第二章 平面问题的基本理论【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。
在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
xy2h 1h bg ρo()2h b >> h xyl/2/2h MNF SF 1q q图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l0 -1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：110,xN NN N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=++=⇒=--∑2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故M 'N F 'S F '/21/22/21/2/2/2()()22()h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql Fσστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求112,,σσα()100,50,1050;x y xy a σστ===()1000,1500,500.x y xy d σστ=-=-=【解答】由公式（2-6）212222x y x y xy σσσσστσ+-⎫⎛⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭及11tan x xy σσατ-=，得11arctan x xy σσατ-= (a) ()221215010050100501050022σσ⎫⎧+-⎛⎫=±+=⎬⎨ ⎪⎝⎭⎩⎭1150100arctan3516'1050α-==︒(d) 21226911000150010001500500180922σσ-⎫⎧---+⎛⎫=±+=⎬⎨ ⎪-⎝⎭⎩⎭16911000arctanarctan 0.6183143'500α-+===︒【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q 。
试证-x y q ==s s 及0xy τ=能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
【解答】（1）将应力分量,0x y xy q σστ==-=，和体力分量0x y f f ==分别带入平衡微分方程、相容方程00xyx x y xy yf x y f yx τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩ （a ） xyOxf yf qqAyσxσ()20x y σσ∇+= （b ）显然满足（a ）（b ）（2）对于微小的三角板A ，dx ，dy 都为正值，斜边上的方向余弦()()cos ,,cos ,l n x m n y ==，将-,0x y xy q σστ===，代入平面问题的应力边界条件的表达式（2-15），且()()-cos ,,cos ,x y f q n x f q n y ==，则有()()()()cos ,cos ,,cos ,cos ,x y n x q n x n y q n y σσ=-=-所以,x y q q σσ=-=-。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。
（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12），得形变分量，(1)(1),,0x y xy q q E Eμμεεγ---=== （d ）将（d ）式中形变分量代入几何方程（2-8），得=,=,0u v v uq q x y x yμμ∂∂∂∂+=∂∂∂∂(-1)(-1)E E （e ） 前两式积分得到12--=(),=()u qx f y v qy f x μμ++（1）（1）E E（f ）其中()()12,f y f x 分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入式（e ）的第三式，得12()()df y df x dy dx -=等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。
因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有12()(),df y df x dy dxωω=-= 积分后得()()1020,f y y u f x x v ωω=-+=+ 代入式（f ）得位移分量00(1)(1)u qx y u E v qy x v Eμωμω-⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=++⎪⎩ （g ）其中00,,u v ω为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。
因而，应力分量是正确的解答。
【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F （图2-22），体力可以不计。
试根据材料力学公式，写出弯应力0y σ=，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为3/12z I h =，根据材料力学公式弯应力3()12x z M x Fy xy I hσ==-； 该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：2312120F Fy y h h=-+==左右第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程2()0x y σσ=∇+==左右 满足相容方程 （4）考察边界条件①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式（2-15），得()()()()-/2/2/2/20,0;0,0yxy y yx y h y h y h y h στστ==-======xylO/2h /2h F 1②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢满足应力边界条件③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效： /2/23/2/212()0h h x x l Nh h F dy lydy F h σ=--=-==⎰⎰/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=⎰⎰2/2/223/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭⎰⎰满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
MN F SF。
