北师大版九年级数学上册教学设计(教案)：第一章《证明》回顾与思考

第一章证明（二）回顾与思考一、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台；第二环节：建立本章的知识框架图；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结；第五环节：布置作业。

学生课前准备：一副三角尺； 教师课前准备：制作好课件.第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。

活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。

活动过程：问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？ 教师通过学生回答并整理出六条公理如下：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理； ②反证法．（教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导） 问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？ 问题4：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分． 已知：如图，∠AOB求作：(1)射线OC ，使∠AOC=∠BOC ；(2)射线OD 、OE ，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB 作法: (1) 1、在OA 和OB 上分别分别截取OM 、ON ，使OM=ON ．2．分别以M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C ．3．作射线OC∴OC就是∠AOB的平分线．(2) 同上，分别在AOC和BOC内部作射线OD、OE．活动效果及注意事项：在整理基本定理及相关知识时，可以先通过学生讨论，或在课前提前布置总结的任务，这样学生准备的更充足一些，课堂复习的效果估计会更好一些！第二环节：建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)（3）与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．第三环节：例题讲解例1、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF.求证：△ABC 是等腰三角形.分析：要证△ABC 是等腰三角形，可证∠B=∠C.例2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.分析：由已知AC －BC=2，即AB －BC=2，要求AB 和BC 的长，利用方程的思想，需找另一个AB 与BC 的关系．第四环节：课时小结本章的内容总结如下：第五环节：布置作业P38 A 组题中的第3、4、5、6、7、8题； 课外：A 组题中的9题，B 组题第1、2、3题.四、教学反思通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线角的平分线本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。

北师大新版九年级数学上册教案带教学反思北师大新版九年级数学上册教案及教学反思第一章代数基础第一节：一元二次方程及其解法教学目标：一、理解一元二次方程的概念及一般形式。

二、掌握一元二次方程的求解方法（直接开平、因式分解、配方法等）。

三、培养学生的运算能力和问题解决能力。

教学过程：一、导入新课：通过复习线性方程，引导学生理解方程的重要性，并提出一元二次方程的概念。

二、新课讲解：讲解一元二次方程的概念、一般形式及解的性质。

通过实例演示各种解法。

三、课堂练习：学生独立解决一元二次方程问题，教师巡视指导。

四、布置作业：给学生布置相关习题，加强一元二次方程的解法练习。

教学反思：学生对一元二次方程概念的理解较为到位，但在应用因式分解法解决方程时存在困难，需要更多的实践训练。

在后续教学中，我将加强对因式分解法的讲解和练习。

第二节：二次函数及其性质教学目标：一、理解二次函数的定义和基本形式。

二、掌握二次函数的性质（开口方向、顶点、对称轴等）。

三、能应用二次函数的性质解决实际问题。

教学过程：一、导入新课：回顾一元二次方程，引出二次函数的概念。

二、新课讲解：讲解二次函数的定义、基本形式及性质。

展示二次函数的应用。

三、课堂互动：让学生观察不同形式的二次函数，总结其性质。

四、布置作业：让学生解决与二次函数相关的实际问题。

教学反思：学生对二次函数的基本概念理解较好，但在应用二次函数性质解决实际问题时存在困难。

在今后的教学中，我将更多地结合生活实际，帮助学生理解并应用二次函数。

第二章几何基础第一节：圆的基本性质教学目标：一、理解圆的概念和性质。

二、掌握圆的周长和面积计算。

三、能应用圆的基本性质解决实际问题。

教学过程：一、导入新课：通过生活中的圆形物体，引出圆的概念。

二、新课讲解：讲解圆的基本性质、周长和面积的计算方法。

展示圆的应用。

三、实践操作：让学生通过实际操作，加深对圆的认识和理解。

四、布置作业：让学生观察生活中的圆形物体，并尝试用所学知识解决实际问题。

北师大版数学九年级上册2.6《回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册2.6《回顾与思考》是本册教材中的一个重要单元，主要目的是让学生通过回顾已学过的知识，对数学概念、公式、定理和方法进行总结和思考，提高学生的数学思维能力和综合运用能力。

本节课的内容包括对平面几何、代数、概率等知识的回顾，以及通过典型例题的讲解和练习，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了大量的数学知识，具备一定的数学思维能力。

然而，由于知识的繁多和复杂，学生在应用知识解决问题时，往往会出现概念混淆、方法不当等问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生对已学知识进行系统的回顾和总结，并通过典型例题的讲解和练习，提高学生综合运用知识的能力。

三. 教学目标1.使学生能够对已学过的数学知识进行回顾和总结，形成知识体系。

2.提高学生的数学思维能力和综合运用能力。

3.使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.对已学知识的回顾和总结。

2.典型例题的讲解和练习。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生对已学知识进行回顾和总结，形成知识体系。

2.讲解法：教师通过讲解典型例题，使学生掌握解题方法和技巧。

3.练习法：学生通过练习，巩固所学知识，提高综合运用能力。

六. 教学准备1.准备相关知识的PPT和教案。

2.准备典型例题和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生对已学知识进行回顾，如平面几何、代数、概率等。

同时，教师在黑板上板书关键词，形成知识体系。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现典型例题，并进行讲解。

讲解过程中，教师强调解题方法和技巧，使学生能够理解和掌握。

3.操练（10分钟）教师给出练习题，学生独立完成。

在学生完成练习的过程中，教师进行巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师选取部分学生的作业进行讲解和点评，巩固所学知识。

同时，教师给出拓展题，学生进行练习。

学习目标：1、能准确的找出两个三角形的等量关系，证明两个三角形全等；2、灵活运用各性质解决实际问题。

3、等腰三角形、等边三角形的性质和判定4.、线段垂直平分线的做法，角平分线的做法利用等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题学习重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点学习难点：本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

