行列式的定义

行列式定义推导
行列式是一个数学概念，通常用于线性代数中。

它最初是由数学家莱布尼茨在17世纪提出的，用于解决线性方程组的问题。

行列式的定义和性质在矩阵理论、线性变换、微分方程等多个领域都有广泛的应用。

行列式的定义有多种方式，其中一种常见的是通过排列和逆序数的概念来定义。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。

按照定义，|A|是所有取自A的n个不同行、n个不同列的元素的乘积的代数和，其中每个元素的符号由它所在的行号和列号共同决定。

具体来说，对于A中的元素a_ij（i为行号，j为列号），它的符号是(-1)^(i+j)，即当i+j 为奇数时符号为负，为偶数时符号为正。

在推导行列式的定义时，我们可以从二阶行列式开始，逐步推广到n阶行列式。

对于二阶行列式，它只有两个元素，所以定义相对简单。

当推广到n阶行列式时，我们通常使用拉普拉斯展开式或递归定义来计算。

拉普拉斯展开式是将行列式按照某一行或某一列展开，得到一系列低阶行列式的和。

递归定义则是通过行列式的性质，如行列式的转置性质、行列式的行列性质等，来逐步计算出行列式的值。

行列式的定义和性质具有很多重要的应用。

例如，在解线性方程组时，行列式可以用于判断方程组的解的情况；在矩阵理论中，行列式可以用于判断矩阵是否可逆、计算矩阵的逆等；在微分方程中，行列式可以用于判断线性微分方程组的解的存在性和唯一性等。

因此，行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它的定义和性质值得我们深入学习和理解。

行列式原始定义行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述一个矩阵的性质和特征。

行列式的原始定义是通过矩阵的元素进行计算的。

它是一个标量值，可以用来衡量矩阵的体积、面积或者某种特定性质。

在介绍行列式的原始定义之前，我们先来了解一下什么是矩阵。

矩阵是线性代数中的一个基本概念，它由m行n列的数按一定顺序排列而成。

矩阵可以用来表示一组线性方程的系数或者表示一个线性变换。

行列式的原始定义可以通过递归的方式来构造。

对于一个2x2的矩阵：\[A = \begin{bmatrix}a &b \\c &d \\\end{bmatrix}\]它的行列式定义为：\[det(A) = ad - bc\]其中，a、b、c、d分别为矩阵A的元素。

这个定义可以很直观地理解为矩阵的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。

对于一个3x3的矩阵：\[A = \begin{bmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i \\\end{bmatrix}\]它的行列式定义为：\[det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh\]其中，aei、bfg、cdh分别为矩阵A的三个主对角线上的元素的乘积，ceg、bdi、afh分别为矩阵A的三个副对角线上的元素的乘积。

可以看出，随着矩阵的大小增加，行列式的计算变得越来越复杂。

因此，我们需要一种更简洁的方法来计算行列式。

这就引出了行列式的性质和定理。

行列式有许多重要的性质和定理，它们可以用来简化行列式的计算。

其中最重要的性质是行列式的线性性质。

对于一个n阶矩阵A，如果将它的第i行的元素乘以一个数k，并加到第j行上，得到一个新的矩阵B，那么两个矩阵的行列式之间有以下关系：\[det(B) = det(A) + k \cdot det(C)\]其中C是将A的第i行的元素乘以k之后得到的矩阵。

行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。

行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。

本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。

行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。

行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。

掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。

对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。

二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。

选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。

【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。

考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。

行列式相乘规则行列式相乘规则是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵运算和方程求解中有着广泛的应用。

本文将介绍行列式的基本概念和相乘规则，并通过一些具体的例子帮助读者更好地理解和应用这一规则。

1. 行列式的定义和性质行列式是一个方阵的一个重要的特征值，它用来描述方阵线性相关性、可逆性以及空间变换效果。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，表示为：det(A) = |a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|2. 行列式的乘法规则若A、B分别为n阶和m阶的矩阵，且n=m，则A和B的乘积AB是一个n阶方阵。

