仰角和俯角(PPT课件)

坡DE的坡度(或坡比)i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为( D)
(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93) A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
题型一 仰角、俯角问题
解：过点E作EF⊥CD于点F，过点E作EM⊥AC于点M，如图． ∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1:2.4，∴设EF＝x米，则DF＝2.4x米． 在Rt△DEF中，DE＝78米，∵EF2＋DF2＝DE2，∴x2＋(2.4x)2＝782， 解得x＝30(负值舍去)，∴EF＝30米，DF＝72米．∴CF＝DF＋DC＝72＋78＝150(米)． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形．∴EM＝CF＝150米， CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°， ∴AM＝EM·tan 43°≈150×0.93＝139.5(米)， ∴AC＝AM＋CM≈139.5＋30＝169.5(米)． ∴AB＝AC－BC≈169.5－144.5＝25(米)． 故选D.
为50°，则建筑物AB的高度约为( D )
(参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；tan 50°≈1.19) A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
题型一 仰角、俯角问题
【变式2】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操
作：
①在点C处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角∠ACE＝α； ②量得测角仪的高度CD＝a；
题型一 仰角、俯角问题
【变式4】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的
俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__________米(结果保留根

解：如图，α = 30° ， β= 60°，AD＝120． ∵ , ∴BD=AD·tanα=120×tan30︒, =120× =40 . CD=AD·tanβ=120×tan60︒, =120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277(m).答：这栋楼高约为277m.
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习

45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m 在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2
54°45°
D 40m
C
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m.
当堂练习
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上 一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的 水平距离BC=____1_0_0___米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为_2_0__3_米.
在图中，α=30°,β=60° Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，
αD Aβ
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan BD ,tan CD
AD
AD
BD AD tan 120 tan30
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277 .1
C
答：这栋楼高约为277.1m
练一练
A
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观
B
察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为
B 图1 C
B 图2 C
3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测 得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确 到0.1米）.

∴DF＝tanBF45°＝1010＝100(米)，
∴
AB
＝
EF
＝
CD
＋
DF
－
CE
＝
500
＋
100
－
100 3
3
≈600
－
100 3
×1.73≈542.3(米)．
7．【2019·南宁】小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高
度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯
顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端
基础巩固练
【点拨】钛合金粉末在高温下由固态变成液态，是熔 化现象，需要吸热；然后按构件形状重新凝固成型， 需要放热。 【答案】熔化；凝固
能力提升练
【点拨】由图知B在凝固过程中温度保持不变，所以 B是晶体。B从第4分钟开始凝固，到第8分钟凝固完， 所以凝固过程所用时间为8 min－4 min＝4 min。晶 体在凝固过程中处于固液共存状态，在凝固过程不断 放热，但温度不变。从图中可以看出，B在凝固过程 中保持50 ℃不变，所以其凝固点为50 ℃。 【答案】B；4；固液共存状态；放热；不变；50 ℃
基础巩固练
4．由我国自主研发的大型客机C919已在上海圆满首飞。该 机装有不少运用3D打印技术生产的钛合金部件。3D打印 技术就是在高能激光的作用下，钛合金粉末吸收热量 ________成液态再______成型。(均填物态变化名称)
习题链接
提示：点击 进入习题
答案呈现
1 凝固
4 熔化；凝固 7 见习题 10 B
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米． 在Rt△ACH中， ∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5米． ∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°. 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG，

BC=2 m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m.
(1)求A,C两点之间的距离(结果精确到0.1 m);
解:(1)如图所示,过点 A 作 AE⊥CB,交 CB 延长线于点 E,连接 AC,
在 Rt△ABE 中,AB=5 m,∠ABE=180°-143°=37°,



4.如图所示,从无人机C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,
如果此时无人机C处的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,求A,B
两点的距离.
解:∵从无人机 C 处测得地面 A,B 两点的俯角分别为 30°,45°,
∴∠BCD=90°-45°=45°.∴∠ACD=90°-30°=60°.
28.2.2
第1课时
应用举例
仰角、俯角
仰角和俯角
在进行测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线
角叫做仰角,视线在水平线 下 方的角叫做俯角.
上
方的
应用解直角三角形解决实际问题
[例1] (2022盐城)如图所示是处于工作状态的某型号手臂机器人示
意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, ≈2.24).
解:(2)如图所示,过点 A 作 AF⊥CD,垂足为 F,
∴FD=AO=1 m.∴CF=5 m.
在 Rt△ACF 中,由勾股定理,得
AF= -=2 (m).
∴OD=2 ≈4.5(m),
即 OD 的长约为 4.5 m.
新知应用
如图所示,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E
处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC=20 m,且距地面高度

