求解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性方程组
4k1k2e−ik1a C= A 2 −ik2a 2 ik2a (k1 +k2) e −(k1 −k2) e
′ A=
2 2 2i(k1 −k2 )sin k2a
(k1 −k2) e
2 ik2a
−(k1 +k2) e
2 −ik2a
A
（3）讨论
关心的问题：粒子被反射 和透射的可能性有多大？
（2）解方程
ψ ″ + k 2ψ = 0 1 1 1 ″ ψ 2 + k 22ψ 2 = 0 ″ ψ 3 + k12ψ 3 = 0
x≤0 0< x<a x≥a
I II III
解得： ψ 1 = Aeik1x + A′e −ik1 x ψ 2 = Beik2 x + B′e −ik2 x ψ 3 = Ce ik1x + C ′e −ik1x
其中k3=[2µ(V0-E)/ ℏ]1/2。 把前面公式中的 k2 换成 ik3， 并注意 sin ik3a = i sh k3a，得：
4 k12 k 32 = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a + 4 k12 k 32 ( k12 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a + 4k12 k 32
′ A=
2 2i(k12 −k2 )sin k2a
(k1 +k2) e
2 −ik2a
−(k1 −k2) e
2 ik2a
A
透射系数
2 J D | C |2 4 k 12 k 2 D= = = 2 2 2 2 JI | A| ( k1 − k 2 ) 2 sin 2 k 2 a + 4 k 12 k 2
（1）方程
2 2
V(x) V0 E I 0 II a III x
ℏ d [− + V ]ψ ( x ) = E ψ ( x ) 2 2 µ dx
″ + 2µEψ =0 ψ1 x ≤0 1 ℏ2 ″ 2µ ψ 0< x < a 2 + ℏ2 [E−V ] 2 =0 0ψ ″ µ 3 + 2ℏ2Eψ3 =0 ψ x ≥a
透射系数和反射系数 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。
其物理意义描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂 直 x方向的单位面积的 数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比。
I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比 D = JD/JI II 反射系数： 反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比 R = JR/JI
]
2
透射系数
2 4k12 k3 4 D≈ 2 = 1 k1 k3 2 2 k3a 2 2 1 2 k3a 2 2 ( k1 + k3 ) 4 e + 4k1 k3 4 [ k3 + k1 ] e +4
k1 k3
+
k3 k1
必大于
1 , 且当 k 3 a >> 1时， e 2 k 3 a >> 4 , 则
波函数标准条件确定系数
ψ 1 ψ 2 ψ 3 = Ae = Be = Ce
ik 1 x ik 2 x ik 1 x
势能在无穷远为有限值，无穷远处 波函数为0的条件没有了 式中第一项是沿x正向传播的平面波，第 二项是沿x负向传播的平面波。在 x > a 的III 区没有反射波，所以 C‘=0。
+ A ′ e − ik 1 x + B ′ e − ik 2 x
波函数连续
x = 0: ′ ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A+ A = B+ B′
x=a: ψ 2 (a ) = ψ 3 (a ) ⇒ Be ik 2 a + B ′e − ik 2 a = Ce ik 1 a
波函数导数连续
x = 0: ψ1' (0) =ψ 2 ' (0) ⇒ ik1 A − ik1 A′ = ik2 B − ik2 B′
反射系数
透射系数等于1？？
2 JR | A ′ |2 ( k 12 − k 2 ) 2 sin 2 k 2 a R= = = 2 2 2 JI |A| ( k 12 − k 2 ) 2 sin 2 k 2 a + 4 k 12 k 2
D+R=1，说明？
e x − e− x shx = 方程、 3. Schrodinger方程、解及讨论 方程 2 e x + e−x --------E < V0情况 E chx = 2 因 k2=[2µ(E-V0)/ ℏ]1/2，当 E < V0 时，k2 是虚数，令： k2=ik3，