行列式相乘的规则可以表示为：det(AB) = det(A) * det(B)这一规则的推导可以通过展开式和代数余子式的概念来进行。

由于篇幅限制，我这里就不展开详细的推导过程了，感兴趣的读者可以查阅相关资料深入学习。

3. 相乘规则的应用举例为了更好地理解和应用行列式相乘规则，让我们通过一些具体的例子来说明。

例子一：考虑两个2阶方阵A和B：A = |1 2||3 4|B = |5 6||7 8|首先计算A和B的行列式：det(A) = 1 * 4 - 2 * 3 = -2det(B) = 5 * 8 - 6 * 7 = -2然后计算AB得到的方阵：A *B = |1 2| * |5 6| = |-4 -6||3 4| |-10 -12|由于det(A) = -2，det(B) = -2，所以根据行列式相乘规则，det(AB) = det(A) * det(B) = (-2) * (-2) = 4。

例子二：考虑一个3阶方阵C：C = |2 1 3||0 -1 4||1 2 5|首先计算C的行列式：det(C) = 2 * (-1) * 5 + 1 * 4 * 1 + 3 * 0 * 2 - 3 * (-1) * 1 - 1 * 0 * 3 - 2 * 4 * 2 = -6然后考虑C的平方C^2：C^2 = C * C = |2 1 3 | * |2 1 3 | = |-3 0 13 ||0 -1 4| |4 5 22||1 2 5 | |9 12 54|同样地，根据行列式相乘规则，det(C^2) = det(C) * det(C) = (-6) * (-6) = 36。

行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。

在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。

本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。

一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。

行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。

对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。

对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。

行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。

行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。

对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。

2阶： 3阶：。

但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。

二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。

两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。

并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。

如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。

行列式是一个双线性映射。

三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。

三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。

同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。

这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。

基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。

这并不是说平行六面体的体积不唯一。

恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。

可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。

也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。

行列式行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作或。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

无论是在线性数，多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。

十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。

十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。

十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。

矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间可以成为描述“体积”的函数。

竖直线记法矩阵A的行列式有时也记作|A|。

绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的方法混淆。

不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。

此外，矩阵的绝对值是没有定义的。

因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。

例如，一个矩阵：，行列式也写作，或明确的写作：，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代。

直观定义一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：其中，S n是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对S n全部元素的求和，即对于每个σ∈S n，在加法算式中出现一次；对每一个满足1 ≤i, j≤n的数对(i, j)，a i, j是矩阵A的第i行第j列的元素。

sgn(σ)表示置换σ∈S n的符号差，具体地说，满足1 ≤i < j≤n但σ(i) > σ(j)的有序数对(i, j)称为σ的一个逆序。

如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) -1。

⾏列式的意义三、⾏列式的⼏何意义：⾏列式的定义：⾏列式是由⼀些数据排列成的⽅阵经过规定的计算⽅法⽽得到的⼀个数。

当然，如果⾏列式中含有未知数，那么⾏列式就是⼀个多项式。

它本质上代表⼀个数值，这点请与矩阵区别开来。

矩阵只是⼀个数表，⾏列式还要对这个数表按照规则进⼀步计算,最终得到⼀个实数、复数或者多项式。

⼀阶⾏列式（注意不是绝对值）⼆阶⾏列式三阶⾏列式N阶⾏列式⾏列式的⼏何意义是什么呢？概括说来有两个解释：⼀个解释是⾏列式就是⾏列式中的⾏或列向量所构成的超平⾏多⾯体的有向⾯积或有向体积；另⼀个解释是矩阵A的⾏列式detA就是线性变换A下的图形⾯积或体积的伸缩因⼦。

这两个⼏何解释⼀个是静态的体积概念，⼀个是动态的变换⽐例概念。

但具有相同的⼏何本质，因为矩阵A表⽰的（矩阵向量所构成的）⼏何图形相对于单位矩阵E的所表⽰的单位⾯积或体积（即正⽅形或正⽅体或超⽴⽅体的容积等于1）的⼏何图形⽽⾔，伸缩因⼦本⾝就是矩阵矩阵A表⽰的⼏何图形的⾯积或体积，也就是矩阵A的⾏列式。

