《证明二》水平测试(B)北九上第一章

初中数学试卷 桑水出品第一章 证明（二）检测卷九年级 数学（100分）一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．两个直角三角形全等的条件是（ ） A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等 D ．两条边对应相等 2．等腰直角三角形的斜边长为a ，则其斜边上的高为（ ） A.a 23 B.a 2 C.2a D.a 42 3．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1:2:3，且∠A 所对的边长是2cm ，则最长边的边长是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 4．若一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，其证明理由正确的是（ ） A ．AAS 或HL B ．AAS C ．HL D ．以上都不对 5．一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 6．到三角形三边距离相等的点是（ ）. A ．三边垂直平分线的交点； B ．三条角平分线的交点； C ．三条高的交点； D ．三边中线的交点 7．适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形 8．若△ABC 的三边长abc 满足0))((222=-+-c b a b a ，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 9．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （1,1），在x 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．三个 D ．四个 10．在△ABC 中AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，且∠BDC=75°，则∠A 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．70°D ．110°二、 填空题：（每小题3分，共30分）11．等腰三角形的一个角是80°，则另两个角的度数是_________12．若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边长______，斜边上的高为__________13．在RT △ABC 中，∠C=90°,∠A=30°，AB+BC=12cm,则Ac=________cm姓名 班级 学号14．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是_________________________________________________________，它是一个__________（真/假）命题15．已知线段AB 和点C,D ，且CA=CB ，DA=DB ，则直线CD 是线段AB 的_______________16．等腰三角形的底角为15°，腰长为a ，它的面积是___________17．如图，AO FD ⊥于D ，BO FE ⊥于E ，下列条件：①OF 是AOB ∠的平分线；②EF DF =；③EO DO =；④OFD ∠=OFE ∠.其中能够证明DOF ∆≌EOF ∆的条件有_____________18．如图，在RT △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ，若BC=BD ，AC=4cm ,BC=3cm ，则△ADE 的周长是_____________19．在△ABC 中，∠A=50°，点O 是△ABC 三边垂直平分线的交点，则∠BOC=_________________20．△ABC 中，AB=7，BC=24，AC=25，三条角平分线交于点P ，则P 到AB 的距离为_____________三、 作图题（10分）21．如图，已知△ABC 和其内一点M ，求作点P ，使P 点到AC 与AB 的距离相等，且使PM=PC （不写作法，保留作图痕迹）四、 证明题（30分）22．如下图，BE=DF ，∠BEC=∠DFA ，AF=CE（1）AB 和CD 相等吗？（2）AB//CD 吗？说明理由23．如下图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，如果AD ⊥BC ，D 为垂足，求BD ，AD 的大小 A B D E F C.AB M CB C 第19题 O AE C D第18题 (第17题) B A24．如图所示，AB//CD,以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于1/2EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCNA B CDE FN M PAB C D。

北师大九年级（上）第一章证明（二）单元测试必做题（24个题，共100分）12、如图6,已知AABC 。

（1）如图①若P 点是ZABC 和ZACB 的角平分线的交点，则ZP 二90°ZA ； （2）如图②，若P 点是ZABC 和外角ZACE 的角平分线的交点，则ZP 二*ZA ； （3）如图③，若P 点是外角ZCBF 和ZBCE 的和平分线的交点，贝IJ ZP=90° -|ZAo 上述说法正确的是（） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个二、填空（4'x8 = 32‘）13、若AABC 为直角三角形，两条直角边BC 二7, AC 二24,在AABC 内有一点P,且点P 到各边的距离相等，贝0—、精心选一选（3'xl2 = 36‘）卜列命题中，正确的命题是（ ）A 、等腰三角形一定是锐角三角形B 、等腰三角形的腰长总大于底边长C 、等腰三角形底角的外角一•定是钝角D 、顶角相等的两个等腰三角形是全等三角形 等腰三角形周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为（A^ 7 cmB> 3cmC 、7cm 或 3cm如图1,在Z\ABC 中，ZC=90°, ZB=30°, AB 的垂直平分线 DE 交BC 于点D,点E 为垂足，若BD=10cm,则AC 等于（1、2、 D 、5cmA. 10cm B 、 8cmC 、5 V3 cmD 、 25cm4、 在Z\ABC 中，AB=AC, ZA 二50° , ZPBC=ZPCA,那么ZBPC 等于（ A 、100° 5、如图2,在正方形ABCD 中点E,B 、115° EF=3, AF 二5,那么正方形ABCD 的面积等于（ P 为ZXABC 内任一点，）C 、130°F 分别在边BC 、CD±, H.D 、65° 如果D 256匕ITc 256°、6、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、肓角三角形D 、不能确定 等腰三角形的底角为15°,腰长为a,则此三角形的面积为（ ）B 、-a 2C 、-a 22 4如图3, AB=AC=BD 那么Zl, Z2之间关系满足（ B 、2Z1 + Z2 = 18O° D 、3Z1-Z2=18O°一腰上的屮线把夷周长分为两部分， 7、 8、 9、a,A 、a 2D 、非以上答案A 、Z1 = 2Z2 C 、Zl + 3Z2=180°等腰三用形底边长为5cm, 其差为3cm,则腰长为（） As 2cm 8cm C 、2cm 或 8cm D^ 7cm10、 如图4, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD ±的点，且CD=DF, AE 、BF 相交于点0,下列结论①AE 二BF ；②AE 丄BF ；③A0二0E ； @S A AOB = S四娠DEOF ， 错误的冇（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 11、 已知：如图5, AEBD 是以正方形ABCD 的对角线BD 为一边的止三角形, EF 丄DA 于F, ZAEF 的度数是（ ）A 、 15°B 、 30°C 、 45°D 、60° )D F C图4图C E这个距离为________ o23、一艘船由南向北航行，如图15所示，在A 处测得小岛P 西偏北75°方向上，两小时后，轮船在B 处测得小岛西偏北60°方向上，已知在小岛周 围18海里范围内有暗礁，试问：伦船继续以15海里/时的速度向北行驶， 有无触礁危险？（8分）14、 ____________________________________________________________________ 如图 7,在AABC 中，AD 丄BC 于 D, BE 丄AC 于 E, AD 二BD 二5,则 AF+DC 二 ________________________________ 。

