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弹性力学第2章应力分析

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弹性力学 第二章 应力分析

弹性力学 第二章 应力分析

ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，

∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0

∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为

弹性力学的应力分析与优化

弹性力学的应力分析与优化

弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。

在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。

本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。

一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。

应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。

应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。

拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。

拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。

拉应力越大，物体的变形程度越大。

剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。

剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。

剪应力越大，物体的变形程度越大。

压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。

压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。

压应力越大，物体的变形程度越大。

在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。

解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。

数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。

二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。

优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。

优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。

形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。

例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。

形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。

弹性力学第二章

弹性力学第二章

（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0

弹性力学：平面问题02 应力函数解答

弹性力学：平面问题02 应力函数解答

总结：（多项式应力函数 的性质）
（1） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足4 0 。 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加
横截面保持平面 —— 材力中“平面保持平面”的假设成立。
（2） 将下式中的第二式对 x 求二阶导数：
u
M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
1 2v M 常数 说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲
x2 EI
率相同。即
1
2v x2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
要使上式成立，须有
f1( y)
M EI
x
f 2( x)
(e)
式中：ω为常数。 积分上式，得
f1( y) y u0
f2 ( x)
M EI
x2
x
v0
将上式代入式（d），得
u
M EI

清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案

清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案

第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。

可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。

（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。

弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析

弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析

弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析弹性力学是研究物体在变形后能够恢复原状的力学学科。

在实际应用中，很多材料在受力后会发生塑性变形，即不能完全恢复原来的形状。

本文将重点探讨弹性力学中的应力弛豫和塑性变形现象，并分析其原因和应用。

一、应力弛豫应力弛豫是指材料在受力后，其内部应力随时间逐渐减小的过程。

这种现象可以在实验中观察到，常见于高分子材料、液晶等多种物质中。

应力弛豫的形成可以归结为材料内部的结构重排和分子运动。

在弹性力学中，材料受力后会发生分子位移和能量重分布，导致内部结构的变化。

这些变化需要一定的时间来完成，因此材料内部的应力也会随时间逐渐减小。

这种时间相关的应力变化称为弛豫，表现为应力-时间的曲线。

应力弛豫的具体原因可以从分子层面进行解释。

在材料受力后，分子会发生位移和转动，从而改变原有的排列和结构。

这些结构的变化需要时间来完成，直到达到新的力平衡状态。

因此，在应力弛豫过程中，材料内部的分子会经历一系列的位移和调整，导致应力逐渐减小。

应力弛豫对材料的影响是多方面的。

首先，它可以改变材料的物理性质，如导电性、热传导性等。

其次，它还可以影响材料的力学性能，如强度、刚度等。

因此，对于需要长时间保持稳定性能的材料，在设计和选择时需要考虑应力弛豫的效应。

二、塑性变形分析与应力弛豫不同，塑性变形指的是在外力作用下，材料发生的不可逆性变形。

这种变形无法通过解除外力或应力恢复为原始状态。

塑性变形是金属材料等多种材料中常见的力学现象。

塑性变形的发生需要材料达到一定的应力水平，使其超过了其弹性极限。

当材料达到弹性极限后，其内部原子会发生塑性畸变，从而导致整体的变形。

这种塑性畸变包括原子间的位移和滑移等，使得材料的晶格结构变得不规则。

塑性变形的原因可以从晶体结构和材料缺陷两个方面进行解释。

首先，晶体结构本身在受力时会发生弹性和塑性的变化。

其次，材料中的晶界、位错和孔隙等缺陷也会在受力时起到重要作用，促进塑性变形的发生。

2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系【2024版】


S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)

第二章应力分析


内力、外力及截面法
面力：分布在物体表面上各点的外力（风力，流体压力，土
压力和接触力 ）。
内力、外力及截面法
在 P点 周 围 ， 包 含 P点 ， 取 微 小 体 积 元 素 S
设 作 用 于 S的 外 力 为 Q ；
若 S 不 断 减 小 ， 则 Q和 Q / S 都 将 不 断 地 改 变 其 大 小 、 方向和作用点；
同 理 , F y 0, F z 0, 可 得 y 和 z 方 向 结 果 ， 写 在 一 起 为 ：
Y N = l xy + m y + n zy Z N = l xz + m yz + n z
X
N
l
x
m
yx
n
zx
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
2 2 2
yz
2 n l z x
Cauchy公式和上式表明，只要知道物体内一点九个应力 分量，就可以求出过此点任一斜微分面上的应力，同时，九 个应力分量（只有六个独立）完全确定了一点的应力状态。
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态
◆一点的应力分量与所取的坐标系有关，当坐标改变时，同一 点的应力分量表示形式将发生相应的变化，而该点应力状态 不随之变化。
◆ 受 力 平 衡 ： Fx 0
BMC : ABC : x * l * S ; X
N
* S ;
yx
AMC :