3. Schrodinger方程、解及讨论
--------E > V0 情况
4. 应用实例
1.模型
V(x) V0 E I 0 II a III x
V0 V(x) = 0
0< x <a x ≤ 0, x≥a
一般情况----任意形状的势垒
2. Schrodinger方程、解及讨论 方程、 方程 --------E > V0 情况
V(x) E
贯穿势垒V(x) V(x)的 则 x1 → x2贯穿势垒V(x)的 透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之和， 方势垒透射系数之和，即
b
0 a dx
2 µ ( V ( x ) − E ) dx
b
D = D 0 e ∫a
2 −ℏ
总结
1.没有写出波函数、能量的具体形式 2.写出了反射系数和透射系数 3.一些完全与经典力学不同的结论
D
R
1.即使 E < V0，透射系数 D 并不等于零？ 2.D=1？ 3. k3a >> 1时，D=？
即使 E < V0，透射系数 D 并不等于零？
V(x)
入射波+反射波 V0 透射波
0
a
x
隧道效应
粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象. 是粒子具有波动性的生动表现。当然， 是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现 象只在一定条件下才比较显著。 象只在一定条件下才比较显著。
D=1？
D
当k3a >> 1时，D=？
4 k12 k 32 = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sinh 2 k 3 a + 4 k12 k 32
即 垒 宽 高 于 ： k3a >>e−k3a,则 势 既 又 ， 是 e sh (k3a) = (e
2 1 2
[
k3a
−e
−k3a
) ≈ 1 e2k3a 4
若a=5× 10-8cm = 5 Å， 则 D ≈ 0.024，可见 透射系数迅速减小。
可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。
任意形状的势垒
可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒， 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。 似用方势垒处理。
对每一小方势垒透射系数
dD = D0e
2 − ℏ 2 µ (V ( x ) − E )dx
= D0 e
− 2 k3a
D≈
16 e − 2 k 3a k 3 [ k13 + k1 ]2 k
= D0 e
− 2ℏa 2 µ (V0 − E )
D0 =
16 E (V0 − E ) = 16 k V02 [ k1 + k13 ]2 k 3
相当于E 是一常数。 当 k1 ≈ k3 时（相当于 ≈V0/2）, 则 D0 = 4是一常数。 ） 是一常数
几率流密度矢量：
i J = 2ℏ [ ∇ ∗ −ψ∗∇ ] ψ µ ψ ψ
一 ： = 2ℏ [ dxψ∗ − ∗ dxψ] 维 J iµ ψ d ψ d
入射波波函数
ψ i = Aeik x
1
入射波几率流密度
JI = iℏ d ∗ − ik1 x d kℏ [ Ae ik1 x Ae Ae ik1 x = 1 | A |2 − A∗ e − ik1 x 2µ dx dx µ
解Schrodinger方程的步骤
1.模型
2.写出Schrodinger方程
3.解方程 4.由边界条件（波函数标准条件）确定常数 5.确定能量 6.确定归一化常数、波函数 7.讨论
§2.8 势垒贯穿
---一维势散射
1.模型 2. Schrodinger方程、解及讨论
--------E > V0 情况
令： k k
2 1 2 2
= =
2 µE ℏ2 2 µ ( E −V0 ) ℏ2
ψ ″ + k 2ψ = 0 1 1 1 ″ 2 ψ 2 + k2ψ 2 = 0 ″ 2 ψ 3 + k1 ψ 3 = 0
x≤0 0< x<a x≥a
I II III
E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0
问
题
1.势阱和线性谐振子在无穷远处势能为无穷大，波函数都 为零，粒子处于束缚态，能量是分离的。 如果在无穷远势能有限，波函数在无穷远不为零，怎样？ 其能量是连续的，组成连续谱。这个问题属于散射问题。 2.在经典力学里，如果粒子的总能量比势垒大，粒子能顺 利的越过势垒；如果粒子的能量没有势垒大，则粒子不能 越过势垒。 量子力学里，情况是怎样的？
