应用均值不等式应注意的两个条件_胡其明

例谈应用均值不等式要注意的问题
应用均值不等式时，要注意以下几个问题：
1.指定正确的变量：应该选择满足均值不等式要求的变量，否则就会得出错误的结论；
2.常数项不能过小：加入常数项来引导收敛到最优解，如果常数项过小，就会使迭代不收敛；
3.允许噪声：当作为替代均值平方误差时，允许噪声，可以更好地拟合实际数据；
4.避免异常值的影响：应该避免异常值的干预，这样可以保证模型对数据的准确性；
5.正确选择梯度方法：采用均值不等式的情况下，要选择适当的梯度方法，以正确反映数据特征。

均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。

它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。

本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。

首先，我们来介绍均值不等式的定义。

均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。

其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。

在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。

对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。

由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。

接下来，我们来证明这三个均值不等式。

首先是算术均值不等式。

对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。

证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。

根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。

所以上述不等式恒成立。

证毕。

其次是几何均值不等式。

对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径第一篇：均值不等式等号成立的常见错误及解决途径均值不等式等号成立的常见错误及解决途径湖北省郭松不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。

由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。

一、常见错误１.不能正确判断公式中的a,b例1：已知x∈(0,值？错解：y=x(1-2x)=当x=1-2x即x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x+1-2x212x(1-2x)≤()= 22281时等号成立31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。

解答应为当2x=1-2x,当x=立2.错误理解a=b时等号成立例2：已知函数y=x+1(x∈R)求函数的值域错解：y=x+1≥2x,当x=1时等号成立，故y≥2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。

首先y=x+1≥2x,当x=1时等号成立是正确的。

但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=2222+15时y=>1=2x。

如右图，我们可以 24发现y=x+1≥2x，当x=1时等号成立。

但正确解答为y>1二、解决途径1.利用单调性例3：已知函数y=sinx+解：Θ函数y=x+24,求函数的值域sin2x42在x∈(0,2)函数单调递减，且044∴函数y=sin2x+2≥1+=5 1sinx∴ y∈[5,+∞)因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。

函数y=x+a(a为正常x数,x>0)。

x∈（0，a函数单调递减，x∈]a,+∞函数单调递增。

利用函数的单调性证)明不等式是证明不等式的一种通法。

理论上说不等式都能用函数单调性解答。

2.通过配系数同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx≥5 ≥22sinxsinx413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+≥≥5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键3.利用换元法例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值错解：10= a+b+m+n≥2（am+bn）得：am+bn≤5显然等号不能成立正解：设：a=sinα,b=cosα,m=3sinβ,n=3cosβ得am+bn=3cos(α-β)≤34.构造向量利用向量的性质z1z2≥z1z2同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得z1z2=am+bn≤z1z2=a2+b222222222m2+n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。

