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一元线性回归模型及参数估计

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第一课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计

第一课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计

解析 由题意得－x＝3＋4＋4 5＋6＝4.5， －y＝25＋30＋4 40＋45＝35. ∵回归直线方程^y＝b^x＋a^中b^＝7，∴35＝7×4.5＋a^，解得a^＝3.5， ∴^y＝7x＋3.5. ∴当 x＝10 时，^y＝7×10＋3.5＝73.5(万元)． 答案 73.5
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
x2i
4
16
25
36
64
－x＝5，－y＝50，i＝∑5 1x2i ＝145，i＝∑5 1xiyi＝1 380
5
∑xiyi－5－x
－
y
于是可得，b^＝i＝15
∑xi2－5－x 2
【训练2】 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四 次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个) 加工的时间y(h)
23 2.5 3
45 4 4.5
(1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出y关于x的线性回归方程； (2)试预测加工10个零件需要多少时间？
4
解 (1)由表中数据，得∑xiyi＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5， i＝1
【迁移2】 (变条件，变设问)本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是 7，估计机器的转速． 解 因为 y＝5710x－67，所以当 y＝7 时，7＝5710x－67，解得 x≈11，即估计机器的转速约为 11 转/秒．

第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计

第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
√B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
解析 因为经验回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80， 即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.
1234
x6
8
10
12
y23
5
6
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程y^
＝b^ x＋a^ ；
解 x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，
4
x2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
i＝1
4
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋14－10×8×2＝24，
i＝1
则b^ ＝8204＝0.3， a^ ＝ y －b^ x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为y^ ＝0.3x－0.4.
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； 解 由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关.
随堂演练
一、一元线性回归模型与函数模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线_性__回__归__
模型，其中，Y称为 因变量 或 响应变量 ，x称为 自变量 或 解释变量 ；
a和b为模型的未知参数，a称为 截距参数，b称为 斜率 参数；e是Y与bx＋a
i＝1
b^ ＝15384－4－4×4×9×924＝2104＝0.7，a^ ＝ y －b^ x ＝4－0.7×9＝－2.3，
故经验回归方程为 y^ ＝0.7x－2.3.

§2.2 一元线性回归模型的参数估计

§2.2 一元线性回归模型的参数估计
i i 2 i
β 0 = Y β1 X
例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 ：在上述家庭可支配收入-消费支出例中， 于所抽出的一组样本数， 于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的 进行。 表2.2.1进行。 进行
表 2.2.1 数 计 计 参 估 的 算表
Xi
Yi
xi
1
的样本方差： 2 = σ 2 x 2 / n ( x x )2 ∑ i ∑ i β0 Sβ
0
β1 =
∑x y ∑x
i 2 i
i
5769300 = = 0.777 7425000
β 0 = Y β 0 X = 1567 0.777 × 2150 = 103.172
因此，由该样本估计的回归方程为：
Yi = 103.172 + 0.777 X i
三、最小二乘估计量的性质
（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 ）线性性， 函数； 函数； （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总 ）无偏性， 体的真实值； 体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量 ）有效性， 中具有最小方差。 中具有最小方差。
中，最小二乘估计量 β 0 、 β1 具有最小方差。
（2）证明最小方差性
β 1* 是其他估计方法得到的关于β1 的线性无偏估计量： 假设
β 1* = ∑ ci Yi
其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数 则容易证明
var(β 1* ) ≥ var(β 1 )
同理，可证明β0 的最小二乘估计量 β 0 具有最的小方差
-973 1314090 1822500 947508 640000 352836 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 -445 334050 562500 198381 1960000 1258884 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 28 4140 22500 762 5290000 2544025 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448

一元线性回归模型及参数估计

一元线性回归模型及参数估计
可见，在满足一系列根本假设的情况下， 模型构造参数的最大或然估计量与普通最 小二乘估计量是一样的。
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。
解或然方程
sm2
L*
= n
2sm2
+1
2sm4
S(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
=0
即可得到sm2的最大或然估计量为：
sˆm2
1 =nS(Yi
bˆ0
bˆ1Xi)2
s P (Y i)=
1 e2s 1m 2(Y ibˆ0bˆ1X i)2 2
i= 1,2,… ,n
因为Yi 是相互独立的，所以 Y 的所有样本观测值的联合概率， 也即或然函数(likelihood function)为：
L(bˆ0,bˆ1,sm2) = P(Y1,Y2,,Yn)
=
1
e 1 2sm2
S(Yi
，当
Q对
b$ 、 0
b$ 的一阶偏导数为 1
0 时， Q 达到最小。即
Q
bˆ 0 Q
bˆ1
=0 =0
(
( bˆ
bˆ
0
0 +
+ bˆ1 X bˆ1 X i
i
Yi ) Yi ) X
= i
0 =
0
SYi SYi X i
= nbˆ0 + bˆ1SX i
=
bˆ0 SX i
+
bˆ1S
X
2 i
解得：
bˆ0 = Y bˆ1X
bˆ1
=
nSYi Xi SYiSXi nSXi2 (SXi )2
由于
bˆ 0
、bˆ 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为 1

