仰角和俯角问题

解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图24­4­6(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。

例1：如图24­4­10所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。

(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。

解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。

答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。

(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。

在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。

又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。

答：大楼的高度CD 约为116米。

例2：如图24­4­28所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24­4­29所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。

11、如图，小明用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）1.1如图，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为 ．1.2如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。

2、如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30 ，旗杆底部B 点的俯角45 ．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离9B E 米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为 米（结果保留根号）．2．1如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45，如果梯子的底端O 固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60 ，求此保管室的宽度A B 的长．AB CD23、海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．4、如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°，测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米，求小岛C 、D 间的距离.（计算过程和结果均不取近似值）5、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据1.414 1.732==）6、如图8，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）（2）若 滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (参考数据：2.449=== )Q B CP A45060︒30︒ AC B3。

俯角仰角练习题1. 某人站在一个高处俯视地面，他把抬头角度称为仰角。

某个点到此人的视线的角度称为俯角。

现假设此人距离地面10米，他的仰角为30度，则与此人眼睛的水平面相交的水平面上的物体A的俯角是多少度？解析：由题可知，此人的仰角为30度，即他的视线与水平面的夹角为30度。

物体A与此人眼睛的水平面相交，因此可以得知物体A的俯角也是30度。

2. 假设有一个物体B位于地面上，并且这个物体的高度为5米。

某人站在地面上，他抬头看着物体B，此时他的仰角为45度。

求此人与物体B视线的夹角，即俯角是多少度？解析：对于此题，我们需要找到与此人所站点与物体B确定的直线的垂直线。

由此可知，此垂直线与地面的夹角即为此人与物体B视线的夹角，即俯角。

根据三角形的性质可知，此垂直线与地面的夹角为45度。

因此，此人与物体B视线的夹角，即俯角为45度。

3. 在一个夜晚，某人站在一个高台上，观察附近的城市夜景。

此人站在一个高度为20米的位置，他的仰角为60度。

他发现城市中心的大楼C的俯角为30度。

请问大楼C的实际高度是多少？解析：根据此题可知，此人的仰角为60度。

由于大楼C的俯角为30度，即大楼C与此人视线的夹角为30度。

我们可以设大楼C的实际高度为H，根据三角形的性质可得：tan(30) = H/20解方程可得：H = 20 * tan(30) = 10√3 ≈ 17.32米因此，大楼C的实际高度约为17.32米。

4. 某人站在一座山上，他的高度为30米，他的仰角为45度。

他注意到山的脚下有一个湖泊D，他估计湖泊D的俯角为60度。

根据此情况，请计算湖泊D的实际宽度。

解析：根据此题可知，此人的仰角为45度。

湖泊D的俯角为60度，即湖泊D与此人视线的夹角为60度。

我们可以设湖泊D的实际宽度为W，根据三角形的性质可得：tan(45) = 30/W解方程可得：W = 30/tan(45) = 30 ≈ 30米因此，湖泊D的实际宽度约为30米。

华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》这一节的内容，是在学生学习了平面几何、三角函数等基础知识后的进一步拓展。

本节内容主要介绍了仰角和俯角的概念，以及它们在实际问题中的应用。

教材通过生动的实例，使学生了解到仰角和俯角在现实生活中的重要性，从而激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对平面几何、三角函数等内容有一定的了解。

但是，对于仰角和俯角的概念及其应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会以引导为主，通过实例分析和练习，让学生逐步理解和掌握仰角、俯角的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解仰角和俯角的概念，掌握计算方法，并能应用于实际问题中。