【九年级】九年级上册第一章证明（二）单元试题（北师大附答案）第一章证明（二）检测题（本试卷满分120分，时间120分钟）一、（每小题3分，共30分）1.以下主张：① 等腰三角形的角平分线、中线和高度重合；② 等腰三角形两边的高度相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）a、 1 B.2 C.3 D.42.如图所示，△abc是等腰三角形，点d是底边bc上异于bc中点的一个点，∠ade＝∠dac，de=ac.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）a、平行四边形是指一组相对边平行的四边形和另一组相对边相等的四边形b.有一组对边平行的四边形是梯形c、具有相等对边和相等对角线的一组四边形是平行四边形d.对角线相等的四边形是矩形3.如图所示，在△ ABC，D点在AC的一侧，则∠a的度数为（）a、30°b.36°c.45°d.70°4.下列命题,其中真命题有（）① 4的平方根是2；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③ 连接任意四边形每边中点的四边形是平行四边形a.0个b.3个c.2个d.1个5.如果已知等边三角形的高度为2，则其边长为（）a.4b.3c.2d.56.在△ 美国广播公司，∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3，最短边C，则最长边AB的长度为（）a.5cb.6cc.cd.8c7.如果等腰三角形底边长度为a，顶角为底角的4倍，则腰部高度为（）a.ab.ac、广告8.下列说法中，正确的是（）a、两个相等的三角形对应于两条边和一条对角线是全等的b.有一边对应相等的两个等腰三角形全等c、两边和一边的中线对应于两个相等三角形的同余d.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等9.已知直角三角形的周长是2，斜边上的中心线的长度是2，那么个三角形的面积为（）a、 5b。

二c.d.110.如图所示△ ABC，AB的垂直平分线在D点与AC相交，在E点与AB相交。

2012—2013学年度第一学期九年级（上）数学单元测试卷第一章 《证明（二）》（说明：本试题满分150分，考试时间90分钟）一、选择题：（每小题3分，共45分）1、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）A 、17B 、22C 、13D 、17或222、如图，在△ABC 中，∠A=50°，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，则∠DBC 的度数是（ ）A 、15°B 、20°C 、30°D 、25°3、如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组4、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上， 且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A 、30°B 、36°C 、45°D 、70°5、如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米， AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A 、AB 中点 B 、BC 中点C 、AC 中点D 、∠C 的平分线与AB 的交点6、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）A 、顶角、一腰对应相等B 、底边、一腰对应相等C 、两腰对应相等D 、一底角、底边对应相等7、在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，–2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等到腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个A B DE （第3题） 第4题第5题8、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ）A 、1 个B 、2 个C 、3个D 、不确定9、如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C = 1 ：2 ：3，CD ⊥AB ，AB =a ，则DB =（ ）A 、4a B 、3a C 、2a D 、43a10、已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若cm c cm b a 1014==+，，则S Rt △ABC =（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、50cm 211、如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于E ，交AC 于F ，∠A =50，AB +BC =16cm ，则如图，△BCF 的周长和∠EFC 分别为（ ）A 、16cm ，40°B 、8cm ，50°C 、16cm ，50°D 、8cm ，40°12、以下命题中，真命题的是 （ ）A 、两条直线相交只有一个交点B 、同位角相等C 、两边和一角对应相等的两个三角形全等D 、等腰三角形底边中点到两腰相等13、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 （ ）A 、必定全等B 、必定不全等C 、不一定全等D 、以上答案都不对14、如图，⊿ABC ≅⊿FED ，那么下列结论正确的是 （ ）A EC = BDB EF ∥ABC DE = BD D AC ∥ED15、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是 （ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、任意三角形一、填空题：（每小题5分，共25分）16、等腰三角形的底边长为2，面积等于1，则它的顶角的度数为 。

九年级数学（上）单元评估试卷第一 章 证明（二）（总分：100分；时间： 分） 姓名 学号 成绩 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110°2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 不确定3、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A ①②④ B ②④ C ①④ D ②③5、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是 （ ） A AD ＝AE B ∠AEB ＝∠ADC C BE ＝CD D AB ＝AC(第5题图) (第6题图)6、如图，⊿ABC ≅⊿FED ，那么下列结论正确的是 （ ） A EC = BD B EF ∥AB C DE = BD D AC ∥ED7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 （ ） A 17 B 22 C 13 D 17或228、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 （ ） A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对 9、以下命题中，真命题的是 （ ） A 两条直线相交只有一个交点 B 同位角相等C 两边和一角对应相等的两个三角形全等D 等腰三角形底边中点到两腰相等 10、面积相等的两个三角形 （ ） A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。

北师大版九年级(上)数学第一章证明（二）测试卷Ｂ 姓名____________班级____________得分___________一、选择题 （每题4分，共40分）1、△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=75°，则∠A 的度数为（ ）A 35°B 40°C 70°D 110°2、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点3、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 任意三角形4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A ①② B ②④ C ①④ D ②③5、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≅△ACD 的是 （ ） A AD ＝AE B ∠AEB ＝∠ADC C BE ＝CD D AB ＝AC(第5题图) (第6题图) 6、如图，⊿ABC ≅⊿FED ，那么下列结论正确的是 （ ） A FC = BD B EF ∥AB C DE = BD D AC ∥ED7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 （ ） A 17 B 22 C 13 D 17或228、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 （ ） A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对9、以下命题中，真命题的是 （ ） A 两条线只有一个交点 B 同位角相等C 两边和一角对应相等的两个三角形全等D 等腰三角形底边中点到两腰相等 10、在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，–2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等到腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个二、填空题（每空4分，共32分）11、⊿ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A + ∠B 还大︒12，那么∠BAD = 度12、在方格纸上有一三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 三角形.13、如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。