2.2 一元线性回归模型的参数估计

2.2 一元线性回归模型的参数估计

于是，Y的概率函数为
P(Yi ) = 1
− 1 2σ
2
ˆ ˆ (Yi − β 0 − β1 X i ) 2
σ 2π
e
（i=1,2,…n）
4/29/2012
14
因为Yi是相互独立的，所以的所有样本观测值的联 合概率，也即或然函数(likelihood function) 或然函数(likelihood function)为： 或然函数
§2.2 一元线性回归模型的参数估计
一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 参数的普通最小二乘估计（OLS） 参数估计的最大或然法(ML) 三、参数估计的最大或然法(ML) * 四、最小二乘估计量的性质 五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计
4/29/2012
1
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
4/29/2012
-973 1314090 1822500 947508 -929 975870 1102500 863784 -445 334050 562500 198381 -412 185580 202500 170074 -159 23910 22500 25408 28 4140 22500 762 402 180720 202500 161283 511 382950 562500 260712 1018 1068480 1102500 1035510 963 1299510 1822500 926599 5769300 7425000 4590020

一元线性回归分析

一元线性回归分析

一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。

本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。

1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。

通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。

1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。

2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。

- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。

- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。

- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。

3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。

3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。

根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。

3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。

通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。

3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。

常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。

4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。

计量经济学第二篇一元线性回归模型

第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。

其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。

上模型可以分为两部分。

（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。

图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。

以收入与支出的关系为例。

假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。

但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。

所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。

“线性”一词在这里有两重含义。

它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。

1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。

所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。

随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。

回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。

2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。

一元线性回归模型的参数估计及性质


(i 1, , n) 为用样本的到的一元线性回归函数，最小二乘法就是使
n i 1
估 计 模 型 与 真 实 模 型 之 间 偏 差 平 方 和 （ 残 差 平 方 和 i ） 达 到 最 小 时 的
ˆ ,b ˆ (b 0 1 )去估计真实参数(b0 , b1 ) 。
令
i 1
ˆ ,b ˆ ˆ ˆ ˆ i Q(b 0 1 ) ( yi yi ) ( yi b0 b1 xi )
2 2 2
i 1
ˆ b ˆ x b ˆ b ˆ x) ˆ i ) ( yi y ) ( y ˆ i y ) ( y i y ) (b i ( yi y 0 1 i 0 1 ˆ 2 ( x x ) 2 lyy (lxy ) lxx lyy (lxy ) ( yi y ) 2 b 1 i lxx (lxx ) 2 ˆ 2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 b
②若 ei ~ N (0, 2 ) ，有
i
n 2
i 1

2
~ 2 (n 2)
③“残差” i 是随机误差的一种反应，如果在模型正确的前提下，“残差” i 应该是杂乱无章 没有规律性的，如果呈现出某种规律性，则可能是模型中某方面的假定与事实不符。
四、拟合优度——可决系数 R
2
（一般模型）
ˆ y b ˆ 也是 y 的线性组合。 ˆ x ，所以出 b ˆ 是 y 的线性组合，又 b 可以看出 b 0 0 1 i i 1
还有 ki
( xi x ) ( xi x ) ( xi x ) ( xi x ) xi 0 ； ki xi x 1. 2 2 2 i ( xi x ) ( xi x ) ( xi x ) ( xi x ) xi

一元线性回归模型的参数估计实验报告

一元线性回归模型的参数估计实验报告一、实验目的通过实验了解一元线性回归模型，理解线性回归模型的原理，掌握回归系数的计算方法和用途，并运用Excel对一组数据进行一元线性回归分析，并解释拟合结果。

二、实验原理1.一元线性回归模型一元线性回归模型是指只有一个自变量和一个因变量之间存在线性关系，数学为：`Y = β0 + β1X + ε`其中，Y表示因变量的数值，X表示自变量的数值，β0和β1分别是系数，ε表示误差项。