5、线段垂直平分线的性质定理：逆定理：已知线段AB,用直尺和圆规作出它的垂直平分线：三角形的垂直平分线性质：6、角的性质定理：逆定理：已知角ABC,用直尺和圆规作出它的角平分线：三角形的角平分线性质：7、三角形全等的判定方法有。

【巩固练习】一、等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的第1页共3页第2页 共3页 周长是（ ）A ．9B ．12 C ．15 D ．12或152.等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、（选作）△ABC 中，D,E 分别是AC,AB 上的点，BD 与CE 交于点O,给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC[1]上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出）[2]选择第[1]小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角二、等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________.三、垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、（选作）如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB,EF=2,求AB与BC 的长。

第一章证明（二）复习（一）一、复习目标回顾本章的主要内容，特殊三角形的判定和性质，命题的逆命题及其真假，线段的垂直平分线、角平分线的尺规作图及性质，理顺这些重要知识点。

二、知识回顾提问：（1）与等腰三角形、等边三角形的有关结论。

答：①定理：等腰三角形的两个底角相等；②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；④定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三等边；⑤推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）与直角三角形有关的结论答：定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。

（3）判定两个三角形全等的方法答：ASA AAS SAS SSS HL（在直角三角形中）（4）与线段的垂直平分线有关的结论答：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等；（5）与角平分线有关的结论答：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且边一点到三条边的距离相等。

三、例题讲解例1 已知点D、E、F分别是中AB、AC、BC上的点，且DE∥BC,EF∥AB,求证:∠B=∠DEF例2,已知△ABC中,AB=AC,BE与CD相交于点O,OB=OC.求证: (1)OD=OE;(2)AD=AE例3如图,D、E是△ABC中BC边上两点,(1)若已知AD=AE，要得到△ABE≌△ACD还补充一个条件(写出各种补充的情况);(2)若已知AB=AC,AD=AE,可证得哪几对三角形全等例4已知△ABC中,AB=AC，AB垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长是16，AC －BC=4，求△ABC的周长。

《第一单元》教学案课题（教学内容）：回顾与思考教学目标：知识与能力：复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。

过程与方法：经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．情感态度价值观：（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．（2）通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养.教学重点：菱形、矩形、正方形的性质和判定定理的运用教学难点：运用综合法证明；平行四边形与各种特殊平行四边形的区别与联系。

课时安排：2课时教学过程：一、交流创意，导入课题事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。

二、交流创意，总结归纳事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的性质和判定方法。

三、小试牛刀，基础巩固1、一组对边平行的四边形是梯形。

（）2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。

（）3、两条对角线相等的四边形是矩形。

（）4、一组邻边相等的的矩形是正方形。

（）5、对角线互相垂直的四边形是菱形。

（ ）6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（ ）四、出示例题，总结方法例1：已知：如图（4）在正方形ABCD 中，F 为CD 延长线上的一点，CE ⊥AF 于E ， 交AD 于M ， 求证：∠MFD=45°例2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A 、C 重合，使纸片折叠 压平，设折痕为EF 。

