3.1直线与圆的位置关系 复习

数学复习：直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．导语海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系．一、直线与圆的位置关系的判断问题如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解．知识梳理例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解方法一将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．(1)当Δ>0，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．(3)当Δ<0，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．方法二已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点．(2)当d＝2，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．(3)当d>2，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1(1)已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能答案A解析将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．(2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是() A．(0，2]B．(1，2]C．(0，2)D．(1，2)答案C解析由题意得，圆心到直线的距离为d＝|1＋1|12＋(－1)2>m，∴m<2，∵m>0，∴0<m<2.二、圆的弦长问题知识梳理求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2.图①(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．图②例2求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长．解方法一直线x －3y ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组－3y ＋23＝0，2＋y 2＝4的解．1＝－3，1＝1，2＝0，2＝2.所以公共点的坐标为(－3，1)，(0，2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2.方法二如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，又|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝3，所以|AB |＝2|AM |＝2|OA |2－|OM |2＝222－(3)2＝2.反思感悟(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法．(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．跟踪训练2已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C的圆心为点(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程．解(1)2x－y－3＝0，4x－3y－5＝0，x＝2，y＝1，∴两直线交点为(2，1)．设直线l的斜率为k l，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴k l＝1，∵直线l过点(2，1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.(2)设圆的半径为r，依题意，得圆心(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为|3－1|2＝2，则由垂径定理得r2＝(2)2＋(2)2＝4，∴r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.三、圆的切线问题例3(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6答案C解析由题意易知圆心C(－1，2)，半径长r＝2，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝|－1－2－3|2＝32，所以切线长的最小值为d2－r2＝(32)2－2＝4.(2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．答案y＝4或3x＋4y－13＝0解析∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2，3)到切线l的距离为|2k－3＋4＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－3 4，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．跟踪训练3(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为()A．2x－y＋9＝0B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0D．2x－y－9＝0答案B解析x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，k PC＝12，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为() A．1B．22 C.7D．3答案C解析圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝|3－0＋1|2＝22.所以切线长的最小值为l＝(22)2－12＝7.1．知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系．(2)圆的弦长问题．(3)圆的切线问题．2．方法归纳：几何法、代数法．3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是()A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离答案B解析∵圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|0－0＋1|2＝22<1，∴直线与圆x 2＋y 2＝1相交，又(0，0)不在y ＝x ＋1上，∴直线不过圆心．2．圆x 2＋y 2＝4在点P (3，－1)处的切线方程为()A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y －4＝0C.3x －y －4＝0D.3x －y ＋2＝0答案C解析∵(3)2＋(－1)2＝4，∴点P 在圆上．∴P 为切点．∵切点与圆心连线的斜率为－33，∴切线的斜率为3，∴切线方程为y ＋1＝3(x －3)，即3x －y －4＝0.3．(多选)若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是()A ．－2B ．－12C ．2D ．12答案CD解析圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为|7－b|5＝1，得b＝2或b＝12.4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________．答案2解析直线方程为y＝3x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2，0)到直线的距离d＝23 (3)2＋1＝3，弦长l＝2r2－d2＝24－3＝2.课时对点练1．“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析圆(x－a)2＋(y－3)2＝(22)2的圆心为(a，3)，半径为2 2.若直线x－y＋4＝0与圆(x－a)2＋(y－3)2＝(22)2相交，则|a－3＋4|2<22，解得－5<a<3，所以“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的必要不充分条件．2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定答案B解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．0B．4C．－2 D.3答案AB解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d＝ 2.又d＝|a－2| 2，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.4．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为() A．y－2＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＝0D．x－1＝0答案B解析当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直．已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k＝2－01－0＝2，故所求直线的斜率为－12，所以所求直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则直线的斜率为() A.3B．