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S(五章3讲)势垒贯穿

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量子力学——谐振子、势垒贯穿

量子力学——谐振子、势垒贯穿
散射
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,




2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2

量子力学3.4666势垒贯穿

量子力学3.4666势垒贯穿

（7）
以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 x a 的III区域， 另一部分则被势垒反射回来。
D R 1
表明粒子数守恒
§2.8 势垒贯穿续5
（2）E<U0情形
V ( x)
1 2
2 k2 2 (E U0 )
令 其中
V0
是虚数
k 2 ik 3
1 2
I
II
III
4k12 k32 D 2 (k1 k32 ) 2 sh 2 ak3 4k12 k32
（9）
此结果表明，即使 E U 0，透射系数 D 一般不等于零。 隧道效应 （tunnel effect） 粒子能够穿透比它动 能更高的势垒的现象称为 隧道效应.它是粒子具有 波动性的生动表现。当然， 这种现象只在一定条件下 才比较显著。右图给出了 势垒穿透的波动图象。
代入
k1 k1 ik1a 1 C ik2 a { ( A A ') ( A A ')}e (1 )e 2 2k 2 2 k2
{ A(k1 k2 ) A '(k2 k1 )}eik2 a C (k1 k2 )eik1a
k2 k1 ik2 a ik1a C {A A ' }e e k1 k2
(k1 k2 ) 2 (k2 k1 ) 2 ) ik1a C { } Ae (k1 k2 ) 2 e ik2 a (k2 k1 ) 2 eik2 a
4k1k2 e ik1a C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k2 ) e (k2 k1 ) e
(k2 k1 ) (e e ) ik2 a ik1a C {1 } Ae e 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k2 ) e (k2 k1 ) e

物理-势垒和隧道效应

物理-势垒和隧道效应

三．扫描隧道显微镜 (STM)
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏 中的电子形成驻波。 “量子围栏－扫描隧道显微术的又一杰作”
三．扫描隧道显微镜 (STM)
1986诺贝尔物理学奖宾 尼：设计出扫描式隧道 效应显微镜
1986 诺 贝 尔 物 理 学 奖 罗雷尔：设计出扫描式 隧道效应显微镜
三．扫描隧道显微镜 (STM)
Gamov首先用势垒穿透成功说明了原子核的α衰变。后来人 们用来成功解释了电子穿越金属表面，金属电子的冷发射； 氢核穿越Couloms势垒发生核聚变等。
§3.5 势垒和隧道效应
怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理：粒子有波动性，遵从不确定原理， 粒子经过势垒区和能量守恒并不矛盾。
参考信号
隧道电流 不接触、不破坏样品
三．扫描隧道显微镜 (STM)
隧道电流i 与样品和针尖间距离d 的关系
i Ue A d A—常量
隧道电流 i
d —样品和针尖间的距离 U—加在样品和针尖间的微小电压
探针
U
—样品表面平均势垒高度
d
d
~
。 10A
Hale Waihona Puke 样品d 变~ 1 A。
i 变几十倍，非常灵敏。
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
隧道效应这种现象只在一定条件下才比较显著！
假设：k2a 1
shk2a
1 2
e k2a
§3.5 势垒和隧道效应
T 灵敏地依赖于粒子的质量m，势垒宽度a以及(U0-E)。
U 0 0.1eV
E 0.005eV 当U0-E=5eV，势垒的宽度约50nm 以上时，隧道效应在实际上已经没有 意义了。量子概念过渡到经典了。

量子力学-无限深势井

量子力学-无限深势井
2 2
当粒子在势场U(x,y,z) 中运动时，其定态Schrö dinger 方程为：
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
一维运动就是指在某 一方向上的运动。
4
第二章
（二）一维无限深势阱
0, U ( x) | x | a | x | a
n 1,2,3,
（1）n = 1, 基态，
2 2 E1 8a
与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能 量称为 “零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动 性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波” 没有意义。
13
第二章 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。
1 A , a
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类 推。 11
第二章
（三）宇称
（1）空间反射：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) ( r , t ) ( r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； ( r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。
2 d 2 [ U 1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ U 2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 [ d U 3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2