试确定重叠部分△AEF 的面积。

GCE D BA五、课堂总结六、布置作业课本复习题教学反思（手写）。

2019-2020学年九年级数学上册《证明》回顾与思考教学案北师大版北师大版学习目标：1．建立本章的知识框架图，复习有关定理，识别与定理符合的基本图形.2．熟练而又灵活运用等腰三角形的性质及判别、勾股定理及其逆定理解决问题.3．熟练而又灵活运用线段的垂直平分线和角的平分线的性质及判别解决问题.教具准备：三角板、展台、多媒体、导学案、课件.课前准备：教师：制作课件和导学案，学生：在课前做好基础知识的复习.教学过程：一、回顾基本图形，温习旧知师：本章我们通过推理证明了一些定理，你能画出符合定理条件或在证明这些定理的过程中，用到的基本图形吗？请同学们以组为单位画这些基本图形.生：以组为单位画图形.【展示学生的绘图成果】师：哪个小组愿意展示、介绍你们小组的作品？（黑板张贴所画图形）一组：我们小组画的图形如下：师：能给大家介绍一下，你们组所画图形的理由吗？一组生1：证明“等边对等角”、“等角对等边”定理时用到了这个图形.师：对于等腰三角形来说，中间这条线段的性质，同学们是否还记得？生齐答：三线合一.师：请解释其余三幅图.生3：第二幅说的是等腰三角形腰上的高线、角平分线、中线对应相等.生4：第三幅在证明过线段的垂直平分线性质和判别、第四幅图证明过角的平分线的性质和判别.师：关于线段的垂直平分线与角的平分线的作法，大家要牢记！还有哪个小组还有不同的图形？二组：大家看，第一个箭头表示的是有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；等边三角形用高线就能分成有一个角是30°的直角三角形；关于直角三角形，我们还学习了勾股定理及其逆定理.师：二组同学总结真是不错，勾股定理及其逆定理，我们还学到了哪些互逆定理？生5：线段的垂直平分线的性质与判别，角平分线的性质与判别……师：另外，我们本章也提到了反证法，大家是否记得反证法有哪些步骤？生6：假设、归谬、结论.【设计意图】初学这些定理的证明时，学生由命题画图形；复习时，逆过来，由图形回忆定理，以图带点，以点带面，教师适时配以板书，构建本章知识结构图.【实际效果】学生在课下已经对于本章知识点稍作复习，基本图形在小组成员合作的基础上，很快就完成了，学生回答问题时多是以点带面，略显不规范.二、寻找基本图形，灵活解决问题师：有了这些基本图形，我们在解决问题时，寻找这些图形的影子，然后依据相应的定理便可解决问题.生:尝试完成.【课件出示】1.如图，已知AB=AC，AD=AE,求证：BD=CE.【展示学生的探究成果】：师：哪位同学说说自己的想法？生1：只需证明△ABD≌△ACE,已经有了两边对应相等——AB=AC，AD=AE，再由AB=AC,证明∠B=∠C，那么△ABD≌△ACE，BD=CE.生2：老师，他说的不正确，“SSA”不能判别三角形全等.师：是否还能通过证明△ABD≌△ACE来说明BD=CE？生2：（接着说）AD=AE，那么∠ADE=∠AED,所以∠ADB=∠AEC,等角的补角相等，然后……大家看，利用“AAS”就能证明△ABD≌△ACE.生3：老师，我还有想法！刚才都证明了∠B=∠C，∠ADE=∠AED，还有AB=AC，△ABE≌△ACD，那么BE =CD,都去掉DE ，那么BD =CE .师：同学们的想法很灵活，还有别的方法吗，这里有等腰三角形…… 生4：我试试！过点A 作AF ⊥BC 于F , △ABC 与△ABC 都是等腰三角形，利用三线合一易得BF =CF ,DF =EF ,那么B F-DF = CF -EF ，即BD =CE .师：真是不错！看出来这种做法中的基本图形了吗？ 生齐答：第一幅！师：能从下面的题目中找到基本图形码？【课件出示】2.如图，P 是∠AOB 的平分线上一点，PD ⊥OB 于D ，PC ∥OB 交OA 于点C ,若∠AOB =30°，PD =2cm,则PC = .【展示学生的探究成果】：生1：过点P 作PE ⊥OA 于E ，就和角平分线的性质的基本图形联系起来了，显然PE =PD =2cm.生2：还有Rt △PCE 是有一个角是30°，所以PE =12PC ,那么PC =4cm.师：同学们，识别基本图形、应用基本图形的能力有长进！再来一题如何？哪位能写出规范的证明过程？【课件出示】例1 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明AD 垂直平分EF .【展台出示学生步骤】：证明：∵ AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ DE =DF (角平分线上的点到这个角两边的距离相等) .∴点D 在线段EF 的垂直平分线上 (到一条线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上) .又∵AD =AD (公共边)∴Rt △AED ≌Rt △AFD (HL)∴AE =AF (全等三角形的对应边相等)∴点A 在线段EF 的垂直平分线上(到线段两端点距离相等的点在这个角的平分线上.) ∴AD 垂直平分EF .【设计意图】一开始回顾了证明定理时运用的基本图形，在这里设计这三道题目，引导学生观察题目中的基本图形，从而达到灵活利用所学定理解决问题的作用.【实际效果】学生识别基本图形的能力还是很强的，回答问题的积极性很高，各抒己见，但是在书写步骤时，个别学生的不够规范，所以利用展台出示了个别学生较为规范的步骤.三、拓展提升，深入解决问题课件出示：1.如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．△AB C三条高的交点C．AC中点D．△ABC三条角平分线的交点【展示学生的思考成果】生1：我猜应该选择A.师：感觉不错，说说为什么？生2：AB=1000米，BC=600米，AC=800米，根据勾股定理的逆定理，显然△ABC是直角三角形，到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，直角三角形的这个交点在斜边的中点上，应该选择A.师：说的很在理！在此，请同学们回忆一下，三角形三边的垂直平分线有何特点？三边的角平分线又有何特点？生3：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.师：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这个交点在……生齐答：内部、斜边的中点、外部.师：三角形三角的平分线的交点又有什么性质?生4：到三边的距离相等.师：我们再来看一个含有基本图形的题目，请同学们试着写写过程.课件出示：例2 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)若CD=5，求AC的长.(2)求证：AB=AC+CD.【师生初步探究】师：这道题又包含了怎样的基本图形？生1：角平分线性质定理的基本图形.生2：还有等腰直角三角形.师：这些基本图形能否帮你解决问题呢？大家尝试研究，试着写出步骤.【展台出示学生的步骤】(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C =90°，DE ⊥AB ． ∴DE =CD =5cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵AC =BC∴∠B =∠BAC (等边对等角)． ∵∠C =90°，∴∠B =12 ×90°=45°．∴∠BDE =90°—45°＝45°． ∴BE =DE (等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD 勾股定理)，∴AC =BC =CD +BD ． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt △ACD ≌Rt△AED (HL) ∴AC =AE ． ∵BE =DE =CD ， ∴AB =AE +BE =AC +CD ．【设计意图】第一题以点带面复习三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，同时在次明确不同类型的三角形交点位置不同，不要与三角形的角平线的交点的作用混淆；第二题，来源于课本，但对于同学们来说，此题难度不小，所以放在提升中，训练学生的转化能力. 【实际效果】针对第一题，由于是选择题，很多学生用猜测代替了严密的推理；针对第二题，学生快速识别了基本图形，但对于△BDE 是等腰直角三角形的作用没能很好领会，致使出现探究过程出现问题. 四、小结与反思【课件出示】“通过本节课的学习，你又提升了哪些知识？”生1：找符合定理的基本图形，看能否利用相对应的定理来解决问题. 生2：有些问题是综合运用好几个定理的.师：我对同学们的要求是，把握准定理的条件，缺少什么，尝试去证明什么，只有条件满足了，才会有相应的结论.五、达标检测，反馈复习效果 【A 组】【考察知识点】考察学生从不同的角度去证明线段相等，要么考虑全等，要么考虑等角对等边．【B组】1.用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”第一步应假设【考察知识点】复习反证法，学生能够正确提出假设．2. 如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，求D【考察知识点】构造角平线性质定理的基本图形，正确理解角平分线性质定理的条件，从而解决问题．六.板书设计七、教后反思证明(二)是属于数学新课程标准中《图形与几何》部分的重要内容，在日常测试及中考中，常以填空、选择及证明、计算及综合题考查学生对于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握．绘图唤起回忆激发了学生兴趣，同时学生在绘图的过程中同时以组为单位复习了主要知识点．习题与例题的学习也是让学生不断地在图形中寻找定理的模型，让学生更加深入理解定理的条件，从而生成相应的结论．教师的预设纵然好，可是学生确是发散思维的活跃分子，他会想很多，有的正确，有的接近正确，这就需要教师与学生不断的进行思维碰撞，从而让知识更加完整．本节课还有一些不足之处：节奏有些缓，习题在选择上还要这下些功夫，还要更加适合学生的学情，将题目的难度降下来，注重基础知识的复习．。