2.过程与方法：通过观察、分析、实践，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和思维能力。

四. 说教学重难点1.重点：仰角和俯角的概念及其计算方法。

2.难点：如何将仰角和俯角应用于实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法等。

2.教学手段：多媒体课件、实物模型、黑板等。

六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，如登山时观察山脚下的景物，引出仰角和俯角的概念。

2.新课导入：介绍仰角和俯角的定义，讲解计算方法。

3.实例分析：分析实际问题，让学生了解仰角和俯角在生活中的应用。

4.小组讨论：学生分组讨论，探讨如何将仰角和俯角应用于实际问题中。

5.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生加深对仰角和俯角的理解。

6.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调仰角和俯角的应用。

七. 说板书设计板书设计分为两部分：一部分是仰角和俯角的定义及计算方法；另一部分是仰角和俯角在实际问题中的应用。

通过板书，让学生一目了然地了解本节课的主要内容。

八. 说教学评价教学评价分为两个方面：一是学生的学习成绩，通过课堂练习和课后作业来评估；二是学生的学习过程，通过观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和团队协作能力来评估。

解直角三角形的仰角俯角问题
仰角和俯角是解直角三角形问题中常见的概念。

在直角三角形中，仰角是锐角的补角，而俯角是锐角的余角。

1.仰角：在直角三角形中，与直角的锐角相邻的角叫做仰角。

仰角是锐角的
补角，即仰角= 90° - 锐角。

2.俯角：与直角的锐角相对的角叫做俯角。

俯角是锐角的余角，即俯角= 锐
角。

解这类问题时，通常需要利用三角函数的性质和关系，如正切、正弦、余弦等，以及直角三角形的边和角的关系，如勾股定理等。

以下是一个简单的例子：
题目：一个塔的高度是30米，从塔顶测得某建筑物顶部的仰角为24°，从地面测得该建筑物顶部的俯角为66°，求这个建筑物的高度。

解：设建筑物的高度为h 米。

根据三角函数的性质和关系，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离= 塔的高度× 正切(仰角) = 30 × tan(24°)。

建筑物顶部到底部的距离= 建筑物的高度× 正切(俯角) = h × tan(66°)。

由于直角三角形中的勾股定理，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离^2 + 建筑物顶部到底部的距离^2 = 塔高度的^2。

代入已知数值，我们可以得到一个关于h 的方程，并解出h 的值。

4.4.1 锐角三角函数的应用一 仰角、俯角相关问题一、新 知 梳 理1、仰角、俯角；2、用解直角三角形的知识解决实际问题求解步骤： （1）．从图形、已知条件、未知问题三个方面将实际问题转化为数学问题；（2）．将所求解的问题置于直角三角形中，用解直角三角形的方法求解；（3）．把所求得的解返回到实际问题中解释、检验.3、双Rt ∆三种常见形式。

二、方法探究用解直角三角形的知识解决仰角、俯角相关的实际问题例1 被誉为东昌三宝之首的铁塔始建于北宋时期，是聊城市现存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成(如图4－4－4①)．为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C 点测得塔顶E 的仰角为45°，在D 点测得塔顶E 的仰角为60°，已知测角仪AC 的高为1.6米，CD 的长为6米，CD 所在的水平线CG ⊥EF 于点G (如图②)，求铁塔EF 的高(结果精确到0.1米)．例2、（贵阳市中考题）某居民小区有一朝向正南方向的居民楼（如图3），该居民楼的一楼是高6m 的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m 处要盖一栋高20m 的新楼，设冬季正午的阳光与水平线的夹角是32︒。

（1）通过计算判断超市以上的居民住房采光是否会受影响；（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据sin 3253100︒=，cos32105125︒=，tan 3258︒=）例3、如图所示：如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45°，已知OA =100米，山坡坡度为 12，（即tan ∠P AB = 12）且O 、A 、B 在同一条直线上.求电视塔OC 的高度以及所在位置点P 的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）．三、巩固练习1.[2013·太原]如图4-4-6,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一座隧道(B 、C 在同一水平面上).为了测量B 、C 两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C 地出发,垂直上升100 m 到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为30°,则B 、C 两地之间的距离为( )2.A.1003m B.502m C.503m D.33100m2.[2013·鄂尔多斯]在数学课外实践活动中,要测量教学楼的高度AM.下面是两位同学的对话:请你根据两位同学的对话,结合图形(如图4-4-8)计算教学楼的高度AM.(参考数据:sin 20°≈错误！未找到引用源。