§3-6势垒贯穿、隧道效应Barrierpenetrationthet-解读

§3-6势垒贯穿、隧道效应Barrierpenetrationthet-解读
ika ika a
(15-39’)
a
De )
在（15-39'）中消去C、D、G可得比值： B (k 2 2 ) sh 2a 2ika { } e A 2ikcha (k 2 2 ) sha
而反射系数 2
|B| 4k 2 2 1 R { 1 } | A |2 (k 2 2 ) 2 sh 2a
i ( kx wt )
＊由自由粒子的波函数 ( x, t ) e
可得：
（15-3）
i E t i p x 2 2 2 p 2 x
（15-4）
＊由（15-1）式，对于自由电子v(x)=0，有
E
p
2
2m
0
乘以即得
p2 2 2 (E ) i 0 或即 2 2m t 2m t
•§3-5 Schoedinger 方程 *Schroedinger方程的建立
（Establishment of the Schroedinger equation）
＊Schroedinger方程是量子力学中最主要的一个方 程。但这一方程是Schroedinger “猜”出来的。
＊当时de Brogile波的概念刚刚传到瑞士苏黎世，在 Debye的学生Schroedinger 做关于物质波的报告时， Debye评价说，“有了波就应有波的方程”，不久， Schroedinger 就给出了物质波的波动方程。 *“导出” Schroedinger方程的一种方法
势垒贯穿(Barrier penetration) 考察粒子穿越如图（15-6‘）原子的势垒. • 按照经典的观点，当粒子的能量E＜V0时， 粒子穿过势垒的概率为零。而当E＞V0时， 这一概率为1.

势垒贯穿解读课件

势垒贯穿解读课件

微电子学
微电子学是研究在微米和纳米尺度下电子行为和应用的科学 。在微电子学中，势垒贯穿是一个重要的概念，用于描述电 子通过势垒的传输过程。
在微电子器件中，如晶体管、二极管和集成电路，势垒贯穿 决定了电子的流动和器件的性能。通过优化势垒参数，可以 提高器件的开关速度和降低能耗。
量子计算
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有经典 计算无法比拟的并行性和计算速度。势垒贯穿在量子计算 中扮演着关键角色。
结构设计
通过改变势垒的结构设计，如采用多 级势垒、异质结等结构，实现对电子 传输的更精细调控。
势垒贯穿与其他领域的交叉研究
物理与化学
势垒贯穿涉及到物理和化学等多个学 科领域，交叉研究有助于深入理解势 垒贯穿的机制和拓展其应用范围。
生物医学应用
势垒贯穿技术在生物医学领域如传感 器、诊断和治疗等方面具有潜在的应 用价值，开展交叉研究有助于推动相 关领域的发展。
量子比特是量子计算的基本单元，而势垒贯穿决定了量子 比特的相干性和演化过程。通过控制势垒参数，可以实现 量子比特的逻辑门操作和量子算法的实现。
纳米科技
纳米科技是一门研究在纳米尺度上设计和制备材料、器件和系统的科学。在纳米 科技中，势垒贯穿是一个重要的物理现象，影响纳米器件的性能和稳定性。
在纳米尺度下，材料和系统的性质与宏观尺度有很大的不同，因此需要深入研究 势垒贯穿的机制和规律。通过优化势垒参数，可以提高纳米器件的效率、稳定性 和可靠性。
深入了解实验中如何 观测和验证量子力学 中的现象。
THANKS
感谢观看
确保实验过程中使用的电压和电 流在安全范围内，避免对实验人
员和设备造成伤害。
实验精度要求
在实验过程中，要确保显微镜的焦 距、电压和电流的测量精度，以提 高实验结果的准确性。

势垒贯穿与应用解读

势垒贯穿与应用解读

势垒贯穿与应用 势垒贯穿设一个质量为m 的粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为： U(x)=0 x<0 和x>a U(x)=U 0 0≤x ≤a这种势能分布称为一维势垒。

粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a 的区域。

在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： 在各个区域的波函数分别表示为ψ1 ψ2 ψ3三个区间的薛定谔方程简化为：求出解的形式是)(),0(),0(a x a x x ≥I ∏≤≤∏≤I ),()(212122x E dx x d m ϕϕ=- 0≤x ),()()(22202222x E x U dxx d m ϕϕϕ=+- ax ≤≤0),()(232322x E dxx d m ϕϕ=- a x ≥222 mEk =2021)(2 E U m k -=,0)()(12212≤=+x x k dxx d ϕϕa x x k dxx d ≤≤=-0,0)()(221222ϕϕa x x k dxx d ≥=+,0)()(32232ϕϕikxikx e A Ae -'+=ψ1x ik Be 12+=ψikx Ce =ψ3O(1)E>U 0按照经典力学观点,在E>U 0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射而在微观粒子的情形，却会发生反射。

(2)E<U 0从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数ψ。

即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在x>a 区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x>a 区域粒子在总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应定义粒子穿过势垒的贯穿系数是：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。

势垒高度U 0越低、势垒宽a 度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。

隧道效应是经典力学所无法解释的由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠若在样品与针尖之间加一微小电压U b 电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。

量子力学练习答案

量子力学练习答案

《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。

答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。

它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。

例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。

2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。

3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。

若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。

将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。

线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。

5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。

高二物理竞赛课件：量子力学之势垒贯穿

高二物理竞赛课件：量子力学之势垒贯穿

波函数与其一阶导数在x=0连续得： A+A`=B+B` ik1(A-A`)=k2(B-B`) 波函数与其一阶导数在x=a连续得：
Bek2a Bek2a Ceik1a
k2 (Bek2a Bek2a ) ik1Ceik1a
由上述四个等式可得如下四个关系式：
A
(k12
(k12 k22 k22 )shk2a
k1
C
2
i
i :x轴单位矢.
计算透射与反射系数
透射系数： D
JD J
C2 A2
(k12
4k12
k
2 2
k
2 2
)
2
sh
2
k
2
a
4k12
k
2 2
这就是势垒贯穿几率。
反射系数： R J R A 2
(k12
k
2 2
)2
sh 2 k 2 a
J
A2
(k12
k
2 2
)2
sh 2 k 2 a
4k12
1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道 效应显微镜. 鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
1997年：量子隧道效应。
经典物理无法理解势垒贯穿。
∵E＝T＋V，T＝E－V＜0， 不可能 . 本节介绍量子力学如何解 释势垒贯穿，以及如何计算穿过势 垒的几率。
一维方势垒
0 x 0, x a u(x) U0 0 x a
势垒贯穿
势垒贯穿
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有
一定几率穿过势垒。 例：势垒贯穿现象—金属电子的热发
射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外 电 场 （ 约 1000000V/CM ） ， 使 金 属 成 为 阴 极，则该电场会使电子释放出来而形成电 流，这种现象叫金属电子的冷发射。

势垒隧穿

势垒隧穿
2 2i ( k 12 k 2 ) sin k 2 a
求解线性方程组
4k1k 2 e ik1a C A 2 ik2 a 2 ik2 a ( k1 k 2 ) e ( k1 k 2 ) e
A
( k1 k 2 ) e
2
ik2 a
( k1 k 2 ) e
2
ik2 a
因为 E > 0, E > U0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程写为：
0 xa
令：k
2 k2
2 E 2 2 ( E U 0 ) 2
k 2 0 1 1 1 2 2 k2 2 0 2 3 k1 3 0
解得： 1 Ae ik1 x A e ik1 x ik x ik x 2 Be 2 Be 2 ik1 x ik1 x Ce C e 3
1 , 2 中第一项是沿x正向传播的平面波，
第二项是沿x负向传播的平面波； 在 x > a 的III 区没有反射波，所以 C‘=0。
A
2
（2） 几率流密度和粒子数守恒 J 2i [ ]
J
i 2
[
d dx

d dx
]
对一维定态问题， J i d ik1x d k [ Aeik1x Ae Ae ik1x Aeik1x 1 | A |2 2 dx dx
1
x0 0 xa xa
I
区
II 区 III 区
用波函数的标准条件求解 波函数连续
x 0 : 1 (0) 2 (0) A A B B x a : 2 (a) 3 (a) Be ik2 a Be ik2 a Ceik1a

