北师大九年级(上)第一章证明(二)单元测试.docx

一、填空题1、 如图1，假设⊿ABE ⊿ADC ，那么AD = AB ，DC = ；∠D = ∠ ；∠BAE = ∠ ；2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°那么∠DEC ＝ ．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，那么周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，那么顶角等于_________；5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，那么最多能添加这样的钢管 根。

二、选择题6、给出以下命题，正确的〔 〕 ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形〔 〕〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个 7、满足以下条件的两个三角形一定全等的〔 〕 A 、腰相等的两个等腰三角形 B 、一个角对应相等的两个等腰三角形 C 、斜边对应相等的两个直角三角形 D 、底相等的两个等腰直角三角形 8、如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，那么∠A 的度数是〔 〕 〔A 〕30°〔B 〕 36°〔C 〕45°〔D 〕54° 9、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且交于点F ，那么图中的等腰三角形有〔 〕〔A 〕6个 〔B 〕7个 〔C 〕8个 〔D 〕9个 10、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，那么∠APE 的度数是〔 〕 〔A 〕45°〔B 〕55° 〔C 〕60°〔 D 〕75° 三、解答题11、阅读下题及其证明过程： ：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中， ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 问：上面证明过程是否正确？假设正确，请写出每一步推理根据；假设不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程； 12、：线段a 、h (如图) 求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h . 请你用尺规作图，并补全作法 作法：(1)作线段BC= .(2)作 . (3) . (4)连结 .那么△ABC 为所求等腰三角形.一、填空题 1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形 2、△ABC ，如下左图所示，其中∠B =∠C ，那么_______=________.§证明(二) §证明(二)DCB A 21E.3、如上中图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D是BC 的中点，DE ⊥AC ，那么∠C =__________°;CE ∶EA =__________.4、如上右图，AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，那么∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中，∠A =∠B =21∠C ，那么△ABC是__________三角形. 二、选择题6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是〔 〕 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7、如下左图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，那么图中共有等腰三角形〔 〕A.1个B.2个C.3个D.4个8、如上右，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中〔包括实线、虚线图形〕，共有全等三角形〔 〕A.2对 B 、3 对 C.4对 D.5对9、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，那么图中共有等腰三角形〔 〕A.6个B.5个C.4个D.3个10、如上右图，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，假设DE =4 cm ，AE =5 cm ，那么AC 等于〔 〕 A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm 三、解答题 11、，如左以下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.12、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.13、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .一、填空题1、，等腰△ABC ，AB =AC ：〔1〕假设AB =BC ，那么△ABC 为_________三角形；〔2〕假设∠A =60°，那么△ABC 为_______三角形；〔3〕假设∠B =60°，那么△ABC 为_______三角形. 2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________. 3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图〔1〕中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴.4、如图上右图，△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，AD =DE =6cm 那么∠ACD =_____°,AC =______cm,∠DAC =_______°，△ADE 是______三角形.5、如左以下图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，如果AB = 8 cm ，那么BD =_______cm ，∠BDE =_____°,BE =______cm.6、如右上图，Rt △ABC 中，∠A =30°,AB +BC =12 cm ，那么AB =__________cm. 二、选择题7、以下说法不正确的选项是 A.等边三角形有三条对称轴 B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、以下命题不正确的选项是 A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形C.假设一个三角形有三条对称轴，那么它一定§证明(二)EC DB A A DC B DC BA C是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形9、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，那么BC等于A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如以下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.11、如以下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点〔M与A不重合〕MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA. 12、如右图，△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.一、判断题1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确2.定理不一定有逆定理3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长二、填空题4、Rt△ABC中，∠C=90°，如图下左图，假设b=5，c=13，那么a=__________；假设a=8，b=6，那么c=__________.5、等边△ABC，AD为它的高线，下中图所示，假设它的边长为2，那么它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________. 5、上右图所示，正方形ABCD，AC为它的一条对角线，假设AB=2，那么AC=__________；假设AC=2，那么AB=__________；AC∶AB=__________∶__________. 6、如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，那么∠C=__________；假设AB=6，那么BC=__________.7、假设直角三角形的三条边长分别是6，8，a 那么〔1〕当6,8均为直角边时，a=__________；〔2〕当8为斜边，6为直角边时，a=__________.