北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦

《第1章 特殊平行四边形》一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015 D ．（）2014二、填空题 3．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．4．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 ．6．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．8．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 ．10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度．11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （只填一个）．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．三、解答题14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第1章 特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A 、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；B 、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；C 、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；D 、无法判断．故选B ．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）2014【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（）1，同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014． 故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=， 同理：B 3C 3=×=…∴a 1=1，q=，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 （，0） ．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；规律型．【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则A 3（，0）．【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），所以A 3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=，然后再在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知； ==，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：==；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积= …∴正方形A n B n C n D n 的面积=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= 5 cm ，AB= 13 cm ．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN 是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm ，EF=4cm 可求出EM ．易证△ADF ≌△CBN ，从而得到DF=BN ；易证△AFD ∽△AEB ，从而得到4DF=3AF ．设DF=3k ，则AF=4k ．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k ，AB=5（k+1）．由▱ABCD 的周长为42cm 可求出k ，从而求出AB 长．【解答】解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠DAB ，同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC ，∠BCM=∠DCM=∠BCD ，∠CDM=∠ADM=∠ADC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，AD=BC ．∴∠DAF=∠BCN ，∠ADF=∠CBN ．在△ADF 和△CBN 中，．∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF=BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∴∠AEB=90°．同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．∴∠EFM=90°．∵FM=3，EF=4，∴ME==5（cm）．∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN=FM=3．∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴=．∴=．∴4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．∵∠AFD=90°，∴AD=5k．∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21．∴5（k+1）+5k=21．∴k=1.6．∴AB=13（cm）．故答案为：5；13．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．三、解答题14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】证明题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．【解答】证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．【解答】解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S=BD•AD=3×4=12．矩形ADBE【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，【分析】可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，。

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE 是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE=22AB AE-=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22AB OA-=3（cm），∴BD=2OB=23cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．25B．35C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．102B．53C5103D1053【答案】A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．201421）（B．201521）（C．201533）（D．201433）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=22AB OA=33，∴BD=63，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P的坐标为方程组3(13)1y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（03），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 B．2C．3D． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．3B． 3 3C．3D93【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=26，则MF的长是（）A15B15C．1 D．15【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】3【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x，则3-3，3-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x）2，解得3，∴⊙O的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B 作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形解答题训练（一）解析版1．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．2．（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．3．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．5．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD 边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．8．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．9．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD 于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．12．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．13．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．14．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形BEDF为菱形．15．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．16．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．17．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．18．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第一章特殊平行四边形解答题训练（一）参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2．【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0＝1+2+1＝4；（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解（2）的关键．3．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE 是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．4．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．5．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．10．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG ＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB ＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．11．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG ∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．【分析】连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH＝HE，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，BD，如图所示：∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理HG＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，根据题意正确找出辅助线是解决问题的关键．14．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO．∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．故答案为：EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO（答案不唯一）【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．15．【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF＝90°即可．（2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF＝60°，又因为PC＝PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE＝PC＝AP．【解答】解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点∴PA＝PC∵点P位于AE的垂直平分线上∴PA＝PE∴PC＝PE由正方形的轴对称性质可得，∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE∴∠PAD＝∠E∴∠PCD＝∠E∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠FDE∵正方形ABCD∴∠ADC＝90°∴∠FDE＝90°∴∠CPF＝90°∴PC⊥PE（2）PA＝CE．理由如下：∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点∴AP＝PF，∠PAD＝∠PCD∵点P在AE的垂直平分线上∴AP＝PE∴PE＝PC，∠PAD＝∠PED∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠EDF∵菱形ABCD，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE【点评】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．16．【分析】（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．18．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME ≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．19．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．在直角△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3，由勾股定理知，DE＝＝＝5，∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

1．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形;（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；（3）当满足条件四边形EFGH是正方形．2已知，如图，四边形ABCD是菱形,∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H,在AB边上取点E，使得AE=AH,在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．（1)求证：四边形EFGH是矩形；(2）当∠B为多少度时,四边形EFGH是正方形？并证明．3如图，根据图形解答下列问题(1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（4）△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形？4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2)如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2）,通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立(不用证明）；（3）在图（2)中,试想:如果拖动点A，通过你的观察和探究,在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形(不用证明）．5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点．（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2)若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G,则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立;（请直接回答“成立”或“不成立"）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立,请写出证明过程;若不成立，请说明理由．(3）如图④，在(2）的基础上，连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并写出证明过程．7如图，E是矩形ABCD边BC的中点,P是AD边上一动点,PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F,H．(1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；(2）在（1)中，动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形？为什么？8）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC，BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．(1)求∠AGD的度数;（2）证明四边形AEFG是菱形；9已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点,E，F分别是线段BM,CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM;(2）判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论；（3）当AD：AB= ：时,四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE．（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；（2）把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F．求证:四边形OEMF 是菱形．做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD'改为‘菱形ABCD’，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．"请给予证明；（2）小芳同学说:“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论,并说明理由．12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1)如图1,当点G在BC边上时，易证:PG=PC．(不必证明）（2）如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明;(3）如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．13(1)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1,CN=3，求MN的长．14已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.14解:∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠DAE，在△ABD和△ADE中， AE＝AB ∠CAD＝∠DAE AD＝AD ，∴△ABD≌△ADE,∴BD=DE,同理△BAF≌△EAF，∴BF=EF，在△BFD和△EDF中， BD＝DE DF＝DF BF＝EF ，∴△BFD≌△EDF，∴∠BFD=∠DFE，又∵EF∥BC，∴∠DFE=∠FDC，∴∠BFD=∠BDF，∴BF=BD，∴BF=BD=EF=DE，∴四边形BDEF是菱形．13(1）证明：在正方形ABCD中，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB,在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG,∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS)，∴EF=FG(2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE,使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°,∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中,∴△MAN≌△EAN（SAS)．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理,得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1,CN=3,∴MN2=12+32，∴MN=12解答：(1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，∴CE=CG，∴CP是EG的中垂线，在RT△CPG中，∠PCG=60°，∴PG=PC．（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC,∵∠ABC=60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP=∠GFP,在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG(ASA）∴PE=PG，DE=FG=BG，∵∠CDE=CBG=60°,CD=CB，在△CDE和△CBG中,∴△CDE≌△CBG（SAS)∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，∴∠ECG=∠DCB=120°,∵PE=PG，∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°∴PG=PC．11）证明：∵ME∥AC,MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠EOF=90°，∴四边形OEMF是矩形．（2）结论:OB=ME—MF．理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD,∴四边形OEMF 是平行四边形，∴OE=MF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OB=1 2 BD，OC=1 2 AD，且AC=BD,∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB,∴BE=ME，∴OB=BE—OE=ME—MF．10（1)∴△PDE为等腰直角三角形证明：在正方形ABCD中,BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，在△BCP和△DCP中，BC＝DC ∠BCP＝∠DCP PC＝PC ∴△BCP≌△DCP（SAS）；∴∠CBP=∠CDP,PD=PB∵PE=PB，∴∠CBP=∠CEP，PD=PE∵∠CFE=∠PFD（对顶角相等）∴180°-∠PFD—∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP 即∠DPE=∠DCE=90°∴△PDE为等腰直角三角形．（2）解：∵AB∥CD∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE∴∠DPE=∠ABC∵∠ABC=56°∴∠DPE=56°．9（1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,∠A=∠D=90°，又∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，AB＝CD ∠A＝∠D AM＝DM ，∴△ABM≌△DCM(SAS）．(2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点,∴NE∥MF,NE=MF．∴四边形MENF 是平行四边形．由(1），得BM=CM，∴ME=MF．∴四边形MENF是菱形．（3）解：2：1．当AD:AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．8：（1）根据折叠的对称性，可知∠ADG=∠BDG=22。

单元练习题：《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.512．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD 于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE ⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF 与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝1．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝1．∴BP 1＝．∴PB 的最小值是． 故选：C ．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD 中，AB ＝17，BD ＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB ＝90°，BO ＝15，在Rt △AOB 中，AO ＝＝＝8，∴AC ＝2AO ＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD 到N ，使DN ＝BF ，连接AN ，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，＝，∴S△AOD＝4×＝50．∴S正方形ABCD故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为 4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

