湖南文理学院毕业论文论文题目：δ势垒贯穿问题研究系别：物理与电子科学系专业：物理学学号： 5099104姓名：王辉霞指导老师：姚春梅提交日期：2003年 5 月 30 日δ势垒贯穿问题研究摘要介绍了δ势垒及δ势垒贯穿问题的研究现状，在对δ势垒贯穿问题研究的基本方法进行分析、总结的基础上，处理了几个更为复杂的δ势垒贯穿问题，如：两个强度不等的双δ势垒贯穿问题和一个δ势垒与其它势垒相结合的势垒贯穿问题。
得到了在不同情形下波函数的解以及在势垒贯穿问题中所要研究的反射系数和透射系数的值，并就这些值分析了影响反射系数和透射系数的因素和入射波产生共振透射的条件。
最后将δ势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了它的求解方法和计算手段。
关键词δ势垒；双δ势垒；势垒贯穿；薛定谔方程The Study of δBarrier Penetration in Quantum MechanicsAbstract The research present situation of δpotential barrier and δpotential barrier penetration problem are introduced in this paper. Several more complicated δpotential barrier penetration problem are studied on the basis of summarizing δpotential barrier penetration problem's research method , such as a double unequal strengths and oneδpotential barrier combined with one square potential barrier’sδpotential barrier penetration problem. The wave functions and the coefficients of reflection and transmission in different situations are obtained. The factors of affecting these coefficients and the resonance condition are analyzed. In the end, the above method is generalized to oneδpotential barrier combined with other potential barriers.Key words δpotential barrier; double δpotential barriers; potential barrier penetration; schrÖdinger equation.1.引言势垒贯穿又称隧道效应，它是一种微观效应，指的是当一束微时，仍能贯穿势垒的现象。
在量子观粒子在能量E小于势垒高度U力学教学中，它不仅作为准确求解薛定谔方程和运用近似方法的十分简洁的例子，而且是帮助初学者摆脱经典概念束缚，理解量子力学新思想的有力工具；在应用方面，势垒贯穿效应不仅可以解释一些经典理论所不能解释的现象，如α衰变，金属冷发射等，而且它已被用来制成固体器件如半导体隧道二极管、超导隧道结。
δ势垒是一种不规则的势垒，微观粒子穿越这种势垒时会产生与穿过规则势垒时所不同的现象。
目前，对于δ势垒贯穿问题的研究方面，人们利用定态薛定谔方程，波函数及边条件，对粒子穿过单δ势垒及等强度的双δ势垒等较为简单的情形得出了较为详细的结论。
但是对于δ势垒与其它势垒相结合的情形，譬如当双δ势垒中的两个势垒的高度不相等和一个δ势垒与其它势垒相结合时的情形都还没有作较为系统的研究。
结合前人的研究工作，并在计算过程中借助数学中的行列式来处理计算的结果，对一般的δ势垒进行了详细的计算和系统的讨论，得到了当微观粒子穿过两个强度不相等的δ势垒及δ势垒与方势垒相结合时的解。
最后，把δ势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了这类问题的计算方法，并定性的分析了影响结果的原因。
2. δ势垒贯穿问题研究概述2.1 δ势垒及δ势垒贯穿通常根据势垒的形状可以把势垒分为规则势垒如方势垒和不规则势垒如δ势垒。
而δ势垒是一个很有趣的势垒，它的有趣性主要是由δ函数引起的，根据δ函数的特点：它的函数值只有在某个特殊的点才有值，而在其它各点的函数值均为零。
势垒贯穿是指一束前进的微观粒子，在传播方向上遇到一个具有一定能量的势垒时，有一部分粒子被反射回来，而剩下的粒子则会穿过这个势垒继续向前传播。
所以在研究δ势垒贯穿问题时关键在于抓住δ函数的性质，重点分析在δ函数值变化时的那一点薛定谔方程和波函数的变化情况，然后再根据边条件，便可以很容易的解出粒子在势垒两边的波函数，从而得出入射系数、反射系数和透射系数之间的关系，达到要求解的目的。
2.2 势垒贯穿的应用关于微观粒子势垒贯穿的现象有许多有趣的实例。
在日常生活中，有一个很常见但并不是被人们普遍认识的例子，是家庭中的铝线接头。
电工把两条导线接在一起时常用的办法，是把它们拧在一起。
这时，在两根铝线之间常常有一层铝的氧化物，这种氧化物是一种非常有效的绝缘体。