应用均值不等式求最值的技巧江山中学 杨作义利用均值不等式求最值是高考的热点问题之一，这类问题主要包含两种情况——“和定积最大，积定和最小”，即已知某些变量（变量为正数）的积为定值时，求和的最小值；已知某些变量（变量为正数）的和为定值时，求积的最大值．在解题时，要遵循“一正（各项或各因式均为正值）、二定（和或积为定值）、三相等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件）”的原则．但高考一般很少直接考查均值不等式的应用，而是需要同学们运用凑、拆、拼、添等技巧，对题中的式子进行调整、转化，使其符合应用均值不等式的情景．下面，我们就和同学们谈一谈应用均值不等式求最值的变形技巧．一、添项法如果所求式为a b +的形式，且ab 不为定值，我们可以考虑使用添项法，给原式添上仅符号相反的项（加一项，减一项），使它变为-a c c b ++的形式，注意添项后符合“积为定值”的情景，再根据“积定和最小”的原则求出答案．例1 设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解析：因为()()2111=a ab a a b b a b ⋅⋅--并非“定值”，所以不能直接套用均值不等式求解．由于该式的分母中包含了“,()ab a a b -”，如果添项后，新增的项和原有的项相乘能消去分母，得到定值，就能用均值不等式解决问题．()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++-＝11()()ab a a b ab a a b ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦≥2＋2＝4,当且仅当1=ab ab 且1()=()a a b a a b --时等号成立．结合0a b ＞＞，解得a =, 2b =.选D. 评注：通过添项，把原式各项之积变为定值是求解例1的关键．在使用添项法时，关键是要明白添什么项，以“谁”为“基准”，才能使代数式的积为定值．比如例1中分别以分母ab 与()a a b -为“基准”，通过添、配、凑，使原式变为11()()ab a a b ab a a b ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦的形式，根据“积定和最小”的原则求出了和的最小值． 一般来说，对于添项后属于“a x x+型”的求最值问题，我们不妨用此法一试． 二、拆项法当所求式子不具备两项和（或积）为定值或者虽有定值但等号不成立时，可采用裂项均分的方法，将项拆开并与代数式中的其他项重新组合，使其满足“一正、二定、三相等”的条件．例2 函数222πcos πcos 2y x x k k x ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，的最小值是________．解析：例2乍一看可以直接用均值不等式求解：222cos cos y x x =+≥=，即min y =222cos =cos x x ，由此可得2cos x =这是不成立的．因此这种解法取不到“等号成立”的条件． 拆项得22211cos cos cos y x x x⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为ππ()2x k k ≠+∈Z ，所以20cos 1x <≤，211cos x ≥（①）, 当2cos 1x =时等号成立．又221cos 2cos x x +≥（②），当且仅当221cos cos x x =即2cos 1x =时等号成立．①②两式同时取等号，可得min 213y =+=．评注：例2告诉我们，在用均值不等式求最值时，既要考虑能取到定值，又要考虑能取到等号，为实现“一正、二定、三相等”达成完美的统一．在例2中，我们之所以会想到把22cos x 一分为二，是因为2cos x ⋅21cos x 的积为定值，且此时cos x 有解．三、换元法对于一些多元条件的求最值问题，可以考虑使用化多元为一元的方法，将所求目标化为一元函数，再利用均值不等式求解．如果条件中存在或通过化简能得到一个和为1的代数式，而要求的是一个含有相同变量的代数式的最小值，可将和为1的代数式与目标式相乘，变形后再利用均值不等式求解．如果目标式含有分式且分母形式复杂,可以考虑用一元未知数替换分母，将问题转变为分母为一元未知数的问题再求解．例3 [2011年高考数学浙江省（文科）第9题]若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（A ）245 （B ）285（C ）5 （D ）6 解析：本题虽然没有直接列出一个代数式的和为1的条件，但由35x y xy +=可得11315y x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以可以整体代换“1”．由35x y xy +=可得135y x +=，即11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以11313121334(34)555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132555⨯=.选C ． 本题还可以直接采用消元法求解： 用x 表示y ，再分离常数，结合均值不等式求解． 由35x y xy +=可得0,53x y x =>-所以35x >． 所以431213343335355255x x y x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭1355≥=． 当且仅当312335255x x ⎛⎫-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭即1x =时，等号成立．选C ．例4 已知,a b 都是负实数，则2a b a b a b+++的最小值是____________. 解析：例4的分式中分母是多项式，两项相乘不为定值，若能将分母转化为单项式，则有助于问题的解决． 因为,a b 都是负实数，设2,,m a b n a b =+=+ 可得2,a n m b m n =-=-．因为,a b 都是负实数，所以0,0m n <<，所以0n m >．所以222222a b n m m n n m a b a b m n m n --+=+=+-≥=++． 评注：例4也采用了换元法，但它的巧妙之处在于用m 替换了分母2a b +，用n 替换了分母a b +,使分母由多项式变成单项式,这种逆向思维使化简更为简便，计算更简单．四、构造法如果一些条件式经过变形改造，如取倒数、平方、因式分解等，出现和（或积）是定值，我们可以把目标式相关的项巧妙地组合在一起，使变形后目标式与条件式相对应，创造符合使用均值不等式的情景．有些问题，我们还可以利用均值不等式具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，构造出含目标式（组合在一起视作一变元）的不等式，通过解不等式使问题获解．例5 已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是（A ）3 （B ）4 （C ）92 （D ）112解析：观察条件式228x y xy ++=和目标式2x y +，如果对条件式进行因式分解，将它变形为(1)(21)9x y ++=的“积”式，再将该“积”式变为()()1+21x y ++的“和”式，便可利用均值不等式求出最小值．由228x y xy ++=可得(1)(21)x y ++=，所以(1)(2(21)6x y ++++=，即24x y +≥．当且仅当121,228x y x y xy +=+⎧⎨++=⎩时等号成立，解得2,1.x y =⎧⎨=⎩所以2x y +的最小值是4，选B ． 评注：由于所求式的形式为“和”式（如例5中的2x y +），所以我们应尝试从条件中寻找和目标式系数相等的、具有定值的“积”式.如果对条件式重新进行组合，构造出对应的“和”式（如例5中的()()1+21x y ++），就能实现 “积定和最小”的目标．这正是此类问题的思考方向．例6 （2011年浙江省高考题）设,x y 为实数．若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是__________.解析：因所求最值的式子是“和”式，所以利用均值不等式化条件式中的“积”为目标式中的“和”，得到一个关于“和”式的不等式，解出这个“和”式的不等式即可．222233241,(2)31211222x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=∴+=+=⨯+≤⨯+ ⎪⎝⎭()()2mi 82,255x x y x y ∴+≤+=． 评注：利用均值不等式具有“和式”与“积式”相互转化的功能，构造出含有目标式的不等式是突破的关键．这里，我们把目标式“2x y +”视作一个整体．当然，最后还应注意最后的开方，避免出错．如何添项、拆项、换元、构造是不等式求最值问题的难点．要选准方法，关键还是要靠同学们认真分析，灵活应用．其实，所有的配凑变形技巧，都是为了实现“一正、二定、三相等”的条件，使目标“和”与条件“积”对应，目标“积”与条件“和”对应．【练一练】1．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为___________．2．已知0,0a b >>．2a b +=，则14y a b =+的最小值是 （A ）72 （B ）4 （C ）92（D ）5 3．设,x y 均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为________. 【参考答案】 1.32（提示：因为,x a >所以0x a ->，所以22x x a +=-22()x a x a-++≥-)2=a 42a +．由427a +≥解得32a ≥） 2.C （提示：因为2a b +=，所以1414145141()222a b y a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭549222≥+⋅=．当且仅当4a b b a =即2433a b ==，时，等号成立，此时14y a b =+的最小值为92）3.16（提示：整理33122x y+=++得8xy x y =++．因为0,0x y >>，所以88xy x y =++≥+即80xy -≥．当且仅当=4x y =时等号成立，此时xy 有最小值16）———本文发表于《中学生天地》2013第2期。

