人教版小学数学五年级奥数训练选讲3 分数的拆分

名师堂学校李老师方法讲义之——第三讲 年级： 五年级 时间： 20120303分数单位的拆分一、基础知识在埃及的古文献中，曾记载过分子是1的分数，后来人们把这样的分数叫做埃及分数，也叫做单位分数（或分数单位）。

怎样把一个分数单位拆分成两个或两个以上单位分数的和或差呢？这讲，我们就一起来研讨这里面的奥秘。

拆分方法与步骤归纳把n1拆分成两个单位分数的和或差的形式，有以下四个步骤： ①找出分母n 的所有因数； ②将n1的分子、分母同时乘其中两个因数的和或差； ③再将所得到的分数拆分成同分母的两个分数之和或差； ④将各个分数分别约分，使分子为1。

二、典型例解§典型例题1．在等式61＝)(1＋)(1中填入两个不同的自然数，使等式成立。

解法导航：①先找出6的所有因数有1、2、3、6。

②写出这四个因数每次取两个，较小与较大并且比值不相同的组合有（1，2）；（1，3）；（1，6）；（2，3）四种；③将61的分子、分母同时乘上每组数的各，并拆分后约分就可以啦，本题共有四种不同的填法。

解：思考：如果分子、分母同时乘（2+6），会是什么结果？试试看。

◆巩固训练1． 在等式151＝A 1＋B1中，A 、B 均为不同自然数，求符合条件的所有A 、B 的值。

§典型例题2．在等式121＝A 1－B1中，A 、B 均为自然数，求A 、B 的值。

解法导航：分找出12的因数有1，2，3，4，6，12。

再将这六个因数每次取两个，较大数与较小数比值不同进行组合有：（2，1）；（3，1）；（4，1）；（6，1）；（12，1）（3，2）；（4，3）七种，然后依次用每组数的差去乘分子、分母，即可得出七组不同的解。

解：思考：如果121的分子、分母同时乘（6－2），结果会是什么？◆巩固训练2． 在等式A 1－151＝B1中，A 、B 的值共有几组？写出其中一组A 、B 的值。

名师课堂——关键教方法§典型例题3．将101拆分成三个不同的单位分数的和。

分数的基本性质例1、分数38的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？分析： 38 =3+98+（ ），分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。

拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34 ，求分子和分母都加上的这个数是几？分析：方法一 试一试：将34的分子、分母同时扩大相同的倍数34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与47 的分子、分母相减，结果相同的就是。

方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 1612交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = dc 时，a ×c=b ×d 。

解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得：4+x 7+x = 34(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。

方法：【利用分母与分子差不变】例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成12，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成12，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2方程法：一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成38 ，那么原来的分数是多少？方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成35 ，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是15 ，求原来的分数是多少？利用和变拓展：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 134 ，求某数是多少？ 利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43，如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21。

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分1.概念单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。

分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆2．解题方法与技巧。

（1）把单位分数拆分成单位分数相加的和方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和再拆分：拆分成约数作分子的分数。

后约分：约分成最简分数方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。

把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。

（3）把假分数分拆成单位分数相加的和方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。

例题一在错误!未找到引用源。

的括号里填入适当的自然数，使等式成立。

分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。

分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。

分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。

解析一：8的约数有1、2、4、8。

①错误!未找到引用源。

②错误!未找到引用源。

③错误!未找到引用源。

④错误!未找到引用源。

⑤错误!未找到引用源。

⑥错误!未找到引用源。

以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。

如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。

，共有四组解。

解法二：错误!未找到引用源。

(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)练习一将下列各分数写成两个单位分数：1.错误!未找到引用源。

2. 错误!未找到引用源。

3. 错误!未找到引用源。

4.错误!未找到引用源。

5. 错误!未找到引用源。

6. 错误!未找到引用源。

例题二:将错误!未找到引用源。

★清华大学★英语系测试：为中小学生英语量身定做.官方网站：/清华大学英语教授50年研究成果分数的拆分专题分析：在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。

在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。

比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。

可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。

这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。

例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。

问：最少要切几刀？例2：在1/6=1/（）＋1/（）的括号中填入不同的整数使等式成立。

例3：将2/3拆分成两个不同单位分数之和的形式。

例4：在1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）=1的括号中填入互不相同的自然数，使等式成立。

例5：计算。

例6：计算。

例7：计算例8：计算：。

练习：1、求出下列各分数所有形如的表达式，其中a、b为不等的整数：2、求出、、所有形如的表达式，其中a、b为不等的整数。

3、计算。

4、计算2×4＋4×6＋6×8＋…＋18×20＋20×22＋22×24。

5、计算。

6、A、B、C是三个互不相同的自然数，并且满足：，求。

7、从下面的分数中找出10个来，使它们的和为1（不许重复）：1，，，，，……奥数小测验1.有三个自然数，它们相加或相乘，都得到相同的结果，这三个数中最大的是。

2．四个人年龄之和是77 岁。

最小的10 岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7 岁，最大的年龄是岁。

3．把被减数、减数、差相加得40，被减数是。

循环小数与分数拆分考试要求（1）掌握循环小数化分数的基本方法与规律；（2）在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。

知识框架【基本概念】纯小数——整数部分是零的小数。

循环小数——从后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的。

循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。

混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。

纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。

【基本方法】（1）纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。

（2）混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

重难点重点：循环小数化分数的基本方法与规律；难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。

例题精讲一、 分数拆分【例1】110=()()11--()1=()()()111++【巩固】在下面的括里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++【例2】 如果1112009A B=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？【巩固】若1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a<b ，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是哪些？二、 纯循环小数化分数 【例3】 把纯循环小数化分数：（1）6.0 （2）201.3【巩固】把纯循环小数化成分数（1）612.0 （2）321.4三、混循环小数化分数【例4】 把混循环小数化分数。