势垒隧穿

势垒隧穿
x 0 : 1 ' (0) 2 ' (0) ik1 A ik1 A ik2 B ik2 B x a : 2 ' (a) 3 ' (a) ik2 Beik2 a ik2 Be ik2 a ik1Ce ik1a
A B B A ik2a Be ik2a Ce ik1a 0 Be k1 A k 2 B k 2 B k1 A k Be ik2a k Be ik2a k Ce ik1a 0 2 1 2
Ref:http://www.ieap.uni-kiel.de/surface/ag-kipp/stm/images/stm.jpg
作业：在例一中，U0=2.0 eV, a=2 Å，当0<E<2 eV， 求透射系数和E的依赖关系。
9
2i (k 12 k 22 ) sin k 2 a (k1 k 2 ) e
2 ik2 a
(k1 k 2 ) e
2 ik2 a
A
于是透射系数为:
2 J D | C |2 4k12 k2 D | | 2 2 2 2 2 JI | A| (k1 k2 ) sin 2 k2 a 4k12 k2
反射系数为：
2 2 JR | A |2 (k12 k2 ) sin 2 k2 a R | | 2 2 2 2 2 JI | A| (k1 k2 ) sin 2 k2 a 4k12 k2
D+R=1，粒子数守恒
4
2. E < U0情况
因 k2=[2μ(E-U0)/ ]1/2，当 E < V0 时，k2 是虚数，故可令：k2=ik3， 其中k3=[2μ(U0-E)/ ]1/2。这样将前面公式中的 k2 换成 ik3 并注意到： sin ik3a = i sinh k3a

势垒贯穿

势垒贯穿

之后利用波函数及其微商在x=0和x=a连续的条件确定其他的系数
在经典力学中

在量子力学中

根据公式，将上述三个式子转化为定态波函数后，可 以得出这样的结论： 上述的三个式子中右边的第一项是由左向右 传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波。第 一个式子右边第一项是入射波，第二项是反射波。在 x>0的区域内，没有向右运动的粒子，因而只有向右 传播的透射波，不应有向左传的波，所以在第三个式 子中必须令C’=0.势能在无限远处 是无限大的，波函数在无限远处为0，这个条件使得体系的 能级是分立的，属于束缚态。今天我们探讨的问题将体系 的势能在无限远处为有限的（下面取为0）。这时粒子可以 在无限远处出现，波函数在无限远处不为0.没有了无限远处 波函数为0的限制，体系能量可以取任何值，即组成连续谱。 这属于粒子被势场散射的问题，粒子从无线远来，被 势场散射后又回到了无限远处。这类问题中，粒子的能量 是预先确定的。

势垒

势垒
势垒
势能比附近的势能都高的空间区域
01 基本概念
03 贯穿
目录
02 的分类
基本信息
一般在谈到半导体的PN结时，就会到势垒，这涉及半导体的基础内容。简单地说，所谓势垒也称位垒，就是 在PN结由于电子、空穴的扩散所形成的阻挡层，两侧的势能差，就称为势垒。
基பைடு நூலகம்概念
基本概念
势垒（Potential Energy Barrier）是势能比附近的势能都高的空间区域，基本上就是极值点附近的一小 片区域。在众多势垒当中，方势垒是一种理想的势垒。
保持ε和V的乘积不变，缩小ε，并趋于0，V将无穷大。方势垒过渡到δ势垒。在微观物理学中，δ势常作 为一种理想的短程作用来讨论问题。δ势可以看成方势的一种极限情况。事实上，所有涉及δ势的问题，原则上 均可以从方势情况下的解取极限而得以解决。但直接采用δ势来求解，往往要简捷得多。在δ势情况下，粒子波 函数的导数是不连续的，尽管粒子流密度仍然是连续的。
势垒贯穿的根本原因是“测不准原理”，只要你认可测不准原理，就很容易理解势垒贯穿了，并不需要你去 了解复杂的薛定谔方程求解。解释如下：能量E与时间T是不能同时测准的，时间测量越准确（时间范围越短）， 相应的能量就会无法很准确测量。这里的测不准并不是技术上的问题，而是“测不准原理”产生的真实的范围变 化。也就是说，微观粒子在极短的时间内，其能量的可能值范围就会变大，因此，虽然微观粒子的能量E小于势垒 U，这里的粒子能量E应该是其可能的能量范围的平均值。在极短的时间内，粒子会有一个较小的几率处于这个能 量范围的高端处（即呈现高能状态），瞬间能量超过了势垒U。如果势垒U的空间跨度非常小，这个只能存在极短 时间的高能粒子将可以越过势垒，越过势垒之后，粒子的能量重新回复到正常大小。简单地说，就是先凭空”借” 来能量，成功穿越后再把“借”来的能量”还”回去，这种凭空的能量“借还”是可以允许的，也并没有违背能 量守恒原理，但必须在极短的时间之内进行，因此势垒贯穿现象能够穿越的距离也就非常小。