均值不等式的正确使用及例题均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。

（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。

由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。

（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。

二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ?=，)lg (lg 21b a Q +?=，2lg b a R +=，则（） A ．P R <<="" p="">B. Q P <<="" p="">C. P Q <<="" p="">D. R P <="" 例2.若)0(21="">++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是。

高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。

1. 基本形式。

- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。

- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。

2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。

- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。

二、均值不等式的证明。

1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。

- 方法一：作差法。

- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。

- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 方法二：分析法。

- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。

三、均值不等式的应用。

1. 求最值。

- 类型一：和定积最大。

- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。

专题二高考常考的（不）等式证明及比较类题型总结高中所学的证明（不）等式和比较类的题型很多，本着针对性学习、迅速提高的原则，在这一专题中我们只重点学习几种常考的证明（不）等式和比较类的方法：均值不等式法、数学归纳法、分析法、综合法、比差法、函数相同和向量相等判定的方法. 这些方法是使用全国卷一、二的地区常考的，更是平时各地区考试的热点和重点.学习本专题必备知识点总结：1. 重要不等式：R b a ab b a ∈≥+，其中(222，当且仅当a =b 时，取“=”号） 均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且 a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号） 均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号) 均值不等式的文字表述：n 个正数的算术平均数不小于这n 个正数的几何平均数. 用均值不等式时要注意：一正二定三相等.2. 数学归纳法的适用范围和证明的基本步骤.数学归纳法的适用范围是证明与自然数集有关的代数恒等式、不等式、整除性等命题. 数学归纳法的一般步骤：（1）证明当n 取对应命题适用的第一个自然数n 0时，命题成立；（2）假设n=k(),0*n k N k ≥∈时，命题成立，经过一系列推理得出当n=k+1时命题也成立.（3）由以上两步知所证明命题对所有.0都成立n n ≥数学归纳法的第一步是命题的基础，第二步是递推的依据，第三步是总结说明. 这三步都是必不可少的，但是第二步是证明的关键一步.3. 分析法是指从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备. 可以说，分析法是解决所有问题的一个基本思维方法.其特点为“执果索因”，即从“要证结果”探索“需知条件”，逐步向“已知条件或结果”靠拢.其优点为方向明确、思路清晰、容易掌握、利于思考.4. 综合法是利用已知结果、已知结论和性质推导出所要证明的不等式成立的方法.其特点为“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.其优点为条理清晰、形式简洁、容易表述，其缺点是不易找到解决问题的突破口.5. 分析法和综合法的应用原则：分析法常用于寻找解题思路，然后再用综合法叙述证题过程.当然，有时候这两种方法可以结合在一起用.6. 比差法的基本原则：0)3(0)2(0)1(<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a 用比差法比较两个式子的大小或证明不等式的基本步骤：（1）作差；（2）化简；（3）得结论.利用比差法证明时，关键要牢记作差后化简的目标：（1）常数（2）完全平方式（3）n 个因式乘积或相除的形式.7. 比较几个式子大小时，可以用上述的证明不等式的方法，也可以利用函数单调性（如指数和对数函数当底a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数）以及中间变量的方法（中间变量常取0和1）.8. 比较两个函数是否相同，就是看两个函数的定义域、对应关系、值域（可省略此步骤.因为另两个一样时，值域一定相同）是否相同.但是如果三者中有一个不一样，则这两个函数就不是相同的函数. 9. 如果向量a =(x ,y ),则与它相等的向量的坐标都为（x ,y ），即两个向量的横坐标、纵坐标分别对应相等.这样就可以由向量相等这一个条件列出两个方程，从而最多可以求出两个未知数的值.一、利用均值不等式证明不等式的题型均值不等式是高中常考的重要知识点之一，考查的方式主要是以求最值（值域）或者是证明不等式的形式出现. 本部分主要讲解均值不等式在证明中的应用. 利用均值不等式求最值（值域）与证明的思路、方法类似. 