【九年级】九年级上册第一章证明（二）单元试题（北师大附答案）第一章证明（二）检测题（本试卷满分：120 分，时间：120分钟）一、（每小题3分，共30分）1. 下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE=AC.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.有一组对边平行的四边形是梯形C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形3. 如图，在△AB C中，，点D在AC边上，且，则∠A 的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.下列命题,其中真命题有（）①4的平方根是2；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形.A.0个B.3个C.2个D.1个5.已知等边三角形的高为2 ，则它的边长为（）A.4B.3C.2D.56.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边 c，则最长边AB的长是（）A.5 cB.6 cC. cD.8 c7.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）A. aB. aC. aD. a8.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等9.已知一个直角三角形的周长是 2 ，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C. D.110.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 c， c，那么△ 的周长是（）A.6 cB.7 cC.8 cD.9 c二、题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°,∠BAC 的平分线与AB的中垂线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.13. 在△ABC和△ADC中，下列论断：① ；② ；③ ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_______ _____.1 4.如图，在△ABC中，，A平分∠ ， c，则点到AB的距离是_________.15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则_________， _________.16.一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．17.如图，已知的垂直平分线交于点，则 .18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点,如果∠ADF=100°,那么∠BD为度.三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（与A不重合），D⊥BC，且交∠ 的平分线于点D，求证： .20.（8分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2 ），CD为等边三角形ABC的高.准外心P在高CD上，且PD＝ AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.21.（8分）如图，在四边形中，，平分∠ .求证： .22.（8分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若，求BE的长.23.（8分））如图，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE 和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．24.（8分）求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点 .求证：△ 是等腰三角形．26.（10分）在△ 中，，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点， .（1 ）求的大小.（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠ 的大小.（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？第一章证明(二)检测题参考答案一、1.B 解析：只有②④正确.2. C 解析:∵ △ABC是等腰三角形，∴ AB=AC，∠B=∠C.∵ DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即，∴ △ADE≌△DAC，∴ ∠E=∠C，∴ ∠B=∠E，AB=DE.但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故选C.3.B 解析：因为，所以 .因为，所以，.又因为，所以，所以所以4. D 解析: 4的平方根是±2，有两边和一角相等的两个三角形不一定全等.故命题①②都是假命题，只有命题③是真命题，故选D.5.A 解析：设等边三角形的边长为a，则6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.又因为最短边 c，则最长边 c.7.D 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角是120°，底角是30°.如图，在△ 中，则8.C 解析：A.两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故A项错误；B.有一腰及顶角对应相等的两个等腰三角形全等，故B项错误；C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，D项错误.9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中因为直角三角形斜边的长等于其中线长的2倍，所以又因为其周长是，所以 .两边平方得， .由勾股定理知，所以 .10.D 解析：因为垂直平分，所以 .所以△ 的周长（c）.二、题11. 100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，得∠BOA=∠COA=所以∠OBC=∠OCB= =40°.由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.12. 直角解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.在△ABC和△ADC中，如果那么14.20 c 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.15. 1∶3 解析：因为，F是AB的中点，所以 .在Rt△ 中，因为，所以 .又，所 .16. 16或17 解析:当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2+6=16;当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2+5=17.∴这个等腰三角形的周长为16或17.17. 解析: ∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，∴ ∠B= ∠C=∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD. ∴∴18. 85 解析:∵ ∠BD =180°-100°-30°=50°，∴∠BD =180°-50°-45°=85°.三、解答题19. 证明：∵ ，，∴ ∥ ，∴ .又∵ 为∠ 的平分线，∴ ，∴ ，∴ .20. 分析：应用：分PB＝PC，PA＝PC，PA＝PB三种情况讨论.探究：同上分三种情况讨论.解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.∵ CD为等边三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴ PD＝ DB＝ AB，与已知PD＝ AB矛盾，∴ PB≠PC.若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.若PA＝PB，由PD＝ AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，所以∠APB＝90°.探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴ x= ，即PA＝ .若PA＝PC，则PA＝2.若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，不可能.故PA＝2或 .点拨：分类讨论问题要做到不重、不漏.21. 分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，过D作于点F.因为BD平分∠ABC，所以 .在Rt△EAD和Rt△FCD中，，所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.所以∠ =∠ .因为∠ ∠ 80°，所以∠ ∠ .22. 解：因为△ABD和△CDE是等边三角形，所以，∠ ∠ 60°.所以∠ ∠ ∠ ∠ ，即∠∠ .在△ 和△ 中，因为所以△ ≌△ ，所以 .又，所以 .在等腰直角△ 中，，故 .23.解：，BE⊥EC.证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.∵ ，∴ △EAB≌△EDC.∴ ∠ ∠ ， .∴ ∠ ∠ 90°.∴ ，⊥ .24. 解：已知：如图，在△ 中，，求证：∠ ∠ .证明：假设∠ ∠ ，那么根据“等角对等边”可得，但已知条件是相矛盾，因此∠ ∠ .25.证明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．∵ 于，∴ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.26. 解：画出图形如图所示.（1）因为，所以 .所以 .因为D是AB的垂直平分线，所以，所以 .（2）同（1），同理可得 .（3）AB的垂直平分线与底边BC的延长线所夹的锐角等于∠A的一半.（4）将（1）中的改为钝角，这个规律的认识无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