（1）512.0 （2）335.6【巩固】把混循环小数化成分数。

（1）627.0 （2）24.7四、循环小数的四则运算与周期运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

选讲1 等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项＋(项数－1)×公差项数公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

(1)1＋2＋3＋…＋49＋50 (2)6＋7＋8＋…＋74＋75(3)100＋99＋98＋…＋61＋60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

(1)2＋6＋10＋14＋18＋22 (2)5＋10＋15＋20＋…＋195＋200(3)9＋18＋27＋36＋…＋261＋270【例题5】计算(2＋4＋6＋...＋100)－(1＋3＋5＋ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

(1)(2001＋1999＋1997＋1995)－(2000＋1998＋1996＋1994)(2)(2＋4＋6＋...＋2000)－(1＋3＋5＋ (1999)(3)(1＋3＋5＋...＋1999)－(2＋4＋6＋ (1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈(一圈套一圈)做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？选讲2 三阶幻方的性质一、知识点整理：性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；性质2：幻方的中心数为数列的中间数；性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

点击目标把单位“1”平均分成若干份，表示期中一份的数叫分数单位。

分数单位又叫埃及分数。

在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。

例：1133121122366663⨯===+=+⨯ 11441311334121212124⨯===+=+⨯ 11551411445202020205⨯===+=+⨯ 方法一：111(1)1n n n n =+⨯++ 或 111(1)1n n n n =-⨯++ 课堂练习：15= 17=例：在()()11114=+ 的括号里填上适当的自然数，使等式成立方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是⑴ 找分母的约数；⑵ 扩分 把分数单位1A的分子、分母分别乘A 的任意两个约数之和； ⑶ 拆分 把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子； ⑷ 约分 把所得两个分数约成最简分数。

练习：112= 121= 11997= 例：()()1116=+的括号里填入适当的自然数，使等数成立。

（填出全部结果）将17拆成3个单位分数之和。

把1拆分成5个单位分数之和。

将14拆成11A B-的形式。

将18拆成4个单位分数之和。

将110化为111a b c++的形式，其中,,a b c为自然数，且它们的最大公约数为1.总结：把一个分数1a拆成几个分数单位之差的方法如下：找分母的约数，扩分，拆分，约分。

练习：将下列各分数写成两个单位分数之差 16 19 17 11995课后练习1. 将下列个分数写成两个单位分数之和或差。

()()()111112=++ ()()11110=- ()()11190-= ()()11115=- ()()()()1111115=+++2.计算1111112612203042+++++。

分数拆分的原理和方法嘿，朋友们！今天咱来唠唠分数拆分这档子事儿。

你说分数就像一个大蛋糕，咱得想法子把它给拆得明明白白的。

这可不像切蛋糕那么简单，得有技巧，有方法。

咱就打个比方，比如一个考试成绩是 80 分，那这 80 分可不是随随便便来的呀。

就好像你要去一个地方，有好多条路可以走呢。

那这 80 分里面，可能有 30 分是你基础知识掌握得好，稳稳拿到手的；有 20 分呢，是你考试的时候细心认真，没犯那些低级错误得来的；还有 30 分可能就是你在难题上灵光一闪，或者多思考了一会儿得到的。

这就好比搭积木，每一块积木都有它的位置和作用。

你得清楚哪些是基础的积木，哪些是让整个造型更出彩的积木。

分数拆分不就是这么个道理嘛！你想想看，要是你都不知道这分数是咋来的，那下次怎么进步呀？就像你走路不知道方向，那不就瞎转悠嘛。

比如说数学考试，你错了一道题，那你就得好好琢磨琢磨，这道题为啥错了呀？是知识点没掌握牢固，还是粗心大意了？这就是在拆分分数呀！把错误的原因找出来，下次不就可以避免了嘛。

再比如说语文，作文分数不高，那你得看看，是立意不清晰，还是语言表达不够生动？这也是在给作文的分数做拆分呢。

分数拆分还能让你知道自己的优势和劣势在哪儿。

就好像你知道自己擅长短跑，不擅长长跑一样。

那你就可以多花点时间在自己不擅长的地方，把劣势变成优势呀。

你可别小瞧了这分数拆分，它就像一把钥匙，可以打开你进步的大门。

它能让你清楚地看到自己的学习情况，知道该往哪儿努力。

咱学习就像爬山，分数拆分就是你的地图和指南针。

没有它，你可能就会在山里瞎转悠，找不到登顶的路。

所以啊，朋友们，可别小看了这分数拆分，好好利用它，让自己的学习之路越走越顺，越走越高！这分数拆分的作用可大着呢，你说是不是？原创不易，请尊重原创，谢谢!。

分数的拆分专题分析：在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。

在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。

比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。

可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。

这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。

例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。

问：最少要切几刀？例2：在1/6=1/（）＋1/（）的括号中填入不同的整数使等式成立。

例3：将2/3拆分成两个不同单位分数之和的形式。

例4：在1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）=1的括号中填入互不相同的自然数，使等式成立。

例5：计算111111... 1223344519202021 ++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

例6：计算11111 144771********* ++++⨯⨯⨯⨯⨯。

例7：计算234100...1(12)(12)(123)(123)(1234)(12...99)(12...100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++例8：计算：1111...12123123 (10)+++++++++++。

练习：1、求出下列各分数所有形如11a b+的表达式，其中a 、b 为不等的整数： 15 111 14 1162、求出17、110、112所有形如11a b -的表达式，其中a 、b 为不等的整数。

3、计算3276912920730341754942870130208304418550+++++++。

4、计算2×4＋4×6＋6×8＋…＋18×20＋20×22＋22×24。