文科数学专题选择题解题方法(专练)高考二轮复习资料含答案

重点突击专题卷（9）选做题1、[选修4—5:不等式选讲] 已知函数()221f x x x =+--. 1.求()5f x >-的解集;2.若关于 x 的不等式|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠能成立,求实数 m 的取值范围. 2、已知()3f x x a x =-+-.1.当 1a =时,求f ()x 的最小值;2.若不等式()3f x ≤的解集非空,求a 的取值范围. 3、[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()3,f x k x k R =--∈,且()30f x +≥的解集为[1,1]-.1.求k 的值;2.若a 、b 、c 是正实数,且111123ka kb kc ++=,求证: 1231999a b c ++≥. 4、设函数()()3,21f x x g x x =+=- 1.解不等式()()f x g x <;2.若()()24fx g x ax +>+对任意的实数x 恒成立,求a 的取值范围.5、已知函数()12f x x x =+--.1.求不等式()1f x ≥的解集;2.若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空,求 m 的取值范围.6、以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1{3x t y t =+=- (t 为参数),圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,求直线l 被圆C 截得的弦长.7、选修4-4:坐标系与参数方程: 将圆221xy +=上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.1.写出Γ的参数方程;2.设直线l :3260x y +-=与Γ的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.8、已知直线35,2:{132x t l y t=+=+ (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 1.将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;2.设点M 的直角坐标为()5,3,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求MA MB ⋅的值.9、平面直角坐标系xOy 中,曲线C :()2211x y -+=.直线l 经过点(),0Pm ,且倾斜角为6π,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.1.写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程;2.若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且1PA PB ⋅=,求实数m 的值.10、已知点P 的直角坐标是(),?x y .以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设点P 的极坐标是(),?ρθ,点Q 的极坐标是()0,?ρθθ+,其中0θ是常数.设点Q 的直角坐标是(),?m n .1.用0,,x y θ表示,m n ;2.若,m n 满足1mn =,且04πθ=,求点P 的直角坐标(),?x y 满足的方程.答案以及解析1答案及解析：答案：1. 3 , 21()2213 1 ,2213 , 2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故()5f x >-的解集为(2,8)-2.由|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-,(0)a ≠能成立, 得22(1)b a b ax x m a+--≥++-能成立,即2211b b x x m aa+--≥++-能成立,令bt a=,则221(1)t t x x m +--≥++-能成立,由1知, 52212t t +--≤又∵11x x m m ++-≥+ ∴512m +≤∴实数 m 的取值范围: 73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：2答案及解析：答案：1.当 1a =时, ()13132f x x x x x =-+-≥--+=, ………..3分()f x ∴的最小值为2,当且仅当13x ≤≤时取得最小值.2.∵x ∈R 时,恒有()()333, x a x x a x a -+-≥---=- 且不等式()3f x ≤的解集非空,33, 06a a ∴-≤∴≤≤.解析：3答案及解析： 答案：1. ()30f x +≥的解集为[]1,1-,即x k ≤的解集为[]()1,1,0,k ->即有[][],1,1,k k -=-解得1k =;2.证明:将1k =代入可得,1111(,,0)23a b c a b c++=>,则 ()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭233232323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233232222323b a c a c b a b a c b c≥+⋅+⋅+⋅ 32229=+++=,当且仅当23a b c ==,上式取得等号.则有1231999a b c ++≥. 解析：4答案及解析： 答案：1.由已知得321x x +<-,即22321x x +<-,则有231080x x -->,∴23x <-或4x >, 故不等式的解集是()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭2.由已知,设()()()22321hx f x g x x x =+=++-45,317,32145,2x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩, 当3x ≤-时,只需454x ax -->+恒成立,即49ax x <--, ∵30x ≤-<, ∴4994x a x x-->=--恒成立, ∴max94a x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭, ∴1a >-当132x -<<时,只需74ax >+恒成立, 即30ax -<恒成立,只需3301302a a --≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩,∴16a a ≥-⎧⎨≤⎩,∴16a ≤≤,当12x ≥时,只需454x ax +>+恒成立, 即41ax x <+,∵102x ≥>,∴4114x a x x +<=+恒成立,∵144x+>,且无限趋近于4,∴4a ≤,综上, a 的取值范围是(]1,4-解析：5答案及解析：答案：1.当1?x ≤-时, 10x +≤,20x -≤,()(1)((2))123f x x x x x ∴=-+---=--+-=-, 当12x -<≤时, 1? 0x +>,20x -≤, ()1((2))21f x x x x =+---=-,当2x >时, 1? 0x +>,20x ->,()1(2)3f x x x =+--=,3,1(){21,123,2x f x x x x -≤-∴=--<≤>,令2111x x -≥⇒≥,又31-<,31>, 综上,()1f x ≥的解集为[)1,+∞.2. 2()f x x x m ≥-+⇔22223,1(){31,123,2x x x m f x x x x x x x x x -+-<-≤-+=-+--<<-+≠>,令2()()g x f x x x =-+解集非空max ()m g x ⇔≤,当1x ≤-时, 23x x -+-对称轴为332(1)2x -==-, 故此时()2333122g x ⎛⎫≤-+⨯- ⎪⎝⎭9951424=-+-=,当2x >时23x x -++对称轴为()11212x -==-在(]2,+∞递减,故()()222231gx g <=-++=, 综上()gx 最大值为54,故m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.解析：6答案及解析：答案：直线l 的参数方程13x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)化为直角坐标方程是4y x =-,圆C 的极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是2240x y x +-=.圆C 的圆心()2,0到直线40x y --=的距离为222d ==. 又圆C 的半径2r =,因此直线l 被圆C 截得的弦长为22222x d -=.解析：7答案及解析： 答案：1.设()11,x y 为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(),?x y ,依题意,得112,{3.x x y y ==即11,2{.3xx y y ==.由22111x y +=,得22122x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即曲线Γ的方程为22149x y +=.故Γ的参数方程为2cos {3sin x ty t == (t 为参数).2.由221,{493260,x y x y +=+-=解得2{0x y ==或0{3x y ==. 不妨设1(2,0)P ,2(0,3)P ,则线段12PP 的中点坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭,所求直线的斜率23k =. 于是所求直线方程为()32123y x -=-, 即4650x y -+=.化为极坐标方程,得4cos 6sin 50ρθρθ-+=. 解析：8答案及解析：答案：1. 2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=. ①将222x y ρ=+,cos x ρθ=代入①,即得曲线C 的直角坐标方为2220xy x +-=. ②2.将35,2{132x t y t=+=+代入②, 得253180tt ++=.设这个方程的两个实根分别为1t ,2t , 则由参数t 的几何意义即知, 1218MA MB t t ⋅==.解析：9答案及解析：答案：1.曲线C 的直角坐标方程为: ()2211x y -+=,即222xy x +=,即22cos ρρθ=,所以曲线C 的极坐标方程为: 2cos ρθ=.直线l 的参数方程为3,2{1.2x m t y t =+=(t 为参数). 2.设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,将直线l 的参数方程代入222x y x +=中,得()223320t m t m m +-+-=,所以2122t t m m =-,由题意得221m m -=,解得1m =或12m =+或12m =-.解析：10答案及解析： 答案：1.由题意知cos ,{sin ,x y ρθρθ==且()()00cos ,{sin .m n ρθθρθθ=+=+所以0000cos cos sin sin ,{sin cos cos sin ,m n ρθθρθθρθθρθθ=-=+所以0000cos sin ,{sin cos .m x y n x y θθθθ=-=+2.由1可知22,22{22,22m x y n x y =-=+又1mn =, 所以222212222x y x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.整理得22122x y -=. ∴22122x y -=即为所求方程. 解析：。

