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一平面简谐波的波动方程

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波动方程举例

波动方程举例


4t - 4 9
20
yD
3 102
cos[4 π t
-
9
5
]
3 102 cos[4 π t ]
5
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
u
T
t=0时x=0处的质点的位移为0，
向正方向运动
y/m t0
0.04
O A
y
π
2
o•
-0.04
p•
0.2
u 0.08m/s
x/m
坐标原点的振动方程为 y 0.04cos[0.4t - ]SI
2
波动方程 y 0.04cos[0.4 t x - ]SI
0.08 2
（2）p点处x = 0.2m,代入上述波动方程
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
2.已知波动方程，求各物理量
例3 波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
1.此波是正向还是反向波，并求 A、n、T、u 及 ；
2. x = 2 m 处质点的振动方程及初相； 3.x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。
解：1.
0.05 cos ( 5 x – 100 t ) 0.05 cos 100 ( t – x )
20
cosa = cosa
正向波
波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
与
y
A cos ( t
平面简谐波__波动方程

平面简谐波__波动方程

若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
波动方程举例

波动方程举例


坐标原点振动表达式为
a y A cos t p u
x a 波动方程 y A cos t p u u
xa A cos t p u
考虑
三、波动方程举例
题目类型 1.已知坐标原点振动表达式 y A cost 及波速 u 和传播方向,求波动方程
平面简谐波的波动方程为
y ( x , t ) A cos ( t t )
x A cos ( t ) u
“—” 波沿 x 轴正方向传播 “+” 波沿 x 轴负方向传 播
0.2 y 0.04 cos[ 0.4 t - ] 0.08 2
0.04 cos[ 0.4t

2
]
x 方法二 设波动方程为 y A cos ( t ) u
A=0.04m u=0.08m/s
2 0.4 T
与
x y A cos ( t ) u
0.05 m 100 0.02 s 500 Hz 0.4 m
比较得
s 20 m ·
-1
2. x = 2 m 处
0.05 cos ( 5×2 – 100 t )
0.05 cos ( 100 t –10 )
初相为–10
如波以波速u沿x轴负方向传播,结果如何？
x-a p所需时间为 t u
振动从B
B点相位
B t p t t t p
波动方程 y A cos t t p


xa A cos t p u
《大学物理》 第二版 课后习题答案 第十章

《大学物理》 第二版 课后习题答案 第十章

习题精解10-1 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是3,,,424λλλλ。

设振源的振动方程为cos 2y A t πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1） 122,2,2xxπϕπϕππλλ∆∆∆==∆==3432,222x x πϕπϕππλλ∆∆∆==∆== （2）112233440,,2223,222πππϕϕϕϕππϕϕπϕϕπ=-∆==-∆=-=-∆=-=-∆=-（3） 1212343411,,,24223,,,242t T T t T T t T T t T Tϕϕππϕϕππ∆∆∆==∆==∆∆∆==∆==10-2 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为21.010m -⨯，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1400u m s -=∙的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。

解 根据题意可知，波源振动的相位为32ϕπ= 2122200, 1.010,4000.01A m u m s T ππωπ--====⨯=∙ 波动方程231.010cos 2004002x y t m ππ-⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10-3 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。

解 （1）比较系数法 将波动方程改写成0.05cos10 2.5x y t m π⎛⎫=-⎪⎝⎭与cos x y A t u ω⎛⎫=-⎪⎝⎭比较得1120.05;10;0.21015; 2.5;0.5A m T s v s u m s u T m Tπωππλ--=======∙=∙=（2）各质元的速度为()10.0510sin 410v x t m s πππ-=⨯-∙ 所以1max 0.0510 1.57()v m s π-=⨯=∙ 各质元的加速度为()220.05(10)cos 410a x t m s πππ-=-⨯-∙ 所以22max 0.05(10)49.3()a m s π-=⨯=∙10-4 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图10.1所示。