九年级数学下册1.3~1.4水平测试山东周长诗一、选择题(每小题5分，共40分)1. 下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列作图语句正确的是（）A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥bD.过点P作直线AB的垂线3.如图⑴，在R t△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有（）图⑴A.2个B.3个C.4个D.5个4.下列各语句中，不是真命题的是（）A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等5.下列命题中是真命题的是（）A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等6.如图⑵，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm图⑵图⑶7.如图⑶，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③8.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等二、填空题(每小题3分，共24分)1.三角形的交点到三个顶点的距离相等.2.如图⑷，在△ABC中,∠B=115º，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D, 且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB的度数为.3.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是.4.在△ABC中,∠C=90º,BC=4cm,∠BAC的平分线交BC于D，且BD∶DC=5∶3，则点D 到AB的距离为.5.如图⑸，ED为△ABC的边AC上的垂直平分线，且AB=5, △BCE的周长为9,则BC= .6.如图⑹，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm, 那么ED=cm; 如果∠ECD=60º,那么∠EDC= .7.如图⑺，已知AB=AC, ∠A=40º，AB的垂直平分线MN交AC于点D, 则∠BDN= .8.如图⑻，AD、AE分别是△ABC中∠A内角的平分线和外角平分线，则∠DAE= .三、解答题1.(8分)如图⑼，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC交BD于点O,AC与BD有怎样的位置关系？OB与OD有怎样的大小关系？为什么？2. (8分)如图⑽，已知△ABC中,∠C=90º,ED垂直平分AB于D,交AC于E，∠A=30º. 求证：AE=2EC3. (10分)已知如图⑾，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F, 求证：点F在∠DAE的平分线上.附加题参考答案一、1、A 2、D 3、D 4、C 5、A 6、B 7、D 8、D二、1、三条边垂直平分线2、25º3、直角三角形4、325、46、7；60º7、130º8、90º三、1.解：AC是BD的垂直平分线因为AB=AD,CB=CD，所以AC是BD的垂直平分线；OB=OD因为AC是BD的垂直平分线，AC交BD于点O，所以OB=OD2.证明：如图,连结BE,∵DE是AC的垂直平分线，∴∠ADE=∠BDE=90º,AE=EB, ∴∠DBE=∠A=30º.∵∠C=90º,∴∠ABC=60º,∴∠CBE=∠DBE=30º∴BE=2EC∴AE=2EC.3.证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN, P、M、N为垂足.∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FM同理：FM=FN.∴FP=FN∴点F在∠DAE的平分线上.。

【九年级】九年级上册第一章证明（二）单元试题（北师大附答案）第一章证明（二）检测题（本试卷满分：120分，时间：120分钟）一、（每小题3分后，共30分后）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最轻边就是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都成正比；⑤等腰三角形都就是锐角三角形.其中恰当的存有（）a.1个b.2个c.3个d.4个2.如图所示，△abc就是等腰三角形，点d就是底边bc上异于bc中点的一个点，∠ade＝∠dac，de=ac.运用这个图（不嵌入辅助线）可以表明以下哪一个命题就是骗人命题？（）a.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形b.存有一组对边平行的四边形就是梯形c.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形d.对角线成正比的四边形就是矩形3.如图，在△abc中，，点d在ac边上，且，则∠a的度数为（）a.30°b.36°c.45°d.70°4.以下命题,其中真命题存有（）①4的平方根是2；②存有两边和一角成正比的两个三角形全系列等；③连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形.a.0个b.3个c.2个d.1个5.已知等边三角形的高为2，则它的边长为（）a.4b.3c.2d.56.在△abc中，∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，最短边c，则最长边ab的长是（）a.5cb.6cc.cd.8c7.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）a.ab.ac.ad.a8.以下观点中，恰当的就是（）a.两边及一对角对应相等的两个三角形全等b.存有一边对应成正比的两个等腰三角形全系列等c.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等d.两边及其中一边上的高对应成正比的两个三角形全系列等9.已知一个直角三角形的周长是2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）a.5b.2c.d.110.如图，在△abc中，ab的垂直平分线交ac于点d，交ab于点e，如果c，c，那么△的周长是（）a.6cb.7cc.8cd.9c二、题（每小题3分后，共24分后）11.如图所示，在等腰△abc中，ab=ac,∠bac=50°,∠bac的平分线与ab的中垂线处设点o，点c沿ef折叠后与点o重合，则∠oec的度数是.12.若一个三角形的三条高线交点恰好就是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.13.在△abc和△adc中，以下论点：①；②；③，把其中两个论点做为条件，另一个论点做为结论，写下一个真命题：____________.14.如图，在△abc中，，a平分∠，c，则点到ab的距离就是_________.15.如图，在等边△abc中，f是ab的中点，ef⊥ac于e，若△abc的边长为10，则_________，_________.16.一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．17.例如图，未知的垂直平分线处设点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点d恰好放在等腰直角三角板的斜边ab上,bc与de交于点,如果∠adf=100°,那么∠bd为度.三、答疑题（共66分后）19.（8分）如图，在△abc中，，是上任意一点（与a不重合），d⊥bc，且交∠的平分线于点d，澄清：.20.（8分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：至三角形的两个顶点距离成正比的点，叫作此三角形的科东俄外心.举例：如图（1），若pa＝pb，则点p为△abc的准外心.应用：如图（2），cd为等边三角形abc的高.科东俄外心p在低cd上，且pd＝ab，谋∠apb的度数.