结构力学应用-力法

15.1 力法：超静定次数的确定

本章主要介绍超静定结构的计算方法——力法。介绍如何选择力法的基本结构、建立力法典型方程，以求出超静定结构的内力图。重点掌握力法的基本原理、基本结构的选择方法和力法解超静定结构的三方面因素。同时对一些特殊结构，如：对称结构、两铰拱等也作了基本的介绍。

超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数。判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余约束的方式一般有以下几种：

(1) 去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束。

(2) 去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉两个约束。

(3) 将固定端支座改成铰支座，或将刚性联结改成单铰联结，等于去掉一个约束。

(4) 去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去掉三个约束。

按所去掉的约束数目可以很简便地算出结构的超静定次数。如从原结构中去掉n个约束结构就成为静定的，则原结构称为n次超静定结构。

15.2.1 力法的基本原理

图19.7(a)所示为一次超静定梁，EI为常数。图中虚线表示梁在受力后的弹性变形情况。由图中可见梁A端的线位移及角位移为零，B端竖向位移也为零。现拆去多余约束B端的支座链杆并用多余未知力X1代替B端的约束对原结构的作用，得到如图19.7(b)所示静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，待求的多余未知力X1为力法的基本未知量。

基本结构在B端不再受约束限制，因此在外力P作用下B点竖向位移向下（图19.7(c)），在X1作用下B点竖向位移向上(图19.7(d))。显然在二者共同作用下B点竖向位移将随X1的大小不同而异，由于X1是取代了被拆去约束对原结构的作用，因此基本结构的变形位移状态应与原结构完全一致，即B点的竖向位移Δ1必须为零，也就是说基本结构在已知荷载与多余未知力X1共同作用下；在拆除约束处沿多余未知力X1作用方向产生的位移应与原结构在X1方向的位移相等。即 Δ1=0 (a) 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。

15.3 力法的计算步骤和示例（二）

一次超静定钢架

【例】作图 (a)所示连续梁的内力图。EI为常数。

【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定梁。将B点截面用铰来代替，以相应的多余未知力X1代替原约束的作用，其基本结构如图 (b)所示。

(2) 建立力法方程 位移条件：铰B两侧截面的相对转角应等于原结构B点两侧截面的相对转角。由于原结构的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可能有相对转动或移动，故位移条件为B点两侧截面相对转角等于零。由位移条件建立力法方程如下

δ11X1+Δ1P=0

(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图，如图19.13(c)、(d)所示。

利用图乘法求得系数和自由项分别为

(4) 求多余未知力 将以上系数和自由项代入力法方程，得

(5) 作内力图

① 根据叠加原理作弯矩图，如图 (e)所示。

② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图 (f)所示 11212(11)233llEIEI21(32)48PPqllEI2112(32)0348(32)32lPqllXEIEIPqllX

15.3 力法的计算步骤和示例（三）

铰接排架

【例】计算图 (a)所示排架柱的内力，并作出弯矩图。

【解】(1) 选取基本结构 此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图 (b)所示。

(2) 建立力法方程

δ11X1+Δ1P=0

(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图如图 (c)、(d)所示。

利用图乘法计算系数和自由项分别如下

(4) 计算多余未知力 将系数和自由项代入力法方程，得

解得 X1=-5kN

(5) 作弯矩图 按公式M=M1X1+MP即可作出排架最后弯矩图如图 (e)所示。

第一讲 平面体系的几何组成分析及静定结构受力分析

【内容提要】

平面体系的基本概念，几何不变体系的组成规律及其应用。静定结构受力分析方法，反

力、内力计算与内力图绘制，静定结构特性及其应用。

【重点、难点】

静定结构受力分析方法，反力、内力计算与内力图绘制

一、平面体系的几何组成分析

(一)几何组成分析

按机械运动和几何学的观点，对结构或体系的组成形式进行分析。

(二)刚片

结构由杆(构)件组成，在几何分析时，不考虑杆件微小应变的影响，即每根杆件当做刚

片。

(三)几何不变体系

体系的形状(或构成结构各杆的相对位置)保持不变，称为几何不变体系，如图6-1-1

(四)几何可变体系

体系的位置和形状可以改变的结构，如图6-1-2。

图6-1-1 图6-1-2

(五)自由度

确定体系位置所需的独立运动参数数目。如一个刚片在平面内具有3个自由度。

(六)约束

减少体系独立运动参数(自由度)的装置。

1．外部约束

指体系与基础之间的约束，如链杆(或称活动铰)，支座(固定铰、定向铰、固定支座)。

2．内部约束

指体系内部各杆间的联系，如铰接点，刚接点，链杆。

规则一：一根链杆相当于一个约束。

规则二：一个单铰(只连接2个刚片)相当于两个约束。

推 论：一个连接n 个刚片的铰(复铰)相当于(n－ 1)个单铰。

规则三：一个单刚性结点相当于三个约束。

推论：一个连接 个刚片的复刚性结点相当于( n－ 1)个单刚性结点。

3．必要约束

如果在体系中增加一个约束，体系减少一个自由度，则此约束为必要约束。

4．多余约束

如果体系中增加一个约束，对体系的独立运动参数无影响，则此约束称为多余约束。

(七)等效作用

1．虚铰

两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为(单)虚铰，其作用与实铰相同。

平行链杆的交点在无限远处。

2．等效刚片

一个内部几何不变的体系，可用一个刚片来代替。

3．等效链杆。

两端为铰的非直线形杆，可用一连接两铰的直线链杆代 二、几何组成分析

结构力学讲稿 第七章 力法

51 第七章 力法

§7-1 超静定结构概述

1. 超静定结构基本特性

(1) 几何构造特性：几何不变有多余约束体系

(2) 静力解答的不唯一性：满足静力平衡条件的解答有无穷多组

(3) 产生内力的原因：除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力。

2. 超静定结构类型

图7.1

3. 求解原理

(1) 平衡条件：解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。

(2) 几何条件：或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。

(3) 物理条件：求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。

4. 基本方法

力法：以多余约束力作为求解的基本未知量

位移法：以未知结点位移作为求解的基本未知量

§7-2 超静定次数的确定

超静定次数：多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。

确定方法：超静定结构去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。

强调，（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力法基本结构。

图7.2

图7.3 结构力学讲稿 第七章 力法

52 图7.4

图7.5

图7.6

§7-3 力法基本概念

下面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解。

图7.7

(1) 一次超静定，去掉支座B，得到力法基本未知量与基本结构；

(2) 要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与X1共同作用下，1=0

(3) 由叠加原理，有，011111111PPX，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件。