三、选择题8、如右图，等腰直角△ABC，AB=2，那么S△ABC等于( )A.2B.1C.4D.29、假设三角形的三边分别为a,b,c，那么下面四种情况中，构成直角三角形的是( )A.a=2,b =3,c=4 B.a=12,b=5,c=13C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=18,c=1710、如左以下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=5，DC=1，AC=5，那么AB的长度是A.27B.27C.10D.2511、如右上图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC 上一点，∠BAE=∠DE C=60°，AB=3，CE=4，那么AD等于( )A.4 8B.24C.10D.12四、解答题12、，如以下图，等边三角形ABC，AD为BC 边上的高线，假设AB=2，求△ABC的面积. 13、：如以下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=59.〔1〕求DC的长；〔2〕求AD的长；〔3〕求AB的长；〔4〕求证：△ABC是直角三角形.14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km，假设每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？§证明(二)§证明(二)一、填空题1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90 〔1〕假设∠A=∠D，BC=EF，那么Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________.〔2〕假设∠A=∠D，AC=DF，那么Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________.〔3〕假设∠A=∠D，AB=DE，那么Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________.〔4〕假设AC=DF，AB=DE，那么Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.〔5〕假设AC=DF，CB=F E，那么Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，那么有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3、：如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，那么△__________≌△__________〔HL〕.4、：如上中图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，假设BC=10，FC=8，那么EC=__________.5、：如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=______°.二、选择题6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，那么△AEO≌△AFO 的依据是( ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么以下各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°8、以下条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等三、证明题9、如以下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.10、：如以下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.11、如以下图，∠ABC=∠AD C=90°，E是AC 上一点，AB=AD，求证：EB=ED.一、填空题1、如下左图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，假设AB=10 cm，那么BD=__________cm；假设P A=10 cm，那么PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2、如下中图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，那么AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.3、如上右图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC 于E，BE=5，那么AE=_________，∠AEC=_________，AC=__________ .4、线段AB及一点P，P A=PB=3cm，那么点P §证明(二)在__________上.5、如果P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB =6cm ，那么P A =__________cm.6、如图下左图，P 是线段AB 垂直平分线上一点，M 为线段AB 上异于A ，B 的点，那么P A ，PB ，PM 的大小关系是P A ________PB ________PM .7、如图下中图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 平分∠ABC 交BC 于D ，那么点D 在__________上. 8、如图上右图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，那么直线AD 必是__________的垂直平分线. 二、选择题9、以下各图形中，是轴对称图形的有多少个 ①等腰三角形 ②等边三角形 ③点 ④角 ⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个 10、如下左图，AC =AD ，BC =BD ，那么 A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对 11、如上右图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 三、解答题13、如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左以下图，点P 为△ABC 三边中垂线交点，那么P A __________PB __________PC .6、如右上图，在锐角三角形ABC 中，∠A =50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，那么∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC =_______度.7、如左以下图，D 为BC 边上一点，且BC =BD +AD ，那么AD __________DC ，点D 在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，那么∠B __________∠1，∠C __________∠2；假设∠BAC =126°，那么∠EAG =__________度. 9、如左以下图，AD 是△ABC 中BC 边上的高，E 是AD 上异于A ，D 的点，假设BE =CE ，那么△__________≌△__________(HL )；从而BD =DC ，那么△________≌△_________(SAS )；△ABC 是__________三角形. 10、如右上图，∠BAC =120°，AB =AC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，那么∠AD B=_________度. 三、作图题 11、〔1〕分别作出点P ，使得P A=PB=PC 〔2〕观察各图中的点P 与△ABC 的位置关系，并总结规律：当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________；当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________；当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC§1.3.2证明(二)的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜测.一、判断题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴二、填空题5、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD 上，假设PE⊥AB，PF⊥AC，那么PE__________PF.6、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，那么∠BAP__________∠CAP.7、如图上右图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，假设AD=3，那么PE=______.8、，如图〔4〕，∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，假设CD=CE，那么∠COD+∠AOB=__________度.9、如图〔5〕，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，那么MQ=__________cm.