高考文科数学二轮专题复习题数学思想方法和常用的解题技一、选择题1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则 ( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析 取a ＝100，b ＝10，现在P ＝ 2，Q ＝32＝lg 1 000，R ＝lg 55＝ lg 3 025，比较可知P <Q <R . 答案 B2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ ( )．A ．8B ．10C ．12D ．2＋log 35解析 用专门法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B 正确． 答案 B3．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 当x >0时，可作出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图所示．由图示可得函数f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)有两个零点．当x <0时，f (x )＝2x ＋1有零点x ＝－12.综上，可得f (x )有3个零点．答案 D4．设0<x <π2，则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由0<x <π2，得0<sin x <1，故由x sin x <1，可得x sin 2x <x sin x <1，即“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要条件；而若x sin 2x <1，则x sin x <1sin x ，但1sin x >1，故不能得到x sin x <1，因此“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要而不充分条件． 答案 B5．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．解析 函数有意义，需使e x －e －x ≠0，故得其定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，故排除C ，D ；又因为y ＝e x ＋e －xe x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，因此，当x >0时，函数为减函数，故选A. 答案 A6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π12 B ．x ＝π6 C ．x ＝512πD ．x ＝π3解析 由2π2ω＝π，因此ω＝1，因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，代入验证可知使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝±1，只有x ＝512π，选C. 答案 C7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范畴是 ( )．A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析 令m ＝0，由f (x )＝0，得x ＝13，适合，排除A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0，得x ＝1；适合，排除C. 答案 D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )．A ．①或②B ．①或③C ．只有②D ．②或③解析 构建长方体模型，如图，观看选项特点，可优先判定条件②；取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A ，C ，D ，选B.答案 B9．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于 ( )． A.203 B.234 C.125D.415解析 选一个专门位置(如图)，令OP ，OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9，得OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.依照“在一样情形下成立，则在专门情形下也成立”可知，答案C 正确．答案 C10．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )． A ．－5 B ．1 C ．2D ．3解析 如图阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域．而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a ＝1时，封闭区域的面积是1；当a ＝2时，封闭区域的面积是32；当a ＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案 D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 关于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的周期是4π，因此排除A ；关于函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而cos2×π3＋π3＝－1，故x ＝π3是此函数的对称轴，但此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此排除B ；关于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为π，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，故x ＝π3是此函数的对称轴，又由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，知此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数，故选C. 答案 C12．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )．A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 取a ＝±12，代入原不等式得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x <23b 或x >2b ，不符合条件，从而排除A ，B.取a ＝4代入原不等式得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x <b5，0<b <5，解集中的整数解少于3个，从而排除D ，故选C. 答案 C 二、填空题13．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)． 解析 用正方体ABCDA 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点． 答案 ①②④14．已知函数f (x )＝ln x －ax .若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范畴是________．解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2，又x >1， ∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴h (x )<h (1)＝－2<0. ∴即g ′(x )<0∴g (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )<g (1)＝－1. ∴a >－1.答案 (－1，＋∞)15．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p ，q ，则1p ＋1q 为________．解析 若用常规方法，运算量专门大，不妨设PQ ∥x 轴，则p ＝q ＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a . 答案 4a16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________．解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，因此函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2，因此命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，而函数f (x )为偶函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.依照函数f (x )在[－1,0]上为增函数及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1,0]上的图象，然后依照f(x)为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再依照函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示.由函数的图象明显可判定出命题②⑤正确，而函数f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，因此命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．答案①②⑤三、解答题17．设函数f(x)＝x－2x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝3时，f′(x)＝1＋2x2－3x＝x2－3x＋2x2＝(x－1)(x－2)x2.令f′(x)＝0，解得x＝1或2.f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x (0,1)1(1,2)2(2，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值在x＝2处取得极小值，f(2)＝1－3ln 2.(2)f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2，令g(x)＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8，①当|a|≤22时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－22时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，因此在(0，＋∞) 上，f′(x)>0. 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． 综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． 18．已知各项均为正数的等差数列{a n }的公差d 不等于0. a 1＝2，设a 1，a 3，a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2)将数列{a n }中与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1(n ≥2，n ∈N *)的值．解 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，{a n }是公差d ≠0的等差数列，因此(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d .又a 1＝2，因此d ＝1，b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1·q n －1＝2n ，因此a n b n ＝(n ＋1)·2n . (1)用错位相减法，可求得{a n b n }的前n 项和T n ＝n ·2n ＋1.(2)新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n －1项和减去数列{b n }的前n 项和，因此S 2n －n －1＝(2n －1)(2＋2n )2－2(1－2n )1－2＝(2n －1)(2n －1－1)，因此S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.19．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x (a ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求正数a 的值，并求出f (x )在[0,4]上的最值； (2)若f (x )在区间(0,2)上不单调，求实数a 的取值范畴． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， 由题意，f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2.当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， 令f ′(x )>0，解得x <1或x >3；令f ′(x )<0， 解得1<x <3.f (x )的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．因此f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]上单调递增， 因此f (x )在[0,4]上的最大值为max{f (1)，f (4)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，43＝43；f (x )在[0,4]上的最小值为min{f (0)，f (3)}＝min {}0，0＝0.(2)函数f (x )在区间(0,2)上不单调⇔函数f ′(x )在(0,2)内存在零点，而f ′(x )＝0的两根为a －1，a ＋1，因此0<a －1<2，或0<a ＋1<2，即1<a <3或－1<a <1，因此实数a 的取值范畴是(1,3)∪(－1,1)．20．如图所示，已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝a 2上的射影依次为点D ，K ，E .(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程； (2)连接AE ，BD ，证明：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于一定点．(1)解 由题意，易知b ＝3，椭圆C 的右焦点F (1,0)，则c ＝1，因此a ＝2.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意，知F (1,0)，K (a 2,0)．先探究：当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，现在四边形ABED 为矩形，由对称性，知AE ，BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.猜想：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (a 2，y 1)，E (a 2，y 2)．第一证明当m 变化时，直线AE 过定点N .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消掉x ，得(a 2＋b 2m 2)y 2＋2mb 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.则Δ＝4a 2b 2(a 2＋m 2b 2－1)>0(a >1)，且y 1＋y 2＝－2mb 2a 2＋b 2m 2，y 1y 2＝b 2(1－a 2)a 2＋b 2m 2. 又k AN ＝－y 1a 2－12－my 1，k EN ＝－y 21－a 22， 因此k AN －k EN ＝－y 1a 2－12－my 1－－y 21－a 22＝a 2－12(y 1＋y 2)－my 1y 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝a 2－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mb 2a 2＋b 2m 2－m ·b 2(1－a 2)a 2＋b 2m 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝2m (1－a 2)b 2－2m (1－a 2)b 2(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1(a 2＋b 2m 2)＝0.因此k AN ＝k EN .因此A ，E ，N 三点共线．同理可证B ，D ，N 三点共线．因此当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.。