系数是待求的，误差项是不可观测和无法准确计算的。

2.回归系数的计算方法回归系数通常使用最小二乘法进行计算，最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。

具体计算方法如下：（1）计算X的平均值和Y的平均值；（2）计算X和Y的样本标准差；（3）计算X和Y的协方差以及相关系数；（4）计算回归系数β1和截距β0；三、实验步骤1.导入实验数据将实验数据导入Excel，并进行清理。

2.绘制散点图在Excel中绘制散点图，判断是否存在线性关系。

3.计算相关系数通过Excel的相关系数函数计算出X和Y的相关系数。

通过Excel的回归分析函数计算出回归方程。

5.分析结果分析回归方程的拟合程度以及回归系数的意义。

四、实验结果1.数据准备通过Excel的回归分析函数，计算出回归系数为β0=1.1145，β1=2.5085，回归方程为`Y=1.1145+2.5085X`，如下图所示：（1）拟合程度：相关系数为0.870492，说明自变量和因变量之间存在一定的线性关系，回归方程的拟合程度较好。

（2）回归系数的意义：截距为1.1145，表示当自变量为0时，因变量的值为1.1145；回归系数为2.5085，表示自变量增加1个单位，因变量会增加2.5085个单位。

一元线性回归模型的参数估计

ˆ ˆ ∑ ( β 0 + β1 X i − Yi ) = 0 ˆ ˆ ∑ ( β 0 + β1 X i − Yi ) X i = 0
(2.2.4） (2.2.5)
或
ˆ ˆ ΣYi = nβ 0 + β1ΣX i 2 ˆ ˆ ΣYi X i = β 0 ΣX i + β1ΣX i
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。 是不同的
解或然方程
∂ * n 1 ˆ ˆ L =− 2 + Σ(Yi − β 0 − β 1 X i ) 2 = 0 2 4 ∂σ µ 2σ µ 2σ µ
2 σ µ 的最大或然估计量为： 即可得到
1 ˆ ˆ ˆ2 σ µ = Σ(Yi − β 0 − β 1 X i ) 2 = n
于是， Yi 的概率函数为
P (Yi ) = 1
− 1 2σ µ
2
ˆ ˆ (Yi − β 0 − β1 X i ) 2
σ 2π
e
i=1,2,…,n
因为 Yi 是相互独立的， 所以 Y 的所有样本观测值的联合概率， 也即或然函数 或然函数(likelihood function)为： 或然函数
ˆ ˆ 2 L( β 0 , β1 ,σ µ ) = P(Y1 , Y2 ,⋅ ⋅ ⋅, Yn )
解得模型的参数估计量为：
ˆ ΣX i2 ΣYi − ΣX i ΣYi X i β 0 = nΣX i2 − (ΣX i ) 2 ˆ β 1 = nΣYi X i − ΣYi ΣX i nΣYi 2 − (ΣX i ) 2
可见，在满足一系列基本假设的情况下， 可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参 数的 最大或然估计量 与 普通最小二乘估计量 是相同 的。
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在满足 基本假设：
E(mi ) = 0 Var (mi ) = s m2 Cov (mi , m j ) = 0 Cov ( xi , mi ) = 0
i=1,2, … ,n j=1,2,
期望或均方值 同方差 协方差
… ,n i ≠ j
的情况下，随机抽取 n 组样本观测值 Yi , X i （ i=1,2, … n），就 可以估计模型的参数。
b b Q = i = n 1 (Y i Y ˆ i)2= i = n 1 (Y i (ˆ0+ˆ1 X i)2 )最小
一元线性回归模型及参数估计
由于
Q
=
n (Yi
Yˆi
)
2
=
n
(Yi
( bˆ0
+
bˆ1 X i )) 2 是
b$ 0
、
b$ 1
的二次函
1
1
数，并且非负，所以其极小值总是存在的。 根据极值存在的
i= 1,2,… ,n
一元线性回归模型及参数估计
因为Yi 是相互独立的，所以Y 的所有样本观测值的联合概率，
也即或然函数(likelihood function)为：
L(bˆ0,bˆ1,sm2) =P(Y1,Y2,,Yn)
=
1
e1 2sm2
S(Yi
bˆ0bˆ1Xi
)2
n
(2)2
smn
将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的 极大或然估计量。
一元线性回归模型及参数估计
模型参数估计的任务
• 模型参数估计的任务为两项：
一是求得反映变量之间数量关系的结构参数的估计量，
在一元线性回归模型即是参数
b0
和b 1
的估计量；
二是求得随机误差项的分布参数，由于随机误差项
的均值已经被假定为0，所以所要求的分布参数只有
方差
s2 m
。
一元线性回归模型及参数估计
一元线性回归模型及参数估计