三、选择题10、以下各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等11、以下命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等12、如左以下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图，AB=AC，AE=AF，BE与CF 交于点D，那么①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的选项是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.15、如右图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，假设BD=CD.求证：AD 平分∠BAC.一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图〔1〕，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，那么PD__________PE__________PF.7、如图〔2〕，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，假设使PE=2cm，那么PE与OB §证明(二)§证明(二)的关系是__________.8、如图〔3〕，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，那么CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在以下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如以下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首〔点A〕的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、：如以下图在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC于D，假设BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离. 班级：_______姓名：________得分：__________一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，那么其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，那么此三角形的周长为_________.3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，那么点M到AB的距离是_________.4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，假设△ABC的边长为10，那么AE=_________，AE∶EC=_________.5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，假设AB=10 cm，AC=6 cm，那么△ACD的周长为_________.6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，假设BC=3 cm，那么AD=_________ cm.7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，那么图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b －c)，那么这个三角形〔按边分类〕一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，那么它的边长为单元测试证明(二)〔 〕面A.4 B.3 C.2 D.5 13.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于〔 〕A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n ° 14.以下由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是〔 〕 A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15 D.a =3，b =2，c =5 15.直角三角形的三边长为连续自然数，那么它的面积为〔 〕 A.6 B.7.5 C.10 D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是〔 〕A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如右图，△ABC 中， AB =AC ，BC =BD ， AD =DE =EB ，那么∠A 的度数为〔 〕A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，那么BC 的长为〔 〕A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是〔 〕 A.13 cmB.1330 cm C.1360 cm D.9 cm 20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，那么以斜边为边长的正方形的面积为〔 〕 A.25 B.50 C.100 D.60 21.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，那么腰上的高是〔 〕 A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.假设一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，那么此三角形一定是〔 〕A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，那么AD 等于〔 〕A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.以下说法中，正确的选项是〔 〕 A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等 C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为〔 〕 A.8 B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，那么图中等腰三角形的个数是〔 〕 A.4 B.3 C.2 D.127.以下定理中逆定理不存在的是〔 〕 A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，那么这个三角形的面积为〔 〕 A.5B.2C.45 D.1三、解答题29.：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.30.：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB . 31.三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21 (n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.33.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，假设AB =2，求BE 的长.*34.①在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ， ∠A =30°，求∠NMB 的大小.②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.〔请同学们自己画图〕④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝ 4、70 80 5、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略 等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC 3.高线 中线 平分线 4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角 二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 三、1.解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠F AD ，且DF ∥AE∴∠EAD =∠ADF ，∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .同理，可得AE =ED ，∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中， ∴△ADE ≌△ADF 〔ASA 〕 ∴AE =AF ，DE =DF综上，AE =ED =DF =AF =6∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 2.