时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用

时域有限差分法在势垒贯穿问题中的应用

引起 了人们 的关 注 ｌ 。在量 子 力 学 问 题 的 计 算 ４ Ｊ 分 析 中 ， 接 求 解 Ｓｈ￣ｉｇｒ方 程 往 往 比 较 困 直 ｃｒｄｎｅ
难 。时 域有 限差 分 法 的提 出 ， 解 决 量 子力 学 问 为
１ Ｆ Ｔ 法 ＤＤ
题 提供 了另一 条相 对 简单方 便 的参 考途 径 。其基
本思 想 是 ： 含 时 Ｓｈ￣ｉｇｒ 程 转 换 成 有 限 差 将 ｃｒ ｎｅ 方 ｄ
１ １ ｃ ｒ ｉｇｒ 程 的有 限差分 形式 ． Ｓｈｔ ｎｅ 方 ｉ ｄ
考虑 一维 含 时 Ｓ ｈｔ ｉ ｅ 方程 ｃ ｒｄｎ ｒ ｉ ｇ
分形式 ， 时 间离 散 的递 进序 列 ， 用合 适 的截 建立 采 断边界条 件和初始概 率波 函数 在时域上进 行求解 。 势 垒模 型被 广 泛 应 用 于 物 理 、 学 和 分 子 生 化
人们的关注 。系统介绍 了该方 法的基本原理 、 边界 处理方法和初始试探波 函数 的选取 。在此基础 上 ， 计 算模拟 了三种不 同的势 垒如方 势垒 、 三角形势 垒和谐振势 垒下系统 的能量变 化 、 率变化 ， 概 再现 了量子 隧道效应这一重要物理现象 。进一 步表 明了运用 Ｆ Ｔ Ｄ Ｄ法来解 决量子 力学 问题是方 便可行 的 ， 且 以 并 系统平均能量方法处理截断边界 能得到 比较理想 的结果 。对于解决其它量 子力学问题具有一定的指导
将式 （ ） 人 式 （ ）则一 维 Ｓｈ６ｉｇｒ 程变 为 ２代 １， ｃｒｄｎｅ方
詈 ＝ ｎ ＋ ） （） ） 一 ２ ・ｘ （ ＆ ｂ，３ ｔ口
（ 角形 ）谐振 型 势垒 等 的系统 动能 和势 能 的相 三 、
詈 ＝
一Ｖ － （

势垒贯穿的量子力学解释和应用

势垒贯穿的量子力学解释和应用

如果是经典力学问题，由于E >0ν，粒子不能越过势垒，将在0=x 处被势垒反弹回去。

作为量子力学问题，由于粒子的波动性，结论就不一样，可以证明，粒子将有一定概率透过势垒进入a x >区域而继续前进。

由于粒子的能量是给定的，而且粒子是从-∞=x 处射来，这是属于游离态的定态，波函数可以表示成()() /,iEt ex t x -=ψψ (2)空间波函数()x ψ满足定态薛定谔方程： ()ψψψνψmk x m 22222 =E =+''- (3) 亦即⎩⎨⎧≤≤=-''><=+''a x a x x k 0,0,0,022ψβψψψ (3a)(3b) 其中,2 mE k =)(20E m -=νβ (4) （3a ）式的解为ikx e ±~ψ，考虑到“粒子由左方入射”这个边界条件，应取()⎩⎨⎧><+=-)5(,)5(0,Re b a x De a x Ae x ikx ikx ikx ψA 项为入射波，R 项为反射波，D 项为透射波。