第一章特殊的平行四边形1.菱形的性质和判断1.1第一课时知识点1：菱形的定义例1（2019年毕节）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A． B．C．D．1分析：菱形的判定有如下方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四边相等的四边形是菱形；3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；4. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.这里已知四边形的基础是平行四边形，因此解答时以1和3为判断主要依据.解：根据菱形的判定方法，知道①，③是成立的，所以推出平行四边形ABCD是菱形的概率为：=，所以选B.点拨与提升：遇到菱形的判定问题，要从两个大方面去分析求解，一是基础图形是平行四边形，二是基础图形是一般四边形，这是解题的基本思路；找到方法后，接下来判断条件的完备性便成为了解题的关键.针对性练习：1.（2019•江西）如图1，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种答案：.D解析：共有如下6种拼接方法：2. （2019•浙江湖州）如图2，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．答案：解：（1）证明：因为D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，所以DF∥BC，EF∥AB，所以DF∥BE，EF∥BD，所以四边形BEFD是平行四边形；（2）解：因为∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，所以DF=DB=DA=AB=3，所以四边形BEFD是菱形，所以四边形BEFD的周长为12．其他教材试题：如图3，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于C，BD平分∠ABC，交AE于D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形．（人教版八年级数学下册P102页第6题）答案：证明：因为AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，所以∠BAC=∠DAC=∠ACB,所以AB=BC ，因为AE ∥BF ，BD 平分∠ABC ，所以∠ABD=∠CBD=∠ADB,所以AB=AD ，所以AD=BC ，因为AD ∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形，因为AB=BC ，所以四边形ABCD 是菱形.2.如图4，四边形ABCD 是菱形，点M,N 分别在AB,AD 上，且BM=DN ，MG ∥AD,NF ∥AB ，点F,G 分别在BC,CD 上，MG 与NF 交于点E.求证：四边形AMEN ，EFCG 都是菱形.（人教版八年级数学下册P103页第10题）答案：因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=AD,因为BM=DN ，所以AM=AN ，因为ME ∥AN,NE ∥AM ，所以四边形AMEN 是平行四边形，所以四边形AMEN 是菱形.同理可证，四边形EFCG 是菱形.知识点2：菱形的轴对称性例2 （2019•河北•3分）如图5，菱形ABCD 中，∠D=150°，则∠1=（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°分析：菱形是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，利用轴对称的全等性解题是解题时常用数学思想解：根据菱形的对称性，知道∠B=∠D ，∠DAC=∠1，所以∠1=15°，所以选D.点拨与提升：菱形是一个轴对称图形，有两条对称轴，分别是对角线所在的直线.针对性练习：1. （2019•天津改编）如图6，四边形ABCD 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C 、D 在坐标轴上，则C,D 的坐标分别为 .图3 BFA E GEB A M答案：根据菱形的对称性，可得点C 坐标为（-2,0），点D 的坐标为（0，-1）.2. （2019年岳阳）如图7，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，DE=DF ，求证：∠1=∠2．答案：证明：根据题意，得点A,C 关于直线BD 对称，点E,F 关于直线BD 对称，因此△DAF 和△DEC 关于直线BD 对称，所以△DAF ≌△DEC ，所以∠1=∠2．其他教材试题：如图8，将菱形ABCD 沿AC 方向平移到D C B A ''''，D A ''交CD 于E ，B A ''交BC 于F.判断四边形FCE A '是不是菱形.请说明理由.（新浙教版八年级数学下册P124页课内练习1）解：四边形FCE A '是菱形.理由如下：因为菱形是关于对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，且两个图形是平移得到，所以点E,F关于直线C A '对称，所以CF CE F A E A ='=',,易证CE E A ='，所以CF CE F A E A =='='，所以四边形FCE A '是菱形.知识点3：菱形的特殊性质例3（2019•贵阳）如图9，菱形ABCD 的周长是4cm ，∠ABC ＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（ ）A ．1cmB ．2 cmC ．3cmD ．4cm分析：根据菱形四边相等求得边长，连接BD ，根据对角线互相垂直，确定∠ABO=30°，从而确定AO ，根据AC=2AO 即可得解.解：因为菱形ABCD 的周长是4cm ，所以AB=BC=1cm ．连接BD ，则AC ⊥BD ，所以∠ABO=30°，所以AB=2AO ，因为AC=2AO ，所以AC=AB=1，所以选A ．针对性练习：1. （2019•铜仁）如图10，四边形ABCD 为菱形，AB=2，∠DAB=60°，点E 、F 分别在边DC 、BC上，且CE=CD ，CF=CB ，则S △CEF = （ ）A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为四边形ABCD 为菱形，所以AB=BC=CD=2，∠DCB=60°，所以CE=CF=23，所以△CEF 为等边三角形，所以S △CEF =√34×（23）2=√39.2. （2019•天津）如图11，四边形ABCD 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C 、D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于 （ ） A.5 B.34 C.54 D. 20答案：C解析:由勾股定理可得：AB=√AO 2+BO 2=√5,根据菱形四边相等，所以周长等于4√5，所以选C.其他教材试题：如图12，四边形ABCD 是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm.求：（1）∠BAD,∠ABC 的度数；（2）边AB 及对角线AC 的长（精确到0.01cm ）.(人教版数学八年级下册P102页第5题）解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=BC=CD=DA,∠ACD=∠ACB=30°，所以∠DCB=60°，所以△BCD 是等边三角形，根据菱形的性质，得∠BAD=60°,∠ABC=120°；（2）因为△BCD 是等边三角形，所以AB=BD=6cm ，设对角线的交点为O ，在直角三角形DOC中，OC=222236-=-OD DC =33,所以AC=2OC=63≈10.39（cm ）.课时练：一、选择题1. （2018•十堰）菱形不具备的性质是 （ ）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形答案：B解析：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B ．2. （2018•淮安）如图13，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长 （ ）A ．20B ．24C ．40D ．48答案：A解析：由菱形对角线性质知，AO=12AC=3，BO==12BD=4，且AO ⊥BO ，则AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A ．二、填空题3. （2018•黑龙江）如图14，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件 使平行四边形ABCD 是菱形．答案：AB=BC 或AC ⊥BD ．解析：当AB=BC 或AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形．4. （2018•广州）如图15，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．答案：（﹣5，4）．解析：根据题意，得AB=5，所以AD=5，由勾股定理知：OD=4，所以点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．备选题：1. （2018•贵阳）如图16，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9答案：A解析：EF是△ABC的中位线，所以BC=6，所以菱形ABCD的周长是4×6=24．故选：A．2. （2018•随州）如图17，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．答案：（√6，﹣√6）．解析：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，则∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，所以∠AOB=30°，∠BOB′=75°，OB′=OB=2√3，OB′=√6，△OBH为等腰直角三角形，所以OH=B′H=√22所以点B′的坐标为（√6，﹣√6）．故答案为：（√6，﹣√6）．1.1第二课时知识点1：菱形的判定定理1例4已知：如图18所示，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC 于点F．求证：四边形AEDF是菱形．分析：根据平行条件，易证四边形AEDF是平行四边形．后利用线段垂直平分线的性质的逆定理可证明EF⊥AD，从而得证．证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是是平行四边形．因为DE∥AC，所以∠EDA=∠DAC，因为AD是三角形ABC的角平分线，所以∠EAD=∠DAC；所以∠EAD=∠EDA,所以AE=ED，所以点E在线段AD的垂直平分线上，同理可证点F在线段AD的垂直平分线上，所以EF⊥AD，所以四边形AEDF是菱形．点拨与提升：用这个定理时，一定清楚两个核心条件，一是基础条件：四边形是平行四边形；二是升级条件：对角线互相垂直.证明时，平行四边形是基础，要灵活运用平行四边形的判定，证垂直是关键，证明的方法很多，常见的有如下几种：1.等腰三角形三线合一性质法；2.两角互余法；3.垂直—平行—垂直法.4.线段垂直平分线性质定理的逆定理.针对性练习：（2018•扬州）如图19，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形；证明：易证四边形AEBD是平行四边形，因为DB=DA，点F是AB的中点，所以AB⊥DE，所以四边形AEBD是菱形．其他教材试题：已知：如图20所示，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形．(浙教版数学八年级下册P159页例2）证明：易证△AOE≌△COF，所以AE=CF．因为FC∥AE，所以四边形AFCE是平行四边形，因为AC⊥EF，所以四边形AFCE是菱形．知识点2：菱形的判定定理2例5 （2018•乌鲁木齐）如图21，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF 的长．分析：（1）利用已知条件设法证明四边形AECD 的四边相等即可.（2）根据菱形的面积公式和三角形的面积公式解答即可．证明：（1）因为AD ∥BC ，AE ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以AD=EC ，AE=CD.因为∠BAC=90°，E 是BC 的中点，所以AE=CE=12BC ，所以AE=EC=CD=DA ，所以四边形AECD 是菱形；（2）如图21，过A 作AH ⊥BC 于点H ，因为∠BAC=90°，AB=6，BC=10，所以AC=8，因为S ∆ABC =12BC ×AH=12AB ×AC ，所以AH=245，因为点E 是BC 的中点，BC=10，四边形AECD 是菱形，所以CD=CE=5，因为菱形的面积相等，所以CE •AH=CD •EF ，所以EF=AH==245． 点拨与提升：证明四边形相等是解题的关键，这种方法的最大特点是不以四边形的形状为主线，二是以证明四边相等为主线解决.其次，要把握好同一个图形面积的不同的表示方式，为解题提供新的有效解题方法.针对性练习：将三角形纸片ABC(AB ＞AC)沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平 纸片，如图22-1；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后 连接DE 、DF ，如图22-2，证明：四边形AEDF 是菱形．证明：由第一次折叠可知：AD 为∠CAB 的平分线，所以∠1=∠2，由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF ，从而，∠3=∠4，因为AD 是△AED 和△AFD 的公共边，所以△AED ≌△AFD(ASA)，所以AE=AF ，DE=DF ，又由第二次折叠可知：AE ＝ED ，AF ＝DF ，所以AE=ED=DF=AF ，所以四边形AEDF 是菱形．其他教材的试题：如图23，在四边形ABCD 中，AC=BD ，E,F,G,H 依次是AB,BC,CD,DA 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.（浙教版数学八年级下册P160页A 组第3题）证明：因为E,F,G,H 依次是AB,BC,CD,DA 的中点，所以EF,FG,GH,HE 分别是△ABC ，△BCD ， △CDA ，△DAB 的中位线，所以EF=GH=21AC,FG=EH=21BD ，因为AC=BD ， 所以EF=FG=GH=HE ，所以四边形EFGH 是菱形.课时练：1.（2018•内江）如图24，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 上的点，AE=CF ，并且∠AED=∠CFD ．求证：（1）△AED ≌△CFD ；（2）四边形ABCD 是菱形．答案：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A=∠C ．所以△AED ≌△CFD （ASA ）；（2）由（1）知，△AED ≌△CFD ，则AD=CD ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD=BC,AB=CD ，所以AD=BC=AB=CD ，所以四边形ABCD 是菱形．2. （2018•遂宁）如图25，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE=BF ，AC ⊥EF ．求证：四边形AECF 是菱形．证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD=BC ，AD ∥BC ，因为DE=BF ，所以AE=CF ，因为AE ∥CF ，所以四边形AECF 是平行四边形，因为AC ⊥EF ，所以四边形AECF 是菱形．3. （2018•郴州）如图26，在平行四边形ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE 是菱形．证明：因为在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，所以BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，{∠EDO =∠FBO OD =OB ∠EOD =∠FOB ，所以△DOE ≌△BOF （ASA ）； 所以OE=OF ，因为OB=OD ，所以四边形EBFD 是平行四边形，因为EF ⊥BD ，所以四边形BFDE 为菱形．备选题：（2018•泰安）如图27，△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ⊥AC 于点E ，F 是AD 的中点，FG ⊥BC 于点G ，与DE 交于点H ，若FG=AF ，AG 平分∠CAB ，连接GE ，CD ．（1）求证：△ECG ≌△GHD ；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．解：（1）因为AF=FG，所以∠FAG=∠FGA，因为AG平分∠CAB，所以∠CAG=∠FGA，所以∠CAG=∠FGA，所以AC∥FG，因为DE⊥AC，所以FG⊥DE，因为FG⊥BC，所以DE∥BC，所以AC⊥BC，所以∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，因为F是AD的中点，FG∥AE，所以H是ED的中点，所以FG是线段ED的垂直平分线，所以GE=GD，∠GDE=∠GED，所以∠CGE=∠GDE，所以△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，所以GC=GP，所以△CAG≌△PAG，所以AC=AP，由（1）可得EG=DG，所以Rt△ECG≌Rt△GPD，所以EC=PD，所以AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，AD，所以AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，所证明：因为∠B=30°，所以∠ADE=30°，所以AE=12以四边形AECF是平行四边形，所以AE=AF=FG=EG，所以四边形AEGF是菱形．1.1第三课时知识点1：菱形的对角线计算例6（2018•柳州）如图28，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．分析：（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，AB=2，所以菱形ABCD的周长=2×4=8；（2）因为四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2，所以AC⊥BD，AO=1，所以BO=√AB2−AO2=√22−12=√3,所以BD=2√3.点拨与提升：菱形的计算有三大特点：一是计算周长，边长的4倍；二是对角线互相垂直且平分，为计算提供基础条件；三是充分利用勾股定理，确定计算结果.针对性练习：（2018•呼和浩特）如图29，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．解：（1）证明：因为AB∥DE，所以∠A=∠D，因为AF=CD，所以AF+FC=CD+FC，即AC=DF，因为AB=DE，所以△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，因为∠DEF=90°，EF=3，DE=4，所以DF=√32+42=5，因为四边形EFBC 是菱形，所以BE ⊥CF ，所以EO=DE×EF DF =125,所以OF=OC=√EF 2−EO 2=95,所以CF=185,所以AF=CD=DF ﹣FC=5﹣185=75．其他教材试题：如图30，菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求：两条小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积（结果保留小数点后1位）.解：因为ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AC ⊥BD ，∠ABD=30°,△ABC 是等边三角形，所以AC=AB=20m ，在直角三角形AOB 中，BO=300102022=-，所以BD=2BO=2300≈34.64m,菱形ABCD 的面积为：64.34202121⨯⨯=⨯BD AC ≈346.42m .知识点2：菱形的面积计算例7 如图31，已知四边形ABCD 是菱形，且菱形的周长为32，AE ⊥BC ，垂足为E ，若△ABC 是等边三角形，求菱形的面积.分析：根据菱形的周长，确定菱形的边长；根据△ABC 是等边三角形，确定BE 的长，从而利用勾股定理，确定高AE ，利用菱形的面积等于底乘高计算即可.解：因为菱形的周长为32，所以AB=BC=8,因为△ABC 是等边三角形，AE ⊥BC ，所以BE=21BC=4，所以AE=222248-=-BE AB =43，所求菱形的面积为：BC ×AE=323.点拨与提升：菱形的面积计算方法有两种，一是底边乘以其上的高；二是菱形对角线积的一半，这是最常用的方法，计算时灵活运用勾股定理是解题的关键.要特别重视一般式的计算法即底乘高法，这是继承平行四边形的性质得来的，是最基本计算方法，也是通用的计算方法，必须熟练掌握.针对性练习：（2018•哈尔滨）如图32，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，3OB=4AO ，则线段AB 的长为 （ ）A ．7B ．27C ．5D ．10答案：解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO=CO ，OB=OD ，所以∠AOB=90°，因为BD=8，所以OB=4，因为3OB=4AO ，所以O=3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB=22BO AO +=5，所以选C.其他教材试题： 如图33所示，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm ，BD=6cm,DH ⊥AB 于H ，求DH 的长.解：根据题意，易得菱形的边长为5，菱形的面积为6821⨯⨯=24，因为菱形的面积等于底乘高， 所以DH=524.知识点3：菱形的性质与判定综合应用例8 （2018•广西）如图34，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE=DF ．（1）求证：平行四边形ABCD 是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求菱形ABCD 的面积．分析：（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD 即可解决问题；（2）连接BD 交AC 于O ，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠B=∠D ，AB=CD,BC=AD ，因为AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，所以∠AEB=∠AFD=90°，因为BE=DF ，所以△AEB ≌△AFD所以AB=AD ，所以AB=BC=CD=DA ，所以四边形ABCD 是菱形．（2）连接BD 交AC 于O ，因为四边形ABCD 是菱形，AC=6，所以AC ⊥BD ，AO=OC=12AC=12×6=3，因为AB=5，AO=3，所以BO=√AB 2−AO 2=4,所以BD=2BO=8，所以S 菱形ABCD =12×AC ×BD=24． 点拨与提升：先利用菱形的判定定理判定菱形，后运用菱形的性质进行相关计算.针对性练习：（2018•扬州）如图35，在平行四边形ABCD 中，DB=DA ，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）若DC=√10，EF=3BF ，求菱形AEBD 的面积．答案：解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥CE ，所以∠DAF=∠EBF ， 所以△AFD ≌△BFE ，所以AD=EB ，所以四边形AEBD 是平行四边形，所以AD=EB,DB=AE ， 因为BD=AD ，所以AE=EB=BD=DA ，所以四边形AEBD 是菱形．（2）解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以CD=AB=√10，因为四边形AEBD 是菱形， 所以AB ⊥DE ，BF=√102，所以EF=3√102，所以DE=3√10，所以S 菱形AEBD =12×AB ×DE=12√10•3√10=15．其他教材试题：如图36，在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AB,CD 的中点，AF 与DE 相交于点H ，CE 与BF 相交于点G.求证：(1)四边形EHFG 是平行四边形；(2)在什么条件下，四边形EHFG 是是菱形？请说出条件和理由．（浙教版数学八年级下册P161页D 组第6题）答案：解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CE,AB ∥CD ，因为E,F 分别是AB,CD 的中点，所以BE=DF,BE ∥DF ，所以四边形BEFD 是平行四边形，所以EH ∥FG ；同理可证，FH ∥EG ； 所以四边形EHFG 是平行四边形；(2) 当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．理由如下： 因为BE=21AB ，CF=21CD ，所以BE=CF ．因为BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC=90°，所以四边形BEFC 是矩形．所以EH=21CE ，FH=21BF ，且CE=BF ，所以EH=FH ， 所以四边形EHFG 是菱形．课时练：1.图37，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为 （ ）A ．20B ．18C ．16D ．15答案：C解析：根据菱形的性质，得三角形ABC 是等边三角形，所以AB=4，所以菱形的周长为16.2.已知菱形的边长和一条对角线的长均为２cm ，则菱形的面积为 （ ） Ａ． ３2cmＢ．４2cm Ｃ．32cm Ｄ．２32cm答案：D. 解析：设对角线的交点为O ，所以ＯＡ=１，ＯＢ=22OA AB -=3,所以ＢＤ=２3，所以菱形的面积等于:3222121⨯⨯=⨯⨯BD AC =２3（2cm ）．3.（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，点E 在对角线BD 上，设对角线的交点为点O ，且OA=3OE ，则BE 的长为 ．答案：3或5.解析：因为菱形ABCD 中，边长为5，对角线AC 长为6，所以AC ⊥BD ，BO=22OA AB -=4， 因为OA=3OE,解得：OE=1，所以BE=BO ﹣OE=4﹣1=3，当点E 在对角线交点左侧时，如图2所示：所以BE=BO+OE=4+1=5，所以答案为：3或5.4.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图39，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？（2=1.414，3=1.732，结果保留整数）.解：当∠ADC=60°时，根据菱形的性质，得三角形ADC是等边三角形，所以AC=40cm；当∠ADC=120°时，过点A作AF⊥CD于点F，如图所示，则AF=203,根据菱形的性质，得∠ACF=30°，所以AC=2AF=403，所以千斤顶升高的高度为：403-40=40（1.732-1）≈29.28cm≈29cm.5.如图39，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E,F分别是AB,AC的中点，连接DE,DF.(1)求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=10,BC=12,求菱形AEDF的面积.（1）证明：因为AB=AC，AD⊥BC，所以点D是BC的中，因为点E,F分别是AB,AC的中点，根据三角形中位线定理，得DE=AF=21AC ，DF=AE=21AB ，因为AB=AC ，所以AE=ED=DF=AF ，所以四边形AEDF 是菱形； （2）连接EF ，则EF 是三角形ABC 的中位线，所以EF=21BC=6，因为AB=10,BC=12, 所以AD=22BD AB -=8，所以菱形AEDF 的面积为：862121⨯⨯=⨯⨯EF AD =24.备选题：1.将等边三角形ABC 沿着边AB 对折，点C 的重合点为点D ，则四边形ABCDD 的形状是 . 答案：菱形.解析：利用四边相等的四边形是菱形判断.2.如图40，在菱形ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，若DE=3，求菱形ABCD 的面积．解：根据勾股定理，得AE=22AD DE -=5，所以菱形的面积为25.2.矩形的性质和判断1.2第一课时知识点1：矩形的定义例1 （2018•沈阳）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，四边形ABCD的面积是．分析：（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，所以∠COD=90°．因为CE∥OD，DE∥OC，所以四边形OCED是平行四边形，因为∠COD=90°，所以平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OC=4，BD=2OD=2，所以菱形ABCD的面积为： AC•BD=×4×2=4．所以填4．点拨与提升：运用矩形的定义解题时，要抓牢两个核心要素：一是基础四边形是平行四边形，二是其中的一个角是直角.其次要熟练掌握直角的得出方式：垂直二线的交角是直角；互补且相等的两个角是直角；三角形中，两个角互余，则第三个角一定是直角等.针对性练习：（2018•上海改编）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B．∠A=∠C C．四个内角相等D．AB⊥BC答案：B解析：由∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；由∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；所以选：B．其他教材试题：如图2，平行四边ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△OAB是等边三角形,AB=4cm,求：四边形ABCD的面积（精确到0.012cm）(人教版八年级数学P96页第2题)答案：解：因为△OAB是等边三角形,所以AO=BO=AB,因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD，所以OA=OD，因为△OAB是等边三角形,所以∠BAO=∠AOB=60°，所以∠AOD=120°，因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA=30°，所以∠BAD=90°，因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，在直角三角形ABD中，AD=2248-=43,所以四边形ABCD的面积为：4⨯43=163≈27.71（2cm）知识点2：矩形的性质定理1例2（2019•广东省广州市）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD 于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）A．4B．4C．10 D．8分析：连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．解：连接AE，如图43，因为EF是AC的垂直平分线，所以OA=OC，AE=CE，因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°，AD∥BC，所以∠OAF=∠OCE，所以△AOF≌△COE，所以AF=CE=5，所以AE=CE=5，BC=BE+CE=8，所以AB＝＝＝4，所以AC＝＝＝4；所以选：A．点拨与提升：利用矩形的四个角都是直角生成直角三角形，为勾股定理的不断运用创造条件，也诶问题的破解提供基础．针对性练习：如图4，已知：四边形ABCD是矩形, AC与BD是对角线 .求证：AC=BD .答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°，因为BC=CB ，所以△ABC≌△DCB ，所以AC=BD.其他教材试题：已知：如图5，在矩形ABCD中，M是BC的中点.求证：AM=DM.(浙教版数学八年级下册P149页A组第3题）答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD,∠B=∠C=90°，因为BM=CM，所以△ABM≌△DCM，所以AM=DM.知识点3：矩形的性质定理2例3（2019•江苏无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直分析：根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，所以选：C．点拨与提升：矩形的性质识记，要从两个方面落实，一是平行四边形具有的性质，菱形具有点的性质，二是矩形特有的性质，只有分类识记才有效果，因此熟记两图形的性质是解题的关键．针对性练习：（2018•株洲）如图6，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为．答案：2.5解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD=10，BO=DO=BD，所以OD=BD=5，因为点P、Q是AO，AD的中点，所以PQ是△AOD的中位线，所以PQ=DO=2.5．其他教材试题：1.如图7，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中有个直角三角形，有个等腰三角形，有对全等三角形.（浙教版数学八年级下册P148页课内练习第2题）答案：4,4,4；解析：直角三角形ABD，直角三角形ABC，直角三角形ADC，直角三角形BCD；等腰三角形AOD，等腰三角形AOB，等腰三角形BOC，等腰三角形COD；△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC.2. 如图7，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O.（1）若∠AOD=120°，则△AOB 是 三角形；△COD 是 三角形.（2）若∠AOD=120°，CD=4，则对角线AC 的长 ，矩形ABCD 的周长 ，面积为 . 答案：（1）△AOB 是等边三角形；△COD 是等边三角形.（2）AC=8，矩形ABCD 的周长8+83，面积为163.解析：利用勾股定理计算即可.知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质例4 如图8，已知：在△ABC 中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高， M 是BC 的中点。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。

