直线与圆的位置关系(经典).ppt
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直线与圆的位置关系ppt
d r d
相切 d=r
r
ห้องสมุดไป่ตู้
相交 d<r
d r
0个
1个
2个
直线与圆的位置关系: 几何法
(1)相交，有两个公共点；
(2)相切，只有一个公共点； (3)相离，没有公共点；
d<r d=r d>r
问题2：过圆上一点的圆的切线有几条？
过圆外一点的圆的切线有几条？
P P
4.2
直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系
问题2：你知道直 线和圆的位置关系 有几种？
y
0
x
问题1：直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点；
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判断方法: 位置 d与r 图形 交点个数 相离 d>r
相切 d=r
r
ห้องสมุดไป่ตู้
相交 d<r
d r
0个
1个
2个
直线与圆的位置关系: 几何法
(1)相交，有两个公共点；
(2)相切，只有一个公共点； (3)相离，没有公共点；
d<r d=r d>r
问题2：过圆上一点的圆的切线有几条？
过圆外一点的圆的切线有几条？
P P
4.2
直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系
问题2：你知道直 线和圆的位置关系 有几种？
y
0
x
问题1：直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点；
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判断方法: 位置 d与r 图形 交点个数 相离 d>r
直线和圆的位置关系 -PPT课件
A
Bl
特点：直线和圆有_____的公共点， 叫做直线和圆_____
这时的直线叫_____，
唯一的公共点叫_____。 特点：直线和圆_____公共点，
叫做直线和圆_____。
.O
.
l
切点 A
.O l
用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分
2．直线和圆的位置关系
O
dr
—— 数量特征
l 直线 l 和⊙O相交
24.2.2.直线与圆的位置关系(1)
复习提问：
1、在白板上拖动点A说明点和圆的位置关系有 几种？在用数量关系判别一下点和圆的位置关 系？
.A
微课展示： 一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点：直线和圆有_____公共点，
叫直线和圆_____， 这时的直线叫做圆的_____。
.O
..
B
4
C3
A
练习二
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
(1)当 r 满足______时，⊙C与直线AB相离。
(2)当 r 满足_____ 时，⊙C与直线AB相切。 B
(3)当r 满足_____ _时，⊙C与直线AB相交。 (4)当r满足____时,⊙C与线段AB只有 一个公共 点.
x2 9x 20 0 的两个根，则直线m与⊙O的位置
关系是
。
若d，r是方程 x2 4x a 0 的两个根，且直线m
与⊙O的位置关系是相切，则a的值是 。
再见
B
A
O
小结：本节课里，你学到了哪 些知识，它们是如何应用的？
说说收获
直线与圆的 位置关系
直线与圆的位置关系ppt课件
x 2 y 2 Dx Ey F 0
( D 2 +E 2 4 F 0)
代数方法
几何
图形性质究过程，如何通过代数方法，
研究直线与圆的位置关系？
联立两直线方程
两直线的位置关系
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
联立直线与圆方程
方程组解的情况
求直线被圆截得的弦长.
(法1) 圆心为C (1, 2), 半径为r 2,
圆心C到直线l的距离d
| 2 2+2 |
2 5 2 8 5
2 2 5
2
弦长为2 (2) (
)
.
=
2
5
5
5
5
22 12
x2 y 2 2x 4 y 1 0
(法2)解 : 联立
2.5.1直线与圆的位置关系
春
来
江
水
绿
如
蓝
日
出
江
花
红
胜
火
问题1：把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，
体现了直线和圆的哪些位置关系？
相交
相切
相离
探究交流
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
地平线
直线与圆相切
直线与圆相交
1.通过直线与圆的公共点个数判断
直线与圆有两个公共点
2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离；
弦心距
A
O
l
C
O
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
4.求弦长：
①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标
直线和圆的位置关系-PPT课件
l 这时的直线叫切线，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
2.5.1 直线与圆的位置关系(共27张PPT)
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
2
,求圆C的标准方程.
解:(1)由已知得:
2x-y-3 = 0,
x = 2,
解得
y = 1,
4x-3y-5 = 0,
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
|2-1--1|
心(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=
当
当
当
1+2
=
|-2|
1+2
.
4
d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
3
4
d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
4
d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
轴,建立直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A、
B,则由已知得 A(6,-2).
设圆的半径为 r,则 C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.①
将点 A 的坐标为(6,-2)代入方程①,解得 r=10.