由于并无粒子从右方入射，所以a x > 区域没有ikx e -项。

（3b ）式的解为())5(0,c a x Ce Be x x x <<+=-ββψ透射概率相当大，由此可见在微观领域势垒贯穿现象是容易发生的。

隧道扫描显微镜就是用原子尺度的探针针尖在不到一个纳米的高度上扫描样品时，外加一电压（2mV～2V），针尖与样品之间产生隧道效应而有电子逸出，形成隧道电流．电流强度随针尖与样品间的距离的减少而呈指数上升，当探针沿物质表面按给定高度扫描时，因样品表面原子凹凸不平，使探针与物质表面间的距离不断发生改变，从而引起隧道电流不断发生改变．将电流的这种改变图象化就显示出原子水平的凹凸形态。

势垒贯穿

势垒贯穿
2 JT 4k12 k2 T 2 2 2 2 2 2 2 J ( k k ) sin k a 4 k A 1 2 2 1 k2
C
2
sin 2 k2 a 0 k2 a n
2
透射最大,100%
1 透射最小极值 sin k2 a 1 k2 a n 2 4E( E U 0 ) 最小极值 Tmin 2 4 E ( E U ) U 0 0 (与a无关)
2.8 势垒贯穿
作业1：
作业
设计程序，计算本节中你感兴趣的或有疑问的问题。
例如：波函数、计算粒子在空间分布几率、反射几率、透 射几率等。画出相应的曲线、分析计算结果物理含义。 程序设计时注意小量问题，特别注意浮点溢出。 不同系统最大次方略有不同，有的是37次方，有的是45 次方。我们系机房Fortran系统上限是37次方。
U0
0
a
x
边界条件：函数及其导数在，x=0， x=a 连续。 下来的问题就是要求解以上方程。
2.8 势垒贯穿
E >U0时
（1）当E >U0时
为了方便，令 k1、k2 都大于零实数
2mE 2 k1 2 2 m( E U 0 ) 2 k2 2 2mE 2 k1 2
d 2 l 2 k 1 l 0 2 dx d 2 m 2 k 2 m 0 2 dx d 2 r 2 k 1 r 0 2 dx
k1 A k1 A k2 B k2 B Beik2a Be ik2a Ceik1a
2 2 1
'm (a) 'r (a) Bk2 eik a Bk2e ik a Ck1eik a
四个方程线性，五个未知数 有一个常数归一化确定，本问题非束缚态，几率流密度