九（7）班数学教案第一章证明（二）王彬彬二〇一二年八月第1课时课题：§1.1、你能证明它们吗(一)课型：新授教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

教学过程：复习：1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？新课讲解：在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理♦本套教材选用如下命题作为公理 :♦ 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;♦ 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;♦ 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）♦ 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）♦ 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）♦ 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F又∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）定理：等腰三角形的两个底角相等。

第一章证明(二)单元备课一、教材分析本章是八年级下册第六章《证明(一)》的继续.教科书首先给出四条公理，这四条公理与《证明(一)》中给出的两条公理一起作为对命题继续进行逻辑证明的基础.本章所证明的命题大都与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括：等腰三角形 (含等边三角形)的性质定理及判定定理，直角三角形的性质定理及判定定理，线段垂直平分线的性质定理及判定定理，角平分线的性质定理及判定定理.与《证明(一)》类似，本章所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件，勾股定理及其逆定理等等)在前几册中已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解.对于这些命题，教科书努力将证明的思路展现出来.教科书首先采用提问的方式让学生回忆这些结论，探索结论的方法和过程.因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发.然后再利用公理和已有的定理去证明这些结论.这样处理旨在将抽象的证明与直观的探索联系起来.如在证明“等腰三角形的两个底角相等”时，教科书首先回顾了利用折纸来探索此结论的方法，由此促使学生发现证明思路：作底边上的中线构造全等三角形，从而证明两个角相等.本章还涉及一些以前没有探索过的命题，对于这些命题，教科书采用了不同的处理方式：⑴直接通过证明得到部分命题；⑵对于另一部分命题，则尽可能创设一些问题情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用.如对于“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”.教科书先引导学生拼摆三角尺，探索发现有关结论，同时探索的过程也为即将进行的证明提供了思路.此外，教科书还注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.本章的设计还考虑了对学生学习方法的指导，以及思维能力的培养.一方面，教科书为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间，将探索发现和证明有机地结合起来；另一方面，教科书还注意引导学生探索证明的不同思路和方法.并进行适当的比较和讨论，开阔学生视野，培养学生的思维能力.如在一种证明方法结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴进行交流.”本章虽然以逻辑证明为主，但在教材和背景的选取上仍尽可能与实际联系，增强论证的趣味性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用.二、教学目标1. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力.2. 一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义.3. 解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理.4. 结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道命题成立其逆命题不一定成立.5. 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边和底边上的高，能用尺规作出等腰三角形.三、教学重点与难点重点：探索证明的思路和方法及推理证明.难点：探索证明的思路和方法.四、课时安排1. 你能证明它们吗？3课时2. 直角三角形2课时3. 线段的垂直平分线2课时4. 角平分线2课时回顾与思考2课时五、教学建议1. 使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性.本章既涉及一些以前曾探索过的例题，又涉及一些新的结论，因此在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先提出猜想，然后再进行证明，这样做有利于学生全面地理解证明.在具体教学时，一方面，教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论，并强调证明的必要性；另一方面，学生经过探索还会得到以往没有探索过的新的结论，然后再去证明.教师应充分利用这样的机会，启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.2. 注意对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性.在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上，教学时应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析辅助线的添加，辅助图形的构造.同时，很多结论的证明方法是不唯一的.辅助线的添加方法也是多种多样的，因此教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平.3. 要求学生掌握证明的基本要求和方法推理证明是本章学习的重点，因此教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求，如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程.另外，对于证明思路和方法，教师要注意给学生留出充分思考的时间和空间，同时还要注意学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.对于反证法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子使学生体会其思想，不宜对反证法的证明或证明难度提出高要求.4. 注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发.在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法，如归纳、类比、转化的思想方法，反证法的思想方法等.教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，有意识地引导学生去领会这些思想方法并运用在问题的解决过程中.5. 依据《标准》和教科书的基本要求，把握好证明的难易程度.掌握和体验证明的基本方法，需要证明一定数量的命题，但要避免过分追求证明题的数量及证明技巧.教学应依据教科书的基本要求，控制好证明题的难度.六、评价建议1. 关注对学生探索结论和证明思路，证明方法等过程的评价.其一，要关注学生是否积极主动参与探索活动以及同伴之间的交流情况；其二，要关注学生能否通过独立思考获得证明的思路，能否使用规范的数学语言表达思考的过程能否尝试用不同的方法证明同一个命题.2. 关注学生对证明思路、证明方法的掌握情况和推理论证能力的水平.3. 关注学生能否运用规范的数学语言表述论证过程.第一章证明(二)1 你能证明它们吗？(第1课时)教案一、教材分析本节课学习等腰三角形性质定理的证明，并由证明通过想一想得出等腰三角形底边上三条主要线段重合的性质(即三线合一)，这条性质是今后证明两角相等，两条线段相等及两条直线互相垂直的重要依据，是这一节的重点，务必使学生牢固掌握.这一节的难点是用文字语言叙述的几何命题的证明，即通常说的文字题.由于它包括了证明几何命题的完整过程，从分析题设、结论、画图到写已知、求证，直到完成证明，每一部分都有些难度，所以学生会感到困难.二、教学目标1. 了解作为证明基础的几条公理的内容.2. 使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，学会综合法证明等腰三角形的有关性质定理.3. 让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式.4. 引导学生探索添加辅助线的规律.三、教学重点、难点重点：等腰三角形的性质定理的证明.难点：用语言叙述的几何命题的证明.四、教具准备等腰三角形(纸片)、投影片、三角板.五、教学建议注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性.六、教学过程图1这节课你学会了什么？有何收获？学 案一、学习目标经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.二、方法规律与探究等腰三角形是一种特殊的三角形，遇到解决有关等腰三角形的问题时，一般是过等腰三角形的顶点作底边上的高或底边上的中线或顶角的角平分线，利用等腰三角形中的三线合一的性质.若在同一个三角形中证明两个角相等，一般要联想到等腰三角形的性质定理——等边对等角.因此需证明两边相等，从而可得到两边所对的角相等.三、分组练习练习 一1. 填空题:⑴如图1-1，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高. ①若∠B=65°，则∠BAD=________.