±3C.3 3D．±33答案D解析因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝4－(3)2＝1，所以|2k－3＋3|k2＋1＝|2k|k2＋1＝1，解得k＝±3 3 .6．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为() A．y＝1B．4x－3y－5＝0C．y＝1或3x－4y－5＝0D．y＝1或4x－3y－5＝0答案D解析由题意可设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2k ＋1|k 2＋1＝1，∴3k 2－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝43，∴切线l 的方程为y ＝1或4x －3y －5＝0.7．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2，3)，则直线l 的方程为____________．答案x －y ＋5＝0解析由圆的方程可得，圆心为P (－1，2)，所以k PC ＝1－1＝－1，故直线l 的斜率为k ＝1，所以直线方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0.8．过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1，2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________．答案30解析由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0，圆心O (0，0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝22，则有|AB |＝2r 2－d 2＝28－12＝30.9．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4外有一点P (4，－1)，过点P 作直线l .(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解(1)圆C 的圆心为(2，3)，半径r ＝2.当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，此时圆C 与直线l 相切；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －4)，即kx －y －4k －1＝0，则|2k －3－4k －1|1＋k 2＝2，解得k ＝－34，所以此时直线l 的方程为3x ＋4y －8＝0.综上，直线l 的方程为x ＝4或3x ＋4y －8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝2，故所求弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.10．已知圆C 过点(1，1)，圆心在x 轴正半轴上，且与直线y ＝x －4相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)已知过点P (1，3)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的方程．解(1)由题意，设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，由题意，得(a －1)2＋(0－1)2＝|a －4|2，解得a ＝－6(舍)或a ＝2，所以圆的半径为r ＝|2－4|2＝2，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)若斜率不存在，则直线方程为x ＝1，弦心距d ＝1，半径为2，则|AB |＝2r 2－d 2＝2，符合题意；若斜率存在，设直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0.弦心距d ＝|k ＋3|1＋k 2，得|AB |＝22－(k ＋3)21＋k 2＝2，解得k ＝－43，直线方程为y ＝－43x ＋133.综上所述，直线l 的方程为x ＝1或y ＝－43x ＋133.11．已知圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，直线mx ＋y ＋1＝0始终平分圆C 的面积，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2y ＝2B ．x 2＋y 2＋2y ＝2C ．x 2＋y 2－2y ＝1D ．x 2＋y 2＋2y ＝1答案D解析在直线mx ＋y ＋1＝0的方程中，令x ＝0，则y ＝－1，则直线mx ＋y ＋1＝0过定点(0，－1)．由于直线mx ＋y ＋1＝0始终平分圆C 的面积，则点(0，－1)是圆C 的圆心，又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的半径r ＝|－1＋3|2＝ 2.因此，圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝2，即x 2＋y 2＋2y ＝1.12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b满足()A．|b|＝2B．－1＜b≤1或b＝－2C．－1≤b＜1D．非以上答案答案B解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分．在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示．相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.13．若直线2mx－ny＝－2(m>0，n>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则4m＋1 n的最小值是()A．9B．4 C.12D.1 4答案A解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1，2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，所以4m＋1 n＝(m＋n5＋4nm＋mn≥5＋24nm×mn＝9，当且仅当4nm＝mn，即m＝23，n＝13时等号成立，所以4m＋1n的最小值是9.14．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．答案102解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1，3)．故|EF|＝5，所以|BD|＝210－(5)2＝25，则S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝102.15．已知圆x 2＋y 2＝4内一定点P (1，0)，过P 作直线l 交圆于A ，B 两点，若l 的倾斜角为45°，则|AB |的值为________；若AP →＝2PB →，则直线l 的斜率为________．答案14±153解析由题可得直线l 的方程为y ＝x －1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d ＝|－1|2＝22，则|AB |＝＝14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AP →＝2PB →，∴(1－x 1，－y 1)＝2(x 2－1，y 2)，∴x 1＋2x 2＝3，y 1＝－2y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入x 2＋y 2＝4，整理得(m 2＋1)y 2＋2my －3＝0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－3m 2＋1，∴－y 2＝－2m m 2＋1，－2y 22＝－3m 2＋1，则可解得m ＝±35，则可得直线的斜率为±153.16．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线l ：4x －3y －3＝0截得的弦长为2 3.(1)求圆C 的方程；(2)设P 是直线x ＋y ＋4＝0上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标．解(1)设圆心(a ，0)(a >0)，则圆心到直线l ：4x －3y －3＝0的距离d ＝|4a －3|5，由题意可得，d 2＋(3)2＝22，即(4a －3)225＋3＝4，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)．∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)∵P 是直线x ＋y ＋4＝0上一点．设P (m ，－m －4)，∵PA 为圆C 的切线，∴PA ⊥AC ，即过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任一点Q (x ，y )，则PQ →·CQ →＝0，∵PQ →＝(x －m ，y ＋m ＋4)，CQ →＝(x －2，y )，∴PQ →·CQ →＝(x －m )(x －2)＋y (y ＋m ＋4)＝0，即x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m (－x ＋y ＋2)＝0，2＋y 2－2x ＋4y ＝0，x ＋y ＋2＝0＝－1，＝－3＝2，＝0.∴经过A ，P ，C 三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0)．。