证明：∵∠1=∠2，∴AD =AE 又∵DE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C 且∠B =∠C ∴AB =AC ，∴AB －AD =AC －AE 即DB =EC∴在△DBG 和△ECG 中， ∴△DBG ≌△ECG 〔SAS 〕∴DG =GE ，∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°， 又∵∠A =60°，∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中，AD =21AC ， 又∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中， ∴∠B =30°，∴AC =21AB ∴AD =4AB ， 那么AD =31BD ，即BD =3AD . 等腰三角形判别一、1.〔1〕等边 〔2〕等边 〔3〕等边2.线段、直角、等腰三角形3.一 三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8二、1.C 2.B 3.C三、1.解：∵AD =DC ，且∠A =20°，∴∠A =∠ACD =20°， 又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110°2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ，∠DBE =60°， ∴∠ABE =∠DBE∴在△ABE 和△CBD中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB ∴△ABE ≌△CBD 〔SAS 〕，∴AE =CD 1.2.1勾股定理一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.6 3 1 3 23.222 2 1 4.90° 35.(1)10 (2)27.三、1.B 2.B 3.C 4.C四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =21AB =1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3∴S △ABC =21AD ·BC =21×3×2=3 ∴△ABC 的面积为3.2.〔1〕解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－251442581=∴DC =512〔2〕解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD =516〔3〕解：AB =AD +DB=516+59=5 〔4〕证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°， ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A =50°，∠B =40°，∴∠C =90°，∴AC 2=AB 2－BC 2=〔3 km 〕2∴AC =3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通. 直角三角形全等的判定一、1.〔1〕AA S 〔2〕ASA 〔3〕AA S 〔4〕HL 〔5〕SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30 二、1.A 2.B 3.D三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中 ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .〔此题也可用勾股定理直接证明〕 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中， ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL ) ∴∠B =∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ).3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧==ACAC ADAB ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE∴在△DCE 和△BCE中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BCDC ∴△DCE ≌△BCE 〔SAS 〕，∴EB =ED 线段的垂直平分线一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.6 6.= ＞ 7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC 三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO∴O 、P 在EF 的中垂线上，∴OP 垂直平分EF .三角形三条中垂线交于一点一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD 等腰6.60°三、1.略 〔2〕内部 斜边的中点 外部四、类比联想：略角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4三、1.C 2.A 3.B 4.D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中∴△BDF ≌△CDE ，∴DF =DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC .1.4.2三角形三角的平分线交于一点一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = =4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ平分线 平分线三、提示：1.三个内角平分线交点2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点3.略四、解：过点D 作DE ⊥AB ，那么DE 是点D到AB 的距离∵BD ∶CD =9∶7，∴CD =BC ·16732167⨯==14而AD 平分∠CAB ，∴DE =CD =14第一章单元测试卷一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75°8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰 二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B 三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.1 34.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。

谯东中心中学九年级历史测试用卷（2）一、 单项选择（本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题所列出的四个选项1① 资产阶级 ②新贵族 ③国王 ④种植园主A ．①②B ．①②③④C ．①④D ．①②④2、美国独立战争与法国资产阶级革命的共同点是：A ．都推翻了封建统治B ．都推翻了殖民统治C ．都为资本主义的发展扫清了障碍D ．都建立了君主立宪制的政权3、法国的《人权宣言》与美国的《独立宣言》相比，最大的特点是：A. 宣告了私有财产神圣不可侵犯 B ．限制了国王的权力C ．宣告了脱离英国的殖民统治 D.宣告了美利坚合众国诞生 4、他法国大革命成果的维护者，他是欧洲的破坏者；他是欧洲的革命家，他是欧洲人的仇敌；他是法国人的骄傲，他是欧洲的强盗。

他是：A ．克伦威尔B ．罗伯斯庇尔C ．拿破仑D ．华盛顿5、喜欢足球运动的同学一定听说过南美的“解放者杯”足球赛，这一杯赛的冠名与下列那一历史人物有关：A ．苏克雷B ．伊达尔哥C ．圣马丁D ．玻利瓦尔 6、下列革命或改革没有改变社会性质的是：A ．中国洋务运动B ．美国独立战争C ．日本大化改新 D．英国资产阶级革命7、为其它西方国家制定民法典提供的范本是A.《权利法案》B.《人权宣言》C.《独立宣言》D.《拿破仑法典》8、与科学社会主义的诞生无关的是：A ．马克思和恩格斯B ．《共产党宣言》发表C ．宪章运动等欧洲工人运动的兴起D ．新航路的开辟9、世界上第一次具有全国规模的、持续时间最长的、政治性的工人运动是：A ．巴黎公社革命B ．五四运动C ．宪章运动D ．新文化运动10、第一次工业革命带给人类的“礼物”中不包括：A ．社会生产力得到提高B ．汽车、飞机成为最快捷的交通工具C ．时间、空间等意识加强D ．环境被污染二、列举题（本题共4小题，每小题3分，共12分）11、列举出15—16世纪到达过印度洋的航海家（3分）12、资产阶级革命或改革都是因为某种旧制度或腐朽统治严重阻碍了资本主义发展，列举出下列国家阻碍资本主义发展的旧制度或腐朽统治。