第一章特殊的平行四边形1.菱形的性质和判断1.1第一课时知识点1：菱形的定义例1（2019年毕节）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．1分析：菱形的判定有如下方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四边相等的四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.这里已知四边形的基础是平行四边形，因此解答时以1和3为判断主要依据.解：根据菱形的判定方法，知道①，③是成立的，所以推出平行四边形ABCD是菱形的概率为：=，所以选B.点拨与提升：遇到菱形的判定问题，要从两个大方面去分析求解，一是基础图形是平行四边形，二是基础图形是一般四边形，这是解题的基本思路；找到方法后，接下来判断条件的完备性便成为了解题的关键.针对性练习：1.（2019•江西）如图1，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种答案：.D解析：共有如下6种拼接方法：2.（2019•浙江湖州）如图2，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．答案：解：（1）证明：因为D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，所以DF∥BC，EF∥AB，所以DF∥BE，EF∥BD，所以四边形BEFD是平行四边形；（2）解：因为∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，所以DF=DB=DA=AB=3，所以四边形BEFD是菱形，所以四边形BEFD的周长为12．其他教材试题：如图3，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于C，BD平分∠ABC，交AE于D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形．（人教版八年级数学下册P102页第6题）图3B F答案：证明：因为AE∥BF，AC 平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC=∠ACB,所以AB=BC，因为AE∥BF，BD 平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=∠ADB,所以AB=AD，所以AD=BC，因为AD∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形，因为AB=BC，所以四边形ABCD 是菱形.2.如图4，四边形ABCD 是菱形，点M,N 分别在AB,AD 上，且BM=DN，MG∥AD,NF∥AB，点F,G 分别在BC,CD 上，MG 与NF 交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG 都是菱形.（人教版八年级数学下册P103页第10题）图4F CB 答案：因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=AD,因为BM=DN，所以AM=AN，因为ME∥AN,NE∥AM，所以四边形AMEN 是平行四边形，所以四边形AMEN 是菱形.同理可证，四边形EFCG 是菱形.知识点2：菱形的轴对称性例2（2019•河北•3分）如图5，菱形ABCD 中，∠D=150°，则∠1=（）A．30°B．25°C．20°D．15°分析：菱形是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，利用轴对称的全等性解题是解题时常用数学思想解：根据菱形的对称性，知道∠B=∠D，∠DAC=∠1，所以∠1=15°，所以选D.点拨与提升：菱形是一个轴对称图形，有两条对称轴，分别是对角线所在的直线.针对性练习：1.（2019•天津改编）如图6，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C、D在坐标轴上，则C,D的坐标分别为.答案：根据菱形的对称性，可得点C 坐标为（-2,0），点D 的坐标为（0，-1）.2.（2019年岳阳）如图7，在菱形ABCD 中，点E、F 分别为AD、CD 边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．答案：证明：根据题意，得点A,C 关于直线BD 对称，点E,F 关于直线BD 对称，因此△DAF 和△DEC 关于直线BD 对称，所以△DAF≌△DEC，所以∠1=∠2．其他教材试题：如图8，将菱形ABCD 沿AC 方向平移到D C B A ''''，D A ''交CD 于E，B A ''交BC 于F.判断四边形FCE A '是不是菱形.请说明理由.（新浙教版八年级数学下册P124页课内练习1）解：四边形FCE A '是菱形.理由如下：因为菱形是关于对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，且两个图形是平移得到，所以点E,F 关于直线C A '对称，所以CF CE F A E A ='=',,易证CE E A ='，所以CF CE F A E A =='='，所以四边形FCE A '是菱形.知识点3：菱形的特殊性质例3（2019•贵阳）如图9，菱形ABCD 的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm分析：根据菱形四边相等求得边长，连接BD，根据对角线互相垂直，确定∠ABO=30°，从而确定AO，根据AC=2AO 即可得解.解：因为菱形ABCD 的周长是4cm，所以AB=BC=1cm．连接BD，则AC⊥BD，所以∠ABO=30°，所以AB=2AO，因为AC=2AO，所以AC=AB=1，所以选A．针对性练习：1.（2019•铜仁）如图10，四边形ABCD 为菱形，AB=2，∠DAB=60°，点E、F 分别在边DC、BC 上，且CE=CD，CF=CB，则S △CEF =（）A．B．C．D．答案：D解析：因为四边形ABCD 为菱形，所以AB=BC=CD=2，∠DCB=60°，所以CE=CF=23，所以△CEF 为等边三角形，所以S △CEF =√34×（23）2=√39.2.（2019•天津）如图11，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A.5 B.34 C.54 D.20答案：C 解析:由勾股定理可得：AB=AO 2+BO 2=5,根据菱形四边相等，所以周长等于45，所以选C.其他教材试题：如图12，四边形ABCD 是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm.求：（1）∠BAD,∠ABC 的度数；（2）边AB 及对角线AC 的长（精确到0.01cm）.(人教版数学八年级下册P102页第5题）解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=BC=CD=DA,∠ACD=∠ACB=30°，所以∠DCB=60°，所以△BCD 是等边三角形，根据菱形的性质，得∠BAD=60°,∠ABC=120°；（2）因为△BCD 是等边三角形，所以AB=BD=6cm，设对角线的交点为O，在直角三角形DOC 中，OC=222236-=-OD DC =33,所以AC=2OC=63≈10.39（cm）.课时练：一、选择题1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形答案：B解析：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．2.（2018•淮安）如图13，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长（）A．20B．24C．40D．48答案：A解析：由菱形对角线性质知，AO=12AC=3，BO==12BD=4，且AO⊥BO，则AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．二、填空题3.（2018•黑龙江）如图14，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．答案：AB=BC或AC⊥BD．解析：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．4.（2018•广州）如图15，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．答案：（﹣5，4）．解析：根据题意，得AB=5，所以AD=5，由勾股定理知：OD=4，所以点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．备选题：1.（2018•贵阳）如图16，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．9答案：A解析：EF是△ABC的中位线，所以BC=6，所以菱形ABCD的周长是4×6=24．故选：A．2.（2018•随州）如图17，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．答案：（6，﹣6）．解析：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，则∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，所以∠AOB=30°，∠BOB′=75°，OB′=OB=23，△OBH为等腰直角三角形，所以OB′=6，所以点B′的坐标为（6，﹣6）．故答案为：（6，﹣6）．1.1第二课时知识点1：菱形的判定定理1例4已知：如图18所示，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC 于点F．求证：四边形AEDF是菱形．分析：根据平行条件，易证四边形AEDF是平行四边形．后利用线段垂直平分线的性质的逆定理可证明EF⊥AD，从而得证．证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是是平行四边形．因为DE∥AC，所以∠EDA=∠DAC，因为AD是三角形ABC的角平分线，所以∠EAD=∠DAC；所以∠EAD=∠EDA,所以AE=ED，所以点E在线段AD的垂直平分线上，同理可证点F在线段AD的垂直平分线上，所以EF⊥AD，所以四边形AEDF是菱形．点拨与提升：用这个定理时，一定清楚两个核心条件，一是基础条件：四边形是平行四边形；二是升级条件：对角线互相垂直.证明时，平行四边形是基础，要灵活运用平行四边形的判定，证垂直是关键，证明的方法很多，常见的有如下几种：1.等腰三角形三线合一性质法；2.两角互余法；3.垂直—平行—垂直法.4.线段垂直平分线性质定理的逆定理.针对性练习：（2018•扬州）如图19，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形；证明：易证四边形AEBD是平行四边形，因为DB=DA，点F是AB的中点，所以AB⊥DE，所以四边形AEBD是菱形．其他教材试题：已知：如图20所示，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形．(浙教版数学八年级下册P159页例2）证明：易证△AOE≌△COF，所以AE=CF．因为FC∥AE，所以四边形AFCE是平行四边形，因为AC⊥EF，所以四边形AFCE是菱形．知识点2：菱形的判定定理2例5（2018•乌鲁木齐）如图21，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．分析：（1）利用已知条件设法证明四边形AECD的四边相等即可.（2）根据菱形的面积公式和三角形的面积公式解答即可．证明：（1）因为AD∥BC，AE∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以AD=EC，AE=CD.因为∠BAC=90°，E是BC的中点，所以AE=CE=12BC，所以AE=EC=CD=DA，所以四边形AECD是菱形；（2）如图21，过A作AH⊥BC于点H，因为∠BAC=90°，AB=6，BC=10，所以AC=8，因为 ∆ =12BC×AH=12AB×AC，所以AH=245，因为点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，所以CD=CE=5，因为菱形的面积相等，所以CE•AH=CD•EF，所以EF=AH==245．点拨与提升：证明四边形相等是解题的关键，这种方法的最大特点是不以四边形的形状为主线，二是以证明四边相等为主线解决.其次，要把握好同一个图形面积的不同的表示方式，为解题提供新的有效解题方法.针对性练习：将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图22-1；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图22-2，证明：四边形AEDF是菱形．证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，所以∠1=∠2，由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF，从而，∠3=∠4，因为AD是△AED和△AFD的公共边，所以△AED≌△AFD(ASA)，所以AE=AF，DE=DF，又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF，所以AE=ED=DF=AF，所以四边形AEDF 是菱形．其他教材的试题：如图23，在四边形ABCD 中，AC=BD，E,F,G,H 依次是AB,BC,CD,DA 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.（浙教版数学八年级下册P160页A 组第3题）证明：因为E,F,G,H 依次是AB,BC,CD,DA 的中点，所以EF,FG,GH,HE 分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB 的中位线，所以EF=GH=21AC,FG=EH=21BD，因为AC=BD，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形EFGH 是菱形.课时练：1.（2018•内江）如图24，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E，F 分别是AB，BC 上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD 是菱形．答案：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A=∠C．所以△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD=BC,AB=CD，所以AD=BC=AB=CD，所以四边形ABCD 是菱形．2.（2018•遂宁）如图25，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC ⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AD∥BC，因为DE=BF，所以AE=CF，因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形，因为AC⊥EF，所以四边形AECF是菱形．3.（2018•郴州）如图26，在平行四边形ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．证明：因为在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，所以BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∠ =∠FBO=∠ =∠FOB，所以△DOE≌△BOF（ASA）；所以OE=OF，因为OB=OD，所以四边形EBFD是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BFDE为菱形．备选题：（2018•泰安）如图27，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．解：（1）因为AF=FG，所以∠FAG=∠FGA，因为AG平分∠CAB，所以∠CAG=∠FGA，所以∠CAG=∠FGA，所以AC∥FG，因为DE⊥AC，所以FG⊥DE，因为FG⊥BC，所以DE∥BC，所以AC⊥BC，所以∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，因为F是AD的中点，FG∥AE，所以H是ED的中点，所以FG是线段ED的垂直平分线，所以GE=GD，∠GDE=∠GED，所以∠CGE=∠GDE，所以△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，所以GC=GP，所以△CAG≌△PAG，所以AC=AP，由（1）可得EG=DG，所以Rt△ECG≌Rt△GPD，所以EC=PD，所以AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：因为∠B=30°，所以∠ADE=30°，所以AE=12AD，所以AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，所以四边形AECF是平行四边形，所以AE=AF=FG=EG，所以四边形AEGF是菱形．1.1第三课时知识点1：菱形的对角线计算例6（2018•柳州）如图28，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．分析：（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，AB=2，所以菱形ABCD的周长=2×4=8；（2）因为四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2，所以AC⊥BD，AO=1，所以BO=AB2−AO2=22−12=3,所以BD=23.点拨与提升：菱形的计算有三大特点：一是计算周长，边长的4倍；二是对角线互相垂直且平分，为计算提供基础条件；三是充分利用勾股定理，确定计算结果.针对性练习：（2018•呼和浩特）如图29，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．解：（1）证明：因为AB∥DE，所以∠A=∠D，因为AF=CD，所以AF+FC=CD+FC，即AC=DF，因为AB=DE，所以△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，因为∠DEF=90°，EF=3，DE=4，所以DF=32+42=5，因为四边形EFBC 是菱形，所以BE⊥CF，所以EO=× =125,所以OF=OC=EF 2−EO 2=95,所以CF=185,所以AF=CD=DF﹣FC=5﹣185=75．其他教材试题：如图30，菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求：两条小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积（结果保留小数点后1位）.解：因为ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AC ⊥BD ，∠ABD=30°,△ABC 是等边三角形，所以AC=AB=20m，在直角三角形AOB 中，BO=300102022=-，所以BD=2BO=2300≈34.64m,菱形ABCD 的面积为：64.34202121⨯⨯=⨯BD AC ≈346.42m .知识点2：菱形的面积计算例7如图31，已知四边形ABCD 是菱形，且菱形的周长为32，AE⊥BC，垂足为E，若△ABC 是等边三角形，求菱形的面积.分析：根据菱形的周长，确定菱形的边长；根据△ABC 是等边三角形，确定BE 的长，从而利用勾股定理，确定高AE，利用菱形的面积等于底乘高计算即可.解：因为菱形的周长为32，所以AB=BC=8,因为△ABC 是等边三角形，AE⊥BC，所以BE=21BC=4，所以AE=222248-=-BE AB =43，所求菱形的面积为：BC×AE=323.点拨与提升：菱形的面积计算方法有两种，一是底边乘以其上的高；二是菱形对角线积的一半，这是最常用的方法，计算时灵活运用勾股定理是解题的关键.要特别重视一般式的计算法即底乘高法，这是继承平行四边形的性质得来的，是最基本计算方法，也是通用的计算方法，必须熟练掌握.针对性练习：（2018•哈尔滨）如图32，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BD=8，3OB=4AO，则线段AB 的长为（）A．7B．27C．5D．10答案：解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，所以∠AOB=90°，因为BD=8，所以OB=4，因为3OB=4AO，所以O=3，在Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=22BO AO +=5，所以选C.其他教材试题：如图33所示，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm,DH⊥AB 于H，求DH 的长.解：根据题意，易得菱形的边长为5，菱形的面积为6821⨯⨯=24，因为菱形的面积等于底乘高，所以DH=524.知识点3：菱形的性质与判定综合应用例8（2018•广西）如图34，在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：平行四边形ABCD 是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求菱形ABCD 的面积．分析：（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD 即可解决问题；（2）连接BD 交AC 于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠B=∠D，AB=CD,BC=AD，因为AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEB=∠AFD=90°，因为BE=DF，所以△AEB≌△AFD所以AB=AD，所以AB=BC=CD=DA，所以四边形ABCD 是菱形．（2）连接BD 交AC 于O，因为四边形ABCD 是菱形，AC=6，所以AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，因为AB=5，AO=3，所以BO=AB 2−AO 2=4,所以BD=2BO=8，所以 菱形ABCD =12×AC×BD=24．点拨与提升：先利用菱形的判定定理判定菱形，后运用菱形的性质进行相关计算.针对性练习：（2018•扬州）如图35，在平行四边形ABCD 中，DB=DA，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）若DC=10，EF=3BF，求菱形AEBD 的面积．答案：解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD∥CE，所以∠DAF=∠EBF，所以△AFD≌△BFE，所以AD=EB，所以四边形AEBD 是平行四边形，所以AD=EB,DB=AE，因为BD=AD，所以AE=EB=BD=DA，所以四边形AEBD 是菱形．（2）解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以CD=AB=10，因为四边形AEBD 是菱形，所以2DE=310，所以 菱形AEBD =12×AB×DE=•310=15．其他教材试题：如图36，在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AB,CD 的中点，AF 与DE 相交于点H，CE 与BF 相交于点G.求证：(1)四边形EHFG 是平行四边形；(2)在什么条件下，四边形EHFG 是是菱形？请说出条件和理由．（浙教版数学八年级下册P161页D 组第6题）答案：解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CE,AB∥CD，因为E,F 分别是AB,CD 的中点，所以BE=DF,BE∥DF，所以四边形BEFD 是平行四边形，所以EH∥FG；同理可证，FH∥EG；所以四边形EHFG 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．理由如下：因为BE=21AB，CF=21CD，所以BE=CF．因为BE∥CF，所以四边形BEFC 是平行四边形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC=90°，所以四边形BEFC 是矩形．所以EH=21CE，FH=21BF，且CE=BF，所以EH=FH，所以四边形EHFG 是菱形．课时练：1.图37，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（）A．20B．18C．16D．15答案：C解析：根据菱形的性质，得三角形ABC 是等边三角形，所以AB=4，所以菱形的周长为16.2.已知菱形的边长和一条对角线的长均为２cm，则菱形的面积为（）Ａ．３2cmＢ．４2cm Ｃ．32cm Ｄ．２32cm 答案：D.解析：设对角线的交点为O，所以ＯＡ=１，ＯＢ=22OA AB -=3,所以ＢＤ=２3，所以菱形的面积等于:3222121⨯⨯=⨯⨯BD AC =２3（2cm ）．3.（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，点E 在对角线BD 上，设对角线的交点为点O，且OA=3OE，则BE 的长为．答案：3或5.解析：因为菱形ABCD 中，边长为5，对角线AC 长为6，所以AC⊥BD，BO=22OA AB -=4，因为OA=3OE,解得：OE=1，所以BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E 在对角线交点左侧时，如图2所示：所以BE=BO+OE=4+1=5，所以答案为：3或5.4.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图39，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？2=1.414，3=1.732，结果保留整数）（.解：当∠ADC=60°时，根据菱形的性质，得三角形ADC是等边三角形，所以AC=40cm；当∠ADC=120°时，过点A作AF⊥CD于点F，如图所示，则AF=203,根据菱形的性质，得∠ACF=30°，所以AC=2AF=403，所以千斤顶升高的高度为：403-40=40（1.732-1）≈29.28cm≈29cm.5.如图39，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E,F分别是AB,AC的中点，连接DE,DF.(1)求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=10,BC=12,求菱形AEDF的面积.（1）证明：因为AB=AC，AD⊥BC，所以点D是BC的中，因为点E,F分别是AB,AC的中点，根据三角形中位线定理，得DE=AF=21AC，DF=AE=21AB，因为AB=AC，所以AE=ED=DF=AF，所以四边形AEDF 是菱形；（2）连接EF，则EF 是三角形ABC 的中位线，所以EF=21BC=6，因为AB=10,BC=12,所以AD=22BD AB -=8，所以菱形AEDF 的面积为：862121⨯⨯=⨯⨯EF AD =24.备选题：1.将等边三角形ABC 沿着边AB 对折，点C 的重合点为点D，则四边形ABCDD 的形状是.答案：菱形.解析：利用四边相等的四边形是菱形判断.2.如图40，在菱形ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于点E，若DE=3，求菱形ABCD 的面积．解：根据勾股定理，得AE=22AD DE -=5，所以菱形的面积为25.2.矩形的性质和判断1.2第一课时知识点1：矩形的定义例1（2018•沈阳）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O．过点C 作BD 的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，四边形ABCD的面积是．分析：（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，所以∠COD=90°．因为CE∥OD，DE∥OC，所以四边形OCED是平行四边形，因为∠COD=90°，所以平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OC=4，BD=2OD=2，所以菱形ABCD的面积为：AC•BD=×4×2=4．所以填4．点拨与提升：运用矩形的定义解题时，要抓牢两个核心要素：一是基础四边形是平行四边形，二是其中的一个角是直角.其次要熟练掌握直角的得出方式：垂直二线的交角是直角；互补且相等的两个角是直角；三角形中，两个角互余，则第三个角一定是直角等.针对性练习：（2018•上海改编）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B．∠A=∠C C．四个内角相等D．AB⊥BC答案：B解析：由∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；由∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；所以选：B．其他教材试题：如图2，平行四边ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△OAB是等边三角形,AB=4cm,求：四边形ABCD的面积（精确到0.012cm）(人教版八年级数学P96页第2题)答案：解：因为△OAB是等边三角形,所以AO=BO=AB,因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD，所以OA=OD，因为△OAB是等边三角形,所以∠BAO=∠AOB=60°，所以∠AOD=120°，因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA=30°，所以∠BAD=90°，因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，在直角三角形ABD中，AD=2248-=43,所以四边形ABCD的面积为：4⨯43=163≈27.71（2cm）知识点2：矩形的性质定理1例2（2019•广东省广州市）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD 于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）A．4B．4C．10D．8分析：连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．解：连接AE，如图43，因为EF是AC的垂直平分线，所以OA=OC，AE=CE，因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°，AD∥BC，所以∠OAF=∠OCE，所以△AOF≌△COE，所以AF=CE=5，所以AE=CE=5，BC=BE+CE=8，所以AB＝＝＝4，所以AC＝＝＝4；所以选：A．点拨与提升：利用矩形的四个角都是直角生成直角三角形，为勾股定理的不断运用创造条件，也诶问题的破解提供基础．针对性练习：如图4，已知：四边形ABCD是矩形,AC与BD是对角线.求证：AC=BD.答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°，因为BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以AC=BD.其他教材试题：已知：如图5，在矩形ABCD中，M是BC的中点.求证：AM=DM.(浙教版数学八年级下册P149页A组第3题）答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD,∠B=∠C=90°，因为BM=CM，所以△ABM≌△DCM，所以AM=DM.知识点3：矩形的性质定理2例3（2019•江苏无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直分析：根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，所以选：C．点拨与提升：矩形的性质识记，要从两个方面落实，一是平行四边形具有的性质，菱形具有点的性质，二是矩形特有的性质，只有分类识记才有效果，因此熟记两图形的性质是解题的关键．针对性练习：（2018•株洲）如图6，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为．答案：2.5解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD=10，BO=DO=BD，所以OD=BD=5，因为点P、Q是AO，AD的中点，所以PQ是△AOD的中位线，所以PQ=DO=2.5．其他教材试题：1.如图7，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中有个直角三角形，有个等腰三角形，有对全等三角形.（浙教版数学八年级下册P148页课内练习第2题）答案：4,4,4；解析：直角三角形ABD，直角三角形ABC，直角三角形ADC，直角三角形BCD；等腰三角形AOD，等腰三角形AOB，等腰三角形BOC，等腰三角形COD；△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC.2.如图7，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O.（1）若∠AOD=120°，则△AOB 是三角形；△COD 是三角形.（2）若∠AOD=120°，CD=4，则对角线AC 的长，矩形ABCD 的周长，面积为.答案：（1）△AOB 是等边三角形；△COD 是等边三角形.（2）AC=8，矩形ABCD 的周长8+83，面积为163.解析：利用勾股定理计算即可.知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质例4如图8，已知：在△ABC 中，BD、CE 分别是边AC、AB 上的高，M 是BC 的中点。