机械波一章习题解答

机械波一章习题解答


离变化，且两波的强度都是 I，则在 S1 和 S2 连线上 S1 外侧和 S2 外侧各点，合成
波的强度分别是：［
］
(A) 4I，4I。
(B) 0，0。
(C) 0，4I。
(D) 4I，0。
r2
r1
S2
Q
P
S1
3λ
r2
4
r1
题解 13―12 图
解：见图示，两波源在它们的连线上任一点的位相差为
2π
πHale Waihona Puke 2π∆ϕ = (ϕ2 − ϕ1 ) − λ (r2 − r1 ) = − 2 − λ (r2 − r1 )
在 S1 和 S2 连线上 S1 外侧的任一点 P 有
∆ϕ
=
π −
−
2π
⋅
3λ
=
−2π
2 λ4
因此，点 P 的振动是加强的，该点合成波的强度满足
IP
=
⎛ ⎜
AP
2
⎞ ⎟
=
⎛ ⎜
2
⎞ ⎟
2
=4
I ⎝ A ⎠ ⎝1⎠
所以(B)和(D)也可以被排除，所以最后应当选择答案(C)。事实上，因 a、b 两点
相距为 λ 4 ，故相应两点的位相差应当是π 2 。
习题 13—2 已知一平面简谐波的波动方程为 y = Acos(at − bx) (a、b 为正值)，
则：［ ］ (A) 波的频率为 a。 (C) 波长为π / b 。
波密介质的反射面，波由 P 点反射。
则反射波在 t 时刻的波形图为：
［
］
解：因为 BC 为波密介质的反
Y
0
–A
Y A
0 (A)
Y A
5-2平面简谐波的波动方程详解

5-2平面简谐波的波动方程详解


u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
t y A cos[2 π( T
y A cos[2 t
y A cos[ 2
2 x
x ) 0 ] λ

0 ]

(ut x) 0 ] A cos[k (ut x) 0 ]
x y A cos (t ) (沿x轴负向传播) u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 如果原点的
大学物理学 （第3版）
A
O
y
u

初相位不为零
x
x 0, 0 0 A
点 O 振动方程
y0 A cos(t 0 )
波 函 数
x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[ (t ) 0 ] u
2 y G 2 y 2 t x2 2 y E 2 y 2 t x 2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
E为杨氏模量
张紧柔软线绳上传播横波
2 y T 2 y 2 t x 2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速 固体中弹性横波 固体中弹性纵波 张紧软绳中横波
x0 x0 2 π u λ
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
平面简谐波的波动方程

平面简谐波的波动方程


m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y

t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
平面简谐波 波动方程

平面简谐波 波动方程

3
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
机械波一章习题解答

机械波一章习题解答


5m
习题 13―7 图
X(m)
y P = A cos(ω t + ϕ )
由所给的波形图容易得到： λ = 10 m ，A=0.10m，u=20m/s，而振动的圆频率
ω=
2πu 2π × 20 = = 4π rad/s λ 10
因为波是自左向右传播的， 由此可以判断出 P 点在 t=0 时刻正在最大位移一半处 且向 Y 轴负向运动，所以， P 点振动的初位相为 ϕ = π 3 。这样，P 处介质质点 的振动方程为
Y
B P C A PX
0 (B)
习题 13─11
如图所示，为一向右传
Y
0
X
播的简谐波在 t 时刻的波形图，BC 为 波密介质的反射面，波由 P 点反射。 则反射波在 t 时刻的波形图为： ［ ］ 解：因为 BC 为波密介质的反 射面，所以在反射时有“半波损失” ， 故反射波在 P 点引起的振动与入射波 在 P 点引的振动在位相上刚好相反，
(A) y P = 0.10 cos(4πt + π 3) 。 (B) y P = 0.10 cos(4πt − π 3) 。 (C) y P = 0.10 cos(2πt + π 3) 。 (D) y P = 0.10 cos(2πt + π 6) 。 解：设 P 点处的振动方程为
u=20m/s P
y0 = A cos(ω t ′ + φ )
由 t=3s 时的波形曲线可知 A = 2 × 10 −2 m , λ = 20 m，所以
ω = 2πν =
2πu π = rad/s λ 2
t ′ = 0 时，原点处质元处于负的最大位移处，则其位相为 φ = π ，所以，
故 x=0 处的振动方程为
平面简谐波的波动方程

平面简谐波的波动方程

方向的运动情况.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
7-2平面简谐波的波动方程

7-2平面简谐波的波动方程


时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u

物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程


若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0

若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2


பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形

普通物理(一)上06卷含答案

普通物理(一)上06卷含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN苏州大学 普通物理（一）上 课程试卷（06）卷 共6页考试形式 闭 卷 年 月院系 年级 专业 学号 姓名 成绩一、填空题：（每空2分，共40分。

在每题空白处写出必要的算式） 1、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长伸长△l ，这一振动系统的周期为 。

2、一平面简谐波的波动方程为y=0.25cos （125t-0.37x ）（SI ），其圆频率 ω= ，波速V= ，波长λ= 。

3、一飞轮以角速度ω0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为I ，另一个转动惯量为5I 的静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，啮合后整个系统的角速度ω= 。

