北师大版(初三)九年级第一章 证明(二)导学案 1.3.2

第一章证明（二）单元总览1.1你能证明它们吗（1）目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是.2.边角边公理的内容是.3.角边角公理的内容是.4.全等三角形的相等，相等.5.角角边推论的内容是.6.三角形ABC中，如果AB=AC，则.7.等腰三角形的、、互相重合.8.等边三角形的各边都，各角都是.能力提升9.下列说法中，正确的是（）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.68°B.52°C.51°D.78° 12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 n -B.90－2 nC.2n D.90°－n °13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________. 15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .EDCBA15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.EDCBA18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.DCBA聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.1.1你能证明它们吗（2）目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义. 基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）BAC BAC B AC B AP EDCBA(1) (2) （3） （4） 7题图 能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？60︒CBA13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.F EDCBA14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.FEPC A D聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。

第2课时 正方形的判定学习目标：1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。

3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。

学习重点：掌握正方形的判定条件。

学习难点：合理恰当地利用正方形的判定定理解决问题。

【预习案】预习检测1、下列说法中错误的是（ ）A 、对角线相等的菱形是正方形B 、有一组邻边相等的矩形是正方形C 、四条边都相等的四边形是正方法D 、有一个角为直角的菱形是正方形2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。

具备条件____ 可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。

（填序号）3.我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请画出来。

【探究案】探究点1：用菱形证明正方形.1.已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可). 证明：探究点2：用矩形证明正方形.2.已知四边形ABCD 是矩形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可). 证明：探究点3：用平行四边形证明正方形3.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。

求证：（1）四边形CFDE 是平行四边形。

F ED CB A 矩形 正方形正方形菱形（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。

（3）四边形CFDE是正方形。

【训练案】1．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明 EF=BE+DF。

2.画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。

第一章证明（二）（课时安排）1．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线1课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。

能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。

60延伸．2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于二、回忆上学期学过的公理1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∴∠C=∠F又∵BC=EF （已知）∴△ABC ≌△DEF （ASA ）推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

九年级数学教案主备人：雷志学§1、2直角三角形（2）教学目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理既解决实际问题。

重点：能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理。

并且用纸解决问题。

难点：证明“HL ”定理的思路的探究和分析。

-教学过程：一、 复习提问1判断两个三角形全等的方法有哪几种？2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）二、 阅读课本23页学习目标：能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理。

问题1，此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。

） 三、 做一做如图利用刻度尺和三角板，能否做出这个角的角平分线？并证明。

（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。

）AO B四、练习 随堂练习P24--11、 锐角对应相等的两个直角三角形全等。

2、 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

3、 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、 一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。

五、议一议如图：已知∠ACB=∠BDA=90。

要使 ⊿ACB ≌⊿BDA ，还需要什么条件？把他们写出来，并说明理由。

（教学中给予学生时间和空间，鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上， 通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。