第一章特殊平行四边形的复习1.特殊平行四边形的性质及评定汇总表格例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为解：由已知条件，得∠DOC=60°,OC=0D,AC=8cm. ∵△ODC 中，∠DOC=60°,OC=0D ； ∴△ODC 是等边三角形； ∴DC=OC=4cm 根据勾股定理，得 AD=∴S =AD ×DC=例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A ． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 答案：B例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC=DC,∠BCE=∠DCE,AB ∥CD 在△BCE 和△DCE 中， ∵BC=DC,∠BCE=∠DCE,CE=CE ∴△BCE ≌△DCE ∴∠CBE=∠CDE 又∵AB ∥CD ∴∠CDE=∠AFD ∴∠CBE=∠AFD要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．证明：∵正方形ABCD∴∠ODA=∠OAB=45°，∠DAB=90°，OD=OA,AC⊥BD∵DG⊥AE∴∠ADG+∠DAG=90°又∵∠BAE+∠DAG=90°∴∠ADG=∠BAE∵∠ODF=∠ODA-∠ADG, ∠OAE=∠OAB-∠BAE又∵∠ODA=∠OAB=45°∴∠ODF=∠OAE∵OD=OA, ∠AOD=∠EOA=90°∴△DOF≌△AOE∴OE=OF特殊的平行四边形练习题一、选择题1、平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠D=（）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不能确定2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积( )A．2 B．4 C．4 D．83、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 B. C．6 D．84、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. D．25、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( ) A．5 B．4 C．3.5 D．36、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣27、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 58、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.9、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则P A+PE的最小值是（）A. B. C. D.10.当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 无法确定.二、填空题11、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．12、如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．13、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，，= .14、如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC 上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是______ ．15、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=6，则矩形的面积为______ ．三、简答题16、平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．17、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．18、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点。