探究：未知△abc为直角三角形，斜边bc＝5，ab＝3，科东俄外心p在ac边上，先行探究pa的长.21.（8分后）例如图，在四边形中，，平分∠.澄清：.22.（8分）如图，以等腰直角三角形abc的斜边ab为边作等边△abd，连接dc，以dc为边作等边△dce，b、e在c、d的同侧，若，求be的长.23.（8分后））例如图，在rt△abc中，，点d是ac的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a、d重合，连接be、ec．先行悖论线段be和ec的数量及边线关系，并证明你的悖论．24.（8分）求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不成正比.25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.澄清：△就是等腰三角形．26.（10分）在△中，，ab的垂直平分线交ac于点n，交bc的延长线于点，.（1）求的大小.（2）如果将（1）中的∠a的度数改成70°，其余条件维持不变，Ploudalm∠的大小.（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）（4）将（1）中的∠a改成钝角，对这个问题规律的重新认识与否须要予以修正？第一章证明(二)检测题参考答案一、1.b解析：只有②④正确.2.c解析:∵△abc就是等腰三角形，∴ab=ac，∠b=∠c.∵de=ac，ad=ad，∠ade=∠dac，即为，∴△ade≌△dac，∴∠e=∠c，∴∠b=∠e，ab=de.但是四边形abde不是平行四边形，故一组对边成正比，一组对角成正比的四边形不是平行四边形，故挑选c.3.b解析：因为，所以.因为，所以，.又因为，所以，所以所以4.d解析:4的平方根就是±2，存有两边和一角成正比的两个三角形不一定全系列等.故命题①②都就是骗人命题，只有命题③就是真命题，故挑选d.5.a解析：设等边三角形的边长为a，则6.d解析：因为∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，所以△abc为直角三角形，且∠c为直角.又因为最短边c，则最久边c.7.d解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角就是120°，底角就是30°.例如图，在△中，则8.c解析：a.两边及夹角对应成正比的两个三角形全系列等，故a项错误；b.有一腰及顶角对应相等的两个等腰三角形全等，故b项错误；c.两边及其中一边上的中线对应成正比的两个三角形全系列等，恰当；d.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，d项错误.9.b解析：设此直角三角形为△abc，其中因为直角三角形斜边的长等同于其中线长的2倍，所以又因为其周长就是，所以.两边平方得，.由勾股定理言，所以.10.d解析：因为垂直平分，所以.所以△的周短（c）.二、题11.100°解析:如图所示，由ab=ac，ao平分∠bac得ao所在直线是线段bc的垂直平分线，连接ob，则ob=oa=oc，所以∠oab=∠oba=×50°=25°，得∠boa=∠coa=所以∠obc=∠ocb==40°.由于eo=ec，故∠oec=180°-2×40°=100°.12.直角解析:直角三角形的三条高线交点恰好就是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.在△abc和△adc中，如果那么14.20c解析:根据角平分线的性质：角平分线上的的边角两边的距离成正比可以得答案.15.1∶3解析：因为，f是ab的中点，所以.在rt△中，因为，所以.又，所.16.16或17解析:当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2+6=16;当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2+5=17.∴这个等腰三角形的周长为16或17.17.解析:∵∠bac=120，ab=ac，∴∠b=∠c=∵ac的垂直平分线交bc于点d，∴ad=cd.∴∴18.85解析:∵∠bd=180°-100°-30°=50°，∴∠bd=180°-50°-45°=85°.三、解答题19.证明：∵，，∴∥，∴.又∵为∠的平分线，∴，∴，∴.20.分析：应用：分pb＝pc，pa＝pc，pa＝pb三种情况讨论.探究：同上分后三种情况探讨.解：应用：若pb＝pc，连接pb，则∠pcb＝∠pbc.∵cd为等边三角形的高，∴ad＝bd，∠pcb＝30°，∴∠pbd＝∠pbc＝30°，∴pd＝db＝ab，与未知pd＝ab矛盾，∴pb≠pc.若pa＝pc，连接pa，同理，可得pa≠pc.若pa＝pb，由pd＝ab，得pd＝bd，∴∠bpd＝45°，所以∠apb＝90°.探究：若pb＝pc，设pa＝x，则x2+32=(4-x)2，∴x=，即pa＝.若pa＝pc，则pa＝2.若pa＝pb，由图（2）知，在rt△pab中，不可能.故pa＝2或.指点：分类探讨问题必须努力做到不轻、拣.21.分析：从条件bd平分∠abc，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.证明：例如图，过点d作de⊥ab交ba的延长线于点e，过d作于点f.因为bd平分∠abc，所以.在rt△ead和rt△fcd中，，所以rt△ead≌rt△fcd（hl）.所以∠=∠.因为∠∠80°，所以∠∠.22.求解：因为△abd和△cde就是等边三角形，所以，∠∠60°.所以∠∠∠∠，即为∠∠.在△和△中，因为所以△≌△，所以.又，所以.在等腰直角△中，，故.23.求解：，be⊥ec.证明：∵，点d是ac的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△eab≌△edc.∴∠∠，.∴∠∠90°.∴，⊥.24.求解：未知：例如图，在△中，，澄清：∠∠.证明：假设∠∠，那么根据“等角对等边”可得，但已知条件就是二者矛盾，因此∠∠.25.证明：∵，∴∠∠．∵于，∴∠∠．∴∠∠∠∠．∴∠∠．∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.26.求解：图画出来图形如图所示.（1）因为，所以.所以.因为d是ab的垂直平分线，所以，所以.（2）同（1），同理可得.（3）ab的垂直平分线与底边bc的延长线所夹的锐角等于∠a的一半.（4）将（1）中的改成钝角，这个规律的重新认识无须修正，仍存有全等三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半.。

一、填空题1、 如图1，若⊿ABE ≅⊿ADC ，则AD = AB ，DC = ；∠D = ∠ ；∠BAE = ∠ ；2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝ ．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。

二、选择题6、给出下列命题，正确的（ ） ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（ ） A 、腰相等的两个等腰三角形 B 、一个角对应相等的两个等腰三角形 C 、斜边对应相等的两个直角三角形 D 、底相等的两个等腰直角三角形8、已知如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°（B ） 36°（C ）45°（D ）54°9、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）（A ）6个 （B ）7个 （C ）8个 （D ）9个10、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） （A ）45°（B ）55° （C ）60°（ D ）75° 三、解答题11、阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；12、已知：线段a 、h (如图)求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h . 请你用尺规作图，并补全作法 作法：(1)作线段BC= .(2)作 . (3) . (4)连结 .则△ABC 为所求等腰三角形.一、填空题1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形§1.1.2证明(二)§1.1.1证明(二)2、已知△ABC ，如下左图所示，其中∠B =∠C ，则_______=________. .3、如上中图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，则∠C =__________°;CE ∶EA =__________.4、如上右图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中，∠A =∠B=21∠C ，则△ABC 是__________三角形. 