⼆阶⾏列式的⼏何意义：⼆阶⾏列式的⼏何意义是xoy平⾯上以⾏向量为邻边的平⾏四边形的有向⾯积。

⼆阶⾏列式的⼏何意义就是由⾏列式的向量所张成的平⾏四边形的⾯积。

另外，两个向量的叉积也是这个公式。

⼆阶⾏列式的另⼀个意义就是是两个⾏向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在⼆维平⾯上，z轴的正向想象为指向读者的⽅向）的叉积分量。

如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。

如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么⼆阶⾏列式就与两个向量的叉积完全等价了。

⼆阶⾏列式性质的⼏何解释：两向量在同⼀条直线上，显然围成的四边形的⾯积为零，因此⾏列式为零这个性质由⾏列式的叉积特性得到，交换⾏列式的两⾏，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此⾏列式换号。

把⾏列式的⼀⾏的k倍加到另⼀⾏，则⾏列式值不变，即矩阵的⾏列式等于其转置矩阵的⾏列式（根据⾏列式的定义可证）总结：（1）⽤⼀个数k乘以向量a,b中之⼀的a，则平⾏四边形的⾯积就相应地增⼤了k倍；（2）把向量a,b中的⼀个乘以数k之后加到另⼀个上，则平⾏四边形的⾯积不变；（3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平⾏四边形(即单位正⽅形)的⾯积为1。