学习本部分首先要牢记以下不等式：重要不等式：R b a ab b a ∈≥+,(222其中，当且仅当a =b 时，取“=”号） 均值不等式：2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. （的几何平均数，叫的算术平均数，叫b a ab b a b a ,,2+且 a ,b>0，仅当a =b 时，取“=”号） 均值不等式的推广公式：33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0，当且仅当a =b=c 时，取“=”号)在用均值不等式的公式时，要时刻注意三点：（1）各项或各因式均为正值；（2）各项的和或者积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值（求最值时一定要考虑）.以上三点简记为：“一正，二定，三相等”.例1.证明下列不等式：).230(1230)4(4610)3()23(73242)2(9111,1),,0(,,)1(3222<<≤-<>++>≥-+≥++=+++∞∈x x x x x x x x cb ac b a c b a 其中证明：；求证：；其中证明：；求证：且已知 证明：)()()(31111)1(c b b c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a c b a c b a ++++++=++++++++=++∴=++ 方法一： ；所以原不等式得证时，取得最小值当且仅当原式..9.91212123),,0(,,c b a c b a ===+++≥∴+∞∈所以原不等式得证；时，取得最小值当且仅当并且方法二：.9.9313)()111(1111),,0(,,33c b a abc abcc b a c b a c b a c b a c b a ===⋅≥++⋅++=++∴=+++∞∈ ..),23(25)(2132432.7342332432324223)2(所以原不等式得证时，等号成立，或舍时，即当且仅当+∞∈==-=-=+≥+-+-=-+∴>x x x x x x x x x ..023,0.2301,23)230(1)323()23()23()23(234...)(2646.442646646610)3(323232222222222组成立由以上证明知原不等式所以又因为）时，取等号，（即当且仅当）（即证原不等式成立；所以等号取不到无解时，但是当>->∈=-=<<=-++≤-⋅∴-⋅=-=--=⇒+=+=≥+++=+++=++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 总结：用均值不等式进行证明时，要注意三点：（1）各项或各因式均为正值；（2）各项的和或者积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值（求最值时一定要考虑）. 只有符合条件时，才能用公式，否则就会得到错误的结论. 这三点中最关键的是通过拆添项或配凑因式进行恒等变形得到定值. 为了得到定值在恒等变形时一定要分成相等的因式，这样才能保证三项相等时方程组有解，从而等号成立的条件满足. 如例1（4）中的.2x x x ⋅分成同理，在练习1（2）中x 要分成22x x +. 练习1.证明下列不等式： (1)已知.2),(2)(≥--+--+>++y x b a b a y x bx ay y x b a 求证：）（ （2）当x >0时，证明：.342≥+x x参考答案：(1) 证明略. (提示：由已知条件变形得.,0))((式的条件成立这样才能保证均值不等>--b a y x ) （2））时，取等号，（即当且仅当∞+∈==≥≥++=+02,42.31342242322x xx x x x x x . 所以原不等式得证.二、利用数学归纳法证明（不）等式的题型数学归纳法是用来证明与自然数集有关的命题的一种方法. 数学归纳法的一般步骤：（1）证明当n 取对应命题适用的第一个正整数n 0时，命题成立；（2）假设n=k(),0*n k N k ≥∈时，命题成立，经过一系列推理得出当n=k+1时命题也成立（3）由以上两步知所证明命题对所有都成立0n n ≥.数学归纳法的第一步是命题的基础，第二步是递推的依据，第三步是总结说明. 这三步都是必不可少的，但是要知道第二步是证明的关键.例2.证明下列各题：(1)用数学归纳法证明：1+4+7+…+(3n-2)=)13(21-n n ; (2)当整数整除能被时，证明多项式1)1(02122++++≥++x x x x n n n .解析：这是两题常见的利用数学归纳法的题型：代数恒等式和整除问题. 只要把握住数学归纳法的一般步骤基本上就没有问题了.（1）证明：①当n=1时，左边=1，右边=1 所以，当n=1时命题成立.②假设当n=k 时命题成立，即1+4+7+…+(3k-2)=)13(21-k k 则当n=k+1时，1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]= )13(21-k k +(3k+1) =]1)1(3)[1(21)23)(1(21)253(212-++=++=++k k k k k k 即当n=k+1时，命题成立.③综合①②知，,1*时命题均成立N n n ∈≥；（2）证明：①当n=0时，.11)1(22122整除能被++++=++++x x x x x x n n .②假设n=k 时命题成立，即整除，能被多项式1)1(2122++++++x x x x k k 那么当n=k+1时，222212221)1(22)1()1()1()1()1()1(+++⋅-+⋅++⋅=++++++++++x x x x x x x x x x k k k k k k)1(])1([)1(221222++-+++=+++x x x x x x k k k.111,)1(22122时命题成立整除都能被+=∴++++++++k n x x x x x x k k③综合①②知，n .0时命题成立，Z n ∈≥.总结：在用数学归纳法证明命题时，首先要明确证明的一般步骤；其次在证明命题对n=k+1也成立时，一定要用假设的条件. 如果没有用到假设的条件，即使证明出了命题成立，这种方法也不能称为数学归纳法. 所以，在证明命题对n=k+1也成立时，要想办法把要证的式子化成可以用假设条件的形式.练习2. 1. 已知等差数列}{；项和求前n n S n d a a )1(.5,1,1==(2)用数学归纳法证明数列}{n S 前n 项和T n =；)25)(1(61-+n n n 2. 