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弹性力学第2章

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弹性力学-2-平面问题的基本理论

弹性力学-2-平面问题的基本理论

2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。

弹性力学第二章 应力理论

弹性力学第二章 应力理论

;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ()g = g g = ijij
斜面剪应力
() n
2 n2
.
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
➢定义式
面力：
P X lim
S0 S
Xi
lim
S0
Pi S
P
S
.
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。
内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
x y
yz
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
ii jj ijij
1 2
I12 ijij
x xy zx I3 xy y yz eijk1i2j3k
zx yz z
xyz 2xyyzzx xy2z yz2x zx2y
.
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I12I2I30
求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：
( ) g
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( ) 1 e 1 ( ) 2 e 2 ( ) 3 e 3 ( )je j
则柯西公式的分量表达式为

弹性力学第二章

弹性力学第二章

（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1

W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡

弹性力学第二章

弹性力学第二章

强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)

第2章 弹性力学的基本知识

第2章 弹性力学的基本知识

（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。
（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。
(4)完全弹性假设:胡可定律
（5）几何假设——小变形假设： 变形产生的位移与物体的尺 寸相比 ,是微小的。
关于外力、应力、应变和位移的定义
1.外力
体力 （定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。 分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。 有限元分析也使用集中力这一概念。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的 正应变ε和 切（剪）应变 γ 来表示。 正应变εx ，εy ， εz 以伸长为正。
切应变γxy , γyz ,γzx 以直角减小为正, 用弧度表示。 正应变和切应变都是无因次的量 应变列阵 x y z xy yz zx
Tຫໍສະໝຸດ 4. 位移材力研究方法
也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近 似的计算假设（如平面 截面假设）来简化问题，并在许多 方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。 从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
★ 弹塑性力学研究问题的基本方法
在受力物体 内任取一点 （单元体）为 研究对象。
写成矩阵形式:
ε=
σ
ε=φσ 显然: φ=D-1
三、平衡方程
弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满 足应力边界条件。
弹力的研究方法
在体积V内 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程； 在边界 S 面上
x
二、物理方程
若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料 力学胡克定律:

清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案

清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案

第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。

可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。

（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。

第二章 弹性力学的基本方程和一般定理 1

第二章 弹性力学的基本方程和一般定理 1
第二章 弹性力学的基本方程和一般定理
§2-1 弹性力学中的几个基本概念 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 几何方程和连续性方程 §2-4 广义Hooke定律 §2-5 斜面应力公式与应力边界条件 §2-6 位移边界条件
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力 体力、面力 （材力：集中力、分布力。）
PA dx PB dy
变形前
变形后
u
P
P
v
y
x
P u dx
v P A
dy

B

A
B
A
A
B
B
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x

u
+
u x
dx

u
dx

u x
PB的正应变：
y

v
+
v y
dy
dy

v

v y
y
P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
+
xy
z


2 2
yz
u x

同理：
y

yz
x

zx
y
+
xy
z


2
2 zx

v y

z

yz
x
+
zx
y

xy
z


2 2 xy
w z
P
(法线)

第2章 弹性力学基本理论

第2章 弹性力学基本理论

x

u
z




z
z 0
0


0


z


u v

0

w


y


x
3、物理方程（应力与应变之间的关系）
x


1 E
x y z
y

1 E
y z x
•微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形 状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也 可以视为均匀材料。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因 变形所引起的尺寸变化。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前， 物体内部没有应力。
弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约 束或温度改变而产生的。
向或负面上的应力沿坐
x
图1－7
标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画 出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。
Oz
x
y
注意：
弹性力学
材料力学 图1-8
（3）注意弹性力学切应 力符号和材料力学是有 区别的。在图1－8中， 弹性力学里，切应力都 为正，而材料力学中相 邻两面的符号是不同的， 顺时针转动为正。

弹性力学-第二章

弹性力学-第二章

(a)
(b)
y
o
z
a
b
x
(c) 刚性槽
2.平面问题的应力边界条件 设在S 部分边界上给定了面力分量 f x ( s) 和 f y ( s) ， 则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力 与面力之间的关系式。
0 o y P y
tyx txy
x
B
y
fx
A
x
P
x
fy
fx
n
fy
f
斜面上的应力
由式 (2-3)
x=-b为负x 面
l cos n, x cos180 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xb f x , (t xy ) x b f y
n
b a x
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
应力边界条件的两种表达式： （1）公式写法 公式写法通常只用于 边界为非坐标面时
x=a为正x 面
l cos n, x cos 0 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xa f x , (t xy ) xa f y
b a x
n
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
当边界面为坐标面时
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
( 2) 斜边 y x tan
l cos n, x cos 90 sin
m cos n, y cos

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

第二章应力状态理论(弹性力学)