定义1 由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级排列.例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个.排列12n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()n i i i τ或τ.例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设在一个n 级排列12n i i i 中，比(1,2,,)t i t n =大的且排在t i 前面的数共有i t 个，则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即12121().nn n i i i i i t t t t τ==+++=∑例1 计算排列45321的逆序数.解 因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4．可见所求排列的逆序数为(45321)002349τ=++++=．定义3 如果排列12n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n 的逆序数是0，因此是偶排列.2.对换定义1 在排列12t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实. 定理1 对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.3.n 阶行列式定义1 设有2n 个数，排成n 行n 列的表：111212122212n n n n nna a a a a a a a a作出表中位于不同行列的n 个数的乘积，并冠以符号(1)τ-，得到!n 个形如1212(1)n j j nj a a a τ-的项，其中12n j j j 为自然数1,2,,n 的一个排列，τ为这个排列的逆序数.所有这!n 项的代数和121212(1)n nj j nj j j j a a a τ-∑称为n 阶行列式，记作1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑.其中12nj j j ∑表示对所有的n 级排列12n j j j 求和.行列式有时也简记为det()ij a ，这里数ij a 称为行列式的元素，1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ-称为行列式的一般项.定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点： ①由于n 级排列的总数是!n 个，所以展开式共有!n 项； ②每项必须是取自不同行不同列的n 个元素的乘积；③每项前的符号取决于n 个元素列下标所组成排列的奇偶性.要注意的是，当1n =时，一阶行列式a a =，不要与绝对值记号相混淆. 例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).1(1)2,1212,111(1)nn n n n n n n a a a a a a ---=-.证 根据n 阶行列式的定义易得121nnn a a a (1)((1)21)212,1112,11(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=-.上例中行列式，其非副对角线上元素全为0，此类行列式可以直接求出结果，例如0001002003004000(4321)(1)123424τ=-⨯⨯⨯=. 证毕类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有11221122nn nna a a a a a =.主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.例2 计算上三角形行列式1112122200n n nna a a a a a .解 一般项为1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ-，现考虑不为零的项.n nj a 取自第n 行，但只有0nn a ≠，故只能取n j n =；11,n n j a --取自第1n -行，只有1,11,0,0n n n n a a ---≠≠，由于nn a 取自第n 列，故11,n n j a --不能取自第n 列,所以11n j n -=-；同理可得，2212,,2,1n j n j j -=-==.所以不为零的项只有(12)11221122(1)n nn nn a a a a a a τ-=.所以11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =.在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，n 阶行列式的项可以写成1122n n i j i j i j a a a其中1212,n n i i i j j j 是两个n 级排列.利用定理1.1.1，可以给出n 阶列式另一种表示法.定理1 n 阶行列式也定义为1212112212121112121222()()12(1).n n n n n nn n i i i j j j i j i j i j i i i j j j n n nna a a a a a a a a a a a ττ+=-∑推论 n 阶行列式也定义为1212121112121222()1212(1).n n nn n i i i i i i n i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑例2 在四阶行列式中，21321443a a a a 应带什么符号？ 解 1）按定义1.1.5计算.因为2132144314213243a a a a a a a a =，而4123的逆序数为(4123)01113τ=+++=，所以21321443a a a a 的前面应带负号.2）按定理1.1.2计算.因为21321443a a a a 行指标排列的逆序数为(2314)00202τ=+++=，列指标排列的逆序数为(1243)00011τ=+++=.所以21321443a a a a 的前面应带负号. 4、行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212.n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a =性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零. 性质3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即111211112112121212.n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 第i 行(或列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或i c k ⨯).推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零. 推论3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.性质4 若行列式中第i 行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第i 行（列）的元素，而除去第i 行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++ 111211112112121212nn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a ab b b a a a a a a =+. 若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n个行列式.如a xb y a b yx b yc zd wc d wz d w++++=+++++a b a yx b x yc dc wz dz w=+++性质5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变. 例如以数k 乘第j 行加到第i 行上（记作j i kr r +），有111211112112112212121212n n i i ini j i j in jnj j jn j j jn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=.以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.第二讲 行列式的计算教 学 目 的：掌握行列式的计算 教学重点与难点：行列式的计算 教学计划时数：2学时 教 学 过 程：1、化行列式为三角行列式来计算性质2，3，5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即i j r r ↔，k i ⨯γ，j i kr r +和i j c c ↔，i c k ⨯，j i kc c +.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算j i kr r +（或j i kc c +）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：把行列式化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例1 计算行列式.011212120112110-----=D解 313112211021102011201121212011221100314r r r r r r D+-↔------------==32324331102110201120112002400240222r r r r r r ++-------------==1(1)(2)(2)4=-⨯-⨯-⨯-=.例2 计算n 阶行列式n a b b b b a bb D b b ab b b ba=. 解 注意到此行列式中各行（列）的n 个数之和相等，故可把第二列至第n 列都加到 第一列上去，然后各行都加上第一行的（－1）倍，就有12(1)(1)(1)(1)nc c c na nb bbb a n b a b b D a n b b a b a n b b ba ++++-+-+-+-=21311(1)000000n r r r r r r a n bbbb a b a b a b---+----=1[(1)]().n a n b a b -=+--按本例，特别地有：4131111311[3(41)1](31)4811311113-=+-⨯-=.2、行列式按行（列）展开定理定义1 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，余下的（1-n ）阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ；再记ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如，对三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 元素12a 的余子式和代数余子式分别为2123123133a a M a a =，2123121212123133(1)a a A M M a a +=-=-=-.