1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C2．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝() A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x2a2－y 2b2＝1的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C. 3 D.62【答案】B【解析】根据已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋c 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－c 2＋12＝4c 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2，∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 2.故选B.5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C的焦点为(1，0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5 C．4 3 D ．4 5 【答案】B7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2， 由||FA ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c a，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a ＋2ac a >a 2＋c 2a＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2， 所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2， 所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于 ( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D11．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12【答案】D12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc 2a，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ， 得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝ba x ，根据题意得k PF ＝－a b，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，【答案】 214．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】x ＝－2【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【答案】23或3816．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， 所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.18．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得 x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0，∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2） ＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0， 故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |＝1|AM |＋1|AN |，求点Q 的轨迹方程．因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝ (1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32.20．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21， 所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22， 又因为k 1k 2＝－12， 所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22＝6（1＋k21）1＋2k21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k121＋2⎝⎛⎭⎪⎫－12k12。

[方法解说 ]方法解说特例法是依据题设和各选项的详细状况和特色，选用知足条件的特别的数值、特别的点、特别的例子、特别的图形、特别的地点、特别的函数、特别的方程、特别的数列等，针对各选项进行代入比较，联合清除法，进而获取正确的答案．第 1 讲选择、填空题的特别解法方法一特值 (例 )清除法使用前提使用技巧常有问题找到知足条件的求范围、比较大小、求值或取值范围、恒成立适合的特别化例知足当一般性结问题、随意性问题子，或举反例排论成即刻，对切合等．而对于函数图象的除，有时甚至需要条件的特殊化情鉴别、不等式、空间线两次或两次以上况也必定成立．面地点关系等不宜直的特别化例子才接求解的问题，常经过能够确立结论．清除法解决 .[真题示例 ]真题示例技法应用取 a＝－ 1，b＝－ 2，则 a>b，可(2019 高·考全国卷Ⅱ )若 a>b，则 ( )考证 A，B，D 错误，只有 C 正A ． ln( a－ b)>0B ．3a<3b33D． |a|>|b| 确．C．a － b >0答案： C(2019 高·考全国卷Ⅰ )函数 f(x)＝sin x＋x2在 [ －π，π ] 的图cos x＋ x象大概为 ( )取特别值，x＝π，联合函数的奇偶性进行清除，答案选 D.答案： Dx ＋ y ≥ 6，(2019 ·考全国卷高 Ⅲ )记不等式组 表示的平面区取 x ＝ 4，y ＝ 5，知足不等式组2x － y ≥ 0域为 D.命题 p ：? (x ，y)∈D ，2x ＋ y ≥ 9；命题 q ：? (x ，y)∈ D ， x ＋ y ≥ 6，2x ＋ y ≤12.下边给出了四个命题且知足 2x ＋ y ≥ 9， 2x － y ≥ 0， ① p ∨ q ② 綈 p ∨ q ③ p ∧ 綈 q④綈 p ∧ 綈 q不知足 2x ＋ y ≤ 12，故 p 真， q这四个命题中，全部真命题的编号是()假．所以 ①③ 真，②④假．A ．①③B ．①②答案： AC ．②③D ．③④真题示例 技法应用(2018 ·考全国卷高 Ⅰ )右图来自古希腊数学家希波克拉底所 不如设三角形 ABC 为等腰直角研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 三角形，过A 作AO 垂直 BC 于 分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ，AC.△ ABCO ，则地区 Ⅰ， Ⅱ的面积相等．的三边所围成的地区记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其他部分 答案： A记为Ⅲ .在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的 概率分别记为 p 1，p 2，p 3，则 ( )A ． p ＝ p 2B ． p ＝ p 311C ．