）六、 小结：1、本节课学习了哪些知识？2、还有那一些方面的收获？七、作业：1、基础作业：P23页习题1.5 1、2。

2、拓展作业：《目标检测》3、预习作业： 预习：线段的垂直平分线。

1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力．(重难点)阅读教材P2～4，完成下列问题：(一)知识探究1．有一组________________的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有________________的一切性质．3．菱形是________图形，它的____________________就是它的对称轴．它有________对称轴，两条对称轴互相垂直．4．菱形的四条边都相等．5．菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组________．(二)自学反馈如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形？活动1小组讨论例1已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．活动2 跟踪训练1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是( )A ．AB ∥DC B ．AC ＝BDC ．AC ⊥BD D ．OA ＝OC2．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，则菱形的边长为( )A ．5B ．10C ．6D ．83．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm ，则菱形的面积为( )A ．3 cm 2B ．4 cm 2C. 3 cm 2 D ．2 3 cm 24．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则对角线AC 等于________．5．点E 是菱形ABCD 的对角线BD 上任意一点，连接AE 、CE ，找出图中一对全等三角形为____________．6．如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E.求证：DE ＝12BE.第2课时菱形的判定1．理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法．(重点)2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．(难点)(一)知识探究1．有一组________的平行四边形是菱形．2．对角线________的平行四边形是菱形．3．________的四边形是菱形．(二)自学反馈判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；()(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；()(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；()(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．()活动1小组讨论例1已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：?ABCD是菱形．例2已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA＝2，OB＝1.求证：?ABCD是菱形．活动2跟踪训练1．如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是()A．AB＝BC B．AC⊥BDC．BD平分∠ABC D．AC＝BD2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是() A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CDC．AD为中线D．EF⊥AD3．将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形()A．三角形B．不规则的四边形C．菱形D．一般平行四边形4．如图所示，在?ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则?ABCD的周长是________．5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．6.如图，在ΔABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连结AE、CD．请判断四边形ADCE的形状，说明理由．3课时菱形的性质与判定的运用1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．(重难点)2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．阅读教材P8～9，能灵活运用菱形的性质及判定．自学反馈如图所示：在菱形ABCD中，AB＝6.(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC＝120°，求AC的长；(4)求菱形ABCD的面积．活动1小组讨论例如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长为10 cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积．活动2跟踪训练1．菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长10 cm，则∠ABC＝________°，AC＝________cm. 2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形．活动3课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．2．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)3．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)(一)知识探究1．有______________的平行四边形叫做矩形．2．生活中你见到过的矩形有________、________.3．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质．4．矩形的________都是直角．5．矩形的对角线________．6．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．(二)自学反馈1．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？2．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．()(2)平行四边形是矩形．()(3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．()3．已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．若BD＝3 cm，则AC＝________cm. 活动1小组讨论例1在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相互平行B．对角线相等C．对角线相互平分D．对角相等2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为()A．3∶2 B．2∶1 C．1.5∶1 D．1∶13．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是()4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E为AB、AC的中点．则下列结论中错误的是()A．CD＝AD B．∠B＝∠BCDC．∠AED＝90°D．AC＝2DE5．在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为________．6．矩形的一条对角线长10 cm，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为________cm.7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.8.如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝AB的长.活动3课堂小结1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第2课时矩形的判定能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．(重难点)阅读教材P14～16，完成下列问题：(一)知识探究1．对角线________的平行四边形是矩形．2．有三个角是________的四边形是矩形．(二)自学反馈1．能够判断一个四边形是矩形的条件是()A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等2．矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长________cm. 3．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．(1)判断AB和CD、BC和AD的位置关系？(2)∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？(3)四边形ABCD是()A．菱形B．平行四边形C．矩形D．不能确定(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？活动1小组讨论例1如图，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求?ABCD的面积．活动2跟踪训练1．下列说法错误的是()A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有两个角是直角的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)4．直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．5．如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ADE≌△CBF；四边形BFDE为矩形．6.如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.若，求∠的度数.7.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24cm，求矩形的周长？活动3课堂小结矩形的判定方法：1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．对角线相等的平行四边形是矩形．3．有三个角是直角的四边形是矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．(重难点)阅读教材P16～18，完成下列问题：自学反馈1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，则∠DAO＝________，AC＝________cm，S矩形ABCD＝________.2．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________，可使它成为矩形．活动1小组讨论例1在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．例2如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．活动2跟踪训练1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD2．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为()A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90°D．CE⊥DE4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝________.5．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________________．(写出一种情况即可)6．如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．7.如图，在Rt△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D是斜边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.（1）求证：四边形AEDF是矩形；（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF 是正方形？并证明你的结论.DF 于点F，证明：EC=EF.8.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又AE活动3课堂小结1．说说你的收获．2．说说你的困惑．3．说说你的方法．1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点)2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．阅读教材P20～21，完成下列问题：(一)知识探究1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形．2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质．3．正方形的________相等，都是________，________相等．4．正方形的对角线________________________．(二)自学反馈正方形的性质：1．边：________都相等且________．2．角：四个角都是________．3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．活动1小组讨论例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．活动2跟踪训练1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等 2．正方形面积为36，则对角线的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 23．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．174．如图，延长正方形ABCD 的边BC 至E ，使CE ＝AC ，连接AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝________°. 5．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠OCF ＝∠OBE.求证：OE ＝OF.6.如图，正方形ABCD 中，过D 做DE ∥AC ，∠ACE =︒30，CE 交AD 于点F ，求证：AE = AF ；7.如图，在⊿ABC 中，∠BAC =︒90，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFG 是菱形； 活动3 课堂小结ABDCEFG第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点)2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．阅读教材P22～24，完成下列问题：(一)知识探究1．对角线相等的________是正方形．2．对角线垂直的________是正方形．3．有一个是直角的________是正方形．(二)自学反馈1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD2．下列命题正确的是()A．两条对角线相等的菱形是正方形B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形．活动1小组讨论例如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．活动2跟踪训练1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．4.如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长.活动3课堂小结1．对角线相等的菱形是正方形2．对角线垂直的矩形是正方形3．有一个角是直角的菱形是正方形．§2.1一元二次方程（1）问题1：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题2：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