证明).(3221*N n n n n ∈>+⋅⋅⋅++参考答案：1.解：(1)直接用等差数列的前n 项和公式易得：.23252n n S n -= （2）证明：①当n=1时，T 1=S 1=a 1=1,右边=右边，等式成立左边==-⨯+⨯⨯,1)215)(11(161. ②假设当n=k 时等式成立，即)25)(1(61-+=k k k T k . ..1]2)1(5[]1)1)[(1(61)35)(2)(1(61)6135)(1(61]9)1(1525)[1(61)1(23)1(25)25)(1(61122211时，等式也成立即当时，当+=-+⋅+++=+++=++=-++-+=+-++-+=+=+=++k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k S T T k n k k k ③综合①②知，对于任意n .*时等式成立N ∈；2.证明：.,3211)1(不等式成立时，当>=n . .,213.1.1)1(321)12(213311)1(32]1)12(2[311)1(321321211,3221)1()2(*不等式成立）知，对一切的）（）根据（（时不等式成立即当时，不等式左边为当时不等式成立，即假设N n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k n k k k k k n ∈+=++>+-+-⋅+++=+--+++=++>+++⋅⋅⋅+++=>+⋅⋅⋅++>= 三、利用分析法证明不等式的题型当我们面对一个不等式的证明没有思路时，可以尝试着从目标不等式倒着分析，在这个过程中往往会发现解题思路，从而达到证明原不等式的目的，这就是分析法. 分析法是从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备. 这种方法是解决问题尤其是较难问题的一个基本的、重要的方法.例3.证明下列不等式：（1）已知a ,b,c ;222ca bc ab c b a R ++≥++∈，求证：（2）已知a ,b b a ab b a R +>+++∈1,22求证：; )4(4321)3(≥---<---x x x x x 求证：.证明：（1）.222ca bc ab c b a ++≥++要证： 即证）（）（ca bc ab c b a ++≥++22222即0)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=+-++-++-c a c b b a c ac a c bc b b ab a （当a =b=c 时，取等号）上面不等式显然成立，并且以上各步均可逆，所以原不等式得证；(2) b a ab b a +>+++122要证： ）（）（即证b a ab b a +>+++21222 即0)()1()1(212122222222>++-+-=++++-++-b a b a b ab a b b a a（因为a -1,b-1,a +b 三式不能同时取零，所以原式只能大于零）上面不等式显然成立. 所以原不等式得证;...64,6545,])2)(3([])4)(1([.)2)(3()4)(1(,)23()41(),4(2341)4(4321)3(222222故原不等式得证这显然成立即即证只需证化简得即证只需证，欲证<+-<+---<----<---+-<-+-≥-+-<-+-≥---<---x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x总结：这种题型的基本思路是严格按照分析法的定义来思考，并掌握利用分析法来做的一些常见常考题型.练习3：（1）)(,222222444c b a abc a c c b b a c b a R c b a ++≥++≥++∈证明不等式：、、（2）.c b a cab b ca a bc c b a ++≥++都是正数，求证：、、设 .15175)3(+>+求证：参考答案：略.提示：（1）（2）两题都可以用例3的方法来做，而且第（2）题还可以用综合法来证明.(3)两次平方化简得一个显然成立的式子：4>从而知原不等式得证.15.四、利用综合法证明不等式的题型综合法是利用已知结果、已知结论和性质推导出所要证明的不等式成立的方法. 其特点为“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.例4.证明下列不等式：.)())((,)2(22233b a b a b a b a +>++求证：是不相等的两个正数，已知证明： ;.8))()((,,.8))()((.2,2,2,0,0,0)1(所以原不等式得证不全等，又因为abc a c c b b a c b a abc a c c b b a ac a c bc c b ab b a c b a >+++∴≥+++∴≥+≥+≥+∴>>>.)())((.2)(,2)(,2,0,0)2(2223322444224222222b a b a b a b a b a b b a ab a b a b a ab ab b a b a b a +>++++>+++∴>+∴>+∴≠>>即且总结：由上面两题的证明我们知道，用综合法证明不等式的核心是利用已有知识（已知或已经成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理. 值得注意的是一个题目可能有;lg lg lg 2lg 2lg 2lg ,,)1(c b a c a c b b a c b a ++>+++++证：是不全相等的正数，求已知多种解法. 例如上面的例4（2）题，用比差法和分析法都可以做出来，例3中的（1）（2）和练习3中的（1）（2）也都可以用综合法来做.练习4：证：是不全相等的正数，求已知c b a ,,abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++.参考答案：.2)(,2)(.2)(,2,022222222abc b a c abc a c b abc c b a bc c b a ≥+≥+≥+∴≥+>同理证明：.2,2,2,,222222原不等式”号，从而三式相加得三式不能全取“以为不全相等的正数，所因为=≥+≥+≥+abb a ac a c bc c b c b a五、利用比差法证明（不）等式或比较式子大小的题型利用比差法证明不等式是高中证明题的一种基本的、重要的方法.