有了定义1，三阶行列式可以写成111213212223111112121313313233a a a a a a a M a M a M a a a =-+ 111112121313a A a A a A =++.引理 一个n 阶行列式D ,若其中第i 行（或第j 列）所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij A a D =.定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理. 我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.例3 计算行列式12341012.3110125D =--解 因为D 中第二行的数字比较简单，所以选择D 的第二行.应用性质5得314121222100031461217c c c c D -------=222146217=按第二行2＋1展开（－1）－－－－－ 2131111100146135217239c c c c --＝22－－－－＝2(2715)24=-+=-35=2-3-9.例4 计算n 阶行列式000000000000n a b a b D a b b a=.解 将n D 按第1列展开，则有1(1)(1)0000000000(1)0000000000n n n n a b b a a b D aba b b a a b +--=+-1111(1)(1)n n n n n n a a b b a b -+-+=⋅+-⋅=+-.例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121∏≥>≥----==j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.因为221211211()i j i j D x x x x x x ≥>≥==-=-∏， 所以当2n =时公式成立.现假设公式对于（1n -）阶范德蒙德行列式成立，要证对n 阶范德蒙德行列式也成立.对n D 降阶：从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有2131122133112222213311111100()()(),0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------ 按第一列展开，并把每列的公因子1()(2,3,,)i x x i n -=提出，得到232131122223111()()(),nn n n n n nx x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端的行列式是（1n -）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子()(2)i j x x n i j -≥>≥乘积.故213112()()()()n n i j n i j D x x x x x x x x ≥>≥=----∏1().i j n i j x x ≥>≥=-∏证毕由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是12,,n x x x 这n 个数中至少有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如2222333311112345(54)(53)(52)(43)(42)(32)1223452345=------=.第三讲 习题课教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.教学计划时数：2课时 教 学 过 程：1 内容精要排列，排列的逆序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算.2 知识脉络图12121212n nj j nj n j j j ki kj n D a a a j j j n D a A ττ=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=∑排列,排列的逆序数，奇（偶）排列阶行列式的定义：(-1)，为排列的逆序数（不同行不同列的个元素乘积的代数和）两个翻：全翻（转置）不变，部分翻（交换）变号三个零：某行（列）元素全为零，两行（列）对应位置元素相等，性质两行（列）对应位置元素成比例三个可性：可提性，可分性，可加性行列式按行（列）展开:展开式111n n ik jkk k t i i i a A D M A ===⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩∑∑∑拉普拉斯展开：基本方法：定义法，三角形法，展开法计算方法特殊方法：对角线法则，范德蒙德行列式，递推公式，数学归纳法，加边法，拆开法，三对角行列式等3典型例题例1用行列式定义计算行列式01000020000100n D n n =-解： n D 仅有位于不同行、不同列的n 个非零元素，即1,12,21,11,2,,1,n n n nn a a a n a n ---===-=.因此n D 的!n 项中仅有一项非零，故((1)(2)21)1,12,21,1(1)n n n n n n n nn D a a a a τ-----=-.因为(2)(1)((1)(2)321)(2)(3)32102n n n n n n n τ----=-+-+++++=，所以(2)(1)2(1)!n n n D n --=-.例2 计算行列式.2111712164112324--=D分析 对于元素是数字的行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算，或将其某一行（列）化成有较多0元素之后，再按该行（列）展开降阶.解法一（化为三角形行列式）05205910354021011232171216412113412134124--------++↔r r r r r r r r D ＝＝102300174100591210105203540591210123243242----------↔r r r r r r ＝＝2300355910210110230025059102101344342-----+-r r r r ＝＝.19 190007100591021012300710059102101344332-=-------+r r r r ＝＝解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）001591235415432131244--++c c c c D ＝591354543)1()1(14--⨯-=+0011741410233121395------c c c c ＝3123101(1)19.4117+--=⨯-=---注 上述两种解法是计算数字行列式常用的方法. 例3计算行列式1n D +=012112200000n nna b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 111012112,3,,2000000j j jcj ja j nc b n a j c c nj nn a b b b a D a a --=-=-∑＝012121()j j jnc b n n a j a a a a a a a ==-∑.注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.计算行列式1n D +=012112200000n nna b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 111012112,3,,20000000j j jcj ja j nc b n a j c c nj nna b b b a D a a --=-=-∑＝012121()j j jnc b n n a j a a a a a a a ==-∑.注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.例4 计算行列式123123123123nn n n n x m x x x x x m x x D x x x mx x x x x m--=--.分析 该行列式具有特点：各行（列）的元素之和相同，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解.解法一 从第2列起将各列加到第1列，然后从第2行起各行加上第1行的（－1） 倍，得231231231231ni n i ni n i nn i ni ni n i x mx x x x mx m x x D x mx x mx x mxx x m====---=----∑∑∑∑2310000000ni ni x mx x x m m m=--=--∑11()()nn i i x m m -==--∑.解法二 把行列式的第1行乘以)1(-分别加到第n , ,3 ,2 行上去，然后依次将第n , ,3 ,2 列加到第1列，得1230000n n x mx x x m m D m m mm--=-- 2310000000nin i x mx x x m m m=--=--∑11()()nn i i x m m -==--∑.例5 计算n 阶行列式n x x xy D y yλαβββαβββα= )2(≥n . 分析 这个行列式大部分元素相同，所以问题的关键是想办法变出尽可能多的零. 解 从第二行开始，各行都减去第n 行，然后从第二列开始，各列都加到最后一列，再按第一列展开，得00000000n x x xxD yλαββααββααββαβββα----=--(1)000000000(2)x xx n x yn λαβαβαββββαβ---=-+-(1)0000000(2)n n αβαβλαββββαβ---=-+-1(1)(1)000(1)0000n n x x xn x y αβαβαβ+---+---212)()1()1()1(])2([)(-+-----+-+-=n n n n xy n n βαβαβαλ ].)1()2([)(2xy n n n ---+-=-λβλαβα注 结合行列式的性质，利用行列式的展开定理计算行列式，这是计算n 阶行列式的又一重要方法.例6 证明：0121101110000100000001n n n n n n a a a a a x x a x a x a x a x x-----=++++-.证明 用数学归纳法. 记左边行列式为1n D +，则 当1n =时，012011a a D a x a x==+-，命题成立.假设n k =时，11011k k k k k D a x a x a x a -+-=++++，则当1n k =+时，0121210000100000001k k k a a a a a x x D x x++--=-.对2k D +按第(2)k +列展开，得(2)1211(1)1000010(1)000100001k k k k k x xD xD a x ++++++--=+---1310111()(1)(1)k k k k k k k x a x a x a x a a -++-+=+++++--111k k k k x a x a x a ++=++++.因此由数学归纳法，命题对一切正整数n 成立.例7 利用范德蒙德行列式计算下列行列式(1)111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---++++++ (2)222333123123123123nnnn n n n 分析 这两个行列式与范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续进行下去，共经过交换2)1(+n n 次行后可化为范德蒙德行列式；对(2)只要每列提出公因数1,2,,n ，也可化为范德蒙行列式.。

