充分非必 要条件
如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数W(x) 沿
着状态方程x=f(x)的解轨道的时间导数是非正的，则 平衡点是稳定的。如果 d W ( x ) 是正定函数，则
dt
平衡点是渐进稳定的。
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§6-5 李雅普诺夫直接法
二、李氏稳定性判断定理 2 平衡点不稳定定理 设原点是平衡点且在其邻域中存在一个连续的标量 函数W(x)，当x=0时有W(0)=0。若函数沿着状态方程 x=f(x)的解轨道的时间导数是正定函数，而且在任意 接近平衡点处至少有一点x1，使得W(x1)>0，则原点 是不稳定平衡点。
鞍点 不稳定焦点 稳定焦点
中心
非线性方程的平衡点
稳定结点 不稳定结点
鞍点 不稳定焦点 稳定焦点
不确定
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§6-5 李雅普诺夫直接法
一、李氏稳定性的概念
如果对于任何给定的ε>0,存在δ(ε)>0,使得对任何起 始点x0=x(t0),只要距离||x(t0)-xs ||<δ,且对所有的t都 有||x(t)-xs ||< ε成立,就称平衡点是按李雅普诺夫意 义稳定的。
dxi dt
f
i(x1,x2,...xn,t)
（6-3）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对6-3式可能无数条轨道 通过相空间的同一点。
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§6-3 相空间、轨道、平衡点
二、二阶自治系统、平衡点
二阶自治系统只含两个状态变量，因此相空间是 二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为状 态平面或相平面。
二阶自治系统的状态方程为：
x=X(x,y) 或
如果极限环存在，则内部至少有一个平衡 点；如果没有平衡点，则一定不存在极限 环；如果只有一个平衡点，且指数不为+1， 则不存在极限环；如果只有一个指数为+1 的平衡点，且平面上每条轨线多趋向于它， 则极限环也不存在。