2012—2013学年度第一学期九年级（上）数学单元测试卷第一章 《证明（二）》（说明：本试题满分150分，考试时间90分钟）一、选择题：（每小题3分，共45分）1、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）A 、17B 、22C 、13D 、17或222、如图，在△ABC 中，∠A=50°，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，则∠DBC 的度数是（ ）A 、15°B 、20°C 、30°D 、25°3、如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组4、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上， 且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A 、30°B 、36°C 、45°D 、70°5、如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米， AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A 、AB 中点 B 、BC 中点C 、AC 中点D 、∠C 的平分线与AB 的交点6、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）A 、顶角、一腰对应相等B 、底边、一腰对应相等C 、两腰对应相等D 、一底角、底边对应相等7、在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，–2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等到腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个A B DE （第3题） 第4题第5题8、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ）A 、1 个B 、2 个C 、3个D 、不确定9、如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C = 1 ：2 ：3，CD ⊥AB ，AB =a ，则DB =（ ）A 、4a B 、3a C 、2a D 、43a10、已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若cm c cm b a 1014==+，，则S Rt △ABC =（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、50cm 211、如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于E ，交AC 于F ，∠A =50，AB +BC =16cm ，则如图，△BCF 的周长和∠EFC 分别为（ ）A 、16cm ，40°B 、8cm ，50°C 、16cm ，50°D 、8cm ，40°12、以下命题中，真命题的是 （ ）A 、两条直线相交只有一个交点B 、同位角相等C 、两边和一角对应相等的两个三角形全等D 、等腰三角形底边中点到两腰相等13、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 （ ）A 、必定全等B 、必定不全等C 、不一定全等D 、以上答案都不对14、如图，⊿ABC ≅⊿FED ，那么下列结论正确的是 （ ）A EC = BDB EF ∥ABC DE = BD D AC ∥ED15、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是 （ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、任意三角形一、填空题：（每小题5分，共25分）16、等腰三角形的底边长为2，面积等于1，则它的顶角的度数为 。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

单元测试(一) 特殊平行四边形(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．32．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )A．4 B．3 C．2 D．15．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A．10 B．8 C．6 D．57．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )A．12＋12 2 B．2＋6 2C．12＋ 2 D．24＋6 28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12aC．8a D．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．1610．下列命题中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )A．40° B．35°C．20° D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．75° B．60° C．55° D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DCC．∠ADB＝90° D．CE⊥DE二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①④ 19.AC ＝BD 或AB ⊥BC 20.22.521.∵△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ， ∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形ABCD 的周长是34 cm.22.证明：∵∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∴AB ∥CD.又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵△AOB 是等边三角形， ∴AO ＝BO.∴2AO ＝2BO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 2 23.设正方形的边长为x ，∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC ＝2x.∴S 菱形AEFC ＝AE ·CB ＝2x ·x ＝2x 2.∴2x 2＝9 2. ∴x 2＝9.∴x ＝±3.舍去x ＝－3. ∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝2.又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.25.(1)由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等． (2)选择∠AFB ＝∠AED ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，AB ＝AD.在Rt △BAF 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，AF ＝DE ，∴Rt △BAF ≌Rt △ADE(HL)．∴∠AFB ＝∠AED.26.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°.∴∠AOC ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠BOD ＝90°. ∴∠AOC ＝∠BOD.∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC. ∴CA ＝DA. ∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB 的最小值为 2.27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)．（2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM ＝CM ， ∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点， ∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1， ∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC ＝45°.∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴四边形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.单元测试(二) 一元二次方程(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．x 2＋2y ＝1 B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝12．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．若关于x 的方程2x m －1＋x －m ＝0是一元二次方程，则m 为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3 6．方程x(x ＋2)＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝27．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 8．根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 9．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法10．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长为( )A ．