二、选择题6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形7、如下左图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC的平分线，则图中共有等腰三角形（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如上右，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（ ） A.2对 B 、3 对 C.4对 D.5对9、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个10、如上右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于（ ）A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm 三、解答题11、已知，如左下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.12、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.13、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .一、填空题1、已知，等腰△ABC ，AB =AC ：（1）若AB =BC ，则△ABC 为_________三角形； （2）若∠A =60°，则△ABC 为_______三角形； （3）若∠B =60°，则△ABC 为_______三角形.2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴.4、如图上右图，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，AD =DE =6cm 则∠ACD =_____°,AC =______cm,∠DAC =_______°，△ADE 是______三角形.5、如左下图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，如果AB = 8 cm ，则BD =_______cm ，∠BDE =_____°,BE =______cm.§1.1.3证明(二)ECAD CBA 21EAC BDCBAC6、如右上图，Rt △ABC 中，∠A =30°,AB +BC =12 cm ，则AB =__________cm.二、选择题7、下列说法不正确的是 A.等边三角形有三条对称轴 B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、下列命题不正确的是 A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形9、在Rt △ABC 中，如右图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3.8 cm ，则BC 等于 A.3.8 cm B.7.6 cm C.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如下图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.11、如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA .12、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD .一、判断题1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确2.定理不一定有逆定理3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长 二、填空题4、Rt △ABC 中，∠C =90°，如图下左图，若b =5，c =13，则a =__________；若a =8，b =6，则c =__________.5、等边△ABC ，AD 为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD =__________，BD ∶AD ∶AB =__________∶__________∶__________.5、上右图所示，正方形ABCD ，AC 为它的一条对角线，若AB =2，则AC =__________；若AC =2，则AB =__________；AC ∶AB =__________∶__________.6、如右图，△ABC 中，∠A +∠C =2∠B ，∠A =30°，则∠C =__________；若AB =6，则BC =__________. 7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a 则（1）当6,8均为直角边时，a =__________； （2）当8为斜边，6为直角边时，a =__________. 三、选择题8、如右图，等腰直角△ABC ，AB =2，则S △ABC 等于( ) A.2 B.1 C.4 D.29、若三角形的三边分别为a ,b ,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是() A.a =2,b =3,c =4B.a =12,b =5,c =13§1.2.1证明(二)C.a =4,b =5,c =6D.a =7,b =18,c =1710、如左下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，那么AB的长度是A.27 B.27 C.10D.2511、如右上图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于( )A.4 8B.24C.10D.12四、解答题12、已知，如下图，等边三角形ABC ，AD 为BC 边上的高线，若AB =2，求△ABC 的面积.AC =4，BC =3，DB =59. 13、已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，（1）求DC 的长；（2）求AD 的长； （3）求AB 的长；（4）求证：△ABC 是直角三角形.14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC ，测得∠A =50°，∠B =40°，AB =5 km,BC =4 km ，若每天凿隧道0.3 km ，问几天才能把隧道凿通？一、填空题1、如图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90（1）若∠A =∠D ，BC =EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （2）若∠A =∠D ，AC =DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （3）若∠A =∠D ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （4）若AC =DF ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （5）若AC =DF ，CB =F E ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.2、如右图，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AB =DC ，∠A =∠D =90°，AC 与BD 交于点O ，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3、已知：如图下左图，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AE =DF ，AB =DC ，则△__________≌△__________（HL ）.4、已知：如上中图，BE ，CF 为△ABC 的高，且BE =CF ，BE ，CF 交于点H ，若BC =10，FC =8，则EC =__________.5、已知：如上右图，AB =CD ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，且DE =BF ，∠D =60°，则∠A =______°.二、选择题6、如下左图，O 是∠BAC 内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE =OF ，则△AEO ≌△AFO 的依据是( ) A.HLB.AASC.SSSD.ASA7、在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C =∠C ′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′的是( )A.AB =A ′B ′=5，BC =B ′C ′=3B.AB =B ′C ′=5，∠A =∠B ′=40°C.AC =A ′C ′=5，BC =B ′C ′=3D.AC =A ′C ′=5，∠A =∠A ′=40°8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等 三、证明题9、如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB =AD ，求证：CD=CB .§1.2.2证明(二)10、已知：如下图，CD 、C ′D ′分别是Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′斜边上的高，且CB = C ′B ′，CD =C ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.11、如下图，已知∠ABC =∠AD C=90°，E 是AC 上一点，AB =AD ，求证：EB=ED .