②若BC=8cm ， 则BD=______cm. ③若△ABC 的周长为36cm ，AD=10cm ， 图1-1则△ABD的周长为_________.⑵如图1-2，AB=AC，AD=AE，∠BAD=28°则∠EDC=___________.图1-22. 证明题:(1)如图1-3，直线EF截∠MAN的两边于B，C，且AB=AC.求证：∠1=∠2.图1-3(2)如图1-4，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：∠BAD=∠EAC.图1-5图1-4练习二如图1-5，在△ABC中，AB=AC，延长BA至D，使AD=AB，连结CD，AE是△ACD的高.(1)求证：AE∥BC;(2)当∠BAC=70°时，求∠CAE的度数.图1-5四、达标检测题1. 选择题:(1)如图1-6，AB=AC，AD=BD=BC，则图中共有相等的角( )A、3对B、6对C、2对D、以上都不对图1-6(2)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:1:1,则△ABC是( )A、等边三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2. 证明题(用两种方法证明)如图1-7中，AB=AC，BD=DC. 求证：∠B=∠C. 图1-7五、收获答案练习一1. (1) ①25°②4cm ③28cm ⑵14°2. (1)略；(2)提示：过A点A作AF⊥BC，或取BC边的中点或作∠DAE的角平分线. 练习二提示：(1) 证明E是CD的中点；(2)55°.达标检测题1. ①B ②D2. 提示：方法一：连结AD，证明△ABD≌△ACD.方法二：连结BC，利用等边对等角.1 你能证明它们吗(第2课时)教案一、教材分析例1是用语言叙述的正确的几何命题，应先让学生经历观察，探索发现相等的线段，再引导他们规范地写出证明的全过程.议一议第2题实质上是等腰三角形的判定定理的证明，是证明两条线段相等的重要依据，它是三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.二、教学目标1. 使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的角平分线相等和“等角对等边”.2. 结合实例体会反证法的含义.3. 让学生区别“等边对等角”和“等角对等边”.三、教学重点、难点重点：会证明等腰三角形的判定定理，即：“等角对等边”.难点：区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明.四、教具准备课件、投影片、三角板.五、教学建议从问题出发，先让学生经过自己的观察，探索发现相等的线段，然后再引导他们去证明，进一步体会证明的必要性.六、教学过程图1 图2 图31-3)1-5C=∠B，但已知条件∠学案一、学习目标学会证明等腰三角形中有关相等的线段及等角对等边，并体会反证法的含义.二、方法规律与探究证明文字叙述的几何命题的题目，首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出已知，求证，然后再证明，在同一个三角形中，若要证明两条边相等，一般思路是证明这两条边所对的角相等，从而根据“等角对等边”使问题得证.特殊情况下，可以添加适当的辅助线，把要证明的两个角转化到两个三角形中，证明两个三角形全等.三、分组练习练习一1. 证明：等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两个端点的距离相等.(要求：画出图形，写出已知，求证和证明)2. 如图1-1，在△ABC中，AB=AC，BE为角平分线，DE∥BC.求证：①BD=DE;②BD=CE; 图1-1③CD平分∠ACB.练习二如图1-2在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD为BC边上的高，过D点作DE∥BA交AC于点E，图中除△ABC外，还有等腰三角形吗？若有请指出，并给出证明. 若无，请说明理由.图1-2四、达标检测1. 选择题:⑴下列命题中，真命题是( )A、等腰三角形的角平分线，中线和高线重合.B、等腰三角形一定是锐角三角形.C、若三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.D、等腰三角形两角相等.⑵在等腰△ABC中，∠A=90°，在底边BC上截取BD=AC，过D作DE⊥BC交AC于E点，则图中等腰三角形有( )A 1个B 2个C 3个D 4个2. 证明题:已知：如图1-3，△ABC是等边三角形，BD=ED，延长BC到E，使CE=CD.求证：AD=CD. 图1-3五、收获：答案练习一1. 略.2. ①证明∠DBC=∠DEB ②先证△ADE为等腰三角形，再证BD=CE. ③先证△DEC为等腰三角形，再证∠BCD=∠CDE.练习二有等腰三角形；是△EDC；先证明∠B=∠C=30°,再证∠EDC=30°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE. 即△EDC为等腰三角形.达标检测：1. 选择题：⑴C ⑵B2. 证明题：∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.∴∠ACE=120°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED=30°.∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEC=30°.∴∠BDE=120°.∴∠BDC=90°.即BD⊥AC.又∵△ABC是等边三角形,∴AD=CD.1 你能证明它们吗(第3课时)教案一、教材分析本节课共设计了两个知识点：⑴等边三角形的判定定理——在等腰三角形中只要有一个角是60°，就可以判定这个三角形是等边三角形，不论这个角是顶角还是底角.⑵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，在证明时设计了学生拼摆三角尺的活动，让学生通过活动发现结论，并给出证明.这样可使学生在探索过程中得到启发.同时也为以后如何使用作好铺垫.例如例2试图说明怎样运用这一知识点，求一个角是30°的直角三角形的边长.二、教学目标1. 掌握等边三角形判定定理的证明.2. 让学生通过实际操作活动，探索直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系，并能从拼摆过程中得到添加辅助线的方法.三、教学重点、难点重点：探索两个定理的证明思路.难点：灵活添加辅助线.四、教具准备每人准备两个含30°角的直角三角板，投影片.五、教学建议引导学生从问题出发，根据操作实验的结果，运用归纳，类比的方法得出猜想，然后再进行证明.六、教学过程，连接AD，ACD=90°.学 案一、学习目标学会等边三角形判定定理的证明；掌握直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系. 二、方法规律与探究等边三角形是特殊的等腰三角形，判断某个三角形是等边三角形时，一般先证明此三角形是等腰三角形，再求得一个角为60°即可. 遇到含30°角的直角三角形，联想到“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.常常在直角三角形中求边长时用到，但必须注意前提是直角三角形.三、分组练习练习一1. 填空题:⑴如图1-1,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC, AD=BD,CD=2cm,则∠ADC=________; AD=_______. 图1-1⑵若△ABC 的中线AD=12BC ，则∠A=______.2. 解答题:如图1-2，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于F，DF∥AC且交AB于F，若DF=10cm，①求证：△AFD为等腰三角形;②求DE的长. 图1-2练习二1. 如图1-3，△ABC、△BEF都是等边三角形，AF交BC于M，CE交BF于N，求证：①AF=CE;②△MBN是等边三角形.图1-32. 如图1-4，某船于上午11时30分在A处观测海岛B在东偏北30°，该船以10海里1时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛20海里.⑴求该船到达C点时的时间;⑵若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D点？图1-4四、达标检测1. 填空题:⑴若等腰三角形一腰上的高线平分这腰，则这个三角形是______三角形；若等腰三角形底边上的高等于一腰上的高，则这个三角形是____三角形.⑵等腰三角形的顶角为150°，腰长为10cm，则这个三角形的面积为_______.2. 解答题:如图1-5，在△ABC中，∠A=90°，∠B=15°，BD=CD，试探索AC与BD有何数量关系？并证明你的结论.图1-5五、收获答 案练习一1. ⑴60°；4cm.⑵90°.2. ⑴证明∠FAD=∠FDA; ⑵5cm . 练习二1. 证明⑴△ABF ≌△CBE(SAS)⑵由△ABF ≌△CBE 得∠AFB=∠CEA ，又BF=BE ，∠MBF=∠NBE=60°. ∴△MBF ≌△NBE ∴MB=NB. 又∠MBN=60°，即可得证△MBN 是等边三角形.2. ⑴13时30分; ⑵14时30分. 达标检测1. ⑴等边三角形；等边三角形.⑵25cm2.2. BD=2AC ；由题意得∠ADC=30°，∴AC=12 CD. 又BD=CD, ∴AC=12BD ，即BD=2AC.2 直角三角形(第1课时)教案一、教材分析直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要性质.在前面几节中，我们曾介绍过直角三角形的一个性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半.这一节所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，在以后的学习中，将利用勾股定理及直角三角形的其他一些性质，研究直角三角形中一些计算问题.因此，本节是这一章的重要内容，也是我们以后学习的基础.二、背景资料中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫作股，斜边叫做弦.据《周髀算经》记载，西周开国时期(约公元前1千多年)有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.