11B ．13C ．15D ．11或13 12．下列说法不正确的是( )A ．方程x 2＝x 有一根为0B ．方程x 2－1＝0的两根互为相反数C ．方程(x －1)2－1＝0的两根互为相反数D ．方程x 2－x ＋2＝0无实数根13．对二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学认为：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对C．他们两人都对 D．他们两人都错14．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝35615．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．将方程3x(x－1)＝5化为ax2＋bx＋c＝0的形式为____________．17．若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为________．18．若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是________．19．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价________元．20．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)选择适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2＝4；(2)x2－5x＋1＝0.22．(8分)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若mn＋m＋n＝2，求a的值．23．(10分)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．24.(12分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．25．(12分)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．26.(14分)观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2＋x＝0；第2个方程：x2－1＝0；第3个方程：x2－x－2＝0；第4个方程：x2－2x－3＝0；…(1)第2 016个方程是____________________；(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．27．(16分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C 15.B 16.3x 2－3x －5＝0 17.－3 18.－6或1 19.6 20.①② 21.(1)x 1＝1，x 2＝5. (2)x 1＝5＋212，x 2＝5－212.22.∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a. ∵mn ＋m ＋n ＝2，∴a ＋3＝2.解得a ＝－1.23.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8. 解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7. ∵x 2＝1.7不符合题意， ∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.24.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12，4×7＝28.答：小林把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0. ∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0， ∴此方程没有实数根． ∴小峰的说法是对的．25.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0.解得m 1＝－2，m 2＝－4.26.(1)x 2－2 014x －2 015＝0(2)第n 个方程是x 2－(n －2)x －(n －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝n －1.(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是－1. 27.(1)△ABC 是等腰三角形．理由： ∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0. ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0. ∴a －b ＝0. ∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0. ∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0. ∴x 2＋x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－1.。

北师大版九年级上册数学第一章单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的四边形是菱形D. 对角线垂直的平行四边形是菱形2.在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )A. OA ＝OC ，OB ＝ODB. AD ∥BC ，AB ∥DCC. AB ＝DC ，AD ＝BCD. AB ∥DC ，AD ＝BC3.若顺次连接四边形ABCD 四边中点而得的图形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A. 矩形B. 菱形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形4.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠ABD =30°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A. 18B. 18√3C. 36D. 36√35.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连接BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ；②∠A=∠EBA ；③EB 平分∠AED ；④ED=AB 中，一定正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）12．5 D. 5第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)图中有哪几对全等三角形，请一一列举；(2)求证：ED∥BF.8.如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点．求证：△ADF≌△BAE.9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点M，N分别是对角线BD，AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且△ADO为等边三角形，过点A 作AE⊥BD于点E.(1)求∠ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．11.如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)12.如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.13.如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．14.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2√2，√10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．15.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D 重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．三、填空题AC、BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ )．（A)5（B）5（C）5 (D)1017.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝1(BC－AD)，⑤四边2形EFGH是菱形．其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．418.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为____________cm2．19.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．20.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF等于_______°.21.