∴ 圆的方程为 x2+(y+10)2=100.②
当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线
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变式2
解： 直线 l : mx y 2 m 0 (m R)
恒过定点A(1, 2)，
而A点在圆C内， 所以直线l与圆相交。
y x
【典题拓展】
变式2 求直线 l : mx y 2 m 0 (m R) 与圆 C : x2 ( y 1)2 5 的相交弦中， 最长弦长和最短弦长。 y
【引入新知】
y
.
代数法
x
交点问题（个数）
方程组解的问题
【引入新知】 判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r 相交 d r相切 d r相离
典题拓展】
变式1 变式2
判断直线 l : mx y 3 0 (m R) 和圆C : x2 ( y 1)2 5 的位置关系
判断直线l : mx y 2 m 0 (m R) 和圆C : x2 ( y 1)2 5 的位置关系
问题：对于变式2，你还能用什么方法 求解呢?
【典题拓展】
k2 1
k 4 3
所以直线方程为： 4x 3y 20 0
【合作讨论】
变式
过点A（2,4）作圆 C : (x 3)2 ( y 1)2 1
的切线l，求切线 l的方程。 x 2或者4x 3y 20 0 y
A（2,4）
数形结合，先画图
x
题型小结：过一个点求圆的切线方程，应先判断点与圆的位置， 若点在圆上，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条，设切 线方程时注意分斜率存在和不存在讨论，避免漏解。
x
【典题延伸】
例2、过点A（3,2）作圆C : (x 3)2 ( y 1)2 1 的切线 l，求切线 l的方程。
【合作讨论】
变式
过点A（2,4）作圆 C : (x 3)2 ( y 1)2 1
的切线l，求切线 l的方程。
设所求的直线方程为：y 4 k(x 2)
请你来 找茬
即 kx y 4 2k 0. 所以 d k 3 解 得1 r
人教A版（必修4）Chap4— §4·2·1
《直线和圆的位置关系》
.
O
.
李 璜 湖州二中
【引入新知】
相交
r.
d
d r
几何法
相切
相离
r.
r.
d
d
d r
d r
【引入新知】 判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
d r 相交 d r相切 d r相离
【复习回顾】
点和圆的位置关系有几种？
A C
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r; d=r； d<r.
数形结合：位置关系
数量关系
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
. 风的北影响？港口
.
O
轮船
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
. 风的影响y？ 港口
.
O
轮船 x
课题
直线L与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
【典题例证】
求它们的交点坐标。
解：联立方程得：
3x y 6 0
x
2
y2
2y
4
0
解得：xy
2 0
或
x 1
y
3
所以直线与圆共有两个 交点，分别是（2,0） （1,3）
并求弦AB的长度
y
L B
C. A
O
x
AB 10
【典题例证】
例1改编、如图，已知直线L:3x+y-6=0和圆 心为C的圆x2 y2 2 y 4相交0 ，求弦AB的长度
点Ｏ到直线L的距离 d | 0 0 28 | 28 3.5
65
65
圆Ｏ的半径长r=3 因为３.５＞３，所以， 这艘轮船不必改变航线，
y B
不会受到台风的影响．
0
A
x
【典题例证】
例1、如图，已知直线L:3x+y-6=0和圆心为 C的圆x2 y2 2 y ，4 判 0断直线L与圆的位置关系； 如果相交，求它们的交点坐标。
没有公共点 方程组无实 d>r △<0 根
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
0相交 0相切 0相离
【方法小结】
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
几何特征
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
【方法小结】
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
几何特征
有两个公共 点
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
方程组有两 个不同实根 d<r △>0
有且只有一 方程组有且
个公共点
只有一个实 d = r △=0 根
. 风的影响y？ 港口
.
O
轮船 x
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立
如图所示的直角坐标系，其中取１０km为单位长
度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ
方程为 x 2 y 2 9；
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0；
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
圆的半径是r，圆心到直线L 的距离是d，AB是弦长，则
有 r2 d 2 ( AB)2 2
y
L B
D
C. A
O
x
【初试身手】
练习:分别判断下列直线和圆的位置关系
① l : 4x 3y 40 , 圆C : x2 y2 36 ; ② l : y x 1 , 圆C : x2 y2 25 ; ③ l : 4x 3y 8 0 , 圆C : x2 y2 2 y 0 .
数形结合
y
L B
C. A
O
x
【典题例证】
几何法
代数法
圆心C（0，1）到直线L的
距离
| 30 1 6|
d
5
5r
32 12
10
所以 , d<r
所以直线L与圆C相 交
3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0
消去y得：x2-3x+2=0
=(-3)2-4×1×2=1>0
所以方程组有两 解，
解： 直线 l : mx y 2 m 0 (m R)
恒过定点A(1, 2)，
而A点在圆C内， 所以直线l与圆相交。
y x
【典题拓展】
变式2 求直线 l : mx y 2 m 0 (m R) 与圆 C : x2 ( y 1)2 5 的相交弦中， 最长弦长和最短弦长。 y
【引入新知】
y
.