p ＝ p3D ． p ＝ p ＋ p3212(2015 高·考全国卷 Ⅱ )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和．若1355取常数列 a n ＝ 1 代入计算． a ＋ a ＋ a ＝ 3，则 S ＝()A ． 5B ． 7 答案： AC ．9D ．11【针对训练】tan π ＋ αcos 2α4)1．计算＝ ( 2cos 2 π－ α4A ．－ 2B ． 2C ．－ 1D ．1π ππ 3π ，则原式＝ tan 4＋12 cos 63× 2 分析： 选 D. 取 α＝＝3＝1. 12 2cos 2 π π 2×44－ 122．如下图，两个不共线向量→ →OA ，OB 的夹角为 θ，M ，N 分别为 OA 与 OB 的中点，点 C 在 →→→2＋ y2 的最小值为 ()直线 MN 上，且 OC ＝ xOA ＋ yOB(x ， y ∈ R)，则 x21A. 4B.821C. 2D.2→ →→ → 分析：选 B. 特别值法： 当 θ＝ 90°，且 |OA|＝ |OB|＝ 1 时，以 O 为坐标原点 ，以OA ，OB 分别为 x 轴、 y 轴的正方向 ，成立平面直角坐标系→ → →1，所以 x 2，由 OC ＝ xOA ＋ yOB，得 x ＋ y ＝2 ＋y 2的最小值为原点 O 到直线 x ＋ y ＝1的距离的平方 ，易得 x 2＋ y 2≥ 22＝ 1. 2483．已知 E 为△ ABC 的重心， AD 为 BC 边上的中线，令 →→ ＝b ，若过点 E 的直AB ＝a ，AC →→1 1)线分别交 AB ， AC 于 P ， Q 两点，且 AP ＝ ma ， AQ ＝ nb ，则m ＋ ＝ (nA ． 3B ． 41C ．5D.3分析：选 A. 因为题中直线 PQ 的条件是过点 E ，所以该直线是一条 “ 动” 直线 ，所以最 后的结果必定是一个定值．故可利用特别直线确立所求值．→2 → → 2 → ，此时 m ＝ n ＝ 2，故 1 1 法一： 如图 1， PQ ∥BC ，则 AP， AQ＝＝3AB3AC3m ＋ n ＝ 3，应选A.→→ → 1→法二： 如图 2，取直线 BE 作为直线PQ ，明显 ，此时 AP ＝ AB ， AQ ＝ 2AC ，故 m ＝1， n＝1，所以1＋1＝3.2m n4．已知函数f(x)＝－x2＋ ax， x≤ 1，a2x－ 7a＋ 14， x>1.若存在 x1，x2∈R ，且 x1≠ x2，使 f(x1)＝ f(x2)，则实数 a 的取值范围为()A ． a<2B． 3<a<5C．a<2 或 3<a<5D．2≤ a≤ 3 或 a≥ 5－x2， x≤ 1，分析：选 C.当 a＝ 0 时， f(x)＝f(－ 1)＝ f(1) ＝－ 1，故 a＝0 切合题意，排14， x>1，除 B ，D 选项．当 a＝ 4 时，若 x≤1，则 f(x)≤3，若 x>1，则 f(x)>2，明显存在 x1≤ 1，x2>1，知足 f( x1)＝ f( x2)，故 a＝ 4 切合题意，清除 A 选项．应选 C.方法二考证法[方法解说 ]方法解说使用前提使用技巧考证法是把选择支代能够联合特例法、排入题干中进行查验，除法等先否认一些明或反过来从题干中找显错误的选项，再选适合的考证条件，代选项中存在独一正确择直觉以为最有可能入各选择支中进行检的选择支 .的选项进行考证，这验，进而能否认错误样能够迅速获取答选择支而获取正确选案 .择支的一种方法 .[真题示例 ]常有问题题干信息不全，选项是数值或范围，正面求解或计算烦杂的问题等 .真题示例(2018 ·考全国卷高Ⅰ )已知函数f(x) ＝2cos2x－sin2 x＋2，则 ()A ． f(x)的最小正周期为π，最大值为3B ．f(x)的最小正周期为π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为 3 D． f(x)的最小正周期为2π，最大值为 4 (2018 ·考全国卷高Ⅲ )以下函数中，其图象与函数 y＝ ln x 的图象对于直线x＝1 对称的是()技法应用当 sin x＝ 0，cos x＝1 时，函数值为4，所以 A，C 错；把 x＋π代入函数考证可得f(x＋π) ＝f(x)，说明 D 错，应选 B.答案： B函数 y＝ln x 的图象过定点(1， 0)，而 (1，0) 对于直线 x＝ 1 的对称点仍是 (1，0)，将 (1，0)A ． y＝ ln(1－ x代入各选项，考证可知只有 B 知足，应选 B.B ．C ．y ＝ ln(1＋ x)(2019 高·考天津卷 )已知函数 f(x) ＝2 x ， 0≤ x ≤ 1， 11 若对于 x 的方程 f(x)＝－ xx ， x>1. 4＋ a(a ∈R )恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为 ()5， 9 5， 9 A.4 4B.4 4D 答案： B5选用四个选项的差别值a ＝ 1，a ＝ 4代入考证．答案： D5，9 ∪ {1}D. 5，9 ∪ {1}C. 44 44【针对训练】221．过点 A(3，－ 2) 且与椭圆 x＋ y＝ 1 有同样焦点的椭圆方程为 ()9 4x 2 ＋ y 2 ＝ 1B. x 2 ＋ y 2 ＝ 1A.15 1025 20x 2 ＋ y 2 ＝ 1 D.x 2 ＋ y 2 ＝ 1 C.10 1520 15分析： 选 A. 将点 A(3，－ 2)代当选择支得 A 正确． 2．函数 f(x)＝ xe x ＋ lg x － 10 的零点所在的区间为 () A ．(0， 1) B ． (1， 2) C ．(2， 3)D ． (3， 4)分析：选 B. f(x)＝ xe x ＋ lg x －10 在 (0，＋∞ )上单一递加 ，且 f(1)<0 ，f(2)>0 ，所以函数 f( x) ＝xe x ＋ lg x － 10 的零点所在的区间为 (1， 2)，应选 B.ππ3．已知函数 f(x) ＝ sin ωx＋ 6 (此中 ω>0) 的图象的一条对称轴方程为 x ＝ 12，则 ω的最小值为()A ． 2B ． 4C ．10D ． 16πππ π 3，不切合题意；若ω分析： 选 B. 若 ω＝ 2，当 x ＝12 ＝ sin2× 12＋ 612时，有 f ＝ 2ππ π π＝4，当 x ＝12时，有 f 12 ＝sin4× 12＋ 6 ＝ 1，切合题意．所以 ω的最小值为 4.x －a2||， x ≤ 1，4．设函数 f( x)＝若 f(1)是 f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是 ()x ＋ 1， x>1，A．[－1，2) B．[－1，0]C．[1， 2] D． [1，＋∞ )分析：选 C. 若 a＝ 2 时， f(x)＝ 2|x－2|在 (－∞， 1]上单一递减， f(x)≥ f(1) ．当 x>1 时， f(x)＝ x＋1>2 ，所以 f(1) 是 f(x)的最小值，清除 A 、B.若 a＝3 时， f(x) ＝2|x－3|在 ( －∞， 1]上单一递减， f(x)≥ f(1)＝ 4.当 x>1 时， f(x)＝ x＋1>2.不知足 f(1)是 f(x)的最小值，清除 D.[方法解说 ]方法解说因为选择题供给了独一正确的答案，解答又不需供给过程，所以能够经过猜想、合情推理、估量而获取答案．这样常常能够减少运算量，增强思想的层次．估量省去了好多推导过程和复杂的计算，节俭了时间，进而显得快捷 .方法三估量法使用前提使用技巧常有问题对于数值计算常采纳求几何体的表面积、针对一些复杂的、不放缩估量、整体估量、体积，三角函数的求易正确求值的与计算近似估量、特值估量值，求双曲线、椭圆相关的问题．常与特等，对于几何体问题，值法联合起来使用 .的离心率，求参数的常进行切割、拼集、范围等 .地点估量 .[真题示例 ]真题示例技法应用2 ，b＝ 2 0.2，0.2 0.3(2019 高·考全国卷Ⅰ )已知 a＝ log 0.2<1，因为 a＝ log2 0.2<0，b＝ 2 >1 ，0<c＝ 0.2c＝ 0.20.3，则 ( )A ． a＜ b＜c B． a＜ c＜bC．