行列式的三种定义
行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它在线性代数、微积分、微分方程等数学领域中都有广泛的应用。

行列式的概念可以通过三种不同的方式进行定义。

第一种定义是代数定义，即行列式是一个多项式，它的系数是矩阵中不同行不同列元素的乘积。

例如，一个2×2矩阵的行列式可以表示为(ad-bc)。

这种定义方法可以通过展开式来计算行列式的值。

第二种定义是几何定义，即行列式表示由矩阵列向量组成的平行六面体的有向体积。

例如，一个2×2矩阵的行列式可以表示为由列向量组成的平行四边形的面积。

这种定义方法非常直观，也可以用来解释行列式的一些性质。

第三种定义是线性映射定义，即行列式是一个线性映射对空间体积的缩放因子。

例如，一个2×2矩阵的行列式表示由线性映射所作用的空间体积的缩放因子。

这种定义方法适用于更高维的矩阵，也可以解释为行列式的性质。

这三种定义方法可以互相转化，可以根据具体情况选择不同的定义方法来计算行列式的值。

在实际应用中，三种定义方法都有其独特的优势。

- 1 -。

第一次讲义 行列式定义
第一章 行列式
§1.1 行列式的定义
1 基本概念
排列 7654321i i i i i i i
逆序
1） 逆序通过 具体实例来讲解
2） 讲解完后要继续讲解 奇排列 偶排列 对换
3） 练习计算逆序，并且通过练习总结结论：书上
24页
对换一次改变排列奇偶性，奇排列数=偶排列数。

2 行列式定义
1) 先从形式上定义一阶行列式、二阶行列式、三阶行列式、四阶行列式。

要求在黑板上板书出来。

尤其是n 阶行列式的一般表示法。

要求会确定每个元素的两个下标。

2) 行列式是一个数，n!个乘积的和。

通过具体三阶行列式来解释概念。

例题1 9
876543
21 解释行列式定义。

A 选取不同行不同列的元素。

乘积： 924⨯⨯，951⨯⨯，672⨯⨯，186⨯⨯，753⨯⨯，348⨯⨯
符号：
得数：
求和：
B 不同的选取不会影响结果。

引导学生考虑这个问题。

然后就4,2,9这组数进行讨论，得出结果。

C 有以上讨论，可以按照从第一行取一个元素，第二行取一个元素的顺序来选取n 个元素，得出行列式的定义：
此处没有给出定义
3 例题讲解
例题1 对角行列式，上下三角行列式
例题2 二阶行列式、三阶行列式
4 课堂练习
书24页2题，3题，5题第一题。

5 布置作业
6 总结。