但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。
2.用离差形式的数据xi，yi计算
e
2 i
简捷公式为
其中
ei2=yi2bˆ1 2xi2
yi2= (Y iY)2= Y i2nY2 xi2= (X iX)2= X i2nX2
一元线性回归模型及参数估计
2、最大似然法（ Maximum Likelihood, ML）
• 最大或然法，也称最大似然法，是不同于最小二乘
一元线性回归模型及其参数估计
一、一元线性回归模型的参数估计 二、最小二乘参数估计量的统计性质 三、最小二乘参数估计量的概率分布
一元线性回归模型及参数估计
一、一元线性回归模型的参数估计
一元线性回归模型及参数估计
一元线性回归模型的一般形式
一元线性回归模型的一般形式 是：
Yi = b 0 + b1 X i + m i i=1 ， 2，…， n
法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发 展起来的其它估计方法的基础。
• 基本原理： 对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本
观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型总体 中抽取该n组样本观测值的联合概率最大。
一元线性回归模型及参数估计
对于一元线性回归模型：
Yi = b0 +b1Xi +mi
一元线性回归模型及参数估计
随机误差项方差的估计量
记 ei = Yi Yˆi 为第i个样本观测点的残差，即被 解释变量的估计值与观测值之差，则随机误差项方
差的估计量为：
s$m2
=
Sei2 n2
一元线性回归模型及参数估计
1.用原始数据（观测值）Xi，Yi计算 ei2 简捷公式为
b b e i 2 = Y i2 ˆ0 Y iˆ 1 Y iX i
1、普通最小二乘法 （Ordinary Least Square, OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi），i=1,2,…n，假如 模型参数估计量已经求得，并且是最合理的参数估 计量，那么样本回归函数应该能够最好地拟合样本 数据，即样本回归线上的点与真实观测点的“总体 误差”应该尽可能地小。
最小二乘法给出的判断标准是：二者之差的平方和 最小，即
=0 =0
一元线性回归模型及参数估计
解 得 模 ˆ0ˆ1 = = S X n n n S i2 S S Y S Y X iY X ii2 i2i S ((S S S X Y X X iiS S ii)Y )X 2 2 iX i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计 量是相同的。
条件
，当
Q对
b$ 、 0
b$ 的一阶偏导数为 1
0 时， Q 达到最小。即
Q
bˆ 0 Q
bˆ1
=0 =0
(
( bˆ
bˆ
0
0 +
+ bˆ1 X bˆ1 X i
i
Yi ) Yi ) X
= i
0 =
0
SYi SYi X i
= nbˆ0 + bˆ1SX i
=
bˆ0 SX i
+
bˆ1S
X
2 i
(deviation form)
记
X Y xi
= = =
1 n
X
i
1 n Yi
Xi X
，
yi = Yi Y
则参数估计量可以写成：bˆb0ˆ1==Yxxibiˆ2y1iX
注：在计量经济学中，往往以大写字母表示原始数据 （观测值），而以小写字母表示对均值的离差 （deviation)。
i=1,2,…n
随机抽取n组样本观测值Yi,Xi （i=1,2,…n），假如模型的参数
估计量已经求得到，为b$0 和b$1 ，那么Yi 服从如下的正态分布：
Yi ～N(bˆ0 +bˆ1Xi ,sm2)
于 是 ， Y i的 概 率 函 数 为
s P (Y i)=
1 e2s 1m 2(Y ibˆ0bˆ1X i)2 2
一元线性回归模型及参数估计
由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极 大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：
L *=ln L )(
= nln2 (sm)2 s 1m 2S (Y ibˆ0bˆ1X i)2
对L*求极大值，等价于对S(Yi bˆ0bˆ1Xi)2 求极小值:
bbˆˆ10S S((Y Yii bbˆˆ00 bbˆˆ11X Xii))22
一元线性回归模型及参数估计
解得：
bˆ0 = Y bˆ1X
bˆ1
=
nSYi Xi SYiSXi nSXi2 (SXi )2
由于 bˆ0 、bˆ1 的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为 最小二乘估计量 (least-squares estimators) 。
一元线性回归模型及参数估计
最小二乘参数估计量的离差形式