c＜ a＜ b D． b＜ c＜a1 π(2017 高·考全国卷Ⅲ )函数 f(x)＝5sin(x＋3 )＋πcos(x－6 )的最大值为 () 所以 b>c>a.应选 B.答案： Bπ 6当 x＝6时， f(x)＝5大于 1，应选 A. 答案： A6 A. 5 B ． 1 3 1 C.5D.52(2017 高·考全国卷 Ⅱ )若 a ＞ 1，则双曲线 x2－用 a 表示离心率 e 的表达式 ，依据 a>1 ，估量a y 2＝ 1 的离心率的取值范围是 ()e 的取值范围．A ． ( 2，＋∞ )B ． ( 2， 2)答案： CC ．(1，2)D ．(1，2)等边三角形 ABC 的面积为 9 3，明显球心不(2018 高·考全国卷 Ⅲ )设 A ， B ， C ，D 是同一是此三角形的中心 ，所以三棱锥体积最大时 ，4 的球的球面上四点，△ ABC 为等 个半径为1× 9 3×4<V边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D-ABC 三棱锥的高 h ∈ (4，8)，所以 三3体积的最大值为 ( )棱锥 D-ABC < 1×9 3×8，即 123<V 三棱锥A ．12 3B ．18 33C ．24 3D ．54 3D-ABC <24 3，应选 B.答案： B【针对训练】221．若双曲线x2－ y2＝ 1(a>0， b>0)的一条渐近线经过点(3，－ 4)，则此双曲线的离心率ab为()7 5 A. 3 B.4 4 5 C.3D.3分析：选 D.因为双曲线的一条渐近线经过点b 4c b4 (3，－ 4)，所以 ＝.因为 e ＝ > ，所以 e> .a 3a a3应选 D.π， sin α＋ cos α＝ a ， sin β＋ cos β＝ b ，则 ()2．若 0<α<β< 4A ． a<bB ． a>bC ．ab<1D ． ab>2πβ＋cos β＝ b → 2.联合分析： 选 A. 若 α→ 0，则 sin α＋ cos α＝ a → 1；若 β→ ，则 sin4选项剖析选 A.3．某班设计了一个八边形的班徽 (如下图 )，它由四个腰长为 1，顶角为 α的等腰三角形和一个正方形构成，则该八边形的面积为( )A ． 2sin α－ 2cos α＋2B ．sin α－ 3cos α＋ 3C ．3sin α－ 3cos α＋ 1D ． 2sin α－ cos α＋ 1分析： 选 A. 当顶角 α→π时， 八边形几乎是边长为 2 的正方形 ，面积靠近于 4，四个选 项中，只有 A 切合，应选 A.224．P 为双曲线 x2－ y2＝ 1(a>0，b>0) 右支上的一点， F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，a b则△ PF 1F 2 的内切圆圆心的横坐标为 ()A ． aB ． bC. a 2＋ b 2D ． a ＋ b － a 2＋ b 2分析： 选 A. 如图 ，点 P 沿双曲线向右极点无穷靠近时， △PF 1F 2 的内切圆愈来愈小 ，直至“ 点圆 ”， 此 “ 点圆 ” 应为右极点 ，则内切圆圆心的横坐标为a ，应选 A.方法四结构法[方法解说 ]方法解说使用前提结构法是一种创建性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转变思想．利用已知条件和结论的特别性结构函数、数列、 方程 结构的函数、或几何图形等， 进而简化推理与计算过程，使方程、图形等较复杂或不易求解的数学识题获取简捷解要合理，不可以答．结构法根源于对基础知识和基本方法的积超越原题的条累，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，件限制 .踊跃联想， 横向类比， 从以前近似的问题中找到结构的灵感 .使用技巧常有问题对于不等式、方程、函数问比较大小、 题常结构新函数导数问函数，对于不题、不规则规则的几何的几何体问 体常结构成题等 .规则的几何体办理 .[真题示例 ]真题示例技法应用(2018 高·考全国卷Ⅱ )在长方体在长方体 ABCD -A B C D 的面 ABB A 一侧再1ABCD -A B C D 中， AB＝ BC＝ 1，AA ＝3， 1 1 1 1 1 11 1 1 1则异面直线AD 1与 DB1所成角的余弦值为补添一个完整同样的长方体ABC2 2D -() ABBA，求△ABD 中∠ D AB 的余弦值即1 12 2 2 1 1 21 B. 5可．A. 5 65D. 2 答案： CC. 5 2(2016 高·考全国卷Ⅱ )α，β是两个平面， m，n 是两条直线，有以下四个命题：①假如 m⊥n， m⊥ α， n∥ β，那么α⊥ β.②假如 m⊥α，n∥ α，那么 m⊥ n.③假如α∥β， m? α，那么 m∥ β.④假如 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等．此中正确的命题有________． (填写全部正确命题的编号 )续表结构正方体，将正方体中的相关棱与面看作问题中的相关直线与平面，逐个判断．答案：②③④真题示例(2015 ·考全国卷高Ⅱ )设函数 f′(x)是奇函数f(x)( x∈ R) 的导函数， f(－ 1)＝ 0，当 x>0 时，xf′(x)－ f(x)<0 ，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是()A ． (－∞，－ 1)∪ (0， 1)B ．(－1， 0)∪ (1，＋∞ )C．(－∞，－ 1)∪(－ 1， 0)D． (0， 1)∪ (1，＋∞ )(2015 ·考全国卷高Ⅱ )设 S n是数列 { a n} 的前n 项和，且 a1＝－ 1， a n＋1＝ S n S n＋1，则 S n＝________.技法应用g(x)＝f（ x）依据题意结构新函数，对 g(x) 求x导再解．答案： A由 a n＋1＝ S n＋1－ S n，将原等式变形，再结构等1差数列S n求解．答案：－1n1．已知数列{ a n} 的前n 项和为【针对训练】S n，a1＝ 2， S n＋1＝ 2S n－ 1(n∈ N* )，则a10＝ ( )A．128 B． 256C．512 D． 1 024分析：选 B.因为S n＋1＝ 2S n－ 1，所以S n＋1－ 1＝2(S n－ 1)，所以{ S n－ 1} 是等比数列，且公比为 2，又 S1－ 1＝a1－1＝ 1，所以 S n－1＝ 2n－1，所以 S n＝2n－1＋ 1，所以 a10＝ S10－ S9＝29－ 28＝256. 应选 B.2．如图，已知球 O 的球面上有四点 A， B，C，D ，DA ⊥平面 ABC， AB⊥ BC，DA＝ AB ＝BC ＝ 2，则球 O 的体积等于 ________．分析：如图，以 DA，AB，BC 为棱长结构正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以 CD＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R，6 4πR3所以 R＝2，故球 O 的体积 V＝3＝ 6π.答案： 6π1－ f( x)>0 3．已知 f(x)为定义在 (0，＋∞ )上的可导函数，且 f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式 x2f x的解集为 ________．分析：设 g(x)＝f（ x）xf′（ x）－ f（ x），x，则 g′(x)＝x2又因为 f(x)>xf′(x)，xf′（x）－ f（ x）所以 g′(x)＝x2 <0 在 (0，＋∞ )上恒成立，所以函数 g(x)＝f（ x）为 (0，＋∞)上的减函数，x2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：第一部分第1讲选择、填空题的特别解法Word 版含分析 11 / 1111 f xf （ x ） 1 1 又因为 x 2f x － f(x)>0 ?1 > x ? g x >g(x)，则有 x <x ，解得 x>1.x 答案： (1，＋∞ )。