（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是．22.（3分）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，若过点A的对角线长为20 cm，则每个菱形的面积为____________cm2.参考答案1.C【解析】1.试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C．2.D【解析】2.根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．A．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；B．∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；C．∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；D．∵AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形．故选D．3.D【解析】3.由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，故选D．4.B【解析】4.试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3√3，∴菱形ABCD的面积是6×3√3=18√3，故选B．5.B．【解析】5.试题根据作图过程，利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确.∵∠ABC=90°，∴PD∥AB.∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确.∴正确的有①②④.故选B．6.A【解析】6.试题解析：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9-BF）2，解得，BF=4，故选A．7.(1)见解析；(2)证明见解析.【解析】7.（1）根据菱形的对称性，写出AC左右两边对应的三角形即可；（2）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠DCA，然后求出AF=CE，利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFA=∠DEC，然后利用内错角相等两直线平行即可证明．(1)图中有三对全等三角形：①△ABC≌△CDA，②△ABF≌△CDE，③△ADE≌△CBF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DC A．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE.在△ABF和△CDE中，{AB=CD∠BAC=∠DCAAF=CE，1 2∴△ABF ≌△CDE (S A S)，∴∠BF A ＝∠DEC ，∴ED ∥BF .8.证明见解析.【解析】8.根据正方形的四条边都相等可得AB=AD ，根据同角的余角相等求出∠1=∠4，然后利用“角角边”证明△ABE 和△DAF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°，又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，又∵DA ＝AB ，∴△ADF ≌△BAE .(A S A ) .9.证明见解析.【解析】9.连接AM ，CM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=12BD ，CM=12BD ，那么AM=CM ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明MN ⊥AC ．如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，点M 是BD 的中点，∴AM ＝12BD ，CM ＝12BD ，∴AM ＝CM ，又∵点N 是AC 的中点，∴直线MN 是线段AC 的垂直平分线.10.(1)∠ABD ＝30°；(2)AE ＝5√32.【解析】10.（1）根据矩形性质得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB 求出即可；（2）求出AD ，根据等腰三角形性质得出DE=EO ，求出DE ，根据勾股定理求出即可．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∵△ADO 为等边三角形，∴∠ADB ＝60°，∴∠ABD ＝180°－∠DAB －∠ADB ＝30°；(2)∵BD ＝10，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12BD ＝5，∵△ADO 为等边三角形，∴AD ＝AO ＝DO ＝5，∵AE ⊥DO ，∴DE ＝EO ＝12DO ＝2.5，在Rt △AED 中，由勾股定理得AE ＝√AD 2−DE 2=√52−2.52=5√32. 11.（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．【解析】11.试题（1）根据三角形的中位线定理可证得DE ∥GF ，DE ＝GF ，即可证得结论； （2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE ＝BC ．同理，GF ∥BC ，GF ＝BC ． ∴DE ∥GF ，DE ＝GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解法一：点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上． 解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A 的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．12.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC 和BD 交于点O∴AB ∥CD; OB=OD∴∠OEB=∠OFD∵∠BOE=∠DOF∴△BOE ≌△DOF(2)解：当EF 与AC 垂直的时候四边形AECF 是菱形。

第一章 证明（二）同步练习某某______________ 成绩____________一 填空题（每小题3分，共18分）：1．在△ABC 中，∠A －∠C ＝ 25°，∠B －∠A ＝ 10°，则∠B ＝；2．如果三角形有两边的长分别为5a ，3a ，则第三边x 必须满足的条件是；3．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是；4．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝， ∠DAC ＝，BD ＝cm ；5．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝；6．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长是17cm ，则△ABC 的腰长为.二 判断题（每小题3分，共18分）：1．已知线段a ，b ，c ，且a ＋b ＞c ，则以a 、b 、c 三边可以组成三角形 （ ）2．面积相等的两个三角形一定全等 （ ）3．有两边对应相等的两个直角三角形全等 （ ）4．有两边和其中一边上的高对应相等的两上三角形全等 （ ）5．当等腰三角形的一个底角等于60°时，这个等腰三角形是等边三角形 ()6．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等 （ ）三 选择题（每小题4分，共16分）：1．已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ）（A ）90°－n 21° （B ）90°＋ n 21° （C ）180°－n ° （B ）180°－n 21°2.下列两个三角形中，一定全等的是（）（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形３．一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）（A）2cm（B）8cm（C）2cm或8cm（D）10cm４．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）（A）30°（B）36°（C）45°（D）54°四（本题8分）已知：如图，AD是△ABD和△ACD的公共边.求证：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.AB DC五（本题10分）已知D是Rt△ABC斜边AC的中点，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数.六（本题10分）已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，求证：BD＝CE.七（本题10分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．八（本题10分）已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.参考答案一．答案：1. 75°；2. 2a ＜x ＜8a ；3. 18或21；4. 40°，20°，7.5；5. 512； 6. 12cm .二．答案：１．×；２．×；３．√；４．√；５．√；６．√．三．答案：１．Ｂ； ２．Ｃ； ３．Ｃ； ４．Ｃ．四．提示：延长AD 到E ，把∠BDC 归结为△ABD 和△ACD 的外角，利用“三角形外角等于不相临的两个内角的和”可以证明.五．提示：利用列方程的方法求解．设∠EAB ＝2x °，∠BAC ＝5x °，则 ∠ACB ＝3x °，于是得方程5x °＋3x °＝90°，解得 x °＝890 ， ∴∠ACB ＝33.75°.六．提示：由AB ＝ AC 得∠B ＝∠C ，又有 BC ＝ BC ，可证△ABD≌△ACE，从而有BD＝CE.七．提示：可知∠DBC＝30°，只需证出∠DEB＝30°．由∠ACE＝120°，得∠CDE＋∠E＝60°，所以∠CDE＝∠E＝30°，则有BD＝DE．八．提示：只需证∠PBQ＝30°.由于△BAE≌△ACD，所以∠CAD＝∠ABE，则有∠BPQ＝∠PBA＋∠BAP＝∠PAE＋∠BAD＝60°，可得∠PBQ＝30°.。