好在这层氧化物总是极薄的，因此，在导线中流动的电子能够靠势垒贯穿效应穿过这层绝缘体。
在量子力学历史上，粒子穿透势垒理论的第一次应用是用它来解释放射性原子核衰变时α粒子穿过它们在原子核近旁所碰到的势垒而从原子核发射出的现象。
对于当时而言，这是经典理论所无法解释的难题。
因为当时已经知道，对于U238放射性衰变时所发射的α粒子的动能等于4.2兆电子伏。
由于这个动能是在离原子核很远的地方测得的，这时V(r)=0，因而动能就等于总能量E。
U238衰变所发射的α粒子的这种恒定的总能量，从经典力学的观点看来，这种状况是极其荒谬的。
是因为一个总能量为E的α粒子最初处在r<r,的区域内，这个区域被势垒同其它空间区域隔开，且这个势垒的高度起码比E大一倍，但是，人们去仍然观察到α粒子有时会穿过势垒，运动到大于r的地方去。
根据经典力学理论，如果粒子要逸出势垒，它的总能量就必须大于势垒的最大值。
因此，在1928年，盖莫夫，康登和格尼把α粒子发射当作量子力学的势垒贯穿问题来处理，他们利用势垒贯穿理论中的透射系数，及一系列的近似处理，得到了原子核每秒通过发射α粒子发生衰变的几率，即所谓衰变率。
虽然，中间过程他们采取了并不很精确的估计，但他们得出的结论与实验测得的结果非常相符。
由于薛定谔的量子力学在解决α粒子发射这个难题上的成功应用，为势垒贯穿理论提供了一个最早的，也是最令人信服的证明。
随着科学技术的不断发展，最近电子贯穿势垒的事例已用于隧道二极管，这种二极管象晶体二极管一样，也是一种半导体器件，这种器件能够极其迅速地利用可控制的势垒穿透来开关电路，它有很高的频率响应，比任何晶体管都好得多。
所以它目前用于高速电子光学电路中，它还可以用来制造工作频率高于1011Hz的振荡器。
2.3 δ势垒贯穿的典型问题势垒贯穿的典型问题按照势垒的情形可以大体上分为单δ势垒贯穿，强度相等的双δ势垒贯穿，强度不相等的双δ势垒贯穿以及δ势垒与其它势垒相结合时的势垒贯穿四大类。
前面的两大类是比较常见的，也是研究得比较多的。
到目前为止，人们对单δ势垒贯穿和等强度的双δ势垒贯穿问题都有了很完善的求解过程和较为完美的结论。
2.3.1 单δ势垒贯穿的情形若有质量为m的粒子(能量E>0)从左入射，遇到一个δ势垒如图1，V(x)= γδ(x) (常数γ>0) （1）定态薛定谔方程为[])()(2222x x E dx d m ψγδψ-=- （2）x=0 是方程的奇点，在该点ψ''不存在表现为x=0点，ψ'不连续，对方程（2）积分，可得： )0(2)0()0(2ψγψψ m ='-'-+（3）所以在x=0点)(x ψ' 一般是连续的（除非)0(ψ=0）。
（3）式称为δ势中 ψ'的跃变条件。
在0≠x 处，方程（2）化为：0)()(2=+''x k x ψψ ， mE k 2= （4）它的两个线性独立的解的形式为 ikx e ±，考虑到从左入射的假定，与方势垒的穿透相似，在这里的解仍可表为⎪⎩⎪⎨⎧><+=-00Re )(x Se x e x ikx ikx ikx ψ （5）但边条件有所不同，根据x=0点ψ连续以及ψ' 跃变条件（3），有1 + R = S （6） 1 - R = S - ki S m 22 γ （7） 消去R ，得：)1(12kim S γ+= （8）而 )1(122kim k im S R γγ+-=-= （9）由于取入射波 ikx e 的波幅为1，所以透射系数 = )21(1)1(12224222E m k m S γγ+=+= (10)反射系数 = )21(222222E m E m R γγ+= (11)可见： 2S + 2R =1 这是粒子数守恒的具体表现。
2.3.2 等强度的双δ势垒贯穿的情形设有粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用，在δ势垒等高的情况下，V(x)=V 0[δ(x)+δ(x-a)] 如图２所示令 mE k 2= , 202 maV c = （1） 能量本征方程可以写成 []0)()(2=---+''ψδδψψa x x a c k（2）在x=0附近积分，可得ψ'跃变条件 )0()0()0(ψψψac ='-'-+ （3） 类似地，x=a 处ψ'跃变条件为 )()0()0(a ac a a ψψψ=-'-+'' （4） )(x ψ 则应该是全空间的连续函数，除了x=0 , a 两个奇点外，式（2）化为：02=+''ψψk （5）特解为： ikx e ±=ψ ，如取入射波为ikx e ，则总波函数可以表示成：⎪⎩⎪⎨⎧><<+<+=--a x De a x Be Ae x e x ikx ikx ikx ikx ikx 00Re )(ψ （6）其中R 项为反射波，D 项为透射波。
2R 即反射概率，2D 即透射概率。
为了求出R 和D ，可以利用ψ的连续条件和ψ'跃变条件。
由)0(ψ连续以及式（3），得出关系：1 + R = A + B)()1(B A a c R B A ik +=+-- （7） 由)(a ψ连续以及式（4），得出关系ika ika ika De Be Ae =+-ika ika ika De ac ike e A D ik =+--)( （8） 式（7）和（8）共4个方程，恰好可以解出R 、D 、A 、B由式（7）得出 θθi A i B --=)1( （9）)1(θθi A i R +-= （10）其中 022mV k c ak ==θ （11） 注意： c 和θ均为无量纲参数。