一、填空题1、如下左图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB =10 cm ，则BD =__________cm ；若P A =10 cm ，则PB =__________cm ；此时，PD =__________cm.2、如下中图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC =5cm ，则AB +BD +AD =________cm ；AB +BD +DC=__________cm ；△ABC 的周长是__________cm.3、如上右图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE =5，则AE =_________，∠AEC =_________，AC =__________ .4、已知线段AB 及一点P ，P A =PB =3cm ，则点P 在__________上.5、如果P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB =6cm ，则P A =__________cm.6、如图下左图，P 是线段AB 垂直平分线上一点，M 为线段AB 上异于A ，B 的点，则P A ，PB ，PM 的大小关系是P A ________PB ________PM .7、如图下中图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 平分∠ABC 交BC 于D ，则点D 在__________上. 8、如图上右图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，则直线AD 必是__________的垂直平分线. 二、选择题9、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形 ②等边三角形 ③点 ④角 ⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个10、如下左图，AC =AD ，BC =BD ，则 A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACBD.以上结论均不对11、如上右图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形三、解答题13、如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外§1.3.2证明(二)§1.3.1证明(二)两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 二、填空题5、如左下图，点P 为△ABC 三边中垂线交点，则P A __________PB __________PC .6、如右上图，在锐角三角形ABC 中，∠A =50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC =_______度.7、如左下图，D 为BC 边上一点，且BC =BD +AD ，则AD __________DC ，点D 在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B __________∠1，∠C __________∠2；若∠BAC =126°，则∠EAG =__________度.9、如左下图，AD 是△ABC 中BC 边上的高，E 是AD 上异于A ，D 的点，若BE =CE ，则△__________≌△__________(HL )；从而BD =DC ，则△________≌△_________(SAS )；△ABC 是__________三角形.10、如右上图，∠BAC =120°，AB =AC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，则∠AD B=_________度. 三、作图题11、（1）分别作出点P ，使得P A=PB=PC（2）观察各图中的点P 与△ABC 的位置关系，并总结规律：当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个. 四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.一、判断题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴 二、填空题5、如图下左图，AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE __________PF .6、如图下中图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD =PE ，连接AP ，则∠BAP __________∠CAP.7、如图上右图，∠BAC =60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD =3，则PE =______.8、已知，如图（4），∠AOB=60°,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，若CD =CE ，则∠COD +∠AOB =__________度.§1.4.1证明(二)9、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.三、选择题10、下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等11、下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等12、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.15、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC. 一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上§1.4.2证明(二)又∵BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M 在∠A 的__________上 ∴M 、N 都在∠A 的__________上 ∴A 、M 、N 在一条直线上 三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC 内部距三边距离相等的点. 11、在下图△ABC 所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，求：D 到AB 边的距离.班级：_______姓名：________得分：__________一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如下左图，△ABC 中，∠C =90°，AM 平分∠CAB ，CM =20 cm ，则点M 到AB 的距离是_________.4.如上右图，等边△ABC 中，F 是AB 中点，EF ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则AE =_________，AE ∶EC =_________.5.如下左图，△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AB 于D ，若AB =10 cm ，AC =6 cm ，则△ACD 的周长为_________.6.如上右图，∠C =90°，∠ABC =75°，∠CDB =30°，若BC =3 cm ，则AD =_________ cm.7.如下左图，B 在AC 上，D 在CE 上，AD =BD =BC ，∠ACE =25°，∠ADE=_________.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm.9.如上右图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形. 二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ）面A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n ° 单元测试证明(二)14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如右图，△ABC 中， AB =AC ，BC =BD ， AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330 cm C.1360 cm D.9 cm 20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ） A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，则AD 等于（ ）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.下列说法中，正确的是（ ） A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为（ ）D.34A.8B.5C.326.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5B.2C.45D.1三、解答题 29.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.30.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .31.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.33.