2020届高考数学(文)二轮复习模拟卷71、满足条件{}{}11,2,3M=的集合M 的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．12、复数2iz i+=(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、PM2.5是评价空气质量的一个重要指标,我国空气质量的PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均浓度在335μg/m 以下空气质量为一级,在3335μg/m 75μg/m ~之间空气质量为二级,在375μg/m 以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位:3μg/m )的统计数据,则下列叙述不正确的是()A.这10天中有4天空气质量为一级B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日C.从5日到9日,日均值逐渐降低D.这10天的日均值的中位数是454、若π3cos 1(2π)2αα=≤≤,则sin2α=( )A.429-B.429 C.79- D.79 5、设x y 、满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是( ) A ．22-B ．13-C ．10-D ．20-6、函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝++⎭=的最大值为（ ）A.65B.1C.35D.157、函数()23xef x x =-的大致图像是( )A.B.C.D.8、已知向量a b ,的夹角为π3，且2a =，42b =，则a b -=（ ） A.10B.10C.26D.269、将半径为3,圆心角为23π的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的体积为( )A.23π B. 33π C.43π D. 2π10、执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为4,第二次 输人的x 的值为5,记第一次输出的a 的值为1a ，第二次输出的2a 的 值为2a ，则12a a -=( )A.0B.1-C.1D.211、如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是( )A.//BD 平面11CB DB.1AC BD ⊥C.1AC ⊥平面11CB DD.异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒12、已知12,F F 分别是椭圆22221(0),x y a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 的直线与椭圆分别交于,,P Q 两点,若1,PQ PF ⊥且112,QF PF =则12PF F △与1QF F △的面积之比为（ ）A.23-B.21-C.21+D.23+13、在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 14、已知函数()1x f x xe -=，则曲线()1y f x x ==在处的切线方程为__________. 15、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且2n n S a =-,则5S =______.16、若定义在[]1,1-上的函数()312f x ax a =+-在()1,1-上存在零点， 则实数a 的取值范围为______________.17、已知数列{}n a 满足11a =，23a =，()*2132n n n a a a n N =-∈＋＋． (1)证明：数列1{}n n a a -＋是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式．18、2017年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速()km/h 分成六段： [)60,65， [)65,70， [)70,75， [)75,80，[)80,85， []85,90后得到如图的频率分布直方图.1.求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；2.若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆至少有一辆的概率. 19、如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11CBB C 是菱形,160C CB ∠=° ,平面ABC ⊥平面11CBB C ,M 为1BB 的中点,AC BC ⊥.1.证明:1CC ⊥平面11AC M ;2.若2CA CB ==,求三棱锥11C ACM -的体积. 20、在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为()0,1，当m 变化时，解答下列问题:(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 21、已知函数()()0af x x a x=+>. （I ）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（II ）若4a =，证明：函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数. 22、已知曲线22:94360C x y +-= ，直线2:(22x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)． (1).写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2).已知点P 为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 的距离的最大值及最小值． 23、已知()21f x x x =+-. 1.解关于x 的不等式()0f x >;2.对于任意正数,m n ，求使得不等式2211()2f x nm m n ≤++恒成立的x 的取值集合M .答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：∵{}{}11,2,3M=∴{}1,2,3M =或{}2,3M =．2答案及解析： 答案：D 解析：()22212i ii z i i i ++===-，其在复平面内对应的点为()1,2-，位于第四象限，故选D3答案及解析： 答案：D解析：由图知空气质量为一级的有11月3,8,9,10日，共4天，所以A 正确；11月5日的PM2.5日均浓度值为82,是10天中最高的，所以B 正确；11月5,6,7,8,9日的PM2.5日均浓度值分别为82,73,58,34,30,逐渐降低，所以C 正确;这10天的PM2.5日均浓度值的中位数为454947,2+=所以D 不正确，故选D.4答案及解析： 答案：A解析：由3cos 1α=得1cos 3α=，又π[,2π]2α∈，则3π(,2π)2α∈，则222sin 1cos 3αα=--=-，所以22sin 22sin cos 2()3ααα=⋅=⨯-14239⨯=-.5答案及解析： 答案：A解析：由x y 、满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(1,6)A ，化目标函数24z x y =-为124z y x =-，由图可得，当直线124z y x =-过点(1,6)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-．6答案及解析： 答案：A解析：因为ππππcos cos sin 6323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-=+-=⎥⎣⎝+⎢⎭⎦,所以()6πsin 53f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭,于是()f x 的最大值为65,故选A7答案及解析： 答案：A解析：由题意知，函数()f x 的定义域为()()(),33,33,-∞-⋃-⋃+∞，且()()f x f x-=所以()f x 是偶函数， 排除C,D 又当()0,3x ∈时()0f x <,排除B,故选A.8答案及解析： 答案：C解析：π242cos 43a b ⋅=⨯⨯=，则()2a b a b -=-222a a b b =-⋅+283226=-+=.9答案及解析： 答案：A解析：扇形弧长2C π=,圆锥底面半径为1,圆锥的轴截面所在等腰三角形内切圆即为内切球的大圆,可得圆半径为22,内切球的体积为23π,故选A.10答案及解析： 答案：B解析：当输入的x 的值为4时，不满足2b x >，但满足4能被2 整除，故输出的10a =;当输入的x 的值为5时，不满足2b x >；也不 满足5能被2整除，故3b =,继续循环，满足2b x >故输出的21a =则 12011a a -=-=-，故选 B.11答案及解析： 答案：D 解析：A 中因为11//BDB D ，正确；B 中因为AC BD ⊥，由三垂线定理知正确； C 中由三垂线定理可知111AC B D ⊥，11AC B C ⊥，故正确； D 中显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒ 故选：D ．