* m * S ;
AMB :
MABC :
zx * n * S ;
X V ;
'
应力与应力分量—物体内一点 的应力状态

第二章_应力讲解

第二章 应力分析研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。

第1节 内力和外力1.1 外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。

我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。

1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。

量纲：力/（长度）3。

求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法：X X 2X X 2第2节 应力和应力张量2.1 应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法：过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力）FF -l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。

即n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++==,,1S n P B C S A B C ∆∆∆∆==0)()(=++-V f S t S t i i n ∆∆∆而 S n S t t i i i i ∆∆=-=-,)()(代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ∆∆或 )()(i i n t n t =展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n++= 或n t m t l t t z y x n )()()()( ++=2.1 应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1jxj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1(x 2x 1 x 1(x)x 3,,32S n PAB S n PAC ∆=∆∆=∆同理，得j yj j j z yz y yy x yx y e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==2323222121)()2(jzj j j z zz y zy x zx z e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==3333232131)()3(将法线方向n 取为单位长度，则将式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.讨论：） （ ３３３３３３２２２２２２253.l p l p l p l p ⎪⎪⎪⎭⎪⎬====σσσσ） （2631232221.l l l =++７）＝１ （）（）＋（）　（２３３２２２２2311.p p p σσσ+（1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论


o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x
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或缩写成矩阵形式
（2-4）
p N T N N
其中， 为应力矩阵的转置矩阵。且 ，
T T
（2-5a）
(l , m, n)
N
T
称为斜截面的方向
余弦列阵。 或按下标记法与求和约定写为
pi ij n j
y
x
图 2-5
向的三个分量分别为 p x , p y , p z 。研究微分四面体的平衡，由
F
x
0 得：
p x dA x ldA yx mdA zx ndA 0
两边除以 dA 移项后，并注意应用切应力互等定理，得(2-4)式的第一式， 同理， 根据平衡条件
F
y
x xy xz ij yx y yz zx zy z 式中 i , j x , y , z ，当 i , j 任取 x , y , z 时，就可以得到相应的分量。 实际上, M 点处的六个切应力分量之间有一定的互等关系，例如，将单元体上的作用
正应力 加上一个坐标角码，表明这个正应力的作用面和作用方向。例如： x 是作用 在垂直于 x 轴的面上，沿着 x 轴方向的作用正应力，切应力τ加上两个坐标角码，第一角码 表明作用面垂直于该坐标轴，第二个角码表明应力作用方向沿着该坐标轴。例如， xy 是作 用在垂直于 x 轴的面上，沿着 y 轴方向作用的切应力。 为了使物体同一截面（假设剖开后任意一部分上的截面）上的每个应力分量具有相同 符号，对于各应力分量的符号采用下述规定。 如果单元体截面的外法线方向沿着坐标轴正方向，则此截面成为正面。反之，截面的 外法线方向沿着坐标轴负方向，则称为负面。规定正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者 为正，沿坐标负方向者为负；负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐标轴正方
10
-3
应力分析
面力是指分布在物体表面上的外力。例如，液体压力、风力和接触力等，都是面力， 物体表面上各点所受面力一般也是不相同的，为表明物体表面任意一点 M 所受面力的大小 和方向，在 M 点的邻域内取一包含 M 点的微分面积为 A ，如图 2-1b 所示。设 A 的面力 为 P ， 则面力的平均集度为它的面积为 P / A ， 令 A 无限缩小而趋于 M 点， 则 P / V P 将趋于一定的极限 ，即
xy
y
zy
A
pz x pN
N
yz p x M xzp y B zx
z
MBC ，MCA ，MAB 的面积为 ldA ，mdA ， ndA 。 四面体 MABC 是微分体。因此，可以认
为该微分体各截面上的应力是均匀分布的， 令 截面 ABC 上的总应力为 p N ，它沿坐标轴方
假定单元体各截面上的应力是均匀分布的，这些应力便可用作用在各截面中心点的一 个应力矢量表示。这个应力矢量又可分解为一个正应力和两个切应力，它们分别与三个坐 标轴平行，如图 2-4 所示。显而易见，微分体的六个面上共有九个应力分量，即：
x , xy , xz , yx , y , yz , zx , zy , z
1 2
Q
o
lim
Q p A
(c)