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.*34.①在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ， ∠A =30°，求∠NMB 的大小.②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小. ③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案1.1.1全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝ 4、70 80 5、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略 1.1.2等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC 3.高线 中线 平分线 4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角 二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 三、1.解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠F AD ，且DF ∥AE ∴∠EAD =∠ADF ，∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .同理，可得AE =ED ，∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDA EDA ADAD FAD EAD ∴△ADE ≌△ADF （ASA ） ∴AE =AF ，DE =DF 综上，AE =ED =DF =AF =6∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 2.证明：∵∠1=∠2，∴AD =AE 又∵DE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C 且∠B =∠C ∴AB =AC ，∴AB －AD =AC －AE 即DB =EC∴在△DBG 和△ECG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CG BG C B EC DB ∴△DBG ≌△ECG （SAS ） ∴DG =GE ，∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°， 又∵∠A =60°，∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中，AD =21AC ， 又∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中， ∴∠B =30°，∴AC =21AB ∴AD =4AB ， 则AD =31BD ，即BD =3AD . 1.1.3等腰三角形判别一、1.（1）等边 （2）等边 （3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一 三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8 二、1.C 2.B 3.C三、1.解：∵AD =DC ，且∠A =20°，∴∠A =∠ACD =20°， 又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3 ∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110° 2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形， ∴BE =BD ，∠DBE =60°， ∴∠ABE =∠DBE∴在△ABE 和△CBD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE =CD 1.2.1勾股定理 一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.6 3 1 3 23.222 2 1 4.90° 35.(1)10 (2)27. 三、1.B 2.B 3.C 4.C四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ， ∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =21AB =1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3∴S △ABC =21AD ·BC =21×3×2=3 ∴△ABC 的面积为3.2.（1）解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－251442581=∴DC =512（2）解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD =516（3）解：AB =AD +DB=516+59=5（4）证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°， ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A =50°，∠B =40°，∴∠C =90°，∴AC 2=AB 2－BC 2=（3 km ）2 ∴AC =3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通. 1.2.2直角三角形全等的判定一、1.（1）AA S （2）ASA （3）AA S （4）HL （5）SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30二、1.A 2.B 3.D三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中⎩⎨⎧==AC AC ABAD ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .（本题也可用勾股定理直接证明） 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中，⎩⎨⎧''=''=C B BC D C CD ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL )∴∠B =∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ). 3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧==ACAC ADAB∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE∴在△DCE 和△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BC DC∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴EB =ED 1.3.1线段的垂直平分线 一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.6 6.= ＞ 7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC 三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上，∴OP 垂直平分EF . 1.3.2三角形三条中垂线交于一点 一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD 等腰6.60° 三、1.略 （2）内部 斜边的中点 外部 四、类比联想：略 1.4.1角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4 三、1.C 2.A 3.B 4.D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可. 2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF =DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC . 1.4.2三角形三角的平分线交于一点 一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. × 二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = =4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ 平分线 平分线 三、提示：1.三个内角平分线交点2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点3.略四、解：过点D 作DE ⊥AB ，则DE 是点D 到AB 的距离∵BD ∶CD =9∶7， ∴CD =BC ·16732167⨯==14 而AD 平分∠CAB ，∴DE =CD =14第一章单元测试卷cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或21 9.4 10.如果一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。