A 中因为11//BDB D 可判，B 和C 中可由三垂线定理进行证明；而D 中因为11//CB D A ，所以1D AD ∠即为异面直线所成的角，145D AD ∠=︒．本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．12答案及解析： 答案：D解析：如图，设1,PF m =则12.QF m = 1,PQ PF ⊥3,PQ m ∴=11334,PF QF PQ m m m a ∴++=++=33.4a m +∴=又2312,2PF a m m +=-=12213131,224PF F S m m m ++∴=⨯⨯=△12112QF F PQF PF F S S S =-=△△△22131313,224m m m m +-⨯⨯-= 12122231423,314PF F QF F m S S m +∴==+-△△ 故选D.13答案及解析：答案：10解析：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =， ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：10AB =．14答案及解析： 答案：21y x =-解析：1(1)1,()(1)x f f x x e -'==+，所以(1)2f '=，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-15答案及解析： 答案：3116解析：∵2n n S a =-，∴1112S a a ==-，解得11a =，当2n ≥时，2n n S a =-①，112n n S a --=-②由①-②可得12n n s a -=，即112n n a a -=，∴{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， ∴5511[1()]31211612S ⨯-==-16答案及解析： 答案：()1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭解析：由题意可知(1)(1)0f f -<，又()(1)51,11f a f a -=-+=+， 所以51010a a -+>⎧⎨+<⎩或51010a a -+<⎧⎨+>⎩，所以实数a 的取值范围为()1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.17答案及解析：答案：解 (1)证明：2132n n n a a a =-＋＋， ()2112n n n n a a a a -=-∴＋＋＋，2112n n n na a a a ∴-=-＋＋＋．1213a a ==，，1{}n n a a ∴-＋是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得12n n n a a -=＋，()()()112211n n n n n a a a a a a a a =--∴++⋯-++－－－122221n n =++⋯++－－21n =-．故数列{}n a 的通项公式为21n n a =-． 解析：18答案及解析：答案：众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5， 设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为： ()0.015+0.0250.0450.06750.5x ⨯⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =．即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在[)65,70的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆），设车速在[)60,65的车辆设为,a b ，车速在[)65,70的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种，其中车速在[)65,70的车辆恰有一辆的事件有：()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,a c a d a e a f b c b d b e b f 共8种．所以，车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率为815p =． 解析：19答案及解析：答案：1.【证明】如图，连接1C B , ∵平面,ABC ⊥平面11CBB C ， 平面ABC ⋂平面11CBB C BC =， 且,AC BC AC ⊥⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面11CBB C . 又11//AC AC ,∴111AC CC ⊥，∵四边形11CBB C 是菱形，160C CB ∠=°， ∴11C BB △为等边三角形.又M 为1BB 的中点，∴11C M BB ⊥. ∵11//CC BB ,∴11C M CC ⊥又111111,AC C M C AC ⋂=⊂平面111,AC M C M ⊂平面11AC M ， ∴1CC ⊥平面11AC M .2.【解】由题意知11113,2C M A C AC CC ====. ∵AC ⊥平面11CBB C ，而1C M ⊂平面11CBB C ， ∴1AC C M ⊥.又11//AC AC ，∴111AC C M ⊥,∴11AC M △的面积1112332A C MS =⨯⨯=△. 由1可知1CC ⊥平面11AC M ,∴三棱锥11C ACM -的体积1111C A CM C A C M V V --==111112332333A C M S CC ⋅⋅=⨯⨯=△. 解析：20答案及解析：答案：(1)不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下:设()()12,0,,A x B x O ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =-. 又C 的坐标为()0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况(2)BC 的中点坐标为21,22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得BC 的中垂线方程为22122x y x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由(1)可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立222122m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩又22220x mx +-=,可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以过,,A B C 三点的圆的圆心坐标为1,22m ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-,半径292m r +=故圆在y 轴上截得的弦长为22232m r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.解析：21答案及解析：答案：证明：函数()af x x x=+的定义域为(),0(0,)-∞⋃+∞，关于原点对称. 又因为()()()a af x x x f x x x-=-+=-+=--. 所以函数()f x 为奇函数； 证明：4()f x x x=+， 设12,x x 是区间()2,+∞上的任意两个实数且12x x <， ()()12122244f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭121244x x x x =-+- ()12124=1x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x --=1212,0x x x x <<-∴ 12,(2,)x x ∈+∞ 124x x >∴ 1240x x ->∴()()120f x f x -<∴，即()()12f x f x <.∴函数()f x 在()2,+∞上为增函数. 解析：22答案及解析：答案：(1).由2294360x y +-=得22149x y +=， 曲线C 的轨迹为椭圆∴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），∵直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)∴消去t 得，直线l 的普通方程为：260x y +-=(2).设点P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ，则点P 到直线l 的距离设为d ， 则4cos 3sin 6565sin()55d θθθφ+--+==（其中4tan 3φ=）1sin()1θφ-≤+≤max min 1155,55d d ∴==即点P 到直线l 的距离的最大值及最小值分别为：1155、55．解析：23答案及解析：答案：1.当0x ≤时，不等式化为214x x -+->，∴1x <-; 当01x <<时，不等式化为214x x +->，解得3x >，无解当1x ≥时，不等式化为214x x +->,∴53x >综上,不等式()4f x >的解集为5(,1)(,)3-∞-⋃+∞.2.∵22112224nm nm m n mn++≥+≥，当且仅当1m n ==时“=”成立， ∴214x x +-≤,由1知x 的取值集合M 为5[1,]3-.解析：。