第3章《直线与圆、圆与圆的位置关系》常考题集（08）：3.1 直线与圆的位置关系解答题211．（2005•宿迁）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．212．（2005•马尾区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．（1）求OA、OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP 也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．213．（2005•黄冈）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．214．（2005•甘肃）如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_________（任写一个）；（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．215．（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；（2）如果AD，AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．216．（2004•日照）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．217．（2003•山东）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径．218．（2002•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°．求证：DC是⊙O的切线．219．如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=，求的长．220．（2001•上海）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC．221．（2003•福州）已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是？（只须写出三种情况）（2）如图2，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．222．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=4，以A为圆心，2为半径作⊙A，试问：直线BC 与⊙A的关系如何？并证明你的结论．224．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．225．如图，直角坐标系中，A（﹣2，0），B（8，0），以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）直接写出C、M两点的坐标．（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由．（3）在x轴上是否存在一点Q，使△QMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．226．（2011•陵县一模）在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，①DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．②若AC、AB的长是方程x2﹣10x+24=0的根，求直角边BC的长．227．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D，求证：BD是⊙O的切线．228．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BC为⊙O的切线．229．（2010•本溪一模）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若OB=5，BC=6，求CE的长．230．（2010•鄞州区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD经过⊙O上一点C，AD⊥DC，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．231．（2002•南宁）如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直径．232．（2009•西城区一模）已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D 满足∠D=∠ACB．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径等于4，tan∠ACB=，求CD的长．233．（2011•无锡一模）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．234．（2009•兰州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）235．（2003•甘肃）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．236．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切．（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．237．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF．（1）求证：AE是∠BAC的平分线；（2）若∠ABD=60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．238．（2006•曲靖）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．239．（2006•长沙）如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．（1）求证：；（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．240．（2009•厦门）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30度．（1）求劣弧的长；（2）若∠ABD=120°，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．第3章《直线与圆、圆与圆的位置关系》常考题集（08）：3.1 直线与圆的位置关系参考答案与试题解析解答题211．（2005•宿迁）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．212．（2005•马尾区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．（1）求OA、OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP 也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．，213．（2005•黄冈）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．∴214．（2005•甘肃）如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件（任写一个）；（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．215．（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；（2）如果AD，AB的长是方程x2﹣10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．DE=BE=∴AC=AC==9BC==3：求216．（2004•日照）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．，OP=．EC=2BC=2PCA=．217．（2003•山东）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径．（OE=．的半径为218．（2002•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°．求证：DC是⊙O的切线．219．如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=，求的长．OG=OB=2OG=OBMN=∴的长为220．（2001•上海）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC．221．（2003•福州）已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是？（只须写出三种情况）（2）如图2，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．222．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=4，以A为圆心，2为半径作⊙A，试问：直线BC 与⊙A的关系如何？并证明你的结论．BC=4BD=BC=2224．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．∴，∴∴225．如图，直角坐标系中，A（﹣2，0），B（8，0），以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）直接写出C、M两点的坐标．（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由．（3）在x轴上是否存在一点Q，使△QMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．∴∴（∴，且周长最小值为226．（2011•陵县一模）在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，①DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．②若AC、AB的长是方程x2﹣10x+24=0的根，求直角边BC的长．BC===2227．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D，求证：BD是⊙O的切线．228．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BC为⊙O的切线．229．（2010•本溪一模）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若OB=5，BC=6，求CE的长．230．（2010•鄞州区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD经过⊙O上一点C，AD⊥DC，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．∴AD=2∴∴的长为．231．（2002•南宁）如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直径．AD=3，，BC=5232．（2009•西城区一模）已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D 满足∠D=∠ACB．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径等于4，tan∠ACB=，求CD的长．，tanD=．tanD=sinD=，=5233．（2011•无锡一模）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．∴∴∴234．（2009•兰州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π），235．（2003•甘肃）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．236．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切．（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．是圆的半径的AC=OC=；OA+OA=．237．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF．（1）求证：AE是∠BAC的平分线；（2）若∠ABD=60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．238．（2006•曲靖）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．∴．∴．y=．）知：∴AB===239．（2006•长沙）如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．（1）求证：；（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．∴又∵=AE=4≤240．（2009•厦门）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30度．（1）求劣弧的长；（2）若∠ABD=120°，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．）要求劣弧OP=∴π。

