值．18、(岳阳市2019届高三教学质量检测试卷)在ABC ∆中,角A, B, C 所对的边分别为a ，b, c,己知B b A c C a cos 2cos cos =+.(1)求B 的值； (2)若a + c =2，求b 的最小值.19．10.(2017·武汉调研)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n+2=4S n +6,n ∈N *.(1)求首项a 1和公比q;(2)若b n =,求数列{b n }的前n 项和T n .20． 在直角坐标系中，曲线:()1sin cos x a t y a t ⎧=+⎨=⎩（，为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：6πθ=.（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程； （2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，若的面积为，求的值.21．已知曲线和26cos :2sin x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. （1）把曲线和的方程化为极坐标方程；（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.2019届高三数学第二轮复习文科数学配套巩固练习卷四答案1、复数z ＝i （2＋i ）的共轭复数是(A) 1＋2i (B) 1－2i (C) －1＋2i (D) －1－2i 答案：D考点：复数的概念及其运算。

2019年高考数学仿真模拟卷四文科数学（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|1}B x x =>，则A B =I （ ） A. {}B. {}1,1-C. {}2,2-D. {}2,1,1,2--2. 已知21iz i=-，且z 的共轭复数为z ，则z z +=（ ） A. 2-B. 1-C. i -D. 2i -3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。

下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。

则下列说法中一定正确的是（ ）。

A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =，则6a =（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 145. 已知函数()()2sin 210,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若()()()1212=1f x f x x x =≠，且12x x -的最小值为2π，312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A.15,212πωϕ==B.1,212πωϕ==-C.1,6πωϕ==-D.1,3πωϕ==6. 已知圆C ：()2224x y -+=与直线:10l kx y k --+=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是（ ） A. (0,22⎤⎦B. (]0,4C. 2,4⎡⎤⎣⎦D. 22,4⎡⎤⎣⎦7. 执行如图所示的程序框图，若输入的1x =时，则输出的y =（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20218. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN P 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数(四)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}()()10,23U x U R A xB x xC A A B x +⎧⎫==≤=≤⋂⋃=⎨⎬-⎩⎭，集合，则 A ．[){}2,13--⋃B ．[)2,1--C ．[)2,3--D ．[)1,2-2．已知复数z 满足12i i z -=-(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为 A ．15i - B ．35i - C ．15- D ．35- 3．某单位组织全体员工共300人听取了习总书记作的“党的十九大报告”之后，从中抽取15人分别到A ，B ，C 三个部门进行“谈感想，定目标”的经验交流．现将300人随机编号为1，2，3，…，300，分组后在第一组中采用简单随机抽样的方法抽得的号码是8号，抽到的15人中号码落入区间[1，150]去A 区，号码落入区间[151，250]去B 区，号码落入区间[251，300]去C 区，则到B 区去的人数为A ． 2B ．4C ．5D ．84．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点1F 且斜率为1的直线l 交椭圆于点A ，B ，若212AF F F ⊥，则椭圆的离心率为A ．12B 1C ．2D ．125．下列不等式中，恒成立的是①,,;a b c d a c b d >>+>+若则 ②,0,ln ln ;a b c a c b c ><+>+若则 ③22,;ac bc a b ><若则④0,;a b a b a b >>-<+若则 A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④ 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足()()sin 2cos sin cos 2sin cos 1A B C C A A -++-0=，则角A 的值为A ．6πB ．56πC ．566ππ或 D ．233ππ或 7．若αβ，是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是①,//,m m αββα⊥⊥若则；②//,//,//m n m n ββ若则；③,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂若，则；④,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥若则．A ．①②B ．①④C ．②④D ．①③④8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为14-，则①处应填入的条件为A ．7?n ≥B ．6?n ≥C ．5?n ≥D ．4?n ≥9．已知函数()222sin cos f x x x x x =-+，则函数()f x 的一条对称轴方程为 A ．512x π=B ．3x π=C ．12x π= D ．3x π=-10．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3π+ B ．38π+ C. 28π+ D．2π+11．设实数,x y 满足不等式组()()2230,5260,21345,x y x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤-+-⎨⎪+-≥⎩则的取值范围为A ．5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．36,1029⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,1029⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2,,k n n S m m k Z n N +*=+∈∈，且()24132a a a a +=+，若关于k 的不等式2n n nS a n N S *≤∈对恒成立，则k 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A ∩B =={|1}A x x >-{|2}B x x =<A ．(-1，+∞)B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅2．设z =i(2+i)，则=z A ．1+2i B ．-1+2i C ．1-2iD ．-1-2i 3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．B ．2335C ．D ．25155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=，则当x <0时，f (x )=e 1x -A ．B ．e 1x --e 1x -+C ．D ．e 1x ---e 1x --+7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=4π43πsin x ωωωA ．2B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p =2213x y p p+=A ．2B ．3C ．4D ．810．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．B ．10x y --π-=2210x y --π-=C ．D ．2210x y +-π+=10x y +-π+=11．已知a ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sin α=π2A ．B 15C D 12．设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的22221x y a b-=圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。