我们一定要重点对待这种题型，熟练掌握用这种方法证明的基本原则、基本步骤和需要重点把握的关键之处. 比差法的基本原则：0)3(0)2(0)1(<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a 利用比差法证明时，关键要牢记作差后化简的三个目标：（1）常数（2）完全平方式（3）n 个因式乘积或相除的形式.例5.比较下列各式的大小： ；与；）与（；与；与xx x x x x x x x x x x -+++-+++----32)4(5132)3(1)4(12)2()4)(1()3)(2()1(22324 （5）已知101<<x ,比较的大小；x x x lg lg ,lg ,lg 22（6）设323log ,log log a b c π=== ）A . a b c >>B . a c b >>C . b a c >>D . b c a >>解析：这些式子都是多项式、分式、对数的形式，对于这种形式的比较大小或不等式的证明常用比差法、中间变量法以及函数的单调性来做. ;31.1,3.1,3)1)(3(32]5)1[()32()3(;1)4(120)1(2)12(2]1)4([)12()2();4)(1()3)(2(02)45(65)4)(1()3)(2()1(2223242232422时，前式小于后式当时，前式大于后式或当时，两式相等或当<<--<>-==∴+-=--=++-+-+≥++∴≥+=++=-+-++-->--∴>=+--+-=-----x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ；时，前式小于后式或当时，前式大于后式或当时，两式相等或当）（32,1.3,21.2,13)2)(1(3233242<<<><<==∴---=-+-=--x x x x x x x x x x x x x x;lg lg lg lg 0)lg 2(lg lg lg .001lg lg lg 1lg 010152222x x x x x x x x x x >>>-=-=<⇒<<∴<<所以而且，并且其他两个大于）（(6)22log log log b c <<>2233log log 2log 3log a b a b c π=<∴>∴>>. 故选A .总结：(1) 用比差法比较两个式子的大小或证明不等式的基本步骤：（1）作差；（2）化简；（3）得结论.其中第二步是证明的关键，要明确化简的目标基本上有三个：（1）常数；（2）完全平方式；（3）n 个因式乘积或相除的形式.(2) 当化简后的式子为n 个因式乘积或相除的形式时，这时候常需要用解一元二次不等式或高次不等式的方法进行分类讨论.(3) 要分清函数的单调性，中间变量常选取0和1.练习5.比较下列各式的大小关系:(1)比较的大小；与)52)(1()4)(12(---+a a a a；的大小与，比较已知呢？的大小，如果没有与比较已知a aR a x x x x x -+∈≠+++≠111)3(01)1(,0)2(2422 (4)设2lg ,(lg ),a e b e c ===( )A . a b c >>B . a c b >>C . c a b >>D . c b a >>(5) 若8.0log ,6log ,log 273===c b a π,则( )A . a >b >cB . >>a b cC . c >>a bD . b>c >a参考答案：(1)；)52)(1()4)(12(--<-+a a a a(2) 当时，0≠x 1)1(2422++>+x x x ,当1)1(02422++≥+≠x x x x 条件限制时，没有；(3) 当a =0时，a a -=+111； 当a >0时，a a->+111； a a a ->+<<-11101时，当 ；a aa -<+-<1111时，当. （4） B ； （5） A.六、比较某几个函数、向量是否相同的题型这种题型在高考中时常考到，一般是以小题的形式考查，只要把握住解决这类题的基本方法、原则，基本上不会失分. 比较两个函数是否相同，就是看两个函数的定义域、对应关系、值域（可省略此步骤. 因为另两个一样时，值域一定相同）是否相同. 但是如果三者中有一个不一样，则这两个函数就不是相同的函数.例6.判断下列各组函数是否为同一函数：（1）y =1, ；；；233,)3(,)2(x y x y x y x y x x y =====⎩⎨⎧==<-≥==.ln ,ln 2)5(0,0,|,|)4(2x y x y x x x x y x y ； 解析：(1)(2)两组中的定义域不一样，所以这两组不为同一函数.（3）中的值域不同， 所以也不为同一函数. 只有（2）（4）两组中的定义域、值域、对应关系都一样，它们是同一函数.总结：比较两个函数是否相同，就是看两个函数的定义域、对应关系、值域（可省略此步骤. 因为另两个一样时，值域一定相同）是否相同.但是如果三者中有一个不一样，则这两个函数就不是相同的函数.练习6.判断下列各组函数是否为同一函数： ).1,0(log ,)3(;1,1)2(;1,11)1(22≠>==-=-=+=--=a a a y x y x y x y x y x x y x a 且参考答案：(1)定义域不同；（2）定义域，值域，对应关系都不同；（3）相同.例7.求下列各式的值：（1）若向量=(x -2,3)与向量=(1, y +2)相等，求x ,y 的值；(2) 已知点A （-1，-5）和向量a =(2,3),若AB =3a ，则点B 坐标为 . 解析：例7主要考查两个向量相等的定义，严格按照定义来做，基本不会出错.(1)由两个向量相等的定义知：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=-133212y x y x ； 4,5)9,6(3)5,1(),,()2(==⇒==++=y x a y x AB y x B 则向量的坐标为设点. 所以点B 的坐标为（5,4）.总结：如果两个向量相等，则这两个向量的横坐标、纵坐标分别对应相等. 这样就可以由向量相等这一个条件列出两个方程，从而最多可以求出两个未知数的值.练习7. 求下列各式的值：(1) 已知向量==--+x B A x x x 则点相等，其中点与),2,3(),2,1()43,3(2 ；的值试求实数且有已知向量q p q p ,,),2,3(),1,1(),2,1()2(+=-=-=-=.参考答案：（1）4,1)2(1==-=q p x ；.本专题典型的证明（不）等式及比较类高考真题汇总较容易的基础题：1．