北师大版九年级上学期第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦1.（ 1）如图1,点0是线段AD 的中点，分别以A0和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形OCD 连结AC 和BD,相交于点E ,连结BC.求/ AEB 的大小；（2）如图2,A OAB 固定不动，保持△ OCD 勺形状和大小不变，将△ 0C ［绕 着点O 旋转（A OAB 和A OCD 不能重叠），求/ AEB 的大小.2•如图1,四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C D 不重合），以CG 为 一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG 连结BG DE 我们探究下列图中线段 BG 线段DE 的 长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系； （1）①猜想如图1中线 段BG 线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形•请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成 立,并选取图2证明你的判断.A图2A图1图3（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6）,且AB=a BC=b CE=ka CG=kb （a b, k 0）, 第⑴ 题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由.（3）在第1⑵题图5中，连结DG、BE，且a=3, b=2, k=-，求BE2 DG2的值.23. 如图甲，在△ ABC中，/ ACB为锐角•点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC / BAC=90o①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 _______ ，数量关系为 ________ •②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果A盼AC，/ BAO90o,点D在线段BC上运动•试探究：当△ ABC满足一个什么条件时，CF丄BC （点C F重合除外）画出相应图形，并说明理由.（画图不写作法）CF相交于点P,求线段CP长的最大值.4. 已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ ACM fP^ BCN图甲图乙图丙8.已知：三角形ABC 和CDE 为等腰直角三角形，点F 、G 分别为BE 和AD 的中点，连接FG 和连结AN BM 分别交CM CN 于点P 、Q.求证：PQ// AB.7、如图，△ ABC 中, A 吐AC, D E 、F 分别是 BC AB AC 上的点，BD= CF, CD= BE G 为 EF 中点，连结DG 问DG与EF 之间有何关系证明你的结论。