人们还发现，在直角三角形中，勾是6，股是8，弦一定是10；勾是5，股是12，弦一定是13，等等.即32+42=52，62+82=102，52+122=132，…，勾2+股2=弦2. 是不是所有的直角三角形都具有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这一性质.我国把它称为勾股定理.三、教学目标1. 进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.2. 了解勾股定理及其逆定理的证明方法.3. 结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立逆命题不一定成立.四、教学重点、难点重点：勾股定理及其逆定理.难点：用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形及综合运用直角三角形的性质解题.五、教具准备三角板、投影仪、幻灯片.六、教学建议1. 教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论，并强调证明的必要性，还要启发引导学生体会探索结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.2.教学时应注意在证明思路和方法上对学生的引导，以前探索结论时所使用的方法对证明思路往往具有重要的启迪作用，教师应注意引导启发.七、教学过程图1吗？把你的验证过程写下来，并与学案一、学习目标1. 已知直角三角形的两边会求第三边.2. 会用勾股定理的逆定题判断一个三角形是不是直角三角形.3. 能够说出所给命题的逆命题.二、方法规律与探究勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，这是直角三角形的性质定理.即c2=a2+b2（c 为直角所对的边），在其他三角形中不存在这样的关系，这一点要切记.基于这一点，在利用勾股定理进行计算与证明中，在无直角三角形的情况下，可适当作垂线，构造出直角三角形，以便利用勾股定理.同时要注意逆定理条件的特点，当一个三角形的三边已知时，往往可运用勾股定理的逆定理证明有关线段垂直问题.三、分组练习练 习 一1. 已知直角三角形的两边长为3，4，则第三边长为________.2. △ABC 的三边为a=0.6cm, b=0.8cm, c=1cm, 则∠C=________.3. 如图1，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=( )A.B. 6C.D. 4图14. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3 BC=4，则BC 边上的中线的长为( )A.B. 52C. 52 D. 6练 习 二1. Rt △ABC 中，斜边AB=5，则AB 2+BC 2+CA 2=_________.2. 一个三角形三边长分别为3，4，5，那么最大边上的高为______.3. 如图2，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求图形的面积.图2四、达标检测题：1. 写出命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题______________________.2. 等边三角形的边长为8，则它的面积为_____________.3. 在下列各组数据中，可以构成直角三角形的是________.A. 5，6，7B. 40，41，9C. . ， ， ，1D. 0.2，0.3，0.44. 已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a+b=17，ab=60, c=13，三角形ABC 是否是直角三角形？为什么？五、收获：答案练习一：1. 5或2. 90°3. A4. A练习二：1. 502. 2.43. 提示：连接AC，利用勾股定理求得AC=5；再判断三角形ABC为直角三角形；可再求出△ABC的面积为30，△ADC的面积为6；所以所求图形的面积为24.达标检测题：1. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2. 163. B4. 提示：由a+b=17得出(a+b)2=172，整理得：a2+b2=172－2ab，由ab=60得a2+b2=169，又c=13，所以c2=169，a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.2 直角三角形(第2课时)教案一、教材分析在学生已经掌握了一般三角形全等的判定方法的基础上，本节重点学习直角三角形的全等的判定定理的证明.一般三角形的判定方法都是作为公理提出来的，使学生确信它们的正确性，为了便于综合练习各种三角形全等的判定方法，本节让学生经历“探索——发现–—猜想——证明”的过程，去证明特殊的三角形——直角三角形的判定定理，从而使三角形全等的判定方法这部分知识相对完整些.二、教学目标1. 使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性.2. 掌握直角三角形全等的“HL”判定定理的证明.三、教学重点、难点重点：掌握判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理.难点：能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等.四、教具准备三角板、投影仪、幻灯片.五、教学建议教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求.如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程.六、教学过程学 案一、学习目标能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理；灵活选择判定方法判定两个直角三角形全等. 二、方法规律与探究直角三角形是三角形中的一类，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个直角三角形全等时，完全可以用以前学过的公理及推论.由于直角三角形中，有一个角是直角，而直角都相等，所以要判定两个直角三角形全等时，要注意这两个三角形中已经具备一对角相等的条件，只需找另外两个条件即可.而“HL ”定理是直角三角形独有的，所以在运用“HL ”定理时一定要强调指出是直角三角形.在学习时要分清各种判定方法所具备的条件，反复练习，理清思路，不断提高运用能力.三、分组练习练 习 一1. 如图1，AB=AC ，AD=AE ，AF ⊥BC 于F ，则图中全等的三角形有( ).A. 1对B. 2对C. 3对D.4对 2. AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC 、B ′C ′边上的高，且AB= A ′B ′，AD= A ′D ′，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件___（只需填写一个你认为适当的条件）.3. 已知：如图2，∠A=∠D=90°，CD 是AB 边上的中线，延长CD 到E 使DE=CD ，连结AE ，图中有_____对全等三角形.练习二已知：如图3，AD=BC，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AC=BD四、达标检测题1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，延长CD到E使DE=CD，连结AE，图中有________对全等三角形.2. 要测量河两岸相对角的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图4),可以证明△EDC≌△ABC,使ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是( ).A.边角边公理B.角边角公理C.边边边公理D.斜边、直角边公理3. 已知：如图5，AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB=DE.求证：AB∥DE. 图5五、收获答案练习一1. 22. BC= B′C′(或AC= A′C′或∠C=∠C′等)3. 提示：Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)可得△AOB≌△DOC(AAS).练习二提示：证法1：连结CD，可证Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).(如图6)证法2：延长DA、CB交于点E. (如图6)∵AD⊥AC，BC⊥BD∴∠CAE=∠DBE＝90°又∵∠E=∠E，BD=AC 图6∴△DBE≌△CAE(AAS)∴ED=EC，EB=EA∴ED－EA＝EC－EB即AD=BC.达标检测题:1. D2. B3. 提示：利用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEC，可得∠B＝∠E，所以证得AB∥DE.3 线段的垂直平分线(第1课时)教案一、教材分析线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，都是非常重要的定理.证明这些定理需要应用直角三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质定理，所以把线段的垂直平分线这一节安排在直角三角形和等腰三角形之后，可以使这些定理有较多的应用机会，从而有利于学生掌握它们，灵活地运用它们.二、教学目标1. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2. 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.3. 能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线.三、教学重点、难点重点：线段的垂直平分线的性质定理及逆定理.难点：综合运用这两个定理.四、教具准备三角板、投影仪、幻灯片.五、教学建议教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，通过一定数量的推理证明训练，逐步使学生掌握证明的方法和思路.另外，对于证明思路和方法，教师要注意给学生留出充分思考的时间和空间，同时还要注意学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.六、教学过程。