已知a ,b,c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（ ）A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D. ac a c ()->02. 如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）A. 11a b<22a b < D. ||||a b > 3．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ）A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b<a <cD ． b <c <a 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 2 5. 的坐标为为坐标原点，则向量）的坐标为点）（已知向量O B y x ,1,2(,,-= .中等难度的提高题：1．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 2. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则（ ） A. a <b<c B. c<b<a C. c<a <b D. b<a <c3. 已知四组函数：.12)(,12)()4();(12)(,12)()3()()(,)()2(;)()(,)()1(2212122--=--=∈+=-=∈====++t t t g x x x f Z n n n g n n f N n x x g x x f x x g x x f n n其中表示同一函数的组别有（ ）A. 没有B. 仅有（2）C. 仅有（2）（4）D. 有（2）（3）（4）4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(y x ,)满足满足的关系式为则且其中y x R ,,1,,,=+∈+=βαβαβα .较难的综合题：1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程 20n n x a x a --= 有一根为1,1,2,3,...n S n -= （I ）求12,;a a （II ）求{}n a 的通项公式.2. 已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．本专题典型的（不）等式证明及比较类高考真题参考答案及部分解析较容易的基础题的参考答案：1. A2. A3. C4. D5. (-2-x ,1-y ).第1题解析：由条件知a >0,c<0,则知选项A 正确. 选项B 中，因为b -a <0,c<0,所以c(b -a )>0.选项C 中，当b=0时不成立. 选项D 易知错误.第3题解析：b a x b a x e x >∴>-=-<<-∈-0ln .0ln 1)1,(1利用比差法知知由.选项正确C ac x x a c ⇒>∴>-=-0)1(ln ln 2 .第4题解析：D C B <∴<<由单调性知选项小的一个为负数，是这四个中最选项.,12ln 0 . 中的值最大所以选项而且D ,0)2ln 1(2ln )2(ln 2ln 2>-=-.中等难度题的参考答案：1. A2. C3. C4. x +2y =5第1题解析：A c b a 选又，易知本题用中间变量法较好∴<∴<<<<>0152sin 0,10,1π.第2题解析：利用函数单调性知，只要比较：的大小即可，，513121532.第3题解析：（1）中的定义域不同；（3）中的对应法则不同；（4）中的自变量虽然用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应法则都相同，所以表示同一函数；（2）易知定义域、...2555,322)2(.93)3(,82)2210515102126313621正确选项）而（而（C a c b a ∴<∴====<∴====值域、对应法则都相同. 所以选C .第4题解析：利用两个向量相等的定义列出方程组，易得答案再根据条件，消去βα,.较难的综合题的参考答案：1. )1(1)2(61,21)1(21+===n n a a a n ； 2.（Ⅰ）1)1nn a ⎤=+⎦；（Ⅱ）见解析. 第1题解析：（1）当n=1时，.21,11,0111112=-=-=--a a S a x a x 代入得有一根为.61,21102222222=-=-=--=a a S a x a x n 代入得，有一根为时，同理，当（2）由题设知.012,0)1()1(22=-+-=----n n n n n n n n S a S S a S a S 即 当(*)012211=+--=≥--n n n n n n S S S S S a n 代入上式得时，..,3,2,1,1.43*.326121,21)1(321211这个结论下面用数学归纳法证明由此猜想）知由（知由⋅⋅⋅=+===+=+===n n nS S a a S a S n①当n=1时已知结论成立. ②假设n=k 时结论成立，即,21*1,11kk k S S k n k k S -=+=+=+）得时，由（当 .1.211时结论也成立故即+=++=+k n k k S k ③由①②知.1都成立对所有正整数n n nS n +=于是当.)1(11121+=--+=-=≥-n n n n n n S S a n n n n 时， }{).,3,2,1()1(1,2112111⋅⋅⋅=+=⨯===n n n a a a n n n 的通项公式为所以时，又因为第2题解析：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(22n a =-即11)(n n a a +=．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，所以1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =时，因2，112b a ==，11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=-+(3)(2)23k k b b -+-=+(3)(2)023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -≤，123n =，，，…。