5 EF 第 1 课时 菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、BD 相交于点 O, AB= , AO=2, OB=1. 四边形 ABCD 是菱形吗？ 为什么？3、 如左下图，AD 是△ABC 的角平分线。

DE ∥AC 交 AB 于 E ，DF ∥AB 交 AC 于 F.四边形 AEDF 是菱形吗？说明你的理由。

4、如右上图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD 、BC 分别交于 E 、F ，四边形 AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知 DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形 DEAF 为菱形的是（）A. AD 平分∠BAC AA B. AB ＝AC ＝且 BD ＝CD EBDC. AD 为中线 FD. EF⊥ADDC 6、 如右图，已知四边形 ABCD 为菱形， AE ＝CF. 求证：四边形 BEDF 为菱形。

第 6 题7、已知 ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。

小刚说只要过 BD 中点作 BD 的垂线交 AD 、BC于 E 、F ，沿 BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形 BFDE 为菱形。

你认为小刚的方法对吗？为什么？A ED8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部 O9BF C 分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 、如左下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点O ，且 AC ⊥BD ，第 7 题点 M 、N 分别在 BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN10、如右上图，已知四边形 ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。

AMDM 点从 D 到 N QBPC第 10 题A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为 2㎝/s ；N 点从 A 到B ，Q 点从 C 到D ，两点的速度都为 1㎝/s 。

第一章特殊平行四边形一、单选题1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC=120°，AC=8，则AB的长为（）A．6B．4C．43D．423．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，点D是AB的中点，则CD的长度是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cmCD的长为半径4．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（）A ．253B ．4C ．256D ．55．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ）A ．158B ．154C ．152D ．156．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，△ABD 的周长为12cm ，则下列结论错误的是（ ）A ．OE ∥ABB ．四边形ABCD 是中心对称图形C ．△EOD 的周长等于3cmD ．若∠ABC =90°，则四边形ABCD 是轴对称图形7．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A．6013B．3013C．2413D．12138．如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE+PD 的最小值为（）A．35B．32C．6D．5二、填空题9．菱形的周长为12cm，它的一个内角为60°，则菱形的面积为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝3，BD＝4，则线段OH的长为．11．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：．12．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=度．13．如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD=90°,AD=8,CP=CD=6，则AE的长是．OA，把矩形OABC沿OB折叠，14．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，AB=12点C落在点D处，BD交OA于点E，则点E的坐标为．15．如图，已知点E在菱形ABCD的边AB上，以BE为边向菱形ABCD外部作菱形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=5，BE=2，∠ABC=120°，则MN=．16．如图，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作AE的垂线，交AE于点G，交CD于点H，F是BH上一点，连接EF，若BE=FE，则FH的长为．17．如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =24，点P 在BC 边上，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，则PE +PF = ．18．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，BP ＝5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③S △APD +S △APB ＝12+62；④S 正方形ABCD ＝4+6．其中正确结论的序号是 ．三、解答题19．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC=90°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB 的度数；②四边形ABCD 的面积．20．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．21．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．22．十一国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．武玥同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．23．综合与实践：【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）；（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到了线段BN．【知识运用】请根据上述过程完成下列问题：（1）已知矩形纸片ABCD，AB=43，AM=4，求线段BM的长；（2）通过观察猜测∠NBC的度数是多少？并进行证明；【综合提升】（3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将MN延长交BC于点G．将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．参考答案：1．A2．B3．C4．C5．B6．C7．B8．Acm29．93210．5411．∠BAC=90∘AD平分∠BAC 12．22.513．8314．(5,0)15．67216．517．1201318．①③④19．解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=3又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×3=320．解：（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60∘；（2）∵O是对角线BD的中点，BD=2，∴OB=12∵∠ABD=60∘，=1；∴BE=OBcos60∘=2×12（3）过D作DF⊥AB于点F，由(2)可得：OE=OBsin60∘=3，∵OE⊥AB，点O为BD中点，∴DF=2OE=23，则S菱形ABCD=AB⋅DF=4×23=83．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF经过O且垂直于AC，∴EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，∵∠ADC=60°，∴∠HCD=30°，∴HD=12CD=1，∴CH=CD2−HD2=3，∵AD=3，∴AH=2，∵四边形AECF是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则FH=2−x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，即x2=(2−x)2+(3)2，解得：x=74，∴AF=CF=74，∴菱形AECF的面积为：AF×CH=74×3=734．22．解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，AD=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=AF=20cm，AB=CD=16cm，在Rt△ABF中，由勾股定理：BF=AF2−AB2=202−162=12cm，∴CF=BC-BF=20-12=8cm．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°．设CE=x，则DE=EF=16-x，在Rt△CEF中，由勾股定理：EF2=CE2+CF2，代入数据：(16-x)2=x2+64，解得：x=6．∴EC=6cm．综上所述，线段EC=6cm，CF=8cm．23．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵AB=43，AM=4，∴BM=AB2+AM2=8；（2）猜测：∠NBC=30°，证明：连接AN：∵EF为折痕，∴EF垂直平分AB，∴AN=BN，∵△BMN由△BMA折叠所得，∴AB=BN，∴AN=BN=AB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠NBC=90°−60°=30°；（3）四边形BGHM为菱形，理由：∵△BMN由△BMA折叠所得，∴∠ABM=∠NBM，∠BAM=∠MNB=90°，∵∠ABN=∠ABM+∠NBM=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°，∵∠NBC=30°，∴∠NBM=∠NBC=30°，∴∠MBG=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=BG，∵将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，∴△BMG≌△HGM，BH⊥MG，∴MH=BM，∴MH=BM=BG，∵MH∥BG，∴四边形BGHM是平行四边形，∵BM=BG，∴四边形BGHM是菱形．。