第三章直线与圆、圆与圆的位置关系章节概述：直线与圆、圆与圆的位置关系，是初中几何类题型中较难的部分，许多同学在学习这部分内容时，较容易忽略最基本的定义、性质，拿到题目仍感无从下手。

本节课，老师将带领同学们一起系统地全面地梳理直线与圆、圆与圆的位置关系的内容，使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤，全面突破直线与圆、圆与圆的位置关系！§3.1 直线与圆的位置关系教学目标：1.理解相交、相切、相离的概念并掌握判断方法2.掌握切线的判定、性质与定理3.理解并掌握弦切角、切割线定理与割线定理例1：已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交、相切、相离都有可能解析：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．例2：△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3 cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CD⊥AB 于D，根据勾股定理得AB=5，再根据直角三角形的面积公式，求得CD=2.4．①，即d＞r，直线和圆相离，正确；②，即d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．共有3个正确解：①，d＞r，直线和圆相离，正确；②，d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．故选D．即时练习：1、已知在直角坐标系中，以点A （0，3）为圆心，以3为半径作⊙A ，则直线y =kx +2（k ≠0）与⊙A 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与K 值有关2、请用尺规作图：过圆上一点作已知圆的切线3、已知：直线y =kx （k ≠0）经过点（3，4）．（1）k =（2）将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为例3：如图，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点．若AD 、AB 的长是方程x 2-6x +8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为解析：本题主要考查了扇形的面积计算，一元二次方程的求解，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据方程的解判断出△AOD 是等边三角形是解题的关键．先利用因式分解法解方程求出AD 、AB 的长，然后连接OD 、BD 、OE ，并判定△AOD 是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得BD ⊥AC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE BC DE ==21，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE 垂直平分BD ，然后根据勾股定理求出BD 的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，从而得到BE 的长度，最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED 的面积减去扇形BOD 的面积，列式进行计算即可求解．解：x 2-6x +8=0，（x -2）（x -4）=0，解得x 1=2，x 2=4，∴AD =2，AB =4，∵AB 是直径，∴AO =BO =21AB =2，连接OD ，则AO =OD =AD =2， ∴△AOD 是等边三角形，连接BD ，则BD ⊥AC ，∵E 是BC 边的中点，∴DE =BE =21BC ，连接OE ，则OE 是线段BD 的垂直平分线， 在Rt △AOD 中，3222=+=AD AB BD ，∵∠A =∠A ，∠ADB =∠ABC =90°，∴△ABC ∽△ADB ，∴AD AB BD BC =，即2432=BC ， 解得:34=BC ，BE =21BC =32，∴S 四边形OBED =2S △OBE =2×21×2×32=34，又∠BOD =180°-∠AOD =180°-60°=120°，∴S 扇形BOD =ππ343602120020=•• ∴S 阴影部分的面积=S 四边形OBED -S 扇形BOD =π3434-故答案为：π3434- 例4：如图，正方形ABCD 的边长为2，⊙O 的直径为AD ，将正方形沿EC 折叠，点B 落在圆上的F 点，则BE 的长为解析：本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF 是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．解：如图：连接OF ，OC ．在△OCF 和△OCD 中，∵OF =OD ，OC =OC ，CF =CD ，∴△OCF ≌△OCD ，∴∠OFC =∠ODC =90°，∴CF 是⊙O 的切线．∵∠CFE =∠B =90°，∴E ，F ，O 三点共线．∵EF =EB ，∴在△AEO 中，AO =1，AE =2-BE ，EO =1+BE ，∴()()22211BE BE -+=+，解得： 32=BE ；故答案是：32． 例5：在正方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 丄BE 交BE 于G ，交CD 于F ，连CG 延长交AD 于H ．下列结论：①CB CG =；②41=BC HE ；③31=GF EG ；④以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，其中正确的是解析：本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．解答③选项时，也可以利用相似三角形的判定与性质．解：连接OG 、OC ．∵AF 丄BE ，∴∠ABE =∠DAF ；在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠090ADF BAE DA AB DAF ABE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF （ASA ），∴AE =DF （全等三角形的对应边相等）；又∵E 为AD 中点，∴F 为DC 的中点；∵O 为AB 的中点，∴OC ∥AF ，∴OC ⊥BE ，∴∠BOC =∠GOC ；在△BOC 和△GOC 中，∵()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=公共边CO OC GOC BOC OG OB ，∴△BOC ≌△GOC ，∴∠OBC =∠OGC =90°，即OG ⊥CH ，∴以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ；故④正确；∵以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，AB ⊥BC ，∴CG =CB ；故①正确；∵AD ∥BC ，∴CGHG BG EG BC HE ==；∵CG =CB ，∴HG =HE ；又∵E 为AD 中点， ∴AH =HE =HG ，即点H 为AE 的中点，∴4141==AD AD BC HE ；故②正确； ∵点F 是CD 的中点，∴AD DF 21=；∴AD AF 25=（勾股定理）； ∵21tan ===∠AD DF AG EG DAF ，∴AG =2EG ，∴AD EG AE 215== ∴AD EG 105=∴AD AG 55= ∴AD AG AG AF FG 1053==-=∴31=GF EG ；故③正确； 综上所述，正确的说法有：①②③④．故答案是：①②③④．即时练习：1、如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，tan ∠CDA =32，求BE 的长． 2、已知：Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD 为AB 边上的中线，AC =6cm ，BC =8cm ；点O 是线段CD 边上的动点（不与点C 、D 重合）；以点O 为圆心、OC 为半径的⊙O 交AC 于点E ，EF ⊥AB 于F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线．