§3.3势垒贯穿 量子力学课件

§3.3势垒贯穿 量子力学课件
k a （3）如果条件 3 >>1成立（相当于E很小）,则
e k 3 a e k 3 a
sh 2 k 3 a
1 (e k3a 4
e k3a ) 2
1 e 2k3a 4
D
1
1 ( k1 k 3 ) 2 e 2k3a 1
16 k 3 k 1
当
k1
k e 2k3a 3,
1
D
16
e 2 k3a
RJR J
(k12
(k12k22)2sin2k2a k22)2sin2k2a4k12k22
显而易见 D： R1
(2)E<U0的情况： 此时方程为：
k20,
k320,
x0orxa 0xa
其中，k3
2(U0 E) 。在粒子从左方入射时有：
Aeik x Beik,x
x0
(x) Fek3xGek3x,
0xa
Ceik,x
xa
让 和 在 x=0 和 x=a 处连续,我们得到4个方程，从中可
以解出B、C、F、G对A的比。结果是：
B A(k2(kk322 )sk3h23)askhk23iak3ckh3ak,
C A(k2k32)2sihk33aekki2kiak3ckh3ak,
sh 1 x(x e ex),ch 1 x(x e ex) .
右图所示为一任意形状的势垒，我们
可以把这个势垒看作是许多方形势垒 组成的，每个方形势垒宽为dx,高为
E
U(x)。能量为E的粒子在x=a处射入势
垒U(x),在x=b处射出,即U(a)=U(b)=E。 0 a dx b
x
由数式 为：DD0e 2 2(U0E)a可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系
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1
令
k2 ik3
1 2
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2 其中 k3 2 (U 0 E )
是实数
在(6)和(7)式中，把 k2换为 ik3， 得：
透射系数:
T
2 4k12 k3 2 , 2 2 2 2 2 (k1 k3 ) sh k3a 4k1 k3
反射系数:
2 2 (k12 k3 ) sh2 k3a R 2 2 2 2 (k1 k3 ) sh2 k3a 4k12k3
宾尼
罗赫尔
鲁斯卡
例1：
U(x)
U0
I 0 II
作业1： 作业２： 作业３：已知核的势能曲线如图，计算α 粒子的透射系数
１.
2.电子通过单一势垒时，透射系数一般很小，但是 在通过双势垒时，却可以出现透射系数为100%的情况，
称为共振隧穿，试研究这种情况并给出共振隧穿发生的条件
附录１：了解纳米与分子电子学
ik1a
可得透射波振幅 C 与入射波振幅 A 间的关系
4k1k 2 e C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
（4）
以及反射波振幅A '与入射波振幅A间的关系
2i(k k ) sin ak2 A A 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
(x a )
由左向右的透射波
因Ⅲ区无由右向左传播 的平面波，故 C 0
定系数：
由 波 函 数 的 连 续 性 条 件
I Aeik1x A eik1x III C eik1x
( x 0) (x a )
(1) (2) (3)
( I ) x 0 ( I ) x 0 d I d II dx x 0 dx x 0 ( II ) x a ( III ) x a d II d III dx dx xa xa
电子波遇到势垒而产生的干涉和隧穿效应
1、计算过程
U(x)
Ｅ
U0
（１）方型势垒
x 0 or 0, U ( x) U 0 0 0 x a
特点：
xa
I 0
II
III
a
(1) 势垒，波函数在无穷远处不为零，是扩展态，能谱连续 (2) 经典力学：若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处全被弹回 若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。 量子力学：由于粒子的波动性，此问题将与光透过一层介质 相似，总有一部分穿过势垒。因此，计算的重点 是透射系数。
2 d ˆ （2）哈密顿算符 H U ( x) 2 2 dx （３）定态薜定谔方程 (经过整理)
2
d 2 2 2 E 0 2 dx 2 d 2 ( E U ) 0 0 2 2 dx
（４）解方程 E>U0 的情形
E
2
( x 0, x a) (0 x a)
sin ak2 0
2

1
2 2 a 2 ( E U 0 ) 0, , 2 ,...
３ . 任意 形状的 势垒
U(x)
可把任意形状的势垒分割成 许 多小势垒，这些小势垒可 以近 似用方势垒处理。
对每一小方势垒透射系数
x
T T0 e
2 2 (U ( x ) E )dx Nhomakorabea
3
3
于是
T T0e
2
2 k3 a
T0e