北师大版数学九年级上册3.3《回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册3.3《回顾与思考》一课，主要是对之前学习的二次函数知识的回顾与思考。

通过本节课的学习，使学生对二次函数的概念、性质、图像等有更深刻的理解，提高学生解决实际问题的能力。

教材内容主要包括二次函数的图像特点、二次函数的顶点式、二次函数与实际问题的联系等。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的概念、性质、图像等有一定的了解。

但部分学生对二次函数的图像特点、顶点式的应用等理解不深，解决实际问题的能力有待提高。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的图像特点，会用顶点式表示二次函数的图像；2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决实际问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图像特点，顶点式的应用；2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力；2.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神；3.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳，培养学生的思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂讨论；2.准备二次函数的图像资料，用于讲解；3.准备投影仪等教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如：一个物体从地面抛出，求其在空中最高点的高度。

引导学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的知识。

2.呈现（10分钟）展示二次函数的图像资料，让学生观察并分析二次函数的图像特点。

引导学生用顶点式表示二次函数的图像。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，如何将实际问题转化为二次函数问题。

北师大版数学九年级上册1.1《你能证明它们吗》教学设计1一. 教材分析《你能证明它们吗》是北师大版数学九年级上册第一章《数学探究》的第一节内容。

本节课主要通过几个经典的几何证明问题，引导学生学习证明的方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

教材中给出了几个典型的证明问题，如勾股定理的证明、三角形的内角和定理的证明等，同时还配有丰富的插图和例子，有助于学生更好地理解和掌握证明的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定的几何知识，对几何图形的性质和判定有一定的了解。

但是，学生在证明方面的知识和能力还有待提高，对于证明的方法和技巧还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生学习证明的方法，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

三. 教学目标1.理解证明的概念，掌握证明的方法和技巧。

2.通过证明几个经典的几何问题，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.学生能够运用所学的证明方法，解决一些简单的几何问题。