（如图1）（2）请分析⊙O 与直线AB 可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF 的取值范围．3、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD 相等，PB 垂直于AD ．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点，最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB =∠BPC =∠CPN ．请用推理的方法加以证明．4、（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA =2，OC =1，矩形对角线AC 、OB 相交于E ，过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H ．（1）①直接写出点E 的坐标：②求证：AG =CH ．（2）如图2，以O 为圆心，OC 为半径的圆弧交OA 与D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数关系式．（3）在（2）的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时，求⊙P 的半径．例6：已知：如图，在⊙O 中，AB 是直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD =130°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为解析：考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系．解：连接BD ，则∠ADB =90°，又∠BCD =130°，故∠DAB =50°，所以∠DBA =40°；又因为PD 为切线，故∠PDA =∠ABD =40°，即∠PDA =40°．例7：如图，四边形ABED 内接于⊙O ，E 是AD 延长线上的一点，若∠AOC =122°，则∠B = 度，∠EDC = 度．解析：本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．解：由圆周角定理得，∠B =21∠AOC =61°，∵四边形ADCB 内接于⊙O ，∴∠EDC =∠B =61°． 即时练习：1、如图，P A 、PB 切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，且∠BAC =35°，则∠P = 度．2、如图，P A 切⊙O 于A 点，C 是弧AB 上任意一点，∠P AB =58°，则∠C 的度数是 度 例8：如图，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，C 为弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 切线交P A 于点D ，交PB 于点E ，若P A =6，则△PDE 的周长为 ．解析：本题考查了切线长定理的应用能力．解：根据切线长定理得：CD =AD ，CE =BE ，P A =PB ，则△PDE 的周长=2P A =6×2=12．例9：如图等腰梯形ABCD 是⊙O 的外切四边形，O 是圆心，腰长4cm ，则∠BOC = 度，梯形中位线长 cm ．解析：本题考查了切线长定理、等腰梯形的性质和梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．即时练习：1、如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是2、（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2=DE •CD ；②AD +BC =CD ；③OD =OC ；④S 梯形ABCD =21CD •OA ；⑤∠DOC =90°，其中正确的是（ ） A 、①②⑤ B 、②③④ C 、③④⑤ D 、①④⑤例10：已知如图，P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，过P ，O 两点作⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点，且PC =4cm ，P A =3cm ，则⊙O 的半径R = cm 解析：此题主要运用了切割线定理的有关知识来解决问题．解：∵PC 是切线，∴PC 2=P A •PB ；又∵PC =4，P A =3，∴16=3（3+AB ），∴AB =37，∴半径R =67． 即时练习：1、如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD =2、已知：如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC =2PB ，求PB PA = ． A 组1、如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 和 ．2、如图，PA 为O 的切线，A 为切点，4=PA 半径3=OB 则APO ∠cos ＝ ．3、如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的切线，点C 在O 上，3,2,//==OD AB OD BC ，则BC 的长为 .4、如图，P 是O 外一点，PB PA ,分别和O 切于C B A ，、是AB 上任意一点，过C 作O 的切线分别交PB PA 、于E D 、，若PDE ∆的周长为12，则PA 长为多少？５、如图，若正111C B A ∆内接于正ABC ∆的内切圆，则111C B A ∆与ABC ∆的面积之比． ６．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边AB 上一点，15,3:5:==EC EA BE ，把BEC ∆沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好在AD 上，设这个点为F ．（1）求BC AB ,的长度各是多少？（2）若O 内切于以C B E F ,,,为顶点的四边形，求O 的面积．B 组７．如图，在矩形ABCD 中，AB =2,CD =4，圆D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与圆D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于F E ,两点，则EFO ∠tan 的值为．8、已知AB 是O 的直径，PB 切O 于点B ，APB ∠的平分线分别交AB BC ,于点E D ,，交O 于点PA F ,交O 于点︒=∠60,A C ，线段BD AE ,的长是一元二次方程0322=+-kx x （k 为常数）的两个根．（1）求证：AE PB BD PA ⋅=⋅；（2）求证：O 的直径为k ；（3）求FPA ∠tan ．9、如图，从O 外一点A 作O 的切线AC AB ,，切点分别为C B ,，且O 直径6=BD ，连接AO CD ,．（1）求证：AO CD //；（2）设y AO x CD ==,，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若11=+CD AO ，求AB 的长．10、（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD 中，F E ,是对角线BD 上的两点，且DE BF =．求证：CF AE =；（2）已知，如图②，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ，CO 的延长线交O 于点E ．连接︒=∠30,,ABD BD BE ，求EBO ∠和C ∠的度数． §3.2 内切圆教学目标：1. 掌握内切圆的定义与作图2. 掌握内切圆的性质例1：如图，直线a 、b 、c 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处．解析：此题考查了角平分线与内心的关系解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ，∴PE =PF ，PF =PD ，∴PE =PF =PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故填4．例2：如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =b ，I 是内心，圆I 与AB 、BC 、AC 分别相切于D 、E 、F 点。