极限矢量 p 就是 m m 截面上 M 点的总应力。 p 的方向与ΔQ 的极限方向一致。 为应用方便， 通常把总应力 p 分解为沿其所在截面的法线方向和切线方向的两个分量， 总应力沿截面法线方向的应力分量称为正应力，以符号 表示。总应力沿截面切线方向的 应力分量称为切应力，以符号τ表示，显然
N l p x m p y n p z N T p N N T T N
将上式展开，并应用切应力互等定理可得
（2-6a）
N l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
(i, j x, y, z )
（2-5b）
式中 i ：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方程中，各项的自由指标应相同。 j ：哑 指标，表示求和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一方面通过哑指标对求和
14
应力分析
起缩写的作用，另一方面通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。 令斜截面 ABC 的正应力为 N ，切应力为 N ，则将 p N 的各分量 p x , p y , p z 向 N 方向 投影即得
dx、dy、dz 无限缩小时，单元体即趋于 M 点。因此，这个单元体各个截面上的应力状况，
就可表示 M 点的应力状态。 σz
z
dx dy dz M
o
z
τzx τyx σy τxy
τzy σx
τyz σy
y
图 2-3
o x
τxz τxz τyz τxy τyx σx τzx τzy σz
图 2-4
y
x
V 0
lim
F F V
(a)
z
fz
V
z F M y
(a)
图 2-1
F
fy
pz
A
P M
P
py
fx
px
o
x
o
x(b)y Nhomakorabea极限矢量 F 就是 M 点所受体力的集度。 F 的方向与 F 的极限方向相同。 F 在坐标 轴 x、y、z 上的投影分别为 f x、f y , 、f z ，称为 M 点的体力分量。规定沿坐标轴正方向的 分量为正，沿坐标轴负方向的分量为负。体力的因次是[力]·[长度] 。
13
应力分析
设截面 ABC 的外法线 N 与各坐标轴正 向的夹角分别为 ( N , x) ，( N , y ) ，( N , z ) ，则 其方向余弦分别为：
z
yx
C
cos( N , x) l cos( N , y ) m cos( N , z ) n
如果三角形 ABC 的面积为 dA ，那么根 据平面图形面积投影定理，可得三角形 o
式（2-2）就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂直的两截面上的切应力大小相 等。于是 M 点处的九个应力分量中只有六个应力分量是独立的即 x , y , z , xy , yz , zx , 。 由这六个应力分量可完全确定该点的应力状态。 应用切应力互等定理，应力张量 ij 又可表示为：
§2.1 基本概念
固体力学研究的对象是在外力作用下处于平衡状态时任意形状的变形固体。作用外力 是指其它物体对该物体的作用力。在固体力学中通常假定外力（荷载）是已知的。 外力的不同作用方式，一般可分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是指分布 在物体整个体积内的外力。例如，物体所受的重力、惯性力以及在磁场中所受的磁力等。 物体内各点所受的体力一般是不相同的。为表明物体内任一点 M 所受体力的大小和方向， 可取一包含 M 点的微分体，它的体积为 V （图 2-1a） V 设上的体力为 F ，则体力的 平均集度为 F / V 。令 V 无限缩小而趋于 M 点时，则 F / V 将趋于一定的极限 F ， 即
x xy xz ij xy y yz xz yz z
可见应力张量是一个对称的二阶张量。
（2-3）
已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力。为此，围绕 M 点用平 行坐标平面的三对平行面截取一微分单元体，再过此单元作一个与 M 点相距为无穷小的任 意斜截面 ABC 。 截面 ABC 和过 M 点的单元体平面形成一个微分四面体 MABC ， 如图 2-5 所示。显然，截面 ABC 上的应力可以认为是过 M 点任意斜截面上的应力。
P P A0 A lim
(b)
极限矢量 P 就是 M 点所受面力的集度。 P 的方向与 P 的极限方向相同。 P 在坐标轴
x、y、z 上的投影分别为 p x ,、p y ,、p z ， 称为
z
Pn
M 点的面力分量。规定沿坐标轴正方向的分量 -2 P p 为正，反之为负，面力的因次是[力]·[长度] 在外力作用下， 物体内部或部分之间将产生 B m “附加内力” 简称为内力。 确定内力的方法是截 A m P M 面法。 A 设一任意形状的物体， 受外力作用时而处于 平衡，如图 2-2 所示，确定任意截面 m m 上 y 某一点 M 处的内力，可用假想的一个平面沿 m m 面将物体截开，分成 A，B 两部分。这两 x 部分在 m m 面上将有内力相互作用。移去 B 图 2-2 部分， 则 B 部分对 A 部分的作用以内力表示。 围 作用于ΔA 上的内力 绕 M 点取一微分面积ΔA， 为ΔQ，则内力的平均集度为ΔQ/ΔA。令ΔA 无限缩小而趋于 M 点，则在内力连续分布的 条件下ΔQ/ΔA 将趋于一定的极取 p ，即：
于是， 0 和 Fz 0 可导出另外两个相类似的平衡方程，
斜截面 ABC 的应力分量 p x , p y , p z 为，
p x x l xy m xz n p y yx l y m yz n p z zx l zy m z n
p2 2 2
应力的因次是[力]·[长度]
-2
（2-1）
§2.2 一点的应力状态
一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力
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应力分析
的总体称为该点应力状态，研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的 大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其 是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。 为研究外力作用下物体内任意点 M ( x, y, z ) 的应力状态，可围绕 M 点用平行坐标面的 三 对 平 行 面 切 出 一 微 分 六 面 体 ， 简 称 单 元 体 或 微 分 体 （ 图 2-3 ） 。当单元体各边长