代数法
x
交点问题（个数）
方程组解的问题
【引入新知】 判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r 相交 d r相切 d r相离
典题拓展】
变式1 变式2
判断直线 l : mx y 3 0 (m R) 和圆C : x2 ( y 1)2 5 的位置关系
判断直线l : mx y 2 m 0 (m R) 和圆C : x2 ( y 1)2 5 的位置关系
问题：对于变式2，你还能用什么方法 求解呢?
【典题拓展】
k2 1
k 4 3
所以直线方程为： 4x 3y 20 0
【合作讨论】
变式
过点A（2,4）作圆 C : (x 3)2 ( y 1)2 1
的切线l，求切线 l的方程。 x 2或者4x 3y 20 0 y
A（2,4）
数形结合，先画图
x
题型小结：过一个点求圆的切线方程，应先判断点与圆的位置， 若点在圆上，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条，设切 线方程时注意分斜率存在和不存在讨论，避免漏解。
x
【典题延伸】
例2、过点A（3,2）作圆C : (x 3)2 ( y 1)2 1 的切线 l，求切线 l的方程。
【合作讨论】
变式
过点A（2,4）作圆 C : (x 3)2 ( y 1)2 1
的切线l，求切线 l的方程。
设所求的直线方程为：y 4 k(x 2)
请你来 找茬
即 kx y 4 2k 0. 所以 d k 3 解 得1 r
人教A版（必修4）Chap4— §4·2·1
《直线和圆的位置关系》
.
O
.
李 璜 湖州二中
【引入新知】
相交
r.
d
d r
几何法
相切
相离
r.
r.
d
d
d r
d r
【引入新知】 判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
d r 相交 d r相切 d r相离
【复习回顾】
点和圆的位置关系有几种？
A C
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r; d=r； d<r.
数形结合：位置关系
数量关系
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
. 风的北影响？港口
.
O
轮船
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
. 风的影响y？ 港口
.
O
轮船 x
课题
直线L与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
【典题例证】
求它们的交点坐标。
解：联立方程得：
3x y 6 0
x
2
y2
2y
4
0
解得：xy
2 0
或
x 1
y
3
所以直线与圆共有两个 交点，分别是（2,0） （1,3）
并求弦AB的长度
y
L B
C. A
O
x
AB 10
【典题例证】
例1改编、如图，已知直线L:3x+y-6=0和圆 心为C的圆x2 y2 2 y 4相交0 ，求弦AB的长度
点Ｏ到直线L的距离 d | 0 0 28 | 28 3.5
65
65
圆Ｏ的半径长r=3 因为３.５＞３，所以， 这艘轮船不必改变航线，
y B
不会受到台风的影响．
0
A
x
【典题例证】
例1、如图，已知直线L:3x+y-6=0和圆心为 C的圆x2 y2 2 y ，4 判 0断直线L与圆的位置关系； 如果相交，求它们的交点坐标。
没有公共点 方程组无实 d>r △<0 根
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
0相交 0相切 0相离
【方法小结】
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
几何特征
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
【方法小结】
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
几何特征
有两个公共 点
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
方程组有两 个不同实根 d<r △>0
有且只有一 方程组有且
个公共点
只有一个实 d = r △=0 根
. 风的影响y？ 港口
.
O
轮船 x
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立
如图所示的直角坐标系，其中取１０km为单位长
度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ
方程为 x 2 y 2 9；
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0；
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
圆的半径是r，圆心到直线L 的距离是d，AB是弦长，则
有 r2 d 2 ( AB)2 2
y
L B
D
C. A
O
x
【初试身手】
练习:分别判断下列直线和圆的位置关系
① l : 4x 3y 40 , 圆C : x2 y2 36 ; ② l : y x 1 , 圆C : x2 y2 25 ; ③ l : 4x 3y 8 0 , 圆C : x2 y2 2 y 0 .
数形结合
y
L B
C. A
O
x
【典题例证】
几何法
代数法
圆心C（0，1）到直线L的
距离
| 30 1 6|
d
5
5r
32 12
10
所以 , d<r
所以直线L与圆C相 交
3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0
消去y得：x2-3x+2=0
=(-3)2-4×1×2=1>0
所以方程组有两 解，