第二章应力状态理论(弹性力学)
应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

常体力情况下的简化（2）
— 求解平衡方程
平衡方程 所求的应力函数必须满足以下方程： 应力调和方程
其中
式的解为
式的通解加上
式的特解：
常体力情况下的简化（3）
— 平衡方程的特解
特解一： 特解二： 特解三：
常体力情况下的简化（4）
— 平衡方程的通解
剪应力相等：
艾里George Airy (1801-1892)应力 函数
平面应力问题
平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有 平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也 平行于板面且不沿厚度变化。
z
x
h
y
平面应变问题
平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长 度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化 的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变 化。
则有：
最后得到：
因此，由
中第一式：
由
中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
代入 应力调和方程
得到：
简写为：
y x
z
物理方程
这里，E为弹性模量，G为剪切模量，µ 泊松系数，且有 如下关系：
平面应力问题的物理方程
注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变 不为零。
平面应变问题的物理方程
注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力 不为零。
平 衡 微 分 方 程 (1)
o x
c
y
平 衡 微 分 方 程 (2)
F F F/A F F/A
F
F/2 F/2

第二章弹性力学的基本方程

第二章弹性力学的基本方程
在二维笛卡尔空间中, 下标用小写希腊字母表示,并取
, , 1, 2
由此,向量 a可表示为
3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei i 1
三阶线性代数方程组
a11x a12 y a13 z P1
a21
x
a22
y
a23
z
P2
a31
x
a32
y
a33
z
P3
可表示为
ai1x1 ai2 x2 ai3x3 Pi
(c) 非循环序列:i, j, k中有两个以上得指标取
相同值
e112 e222 e323 0
利用置换符号可以简化公式
(1)行列式
a11 a12 a13 a a21 a22 a23
( xix j
) ,ij
例如:
xi
,i
ui x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
ui,i
u1,1
u2,2
u3,3
f xi
dxi
f ,i dxi
f ,1dx1
f ,2 dx2
f ,3dx3
4、 克罗内克(Kroneker)符号
定义: ij ei e j cos(ei ˆ e j )
Fx
1 dh 3
0
同理可得:
Tx xl yx m zx n Ty xyl y m zy n Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式,又称Cauchy公式。
2、斜面上得正应力与剪应力
Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m 2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
ei

弹性力学 徐芝纶版 第二章

弹性力学 徐芝纶版 第二章

y
yx
x
Fx 0,
xy x

' x
.dy.1


x
.dy.1


' y
x
.dx.1
dx
fx
dy C
fy
' xy

' x
yx.dx.1 fx.dy.dx.1 0
将
' x

' y
'
'
xy yx
代入
y
' yx

' y
(
x

x
x
dx).dy.1
各点沿z向的位移、应 变一般并不等于0。
x
z
例如：沿x或y向拉伸时，沿z向会收缩。
第二章 平面问题的基本理论
二、平面应变问题
平面应变问题中 物体的特点：
x
z
1.形状特点:
y
z 向尺寸远大于xoy面的尺寸，为等截面的长柱体
(理论上无限长）。
2.外力特点：
外力均平行于xoy面，且沿z 轴无变化。
第二章 平面问题的基本理论
一、外力
1. 体力
F lim f V 0 V
2.面力
二、应力
lim F f S0 S
F
1. 定义
p lim A0 A
x
z
B
F
m A
p
AP n
o
y
2. 一点的应力状态:是指一点 沿任意方向应力情况的集合。
x , y , z , xy, yz, xz
标中的投影表示，符号： u, v, w

弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性力学_第二章__应力状态分析

第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

《弹性力学》第二章平面问题的基本理论

平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。

弹性力学第2章—应力

弹性力学第2章—应力

⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ [σ ij ] = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢ ⎥ τ τ σ zx zy z ⎣ ⎦
i, j = x, y , z
τzx
σy
σz
τzy
σx
τyx τ xyτ τ xz yx τ xz τ xy τyz
σxτ
τ yz Δz σ
y
O
σz Δy
zy
τzx
截面上的切应力：
2 n
τyz
px
x
A
τzy
τzx
σz
τxz p y
σx
B
y
τ = pi pi − σ = σ ij n jσ ik nk − (σ ij n j ni )
2
2.2 一点的应力状态
应力分量的转换方程
应力张量在坐标变换时的转换公式 和 Ox ′y ′z ′ ，其中 x ′ 轴取为斜截面的 法向 n ，并通过O点。 沿 x ′ 轴方向的正应力为 令变换前后的坐标系分别为Oxyz
Δx
y
x
2.1 应力的概念
应力张量的特点:
当坐标系变换时， 另一坐标系
σ ij 能够按照一定的变换式变换成 Ox ′y ′z ′ 中的九个分量 σ i′j′
i ′, j ′ = x ′, y ′, z ′
⎡ σ x′ τ x′y′ τ x′z′ ⎤ ⎥ [σ i′j′ ] = ⎢ τ σ τ y′ y ′z ′ ⎥ ⎢ y′x′ ⎢ ⎣τ z′x′ τ z′y′ σ z′ ⎥ ⎦
同理可得 σ 1′ 2′ = l1′i l2′ jσ ij ，
σ 1′ 3′ = l1′il3′ jσ ij
2.2 一点的应力状态
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由于这种相似性，在解平面 应变问题时，可把对应的平面应 力问题的方程和解答中的弹性常 数进行上述代换，就可得到相应 的平面应变问题的解。
19
§2-6
边界条件
当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足 平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。
按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、 应力边界问题和混合边界问题。 一、位移边界条件 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 Su ，则有 （在 Su 上）：
x
16
式中，E为弹性模量；G为刚度模量； 为泊松比。三者 的关系： E G 2(1 ) 一、平面应力问题的物理方程 1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy E 且有：
将上式的两边除以dxdy 得到：
xy
1 xy 1 yx xy dx yx dy 2 x 2 y
令 dx 0, dy 0 ，即略去微量不计，得：
xy yx
7
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平 衡方程：
F
x
0:
yx x ( x dx) dy 1 x dy 1 ( yx dy) dx 1 x y yx dx 1 X dx dy 1 0
F
y
0: y dy) dx 1 y dx 1 ( xy xy x dx) dy 1
( y
y xy dy 1 Y dx dy 1 0
8
整理得:
x yx X 0 x y y xy Y 0 y x
所以
xy
v u x y
14
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
1
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
§2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 §2-9 §2-10 §2-11 习题课
平衡微分方程 斜面上的应力主应力 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件 圣维南原理 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题。相容方程 常体力情况下的简化 应力函数逆解法与半逆解法
us u
上的位移分量，而 u 和 v 在边界上 是坐标的已知函数。
20
二、应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满 足与面力相平衡的力的平衡条件。
l ( x ) s m( yx ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
15
§2-5
物理方程
在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的 关系根据虎克定律建立如下：
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
xy xy
yx
y
y y
yx
dy
图2－3
x 1 2 x ( x, y ) 1 n x ( x, y ) 2 n ( dx ) ( dx ) 2! x 2 n! x n
6
略去二阶及二阶以上的微量后便得 x ( x, y ) 都一样处理，得到图示应力状态。
x ( x, y ) xy 、 dx 同样 y 、 yx x
对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中 心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 M D 0 ：
dx dx ( xy dx)dy 1 xy dy 1 x 2 2 yx dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2
这两个微分方程中包含着三个未知函数 x , y , xy yx。因此 决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和位移，才能 解决问题。
对于平面应变问题,虽然前后面上还有 z ,但它们完全不影 响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。
9
§2-3
一、斜面上的应力
11
二、主应力 如果经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面 上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个 应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。 1.主应力的大小
x y 2 2 1 x y ( ) xy 2 2 2
( xy ) s 、 ( x ) s、 ( y ) s 、 ( yx )s 为边界上的应 其中 X 和 Y 为面力分量， 力分量。
当边界面垂直于 x 轴时，应力边界条件简化为：
( x )s X , ( xy )s Y
当边界面垂直于 y 轴时，应力边界条件简化为：
( y )s Y , ( yx )s X
2
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体， 它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体 的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和 力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 一、平面应力问题 等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
12
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变 u (u dx) u u x x dx x 在这里由于小变形，由y 方向位移v所引起的PA的伸缩 是高一阶的微量，略去不计。
E 作代换 E 1 2


1
就可得到平面应变中的 关系式：
1 2 x x y E 1 1 2 y y x E 1 2(1 ) xy xy E
21
三、混合边界条件 1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条 件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别 有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面 有位移边界条件： u u 0
s v v 0 s
q
h
h
上下面有应力边界条件：
2
2
o
l
y
图2-6
o
xy
x
y
B P
yx
y
A
XN
x
N
N
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
YN S
cos(N , x) l , cos(N , y) m
10
图2－4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
斜面上的应力、主应力
已知弹性体内任一点P处的应力分量 x , y , xy yx，求经 过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB， 它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平 面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限 接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
σz = 0 τzx = 0
τzy = 0
图2 －1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。 y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变 问题相反。
4
二、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度 变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。 ε
z
= 0
τ
zx
= 0
τ
zy
= 0
如：水坝、受内压的圆柱管道等。
y
x
P
x
图 2－2
注意平面应变问题z = 0，但 z 0 ，这恰与平面应力 问题相反。
5
§2-2 平衡微分方程
无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题， 所有物理量均与z无关。 下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并 由此导出平衡微分方程。从图2－1所示的薄板取出一个微小的正平行 六面体PABC(图2－3），它在z方向的尺寸取为一个单位长度。 设作用在单元体左侧面上的正 x o x ) 应力是 x x ( x, y，右侧面上坐标 y yx A 得到增量 dx，该面上的正应力为 P xy D X x xx dx x ( x dx, y)，将上式展开为泰勒级 x Y dx 数： x C B x ( x, y ) dy x ( x dx, y ) x ( x, y ) dx y y
Y ( xy ) s 0
v vs 0 X ( x ) s 0
除以 dS 即得： 同样由 Fy 0 得出：
X N l x m yx YN m y l xy