现代电路分析第六章

§6-2 一阶非线性电路
二、 动态元件为非线性的一阶电路
动态元件特性的分段线性化
电容：
+i
v _
C
vc

1 Ck
qc
Vsk
+ vs _
+i
v _
C
电感：
iL

1 Lk
L

I sk
i
i
+
+
v _
L
v _
Lk
Is
(a)
(b)
§6-3 相空间、轨道、平衡点
一、基本概念
1 自治系统和非自治系统
一般形式的状态方程为
一阶非线性的方程可用状态方程的形式描述
一阶非线性电路
dx f (x,t) dt
状态变量：电容 电压或电感电流
非动态元件为非线性
动态元件为非线性 两者均为非线性
§6-2 一阶非线性电路
一、 只含非线性电阻的一阶动态电路
iபைடு நூலகம்
+
N
v _
C
i
+
N
v _
L
(a)
非线性一阶电路
(b)
解题思路：将一端口N的驱动点特性用分段线 性化表示，则DP图中的每段折线都可用戴维 宁（诺顿）模型表示，从而每一段折线可形 成一个等效的线性一阶电路。
第六章 动态非线性电路的定性、定量方法
6-2 一阶非线性电路 6-3 相空间、轨道、平衡点 6-4 非线性方程线性化及平衡点类型 6-5 李雅普诺夫直接法 6-6 周期解与极限环 6-7 摄动法 6-8 平均法 6-9 谐波平衡法
§6-2 一阶非线性电路
用一阶非线性微分方程描述的电路称为一阶 段非线性电路。
dq Ψ
列写状态方程： dt L
dΨ kq q3 dx
图6-8 L,C串联电路
§6-3 相空间、轨道、平衡点
k=1和k=-1时的相图如下图所示：
Ψ
k=-1时的相图
O
q
k=1时的相图
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
一、非线性方程的线性化
非线性方程的线性化方法就是把给 定的非线性方程在其平衡点或奇点 附近予以线性化，而用所得线性方 程确定非线性方程的轨道的形状。
相空间与向量x在空间中的轨道总称为相图。
§6-3 相空间、轨道、平衡点
一、基本概念
3 自治系统具有时不变性
dxi dt

f
i (x1, x2 ,...xn )
相空间中由不同初值
决定的式6-4的轨道永
不相交或就是同一条
轨道。
右端不显含t，具有时不变性。 轨道取决于初始位置x0，而与 初始时刻t0无关。
若还有
lim
t
x(t)

xs
成立，则称平衡点是按李雅普
诺夫意义渐进稳定的。
如果不存在δ(ε)，称平衡点是不稳定的。
§6-5 李雅普诺夫直接法
一、李氏稳定性的概念 二维系统稳定的几何意 义如图6-16所示。
图6-16 平衡点的稳定性
§6-5 李雅普诺夫直接法
二、李氏稳定性判断定理
1 平衡点稳定性定理
A的特征值
λ1 ， λ2为实数， λ1<0, λ2<0 λ1 ， λ2为实数， λ1>0, λ2<0
λ1 ， λ2为实数， λ1λ2<0 λ1 ， λ2为共轭复数，Re λ1>0 λ1 ， λ2为共轭复数，Re λ1<0
λ1 ， λ2为虚数
平衡点类型
稳定结点 不稳定结点
鞍点 不稳定焦点
稳定焦点 中心
（6-4）
dxi dt

f
i (x1, x2 ,...xn , t)
（6-3）
对6-3式可能无数条轨道 通过相空间的同一点。
§6-3 相空间、轨道、平衡点
二、二阶自治系统、平衡点
二阶自治系统只含两个状态变量，因此相空间是 二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为状 态平面或相平面。
二阶自治系统的状态方程为：
x=X(x,y) 或
y=Y(x,y)
dy Y (x, y) dx X (x, y)
二阶自治系统使X(x,y)=0、Y(x,y)=0 的坐标点称为平衡点。
由于X(x,y）、Y(x,y)
为非线性函数，可存 在多个平衡点
§6-3 相空间、轨道、平衡点
二、二阶自治系统、平衡点
设线性电感L与非线性电容串 联的二阶非线性电路如图6-8 所示，其中非线性电容的库 伏特性为v=kq+q3。试确定 k=1和k=-1时电路的相图和平 衡点。
(a)
(b)
图6-13 拐结点
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型
(a)
(b)
图6-14 焦点
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型
图6-15 中心
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
表6-2 非线性方程平衡点类型与线性化后平衡点类型关系表
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型
(a)
(b)
图6-11 结点
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型
(a)
(b)
图6-12 鞍点
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型
§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型
对角型
若当型
共轭型
M 1AM

1

0
0
2

M
1 AM



0
1


M
1 AM





§6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型
表6-1 平衡点类型与系数矩阵特征值关系表
dxi dt

f
i (x1, x2 ,...xn , t)
描述的系统为 非自治系统
（6-3）
若系统是时不变的，且激励也不随t变化，上述方 程中的t不以显含形式出现，即
dxi dt

f
i (x1, x2 ,...xn )
（6-4）
描述的系统 为自治系统
§6-3 相空间、轨道、平衡点
一、基本概念
2 相空间、轨道、相图 n维状态向量组成了n维空间称为相空间。 式6-3或6-4的解xi(t)在空间随t运动，当t为某一确 定值时，它是相空间的一个点——相点（对应n 个坐标 x1, x2…xn），当t变化时，它是相空间的 一条有向曲线，称为轨道。
线性方程的平衡点
稳定结点 不稳定结点
鞍点 不稳定焦点
稳定焦点 中心
非线性方程的平衡点
稳定结点 不稳定结点
鞍点 不稳定焦点
稳定焦点 不确定
§6-5 李雅普诺夫直接法
一、李氏稳定性的概念
如果对于任何给定的ε>0,存在δ(ε)>0,使得对任何起 始点x0=x(t0),只要距离||x(t0)-xs ||<δ,且对所有的t都 有||x(t)-xs ||< ε成立,就称平衡点是按李雅普诺夫意 义稳定的。