例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“121212,,,,nn n n a a a a a a R a a a n++++∈≥若则当且仅当n a a a === 21(2)n n N ≥∈且时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。

（1） 注意“正数”例1、求函数1y x x=+的值域 .误解：12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以值域为[)2,+∞. 这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：1()0,2(1)a x x x x >+≥==当时仅当时取等号；11()0,0()()2(1)2b x x x x x x x<->-+-≥==-∴+≤-当时而仅当时取等号所以函数的值域是{}22y y y ≤-≥或. （2） 注意“相等”例2、设+∈R x ，求函数213x x y +=的最小值. 误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x x x x y R x . 这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要212x x x ==，这样的x 不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y ==⋅⋅≥++=. 所以2183,3183min 3==y x . 例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222.误解：2222222219,()(1)2222a xb y ax by ax by a b x y ++≤≤∴+≤+++=所以by ax +的最大值为29. 这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：2222222222,()()()a x b y axby a b x y ax by +≥∴++≥+仅当ax by=时取等，所以222236ax by ax by a b x y =⎧⎪+≤=+=⎨⎪+=⎩时取等号.如取23)(,3,26max =+====by ax y x b a （3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+.误解：12),(27)2()3(332=+=+=++≤y x y x y x y x x y x 又时取等当， 271,312≤==∴y x y x 时. 以上过程只能说明当271312===y x y x 时.但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.正确解法：272)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=∴∈+y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当24212,,,213627x y x y x y x y =⎧==∴⎨+=⎩即时取等号最大值为.二、常用的处理方法和技巧（1） 拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。