化丸上第一章《证明二》水平测试（A ）A. 4cmB. 5cm如图3,在等边MBC 中，分别是BC,AC 上的点，且BD = CE, AD 与BE 相交于点P,那么ZI + Z2的度数是（如图4.在®8C 中，AB=AC ・匕4 = 36。

・BD 和CE 分别是匕ABC 和匕ACB 的平分-、精心选一选，慧峨识金（每题3分，共30分） 1.2. 3. 如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成二片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的方法是带（）去配. A.① B.② C.③ D.①和② 以下说法中，正确的选项是＜ ）. A. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C. 两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等 如图2, ABLCD. △A8£）、都是等腰三角形，如果CD 二Scm, BE=3cm,那么AC 於为（ ）・ C. 8cm D. V34cm4. A. 45°B. 55°C. 60°D. 75° 6.7. 距离相等，那么诃供选择的地址有（ ）.A ・1处B ・2处C ・3处 D. 4处 如图6, A 、C 、E 三点在同一条宜线上，ADAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如卜,结论：① AACE^ADCB ：② CM=CN：③ AC = DN.其中，正确结论的个数是（ A. 3个 B. 2个 D. 0个线，FL 相交于点P.在图4中, 等腰三角形（不再添如我度和字母）的个数为《 ). 如图5,。

农匕表示三条相瓦交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公却的8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A, C, E在同一•条直线上(如图7), 可以证明WC3EDC、得ED二AB.因此，m DE的K就是AB的长，在这里判定MBC^AEDC的条件是( ).A. ASAB. SASC. SSS D・ HL9.如图8,将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置.，BE交AD于点F.求证：重曲局部(即ABDF )是等腰三角形.证明：.・•四边形ABCD是长方形，.・・AD〃,清思考:以上证明过程中.涂果局部正确的应该依次是以下四项中的哪两项？ ( ).①/1 = Z2：②匕1 =匕3：③匕3 =匕4：④ZBDC = ZBDED.③④10.如图9,己知线段小力作等腰左ABC.使AB=AC,且RC=Q. BC边上的高AD=h.张红的作法是：(1)作线段«C=«： (2)作线段I3C的垂直平分线MN. MN与RC相交于点D： (3)在直线材N上截取线段/;： (4)连结AC,那么为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是( ).A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)二、细心填一填,一修定音(每题3分，共30会)I.如图10,，在和ZiDCB中，AC=DB. 假设不增加任何字母与辅助线，要使AABC^ADCB,那么还需增加一个条件是2.如图11,在RtSABC N8AC = 90七A8 = AC,分别过点0.C作经过点A的直线的垂线段BD, CE,假设BD=3丽米，CE=4 fii米，那么DE的K为______ .于 ________ ・4. m 13.在等腰中，AB=27, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,假设^BCE的周长为50,那么底边BC的长为 _________ .5.在AABC中，AB=AC, AB的垂宜平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,那么底角B 的大小为 _______ ・6. 在4i 正明二》—章中.我们学习了很多定理.例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等：④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等：⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是 ______ .（斌序号）7. 如图14,有一张宜角三角形纸片，两宜角边AC=5cm, BC=IOcm,将AABC 折叠，点B与点A 垂合，折痕为DE,那么CD 的长为 ________ ・8. 如图15.在AAfiC 中，AB 二AC, ZA = 120°. D 是BC 上任意•点，分别做DE1ABDE 是AB 的中垂线, 于点E,假设BE = 4,那么=. 10.如图17,有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身 器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小祓想在A 处立一个标 牌'少走 _______ 步，踏之何忍？ ”但小颖不知在“ ___ ”处应填什么数字，清你带助她坟上好吗？（供设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1. （7分）如图18,在AA8C 中，匕ACB = 9（）0. CD 是AB 边上的高, 2. （7 分）如图 19.在 AABC 中,ZC = 90°. AC=BC. AD 平分 /CAB 交BC于点D, DEXAB 于点E,假设AB=6cm.你能否求的 周长？假设能，请求出：假设不能，请说明理由.3. <10分〉如图20.。

第一章证明（二）检测题（本试卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，△ABC 是等腰三角形，点D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点，∠ADE ＝∠DAC ，DE =A C.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.有一组对边平行的四边形是梯形C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形3.如图，在△AB C 中，，点D 在AC 边上，且，则∠A 的度数为（）A.30°B.36°C.45°D.70°4.下列命题,其中真命题有（）①4的平方根是2；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形.A.0个B.3个C.2个D.1个5.已知等边三角形的高为23，则它的边长为（）A.4 B.3 C.2 D.56.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最短边cm ，则最长边AB 的长是（）A.5cmB.6cmC.5cmD.8cm7.等腰三角形的底边长为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）A.23aB.33aC.63a D.21a 8.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45 D.110.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，如果cm ，cm ，那么△的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC ,∠BAC =50°,∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.13.在△ABC和△ADC中，下列论断：①；②；③，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：____________.14.如图，在△ABC中，，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则_________，_________.16.一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.20.（8分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高.准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.。