4、图示水平管子，粗的一段截面积S 1=1m 2，水的 流速为V 1=5m/s ，细的一段截面积S 2=0.5m 2，压强 P 2=2×105Pa ，则粗段中水的压强P 1= 。

5、电偶极矩p 的单位为 。

闭合球面中心放置一电偶极矩为p 的电偶极子则通过闭合球面的电场E 的通量φ= 。

S 1S26、点电荷q 位于导体球壳（内外半径分别为R 1和R 2）的中心，导体球壳内表面电势U 1= 。

球壳外表面U 2= ，球壳外离开球心距离r 处的电势U= 。

7、固定于y 轴上两点y=a 和y=-a 的两个正点电荷，电量均为q ，现将另一个负点电荷-q 0（质量m ）放在x 轴上相当远处，当把-q 0向坐标原点稍微移动一下，当-q 0经过坐标原点时速度V= ，-q 0在坐标原点的电势能W= 。

8、如图所示带负电的粒子束垂直地射入两磁铁之间 的水平磁场，则：粒子将向 运动。

9、长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流I 通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介质。

第三节波 动方程


y y1 y t1 t1 + t
1-5-3
x
x
ut
x
y 1 = A cosω ( t 1 x ) u x y = A cosω ( t 1+Δ t u ) x 令 y 1= y 得： = x +uΔ t 这表示在t 1 时刻x 处的位移y 1， 在经过Δ t 时间 后， 同样的位移发生在 x 处，
一. 平面简谐波的波动方程 y u 参考点O点的振动方程为： y = A cosω t x 任意点（B点）的振动方程 B x o 为： y = A cosω ( t x ) u y表示在波线上任意一点（距原点为 x 处） 质点在任意时刻的位移, 也就是平面简谐波 的波动方程。
... 2 π = 2 ν, ω= T π
1-5-3
λ
质点的振动速度：
.. . 平面简谐波的波动方程为: x y = A cos ω ( t u ) t x ) = A cos 2 ( T π λ π A cos 2 ( x u t ) =
1-5-3
λ
质点的振动速度： v=
y t
.. . 平面简谐波的波动方程为: x y = A cos ω ( t u ) t x ) = A cos 2 ( T π λ π A cos 2 ( x u t ) =
1-5-3 波动方程
1-5-3
一. 平面简谐波的波动方程 y u 参考点O点的振动方程为： y = A cosω t x 任意点（B点）的振动方程 B x o 为： y = A cosω ( t x ) u y表示在波线上任意一点（距原点为 x 处） 质点在任意时刻的位移, 也就是平面简谐波 的波动方程。
x x B点落后O点的时间 u ，落后相位ω u

平面简谐波的波函数

2 x y 0.02cos100 (t ) 200 2

y (m)
t = 0 时波形
u = 200m·-1 s
1
2
3
4
5
x (m
vo
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点 x y 0.02cos100 ( t ) 0 位移
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
物理学
第五版
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
物理学
第五版
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x y A cos 2π T
2
2πx y A cos t
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
物理学
第五版
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5 s 0
2
λ uT 10 m
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 ) cos 2π ( ) 0.5 10
和加速度。 解： u 200 50 Hz 4
A y (m) t = 0 时波形

一平面简谐波的波动方程


5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。 一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
y
u
xa
b
A
oB
B点振动滞后于A点的时间 ：
AP a b
uu
B点振动方程 ：
y B y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t a u b ) + 0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 m T0.5s 0 0
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
yAcost2πx0
y f (x)
令 0 t0C（定值）
则 yAcos2πx0
λuT10m
yAcos[2π(T t x)0]

大学物理 平面简谐波的波函数


17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)

y x v A sin[ (t ) ] t u
分析：
2 3 ( D) 2
( B)