直线与圆的位置关系（复习）张家坡镇中学 杨艳霞 王增成 宋光智学习目标：1、掌握直线和圆的位置关系，并会判定直线和圆的位置关系；2、会运用切线的判定定理、性质定理、切线长定理进行计算和证明，理解三角形的内心；3、经历探究的过程，感受数形结合、类比、化归、分类讨论等数学思想在数学问题中的重要作用；通过题目变式练习，培养发散思维能力和综合运用能力。

学习重难点：重点：切线的判定定理、性质定理难点：灵活运用相关定理进行计算和证明 学习过程：一、情景引入 整体感知 1.欣赏视频：海上日出看完视频后你能回想起直线和圆有哪几种位置关系？ 2.3.(一）直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的方法：①_________________；②_________________ （二）切线的判定与性质 1.切线的判定：①________________________________________是圆的切线；②________________________________________________是圆的切线；③判定定理：经过半径的_______并且________这条半径的直线是圆的切线。

2.切线的性质：①圆的切线_______________________________________________； ②圆的切线_______________________________________________； ③性质定理：圆的切线__________过_______的半径。

3.定理的应用： 4.证明切线的两种思路：①已知公共点，连 __；证_________；②不知公共点，作 __；证_________。

（三）切线长定理与三角形的内切圆： 1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__，这一点和圆心的连线 __ _两条切线的夹角。

2.定理的应用：3.三角形的内切圆：与三角形各边都_______的圆叫三角形的内切圆；它的圆心是三角形的_____心；三角形的内心是_______的交点，到_______的距离相等。

第一篇：3.1直线与圆的位置关系(2)教案3.1直线与圆的位置关系（2）教学目标：1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。

教学重点：圆的切线的判定定理教学难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。

教学过程：一、回顾与思考投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：OdT(1) rOdlT(2) rrOdlT(3) l（1）在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？教师指出：根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法。

（板书课题）二、探索判定定理1、学生动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作直线l⊥OA 。

思考：（可与同伴交流）（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现了什么？o启发学生得出结论：由于圆心O到直线l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切。

请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的？它满足哪些条件？①经过半径的外端；②垂直于这条半径。

从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O相切？（）OOOOA llAlA lABCD小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端②垂直于这条半径。

（2）课本第52页课内练习第1题（3）课本第51页做一做小结：过圆上一点作圆的切线分两步：①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线。

过圆上一点画圆的切线有且只有一条。

三、应用定理，强化训练例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。