30º
60º
50 m
解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m，设塔高DC=x m.
Rt△ADC中, tan 30 = DC .
AC
Rt△BDC中,
tan 60
=
DC BC
.
∴AB=AC－BC=
x tan 30
x tan 60
.
30º
60º
50 m
∴x=
50 1－1
25 3 ≈43(m).
楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高 AB是100 m，则乙楼的高CD为___1_0_03_3___（结果保留根号）.
tan 30 CD CD 3
AD 100 3
45º
CD 100 3 3
100 m
100 m
3.[内江中考]如图，有两座建筑物DA 与CB，其中 CB的高为120 m， 从DA 的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为 45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
解：在Rt△CBD中，∵BC=5tan40°≈4.195（m）， ∴EB=EC+CB=2+4.195=6.195（m）. 在Rt△EBD中，
ED BE 2 DB2 6.1952 52 7.96m .
∴钢缆ED的长度约为7.96m.
课堂小结
通过本节课的学习， 你有哪些收获？
数学源于生活 又服务于生活
tan 30
PQ CM MQ CP 1 1475.6 248 1229m .
答：这座大桥PQ的长度约为1229m.
M
4. 如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角， 且DB=5m.在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED 的长度为多少？（结果精确到0.01m）

∴∠PAB=∠CAB-∠CAP=20°.∵∠APC=∠PAB+∠B,
∴∠B=∠APC-∠PAB=40°-20°=20°.∴AP=PB.∴AH=BH.
∵AP=40 n mile,∴AH=AP·cos 20°≈40×0.94=37.6(n mile).
∴AB=2AH=75.2(n mile).∴轮船的航行速度为
5
三角函数的应用
第1课时
方位角问题
与方位角有关的两地间距离的计算
[例1] (2022安徽)如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某
数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°
方向上,沿正东方向行走90 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D
的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离(参考数据:sin 37°≈
角分别是60°和30°.则该电线杆PQ的高度是 (6+2 ) m(结果可
保留根号).
3.如图所示,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两
点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一条直线上,A,B两点间的距离为
3 m,则条幅的高CD为 3 m.
4.(2023凉山)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内

)
2.如图所示,一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯角

为α,tan α= ,水平飞行 900 m 后,到达点 B 处,又测得标志物 P 的


俯角为β,tan β= ,飞机离地面的高度为 1 200 m.

与仰角、俯角有关的宽度计算
[例2] (2022广元)如图所示,计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开
∴隧道 EF 的长度为(80 +70)m.

根据题意画出如下图所示的几何图形 图4-26
A
75°
B
· D
C
1.5m 28.5m
解:
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
BAC = 90 -15 = 75 AC=28.5+1.5=30(m)，
由于BC是∠BAC的对边，AC是邻边，
因此
tan 75 = BC = BC . AC 30
BC = 30 tan 75 112(m ).
视线 铅 直 线 视线 仰角 俯角 水平线
例1 如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸 成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸 的距离.
?
图4-25
解: 从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此
sin 30 = BC = BC , AB 500
(m). 从而 BC =500 sin 30 250
C
A
答：B处与河岸的距离约为250m． C
实际问题
建立几何模型 转化
?
数学问题
图4-25
解直角三角形
练习
如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船 的北偏东 60 的方向，轮船从B处向正东方向行驶 2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向.求C处 与灯塔A的距离(精确到1m).
（俯角和仰角）
解直角三角形依据下列关系式 1、三边之间的关系：
B a C b c A
a b c (勾股定理）
2 2 2
2、两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90° 3、边角之间的关系： a sin A cos B , c a 1 tan A , b tan B

为( A )
A．α
B．90°－α
C．90°＋α
D．180°－α
易错点：未分清仰角、俯角的概念而出错．
自我诊断 2.如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道(B、C 在同一平面上)，为了测量 B、C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°，则 B、 C 两地之间的距离为 100 3 m.
仰角、俯角问题、坡度问题
1．在进行测量时，当低处观测目标时，视线与 水平线 所成的锐角称为 仰角 ；当高处观测目标时，视线与 水平线 所成的锐角称为 俯角 .
2．坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的 坡度 (或坡比)，记作 i，
即 i＝hl ，坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 tanα，有 i＝hl ＝tanα . 自我诊断 1.在 A 处观察 B 处时的仰角为 α，那么在 B 处观察 A 处时的俯角
果这时气球的高度 CD 为 150 米，且点 A、D、B 在同一直线上，那么建筑
物 A、B 间的距离为( C )
A．150 3米BFra bibliotek180 3米C．200 3米
D．220 3米
3．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10 m 的 A 处测得 旗杆顶端 B 的仰角为 60°，测角仪高 AD 为 1 m，则旗杆高 BC 为(10 3＋1) m(结果保留根号)． 4．如图，从一艘船的点 A 处观测海岸上高为 41 m 的灯塔 BC(观测点 A 与 灯塔底部 C 在一个水平面上)，测得灯塔顶部 B 的仰角为 35°，则观测点 A 到灯塔 BC 的距离约为 59 m(精确到 1 m)．(参考数据：sin35°≈0.6， cos35°≈0.8，tan35°≈0.7)