第1讲选择、填空题的特殊解法方法一特值(例)排除法方法诠释使用前提使用技巧常见问题特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确的答案．满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立．找到满足条件的合适的特殊化例子，或举反例排除，有时甚至需要两次或两次以上的特殊化例子才可以确定结论．求范围、比较大小、求值或取值范围、恒成立问题、任意性问题等．而对于函数图象的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题，常通过排除法解决.真题示例技法应用(2019·高考全国卷Ⅱ)若a>b，则()A．ln(a－b)>0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．|a|>|b| 取a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确．答案：C(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()取特殊值，x＝π，结合函数的奇偶性进行排除，答案选D.答案：D(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假．所以①③真，②④假． 答案：A真题示例技法应用(2018·高考全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2 B ．p 1＝p 3 C ．p 2＝p 3 D ．p 1＝p 2＋p 3不妨设三角形ABC 为等腰直角三角形，过A 作AO 垂直BC 于O ，则区域Ⅰ，Ⅱ的面积相等． 答案：A(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11取常数列a n ＝1代入计算． 答案：A【针对训练】1．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos 2α2cos2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D.取α＝π12，则原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12cos π62cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12＝3×322×34＝1.2．如图所示，两个不共线向量OA →，OB →的夹角为θ，M ，N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.24B.18C.22D.12解析：选B.特殊值法：当θ＝90°，且|OA →|＝|OB →|＝1时，以O 为坐标原点，以OA →，OB →分别为x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由OC →＝xOA →＋yOB →，得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点O 到直线x ＋y ＝12的距离的平方，易得x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎫242＝18.3．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，若过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：选A.由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n ＝3，故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n＝12，所以1m ＋1n＝3. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x －7a ＋14，x >1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为( )A ．a <2B ．3<a <5C ．a <2或3<a <5D ．2≤a ≤3或a ≥5解析：选C.当a ＝0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≤1，14，x >1，f (－1)＝f (1)＝－1，故a ＝0符合题意，排除B ，D 选项．当a ＝4时，若x ≤1，则f (x )≤3，若x >1，则f (x )>2，显然存在x 1≤1，x 2>1，满足f (x 1)＝f (x 2)，故a ＝4符合题意，排除A 选项．故选C.方法二 验证法【针对训练】1．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 解析：选A.将点A (3，－2)代入选择支得A 正确． 2．函数f (x )＝x e x ＋lg x －10的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.f (x )＝x e x ＋lg x －10在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )＝x e x ＋lg x －10的零点所在的区间为(1，2)，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0)的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．10D ．16解析：选B.若ω＝2，当x ＝π12时，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＝32，不符合题意；若ω＝4，当x ＝π12时，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＋π6＝1，符合题意．所以ω的最小值为4.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围是( )A．[－1，2) B．[－1，0]C．[1，2] D．[1，＋∞)解析：选C.若a＝2时，f(x)＝2|x－2|在(－∞，1]上单调递减，f(x)≥f(1)．当x>1时，f(x)＝x＋1>2，所以f(1)是f(x)的最小值，排除A、B.若a＝3时，f(x)＝2|x－3|在(－∞，1]上单调递减，f(x)≥f(1)＝4.当x>1时，f(x)＝x＋1>2.不满足f(1)是f(x)的最小值，排除D.方法三估算法【针对训练】1．若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53解析：选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝43.因为e ＝c a >b a ，所以e >43.故选D.2．若0<α<β<π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解析：选A.若α→0，则sin α＋cos α＝a →1；若β→π4，则sin β＋cos β＝b → 2.结合选项分析选A.3．某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为()A．2sin α－2cos α＋2B．sin α－3cos α＋3C．3sin α－3cos α＋1D．2sin α－cos α＋1解析：选A.当顶角α→π时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A符合，故选A.4．P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为()A．a B．bC.a2＋b2D．a＋b－a2＋b2解析：选A.如图，点P沿双曲线向右顶点无限接近时，△PF1F2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a，故选A.方法四构造法方法诠释使用前提使用技巧常见问题构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想．利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂或不易求解的数学问题得到简捷解答．构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经类似的问题中找到构造的灵感.构造的函数、方程、图形等要合理，不能超越原题的条件限制.对于不等式、方程、函数问题常构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则的几何体处理.比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.【针对训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．128 B ．256 C ．512D ．1 024解析：选B.因为S n ＋1＝2S n －1，所以S n ＋1－1＝2(S n －1)，所以{S n －1}是等比数列，且公比为2，又S 1－1＝a 1－1＝1，所以S n －1＝2n －1，所以S n ＝2n －1＋1，所以a 10＝S 10－S 9＝29－28＝256.故选B.2．如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：6π3．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的解集为________．解析：设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，又因为f (x )>xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）x为(0，＋∞)上的减函数，又因为x2f⎝⎛⎭⎫1x －f(x)>0⇔f⎝⎛⎭⎫1x1x>f（x）x⇔g⎝⎛⎭⎫1x>g(x)，则有1x<x，解得x>1.答案：(1，＋∞)。

高考冲刺：怎样解选择题【高考展望】1.数学选择题在高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高。

考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情绪状态.2.高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合性和深度的特点。

解题的基本原则是：“小题不能大做.”因而答题方法很有技巧性，如果题题都严格论证，个个都详细演算，耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而造成隐性失分，留下终生遗憾。

3.夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快”“稳”地求解选择题。

准确是解答选择题的先决条件。

选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

迅速是赢得时间获取高分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成低分的一大因素. 【方法点拨】1.选择题的结构特点选择题有题干和４个可供挑选的选择项（其中一个正确答案，三个诱误项）。

选择题的结构中包含着我们解题的信息源（特别注意４个选择支也是已知条件） 2.选择题的求解策略充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断，一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择项，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件。

3.选择题的常用方法由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题，有以下几种常用解法： ①直接法；②排除法；③特例法；④图解法（数形结合法）；⑤代入法。