四. 教学重难点1.重点：证明的概念，证明的方法和技巧。

2.难点：证明的逻辑结构和证明的写法。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解和示范，使学生掌握证明的方法和技巧。

2.探究法：引导学生通过小组合作和讨论，发现证明的规律和方法。

3.实践法：让学生通过动手操作和实际演练，提高证明的能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形和证明的例子。

2.准备课件和教学材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一些经典的几何问题，如勾股定理的证明，引导学生思考证明的方法和技巧。

让学生尝试用自己的语言和方式，表达出证明的过程和逻辑。

2.呈现（10分钟）呈现教材中给出的几个典型的证明问题，如三角形的内角和定理的证明。

通过讲解和示范，使学生掌握证明的方法和技巧。

同时，引导学生关注证明的逻辑结构和证明的写法。

3.操练（10分钟）让学生通过动手操作和实际演练，尝试解决一些简单的几何证明问题。

可以采用小组合作和讨论的方式，引导学生发现证明的规律和方法。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形回顾与思考》教学设计一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第一章《特殊平行四边形回顾与思考》主要包括平行四边形的性质、判定以及特殊平行四边形的性质和判定。

本章内容是对初中阶段平行四边形知识的总结和提升，为后续几何学习打下基础。

通过本章的学习，学生需要掌握平行四边形的性质和判定方法，了解特殊平行四边形的性质和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平行四边形的性质和判定，对特殊平行四边形有一定的了解。

但部分学生对知识的理解和运用还不够熟练，对特殊平行四边形的性质和判定方法容易混淆。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，巩固基础知识，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行四边形的性质和判定方法，了解特殊平行四边形的性质和应用；2.过程与方法：培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行四边形的性质和判定方法，特殊平行四边形的性质和应用；2.教学难点：特殊平行四边形的性质和判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入特殊平行四边形的概念，激发学生的学习兴趣；2.问题驱动法：设置问题引导学生思考，培养学生解决问题的能力；3.合作学习法：分组讨论，培养学生团队协作精神；4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、练习题等；2.准备特殊平行四边形的模型或图片，以便于学生直观理解；3.安排课堂练习的时间和内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入特殊平行四边形的概念，如电梯门、蝴蝶翅膀等，引导学生回顾已学的平行四边形知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍特殊平行四边形的性质和判定方法，如矩形、菱形、正方形的性质和判定。

通过PPT展示，让学生直观地了解特殊平行四边形的特征。

北师大版数学九年级上册《回顾与思考》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级上册《回顾与思考》是对整个九年级上册知识的梳理与总结。

本节课的内容包括了一次函数、二次函数、不等式、平面几何等知识的回顾，以及在这些知识基础上的拓展与思考。

教材通过问题引导，让学生在回顾知识的同时，对所学知识进行深入的思考，提高学生的数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一段时间的数学，对一次函数、二次函数、不等式、平面几何等知识有了一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对一些概念、定理的理解不够深入，对知识的运用也有一定的局限性。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生回顾知识，帮助学生深化对知识的理解，提高学生的数学思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够回顾和掌握一次函数、二次函数、不等式、平面几何等基本知识，提高学生的数学素养。

2.过程与方法：通过问题引导，培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学美感，使学生感受到数学的价值。

四. 教学重难点1.重点：一次函数、二次函数、不等式、平面几何等知识的回顾与掌握。

2.难点：对一次函数、二次函数、不等式、平面几何等知识的深入理解与应用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过问题引导，激发学生的思考，帮助学生回顾和掌握知识。

2.讨论法：学生分组讨论，合作交流，共同解决问题，提高学生的数学思维能力。

3.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生分析问题，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.教材：北师大版数学九年级上册。

2.教案：详细的教学设计。

3.课件：生动的课件，帮助学生理解和记忆知识。

4.练习题：针对性的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾一次函数、二次函数、不等式、平面几何等知识，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件，呈现一次函数、二次函数、不等式、平面几何等知识的主要内容，帮助学生理解和记忆知识。

—上学期九年级数学教案回顾与思考主备人：东杨乡中邵蓓学生知识状况分析：学习了本章，学生已经对“证明”有了更进一步的认识，学会对有关定理的推导和证明，具备了一定的推理能力。

但学生对知识的综合应用能力不强，书写也不够规范，尤其是对一些开放性问题和动手操作的问题，学生思维缺乏灵活性。

教师应多调动学生学习的积极性，让学生多讨论、交流、思考。

从而有效地提高教学效果。

教材分析：1、教学目标：（1）知识与技能：了解本章所学过的定理并能说出它们的证明思路和方法。

（2）过程与方法：进一步掌握综合的证明方法，体会反证法的含义，学会尺规作图。

（3）情感态度与价值观：通过“探索—猜测—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，培养学生的推理习惯和能力。

2、重点难点（1）本章所学的定理及其证明思路方法。

（2）正确的思考并准确的表达所要证明的思路及各知识的综合应用能力。

教学过程分析：本课分2课时进行教学，第一课时，教师通过“自主探索—合作交流—实践操作”三个环节对本章知识进行梳理，总结相关的数学思想方法。

第二课时，教师通过典型的例题讲解进一步巩固所学知识，增强学生对知识的综合应用能力。

教学过程：第一课时教学流程设计板书设计：第二课时教学流程设计一、创设情境，导入新课上节课我们对本章知识做了系统的整理和回顾，这节课我们将用所学知识来解决一些典型的实际问题。

二、探究活动1、活动一如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD。

教师可以先让学生说出自己的思路与方法，全班进行讨论，鼓励其他同学说出自己的看法。

2、活动二如图在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB于点D，AC于点E。

求证：AE=2CE.（提示：根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，易证AE=2DE,所以只要想办法证CE=DE即可。

）小组讨论，和同伴交流你的方法。