北师大版初三上课后习题及答案第一章特殊平行四边形习题1-11.已知:如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证:△ABC是等边三角形.2.如图，在菱形ABCD中, BD=6, AC=8,求菱形ABCD的周长.3.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点o.求证: AC 平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和4 ADC4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,团中有多少个等接三角形和直角三角形?答案：1.证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴BC=AB,BC//AD, ∴∠B+ ∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2 ∠B, ∴∠B+2 ∠B=180°，∴∠B=60°. ∵BC=AB ，∴△ABC 是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD=DC=CB=BA, ∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4 ，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3. 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5. ∴菱形ABCD 的周长为4AD=4×5=20.3. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD=AB,AC±BD ，DO=BO, ∴△ABD 是等腰三角形，∴AO 是等腰△ABD 低边BD 上的高，中线，也是∠DAB 的平分线，∴AC 平分∠BAD.同理可证 AC 平分∠BCD,BD 平分∠ABC 和∠ADC.4. 解：有 4 个等腰三角形和 4 个直角三角形.习题1-21.已知:如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC的垂直平分线分別与AD. AC. BC相交于点E, O, F.求証:四迫形AFCE是菱形.2.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD和交于点O，点E，F,G,H分別是OA, OB, OC, CD的中点，求证:四辺形EFGH是菱形。

特殊平行四边形专题训练专题一：菱形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD 中，100,C E ∠=︒是线段BD 上一动点（点E 不与点B D ，重合），当ABE △是等腰三角形时，DAE ∠的度数是（）A．30B ．70C ．30或60D ．40或60 2．如图，点E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且70DAE B ︒∠∠＝＝，那么CDE ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．20︒C ．15︒D ．10︒ 3．如图，在菱形ABCD 中，110BCD ∠=︒，CD 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接BF ，则ABF ∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒4．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是( )A ．1B ．2CD 5．如图，菱形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，∠BAD =60°，P 是对角线AC 上的一动点，连接PB 、PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝6，AC ＝8，直线OE ⊥AB交CD 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．4.8 B．C ．5 D ．67．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ．则DH =（ ）A ．6B ．245C ．485D ．58．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明理由；（2）若10OE =，16AC =，求菱形ABCD 的面积．专题二：矩形1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为点E ，5AE =，且2EO BE =，则OA 的长为（ ）A B ．C ． D 2．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点E ，DF AC ⊥于F 点，若3ADF FDC ∠=∠，则DEC ∠的度数是（ ）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．55︒3．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是CD 边的中点．若12AB =，92OM =，则线段OB 的长为（ ） A ．7 B ．8 C ．152 D ．1624．如图, 矩形ABCD 的周长为28，对角线AC 与BD 交于点O, OE ⊥BC 于E ，则OE+CE 的值为（ ）A ．7B ．9C ．14D ．165．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，BE 交AC 于点F ，AEF 的面积为2，则四边CDEF 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD和矩形AEFC 的面积分别是12,s s ，则12,s s 的大小关系是（ ）A ．12s s >B ．12s s =C ．12s s <D ．1232s s =7．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若8AB cm =，BC 10cm =，则AEF ∆的面积为（ ）A ．26cmB ．230cmC ．224cmD ．225cm8．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．75︒C ．70︒D ．85︒专题三：正方形 1．如图，正方形ABCD 中，在BA 延长线上取一点E ，使BE BD =，连接DE ，则EDA ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．30D ．22.5︒2．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则BED ∠为（ ）A ．45°B ．25°C ．30°D ．40°3．如图，正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的一点，且AE AB =，连接BE ，DE ，则CDE ∠的度数为（ ）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°4．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠DAE ＝67.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）A ．1BC ．D ．-46．如图，点E 是正方形ABCD 中CD 上的一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为16，DE ＝1，则EF 的长是（ ）A ．4B ．5C ．D 7．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交边AB 、CD于点E 、F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）当DE DF =时，EF 的长为__________．8．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE ，求证：AE ＝EC +CD ．专题四：特殊平行四边形综合1．如图，已知O 是矩形ABCD 的对角线的交点，∠AOB=60°，作DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 、CE 相交于点E.四边形OCED 的周长是20，则BC=（ ）A ．5B ．．10 D ．2．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，若15CAE ∠=，则∠BOE 的度数为（ ）A ．60B ．75C ．72D ．903．如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，DF ⊥AE 于F ，若EF ＝CE ＝1，AB ＝3，则线段AF 的长为（ ）A ．B ．4 CD ．4．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若140ABC ︒∠=，则OED ∠=（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．B ．cm C ．D ．3cm6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．967．如图，正方形ABC 的中，两条对角线的交点为O ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，若正方形的边长为2cm ，则DE 的长是（ ）cm ．A ．1B ．2C ．3 D8．如图，菱形ABCD 中，120D ∠=︒，F 是AD 中点，连接BF ，BE DC ⊥，垂足是E ．（1）求证：BF BE =；（2）若BF =，求四边形BEDF 的面积．参考答案专题一：菱形的性质与判定1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C6．【答案】A 7．【答案】B8．解：（1）四边形AEBO 是矩形，证明：∵BE AC ，AE BD ，∴四边形AEBO 是平行四边形，又∵菱形ABCD 对角线交于点O ，∴AC BD ⊥，即90AOB ∠=︒，∴四边形AEBO 是矩形；（2）∵菱形ABCD ，∴182OA AC ==，∵10OE =，∴根据勾股定理算出6AE =， ∴6OB =，∴212BD OB ==，∴菱形ABCD 的面积1116129622AC BD =⋅=⨯⨯=． 专题二：矩形 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B专题三：正方形1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C6．【答案】D7．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，又因为∠DOF=∠BOE ，OD=OB ，∴△DOF ≌△BOE （ASA ），∴DF=BE ，又因为DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：∵DE=DF ，四边形BEDF 是平行四边形∴四边形BEDF 是菱形，∴DE=BE ，EF ⊥BD ，OE=OF ，设AE=x ，则DE=BE=8-x 在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2+AD 2=DE 2∴x 2+62=（8-x ）2，解之得：x=74，∴DE=8-74=254，在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2+AD 2=BD 2∴＝10，∴OD=12 BD=5，在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2 -OD 2=OE 2，∴154，∴EF=2OE=152．8．【详解】证明：连接FE ，过点F 作FH ⊥AE 交AE 于点H ，∵AF 平分∠DAE ，∠D ＝90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，FH ＝FD ，又∵DF ＝FC ＝FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE ＝CE ．∵AE ＝AH +HE ，AH ＝AD ＝CD ，HE ＝CE ，∴AE ＝EC +CD ．专题四：特殊平行四边形综合1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B6．【答案】C 7．【答案】B8．【详解】（1）证明：连接BD∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC=120°，∴AB=CB=CD=AD ，∠A=∠C=60°，∵F 是AD 中点，BE ⊥DC ， ∴△ABD 、△CBD 是等边三角形，∵F 是AD 中点，BE ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，∴∠AFB=∠CEB =90°，∵∠A=∠C ，AB=CB ，∴△ABF ≌△CBE （AAS ），∴BF=BE ；（2）由（1）得△ABF 是直角三角形，∠A=60°，∵BF=sin60°=2， ∴AB=CB=CD=AD=4，AF=12AB=2，∴ABCD 4S 菱形=ABF CEB 1S =S =22⨯⨯△△= ∴四边形BEDF 的面积=ABF CEB ABCD S S S --△△菱形。

第一学期北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形经典题型分析归纳考试总分： 160 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、解答题（共 16 小题，每小题 10 分，共 160 分）1.已知如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．求证：四边形是矩形；若，，求四边形的面积．2.如图，已知、分别是的边、上的点，且．求证：四边形是平行四边形；若，，且四边形是菱形，求的长．3.准备一张矩形纸片，按如图操作：将沿翻折，使点落在对角线上的点，将沿翻折，使点落在对角线上的点．求证：四边形是平行四边形；若四边形是菱形，，求菱形的面积．4.如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．证明：；若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形．（直接写出答案）5.如图，中，，、分别是、的中点，连接，在延长线上，且．求证：四边形是平行四边形；若四边形是菱形，求的度数．6.如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、．求证：四边形是平行四边形；若，垂足为，，求的值．7.如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线点．问：图中与哪个三角形全等？并说明理由；求证：；猜想：线段，，之间存在什么关系？并说明理由．8.已知：如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，交的延长线于．求证：；若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．9.如图，四边形为矩形，四边形为菱形．求证：；试探究：当矩形边长满足什么关系时，菱形为正方形？请说明理由．10.如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，．求证：；若，，，求的长．11.如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接．求证：；当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论．12.在菱形中，对角线与相交于点，，．过点作交的延长线于点．求的周长；点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．13.如图，在菱形中，，，，相交于点．求边的长；如图，将一个足够大的直角三角板角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板角的两边分别与边，相交于点，，连接与相交于点．①判断是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点为边的四等分点时，求的长．14.已知：在矩形中，，，四边形的三个顶点、、分别在矩形边、、上，．如图，当四边形为正方形时，求的面积；如图，当四边形为菱形，且时，求的面积（用含的代数式表示）；在的条件下，的面积能否等于？请说明理由．15.在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点，且，连接、．若是线段的中点，如图，易证：（不需证明）；若是线段或延长线上的任意一点，其它条件不变，如图、图，线段、有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．16.如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．求证：；四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．答案1.证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵在菱形中，，∴平行四边形是菱形，故，四边形是矩形；解：∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∵四边形是菱形，∴，∴四边形的面积．2.证明：∵四边形是平行四边形，∴，且，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形．解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．3.证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形．解：∵四边形为菱形，∴，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，，故菱形的面积为：．4.解：得：；得；+得：解得；-得：；把代入，；代入，，；将，代入，．方程的为：，．5.证明：∵，是的中点，∴，∵，∴，在中，∵且是的中点，∴是等腰底边上的中线，∴也是等腰的顶角平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；解：∵四边形是菱形，∴，由知，，∴，∴是等边三角形，∴，在中，．6.证明：在菱形中，，，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；解：设，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．7.解：．理由：∵四边形是菱形，∴，．又∵，∴．证明：∵，∴，∵，∴，又∵，∴．猜想：．理由：∵，∴．∴．∵，∴．∴．8.证明：∵四边形是平行四边形，∴，，．∵点、分别是、的中点，∴，．∴．在和中，，∴．解：当四边形是菱形时，四边形是矩形．证明：∵四边形是平行四边形，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵四边形是菱形，∴．∵，∴．∴，．∵，∴．∴．即．∴四边形是矩形．9.证明：∵四边形为矩形，∴，，∵四边形为菱形，∴，在和中，，∴；解：当时，菱形为正方形．理由：∵，∴，，又∵，∴，∴，同理可得，，∵，∴，∴菱形是正方形．10.证明：∵菱形菱形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；解：连接交于点，则，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴．11.证明：∵四边形是菱形，∴，；在和中，∴，∴．解：判断．∵四边形是菱形，∴，∴，由题意知：∴，则，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．12.解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴的周长是：．证明：∵四边形是菱形，∴，∴，∵在和中，∴，∴．13.解：∵四边形是菱形，∴，∴为直角三角形，且，．在中，由勾股定理得：．①是等边三角形．理由如下：∵由知，菱形边长为，，∴与均为等边三角形，∴，又∵，∴．在与中，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，又∵，∴是等边三角形．②，为四等分点，且，∴，．由①知，∴．∵（三角形内角和定理），（等边三角形内角），（对顶角）∴．在与中，∵，∴，∴，即，解得：．14.解：如图，过点作于．在正方形中，，，∴，∵，∴，又∵，∴，同理可证：，∴，∴，则，如图，过点作于．连接．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，，∴．∴．∴的面积不能等于．∵若，则，∴．此时，在中，，在中，，∴，即点已经不在边上．故不可能有；解法二：的面积不能等于，∵点在上，∴菱形边长的最大值为，∴的最大值为，又因为函数的值随着的增大而减小，所以的最小值为．又∵，∴的面积不能等于．15.证明：∵四边形为菱形，∴，又∵，∴是等边三角形，∵是线段的中点，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；图．…图．…图证明如下：过点作，交于点，∵四边形为菱形，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，，…又∵，∴，又∵，∴是等边三角形，…∴，∴，…又∵，∴，又∵，∴，…∴；…图证明如下：过点作交延长线于点，∵四边形为菱形，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，，…又∵，∴，又∵，∴是等边三角形，…∴，∴，…又∵，∴，又∵，∴，…∴．…16.证明：在中，，，，∴．又∵，∴；解：能，理由如下：∵，，∴．又∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴．∴．若使为菱形，则需，即，．即当时，四边形为菱形．。