2a
2 (U0 E )
k1 k3 16 E U 0 E T0 16 2 k k U0 3 1
表明T 随垒宽 a和垒 高U 0的增大而成指 数减小。
例: 入射粒子为电子：
若入射粒子换成质子：
设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2× 10-10 m = 2Å， 算得 T ≈ 0.51。
这说明，即使 E U 0 ，也有大于零的透射系数 T。
这种粒子能够穿透比它动 能还要高的势垒而不失去 能量的现象称为量子隧道 效应（ tunnel effect）.它 是粒子具有波动性的生动 表现。
V0
透射波
0
a
x
（５）讨论
1.低能粒子穿透
即势垒既宽又高
当E 很小，或U0>>E，而a 又不太小时，有k3a>>1，则 2 1 2k3a 1 k3a k3a k3a k3a 2 e e , sh k3a e e e 4 2 因 k与 4 k同数量级， 3 1 透射系数 T 2 2k a 则 k a 1 e 4 1 k1 k3 2 k a 3 e 4 故4可忽略 4 k3 k1
６. 闪存与固态硬盘
舛冈富士雄博士在东芝公司工作期间，通过理论计算发现： 利用量子隧道效应进行穿隧注入(Tunnel injection)写入，以及穿 隧释放(Tunnel release)抹除,可实现信息的读写。他在1984年旧 金山IEEE国际电子会议宣读了自己的发现， Intel于会者看到了 它的巨大潜力，于1988年推出第一款商业性闪存…,现在的闪存 市场：268亿
１９７３年诺贝尔物理学奖
氮掺杂石墨烯产生负微分电导行为的物理机理
Xiao-Fei Li et al. Half-filled energy bands induced negative differential resistance in nitrogen-doped graphene (2015) Nanoscale, IF(6.7)
α衰变的理论解释
1928年，乔治〃伽莫夫解释原子核α衰变的模型， 借助这模型，导引出粒子半衰期与能量关系的方程式
2.共振输运 透射 系数
T Tmax
2 2 2 1 2 2
JT | C | 4k k T 2 2 2 2 J | A | (k1 k2 ) sin ak2 4k12k22
，其中 k
2 E
，k
2 （E u0）
此公式也适用于势阱的透射，只须改定义 k 即在k′表达式中以-V0替代势垒高度u0。 讨论: (1)V0=0时，k′= k，T=1，此时无势阱。 T=1验证公式正确 R 2 0 粒子不能以100％的几率透过势 (2) V0≠0时，T<1， 阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。 (3)当 sin 2 k a 0 ，即 k a n , n 1, 2,3 ，T=1，取极大
2 1 2 ik2 a 2 2
（5）
利用概率流密度公式:
求得入射波 的概率流密度 透射波
i J ( * * ) 2
Aeik1 x
ik1 x
k1 J | A |2
Ce
的概率流密度 反射波
ik1 x Ae
k1 2 JT | C |
的概率流密度
k1 2 J R | A |
U(x) U0 I II 0 III
令
2 k1 2 E
1
2 k2 2 ( E U 0 )
1
2
a
d 2 2 k1 0 2 dx 则方程变为 2 d k 2 0 2 2 dx
( x 0, x a) (0 x a )
质子与电子质量比 μp/μe ≈ 1840。 对于a = 2 Å 则 T ≈ 2 × 10-38。 可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。
若a=5× 10-8cm = 5 Å， 则 T ≈ 0.024，可见 透射系数迅速减小。
量子力学提出后，Gamow 首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的α衰变现象。
2
2 2 1 2 2
(0 x a) 到 以上二式说明入射粒子部分地隧穿势垒 达第III区域，另一部分则被势垒反射回来Ｉ区。 T R 1 表明概率守恒
当然，上述结果对Ｅ-U0 <0的情况也成立
E<U0 的情形
2 2 k2 2 ( E U 0 ) 是虚数
II B eik2 x B eik2 x (0 x a)
A A B B
k1 A k1 A k2 B k2 B
ik2a ik1a Be B e Ce k2 Beik2a k2 Beik2a k1Ceik1a ik2a
消去 B 与 B , 并 设Ａ已知：
定义透射系数和反射系数
为了定量描述入射粒子透射势垒的概率和反射概率， 定义透射系数和反射系数。
透射 系数
反射 系数
JT | C | 4k k （6） T 2 2 2 2 2 2 J | A | (k1 k2 ) sin ak2 4k1 k2
2 2 2 2 2 | JR | | A | (k1 k2 ) sin ak2 （7） R 2 2 2 2 2 2 2 J | A | (k1 k2 ) sin ak2 4k1 k2
７.扫描隧穿显微镜（STM）
(Scanning Tunneling Microscope)
隧道电流公式
i Ue
A ΦS
S — 样品和针尖间的距离 U — 加在样品和针尖间的微小电压 A — 常数 — 平均势垒高度
0 10
30
50
70
90
(nm)
硅晶体表面的STM扫描图象
神经细胞的STM扫描图象
0 a
dx
b
则贯穿整个势垒的透射系数等于贯穿这些小方势垒 透射系数之积，即
T T0e a
2
b
2 (U ( x ) E )dx