北师大版九年级数学上册全册导学案第一章 证明（二）§1.1 你能证明它们吗（1）撰稿人 王可 审稿人 龚敏林 日期教学目标1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理3.运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等 教学重点、难点:1.了解作为证明基础的几条公理的内容2.掌握证明的基本步骤和书写格式教学过程一、预习反馈 明确目标1.等腰三角形知识回顾1） 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，则顶角为 ，底角为 ，腰为 ，底边为 。

2） AD 是△ABC 的中线，则 ；AD 是△ABC 的角平分线，则 ；AD 是△ABC 的垂线，则 ； 3） 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上，且BD = BC = AD 。

找出所有的等腰三角形 。

2.说出学过的公理及推论3.已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。

求证：AD = BC 。

二、创设情境 自主探究1. 议一议 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角)我们如何验证这个命题成立呢？我们以前是用度量、折纸的方法得到的，但要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的。

那么，我们应该如何证明呢？ 2.讲解例题 已知，如图，在△ABC 中，AB = AC 。

求证：∠B =∠C 。

分析：要想证明∠B=∠C ，根据以前所学的证明方法，只需证明分别包括∠B 和∠C 的两个三角形全等。

但图中只有一个三角形。

我们应该如何作辅助线呢？引导学生作出辅导线，得出证明过程。

发散学生思维，让学生找出其它的证明方法。

除了作顶角的平分线还可以怎样作辅助线？顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高ABCDDCBAABCA A A ABCA BCDE F三、展示交流 点拨提高如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠C = 29°，求∠A 。

新北师大版九年级数学上册1.3.2正方形的判定导学案【教学目标】知识与技能1．能进一步理解掌握正方形的判定定理．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．过程与方法1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．情感、态度与价值观1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性． 2．体会数学与生活的联系．【教学重难点】教学重点特殊四边形―― 正方形的判定定理的灵活应用．教学难点特殊四边形―― 正方形的判定定理的灵活应用．【导学过程】【创设情景，引入新课】回顾正方形有哪些性质【自主探究】：自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．Ⅱ．解决问题：下面大家来猜一猜，想一想依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到―个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。

∴AA1＝BA＝BB1＝B1C ＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°， AA1＝AD1，A1B=BB1，∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1是正方形．这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．【课堂探究】已知:如图,点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF= BG= CH= DE。

北师大版九年级数学上册第一章 1.3.2正方形的判定 导学案预习目标1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．预习导学阅读教材P22～24，完成下列问题：(一)知识探究1．对角线相等的________是正方形．2．对角线垂直的________是正方形．3．有一个是直角的________是正方形．(二)自学反馈1．已知四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BC D ．BC ＝CD2．下列命题正确的是( )A ．两条对角线相等的菱形是正方形B ．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形C ．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠CC ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC4．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F.则四边形ABEF 是________形．例题讲解活动1 小组讨论例 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°.又∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∠ECB ＝12∠DCB ＝45°. ∴∠EBC ＝∠ECB.∴EB ＝EC.∴平行四边形BECF是菱形．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形．提示：掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．活动2 跟踪训练1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．活动3 课堂小结1．对角线相等的菱形是正方形；2．对角线垂直的矩形是正方形；3．有一个角是直角的菱形是正方形．参考答案【预习导学】(一)知识探究1．菱形 2.矩形 3.菱形(二)自学反馈1．D 2.A 3.C 4.正方【合作探究】活动2跟踪训练1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．2．四边形EFGH 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴HA ＝EB ＝FC ＝GD.∵∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △AEH ≌Rt △BFE ≌Rt △CGF ≌Rt △DHG.∴HE ＝EF ＝FG ＝GH.∴四边形EFGH 是菱形．又∠AHE ＝∠BEF ，∠AHE ＋∠AEH ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是正方形．3．证明：连接BD.∵点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，GH 是△ABD 的中位线．∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，GH ∥BD ，GH ＝12BD.∴EF ∥GH ，EF ＝GH.∴四边形EFGH 是平行四边形．。