第一章特殊的平行四边形一．选择题1．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（）A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°3．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．8C．16D．164．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC 的长为（）A．4B．6C．2D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．59．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．11．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°12．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②二．填空题13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．14．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，则下列结论：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正确的结论是．15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝．17．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．20．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．21．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是．22．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．三．解答题23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．26．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．27．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．28．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．29．如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．30．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．31．如图，▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．32．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．33．如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若DE＝3，OE＝9，求AB、AD的长；34．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．35．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．36．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S正方形ABCD；【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG 的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．37．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．38．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD 于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP 与线段CE的数量关系，并说明理由．39．如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．（1）求证：△ABG≌△ADF；（2）求证：AG⊥AF；（3）当EF＝BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．40．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF 于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．参考答案一．选择题1．【解答】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故选：D．2．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，∵△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE，或AB＝BE，当AE＝BE时，∴∠ABE＝∠BAE＝40°，∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，故选：C．3．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，∴∠CAD＝25°，故选：B．6．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．7．【解答】解：如图，连接AE，设EF与AC交点为O，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝6，∴AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝4+6＝10，∴AB＝＝＝2，∴AC＝＝＝2，故选：C．8．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故选：B．9．【解答】解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．10．【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2 +2．故选：B．11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．12．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．二．填空题13．【解答】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．14．【解答】解：连接DB交AC于O，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥CB，AD＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，∠DAC＝∠CAB，∴∠1＝∠DAC，∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠2，∴AE＝BE，故①正确；∵AE＝BE，EG⊥AB，∴AG＝GB＝AB，∵F是AD中点，∴AF＝AD，∴AF＝AG，在△AEF与△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴∠AFE＝∠AEG＝90°，∴BF⊥AD，故②正确；在△AFB与△ABO中，，∴△AFB≌△ABO（AAS），∴BF＝AO＝AC，∴AC＝2BF，故③正确；∵∠2+∠CAB+∠CAD＝90°，∠2＝∠CAB＝∠CAD，∴∠2＝∠CAB＝∠CAD＝30°，∴BO＝AB＝BG，在Rt△EGB与Rt△EOB中，，∴Rt△EGB≌Rt△EOB（HL），∴EG＝EO，∴CE＝CO+EO＝BF+EG，故④错误．故答案为：①②③．15．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，∴AB＝2CD＝6cm．故答案为：6cm．16．【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，故答案为：8．17．【解答】（1）证明：如图，连接BP．∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，∴四边形PEBF是矩形；∴EF＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•CP，即×4×3＝×5•CP，解得CP＝．故答案为：．18．【解答】解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DF A＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故答案为：．19．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．20．【解答】解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为5．21．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠ODE＝∠OBF，∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形，即E在AD上任意位置（不与A、D重合）时，四边形BEDF恒为平行四边形，故选项①正确．（2）当BE⊥BC时，四边形BEDF是矩形，故选项②正确．（3）如图3，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，由于AB＜AD，即AB＜AE+BE，可以保证E点AD上，故一定存在点E满足要求，故选项③正确．（4）由②可知，∠ADB＝45°，四边形BEDF是正方形，故选项④正确．故答案为：①②③④．22．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，故答案为：8．三．解答题23．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．24．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．25．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．27．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF ∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．28．【解答】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，，∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，∴．29．【解答】证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．30．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．31．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∴EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，∴BE＝2，AE＝，∵四边形AECF是矩形，∴FC⊥BC，FC＝AE＝．∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABC＝30°，在Rt△BCF中，∠FCB＝90°，∠FBC＝30°，FC＝，∴BC＝6，∴AD＝BC＝6．32．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠DEB＝90°，∵AE＝3，DE＝4，DF＝5∴AD＝＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DF A，∵AB∥CD，∴∠F AB＝∠DF A，∴∠F AB＝∠DF A，∴AF平分∠DAB．33．【解答】证明：（1）∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，∴∠ABO＝∠DEA＝90°．在Rt△ABO与Rt△DEA中，∵∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）∴∠AOB＝∠DAE．∴AD∥BC．又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB＝DE＝3，设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x．在Rt△DEA中，由AE2+DE2＝AD2得：（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5．∴AD＝5．即AB、AD的长分别为3和5．34．【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．35．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．36．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE（SAS），∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．37．【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．38．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP ∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．39．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．∵BG＝DF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）；（2）证明：∵△ABG≌△ADF，∴∠GAB＝∠F AD，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠F AD+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴AG⊥AF；（3）①解：△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF．∵EF＝BE+DF，∴EF＝BE+BG＝EG．∵AE＝AE，在△AEG和△AEF中．，∴△AEG≌△AEF（SSS）．∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2﹣x）2+1 2＝（1+x）2，得x＝．∴BE的长为．40．【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OC＝OF，∴OE＝OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO＝CO，EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，同理，∠ACF＝∠ACG，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，∵MN∥BC，∴∠BCA＝∠AOM，∴∠BCA＝90°，∴△ABC是直角三角形．。

北师大版九年级上期数学第一章特殊平行四边形证明题专题训练1（巩固提升）一、菱形1.在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．（1）如图1，点G在BC边上时，①判断△BDF的形状，并证明；②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．2.在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB．（1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形；时，求证：∠AFE＝90°；（2）当n=12（3）当CE＝CF，DF＝6，BE＝3时，直接写出线段EF的长为_______．3.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF是等边三角形，E、F在边BC，CD上．（1）证明BE＝CF（2）当点E、F在边BC，CD上运动（△AEF保持等边三角形），请研究四边形AECF的面积是否发生变化，若不变，求这个定值；若改变求其最大值．（3）在（2）的前提下，研究△CEF的面积是否发生变化，若不变，求这个定值；若改变求其最大值．4.已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60∘,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60∘.(1)如图 ①,当E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;(2)如图 ②,当E是线段CB上任意一点时(点E不与点B,C重合),求证:BE=CF;(3)如图 ③,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15∘时,求CF的长.5.如图，菱形ABCD中，∠ABC=120∘，E是BC延长线上一点，连接DE，以DE为边向外作等边ΔDEF，连接AF，交菱形对角线BD的延长线于点P．（1）若AB=4，CF=6，求CE；（2）求证：BC=CF−2DP．6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E，求∠AED的度数．二、矩形形7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P、点E分别是边AB、BC上的动点，连接DP、PE．将ΔADP与ΔBPE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处．（1）当点P运动到边AB的中点处时，点A′与点B′重合于点F处，过点C作CK⊥EF于K，求CK的长；（2）当点P运动到某一时刻，若P，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′=4，试求此时AP的长．8.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．(1)求证：四边形BPEQ是菱形；(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.M、N在对角线AC上,且AM=CN,E、F分别是AD、BC的中点.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF=90∘,求AG的长.10.如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上的一个动点，F，G分别为AE，BC的中点，FG与ED相交于点H(1)求证：HE= HG.(2)如图2，当BE=AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求PE−PA的值.PB11.如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．12.已知：如图，在矩形ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，BF⊥CE于F，连接DF并延长交AB于G．（1）求证：GF＝FD．（2）若AE＝2，DE＝3，求DG的长．三、正方形13.如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E.（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．14.正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE.（1）求证：△CAN为直角三角形.（2）若AN=4√5，正方形的边长为6，求BE的长.15.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F.（1）连结CQ，求证：AP=CQ；（2）若正方形的边长为4，且PC=3AP，求线段PQ的长.16.如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G.（1）证明△AED≌△BFA；（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；（3）若OG的长为1，求BE的长度.17.正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD.连接EO，AE，EC.于E，连接ED，AE，EC.（1）当∠DAE=25°时，求∠AEC的度数；（2）当∠PBC=15°时，DP=4，求正方形的边长；（3）当AE=√10时，求BP的长.18.（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.求证：AF=BE.（2）如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，判断MP与NQ是否相等？并说明理由.。

北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形典型例题1.例1.如图,已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。

求证：①四边形AEDF 是菱形②当△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？2。

例2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，点E 、F 在AC 上，且BE ∥DF 。

求证:BE ＝DF.教师在这里将这道题进行开放处理：例2’ 如图,在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，点E 、F 在AC 上，_________，求证:BE ＝DF 或BE ∥DF 。

3. 例3.如图，四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点.求证：四边形EGFH 是平行四边形.BF CD EADCBAE FO GHFDA E BC4.例4。

如图，已知：△ABC，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别为BC、EF中点，求证：MN ⊥EF。

拓展例4’，变化条件和结论如图，已知:△ABC中，M、N分别为BC、EF中点，MN⊥EF，CF⊥AB，求证：BE⊥AC5。

例5.如图在△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F、分别是BC、CA、AB边的中点。

求证:AD＝EFEFD CBAEFB CMAN6.：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠,重合部分是什么图形，你能证明吗？ 引伸：⑴在这个图形中除△BCD ≌△BED 外,还有其它的全等三角形，你能找出并证明吗？⑵当AB=6;BC=8时，你能求出重叠部分的面积吗？ ⑶在⑵的条件下对这个图形你还可以作何尝试？7。

在△ABC 中，∠ACB=90°，E 时AB 中点，以A 、C 、E 为定点作平行四边形。

⑴当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形？并证明你的结论。

⑵四边形ACEF 有可能是正方形？为什么？E A BCDAF DBCCEAFB8。