,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
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0 ]
对波动方程的各种形式，应着重从物理意义
上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5-2 平面简谐波的波动方程
三、质点的振动速度和加速度
➢振动速度
v
y t
Asin[(t
x u
)
0
]
➢振动加速度
a
2 y t 2
2 Acos[(t
x) u
0 ]
➢行波的微分方程
AP a b
uu
➢B点振动方程 ：
yB
yA (t
)=Acos[(t
)+0 ]
Acos[(t
ab u
)+0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法二：
y
u
以 B 点 坐 标 x=-b 代 入 波 动 方 程 ，即得B点 振动方程：
x
a
A
b
oB
yB
Acos[(t
ab u
)+0 ]
A o Bx
AP a x
uu
➢P点振动方程 ：
yP
yA (t
)=Acos[(t
)+0 ]
Acos[(t
a
u
x
)+0 ]
波动方程为 ：
y
Acos[
(t
a
u
x)+0]5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法一： ➢B点位于A点 的下游
y
u
xab
A oB
➢B点振动滞后于A点的时间 ：
y
Acos t
2πx
0
y f (x)
令 0 t 0 C（定值）
则
y
A cos
2πx
0
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
20
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3cos 4 π t
P 点位于A点下游
P 点在时间上滞后于A
AP x 5
uu
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
P 点振动方程为：
yP
3cos 4 π(t
)
3cos 4 π(t
x 5) 20
波动方程为：
y 3cos[4 π(t x ) π] 20
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
点C 的相位比点A 超前
yC
3cos(4 π t
2π
AC ]
3cos(4 π t 13 π)
4、已知某两时刻的波形图和T的范围
t 0
t 0.5s
y/m
u 10m / s
10
5 10
O
x/m
10
波动方程？ T 2(s)
5-2 平面简谐波的波动方程
例：一平面简谐波以速度 u 20 m/s 沿x正向传播， 波线上点 A 的振动方程 yA 3cos(4 π t)
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
A
yu
xP
OP
x
动落后 x 。
u
tO
A
xO
P点在t时刻的位移是O点在 t
时刻的位移，即：
yP (t) yO (t )
5-2 平面简谐波的波动方程
yP yO (t ) Acos ωt 0
A cos
t
x u
0
由于P为波传播方向上任一点，因此上述方程能描 述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为
5-2 平面简谐波的波动方程
一、平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐
波沿 x 轴正方向传
y A
u
P
x
播，波速为u ，坐标
O
x
原点 O 处质点的振动
A
方程为
yO Acos t 0
yO表示质点 O 在t时刻离开平衡位置的距离。
5-2 平面简谐波的波动方程
考察波线上P点 (坐标x),P点比O点的振
5
u yA (3102 m) cos(41π0sm1)t 8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
点 D 的相位落后于点 A
yD
3cos(4 t 2
AD ) λ
3cos(4 π 9 π)
5
u yA (3102 m) cos(41π0sm1)t
λ 10 m 8 m 5 m 9 m
5-2 平面简谐波的波动方程
2、已知某时刻的波形图和u 波动方程？
y/m
u 10m / s
10
5
O
10
x/m
10
5-2 平面简谐波的波动方程
3、已知某时刻的波形方程和u 波动方程？
例：已知u=1m/s（沿x轴正向传播）且t=0时刻波 形方程为：
y 2 cos( x )
3
5-2 平面简谐波的波动方程
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3m
T 0.5 s 0 0
λ uT 10 m
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
x
y 3cos 4π(t )
u
（3）P点振动方程 ： yP yA (t )
5-2 平面简谐波的波动方程
例：已知A点振动方程为 ：
y Acos(t 0 )
试求（1）波动方程； （2）B点的振动方程。
y
u
xab
A oB
5-2 平面简谐波的波动方程
解：（1）在坐标轴上选取P点
y
u
➢P点位于A点 的下游
x a bP
➢P点振动滞后于A点的时间 ：
沿 x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。
5-2 平面简谐波的波动方程
利用 2π 2πν 和 uT
T
可得波动方程的几种不同形式：
y
A cos
t
x u
0
A
cos
2π
t T
x
0
A cos t
2πx
0
5-2 平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理含义
1、x 一定，t变化
y
2 y x2
1 u2
2 y t 2
5-2 平面简谐波的波动方程
四、波动方程的确定
1、已知波线上某点的振动方程 ➢问题转化为：
波动方程？
从已知点（A点）振动方程
波线上任意点（P点）振动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
➢思路：
在波线任取一点P（坐标为x);
（1）P点位于A点
上游？ 下游？
（2）P点滞后（超前）A点的时间 ： AP
A
cos
t
2πx
0
令
0
2π
x
0
y f (t)
5-2 平面简谐波的波动方程
则 y Acost 0
y
表示x点处质点的振动方 O
t
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA 3cos 4 π t
B
C
2π
xB
xC
2π
8 10
1.6π
C
D
2π
xC
xD
2π
22 10
4.4π
u
λ 10 m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
10m
Dx
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。
一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
y
u
O
x
5-2 平面简谐波的波动方程
➢沿x轴负方向传播的波动方程
y
u
A
P
x
O
x
A
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
➢平面简谐波的波动方程一般形式
y
A cos[ (t
mx) u