高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式求最值学案 新人教A版必修第

2.2基本不等式教材分析:“基本不等式" 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。

利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1。

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2。

掌握基本不等式2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。

教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程; 【教学难点】 12a b+≤等号成立条件； 22a b+≤求最大值、最小值。

教学过程 1。

课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地,∀a ,a ∈a ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a 〉0，b 〉0,我们用√a ，√a 分别代替上式中的a ，b ，可得√aa ≤a +a 2①当且仅当a =b 时，等号成立。

通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）。

其中，a +a 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√aa 叫做正数a ，b 的几何平均数。

基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考： 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥,(a>0,b>0)2a bab +≤2)2a bab +≤用分析法证明:要证 2a bab +≥（1） 只要证 a +b ≥（2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0(3） 要证(3）,只要证 ( — ）2≥0 （4）显然，（4）是成立的。

必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。

2.恒成立的不等式：一般地，∀R b a ∈,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。

说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。

3.等式的性质：性质1：若a =b ，则b =a ;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b ，则a±c=b±c;性质4：若a=b ，则ac=bc;性质5：若a=b ，c≠0，则cb c a = 4.不等式的性质：性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

性质2：若a b >，b c >，则a c >。

不等式的传递性。

性质3：若a b >，则a c b c +>+。

性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。

性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。

性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。

性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。

2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数。

新教材湘教版2019版数学必修第一册第2章知识点清单目录第2章一元二次函数、方程和不等式2. 1 相等关系与不等关系2. 1. 1 等式与不等式2. 1. 2 基本不等式2. 1. 3 基本不等式的应用2. 2 从函数观点看一元二次方程2. 3 一元二次不等式第2章 一元二次函数、方程和不等式 2. 1 相等关系与不等关系 2. 1. 1 等式与不等式一、不等式的性质及其推论 1. 不等式的性质性质1：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b. 即a>b ⇔b<a. 性质2：如果a>b ，b>c ，那么a>c. 即a>b ，b>c ⇒a>c. 性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c.性质4：如果a>b ，c>0，那么ac>bc. 如果a>b ，c<0，那么ac<bc. 性质5：如果a>b>0，那么√a n> √b n(n∈N +).性质6：如果a>b ，且ab>0，那么1a< 1b. 如果a>b ，且ab<0，那么1a >1b .2. 不等式性质的推论推论1：如果a+b>c ，那么a>c-b. 推论2：如果a>b ，c>d ，那么a+c>b+d. 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4：如果a>b>0，那么a n >b n (n∈N +).（1）在应用不等式的性质及其推论时，一定要弄清它们成立的前提条件. （2）要注意各性质和推论是否具有可逆性. 二、比较实数(代数式)的大小 1. 作差比较法(1)依据：a-b>0⇔a>b ；a-b<0⇔a<b ；a-b=0⇔a=b.(2)应用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式. (3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论.(4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.2. 作商比较法(1)依据：a>0，b>0且ab >1⇒a>b；a>0，b>0且ab<1⇒a<b.(2)应用范围：同号两数比较大小.(3)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论.三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 1. 解决此类问题，一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系，然后利用不等式的性质进行运算，求得待求式的范围.2. 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.2. 1. 2 基本不等式 2. 1. 3 基本不等式的应用一、基本不等式一般地，对于正数a，b，我们把2称为a，b的算术平均数， √ab称为a，b的几何平均数.二、基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2√p；(2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值s 24. 上述结论可归纳为“和定积最大，积定和最小”.三、利用基本不等式求最值的注意事项 1. 利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”. (1)“一正”：各项必须都是正值.例如：代数式x+1x，当x<0时，绝不能认为x+1x≥2，即x+1x的最小值为2. 事实上，当x<0时，x+1x=-[(−x)+1−x]≤-2，当且仅当-x=1−x，即x=-1时，等号成立，此时x+1x取得最大值-2.(2)“二定”：各项之和或各项之积为定值.例如：已知0<x<52，求(5-2x)x 的最大值，需变形为(5-2x)·2x·12，这时2x+(5-2x)=5为定值，且2x>0，5-2x>0. 当2x=5-2x ，即x=54时，[(5-2x)x]max =258.(3)“三相等”：必须验证等号是否成立. 特别是在连续使用基本不等式求最值时，要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致. 四、利用基本不等式求最值 1. 利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，并保证等号成立，常见的方法技巧如下：(1)拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配出的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.(4)换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求1x +1y 的最小值”和“已知a x +by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求x+y 的最小值”两种类型.2. 2 从函数观点看一元二次方程 2. 3 一元二次不等式一、二次函数的零点1. 一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点. 这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二、一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2. 解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤：(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根；(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象；(3)由图象得出不等式的解集.对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解.三、三个“二次”之间的关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系如下(其中a，b，c为常数，a>0)：四、一元二次不等式的应用1. 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，分清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，结合实际检验，得到实际问题的解. 五、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论1. 解含参数的一元二次不等式时，为了做到分类不重不漏，讨论一般需从如下几个方面考虑：(1)关于二次项系数符号的讨论：分a>0，a<0. (注意，在未说明不等式为一元二次不 等式的情况下，还要考虑a=0的情况)(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论：分两根(Δ>0)，一根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应方程的根x 1，x 2的大小的讨论：分x 1>x 2，x 1=x 2，x 1<x 2. 六、简单的分式不等式的解法 1. 解分式不等式的思路：先转化为整式不等式，再求解.2. 化分式不等式为“标准形式”的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式(f(x)，g(x)为关于x 的整式). (1)形如f(x)g(x)>a(a ≠0)的分式不等式可同解变形为f(x)−ag(x)g(x)>0，进而转化为g(x)[f(x)-ag(x)]>0. (2)解f(x)g(x)≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.七、一元二次不等式恒成立问题 1. 不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c>0；当a≠0时，a>0，且Δ<0.2. 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c<0；当a≠0时，a<0，且Δ<0.3. 解决恒成立问题一定要分清谁是自变量，谁是参数. 一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.4. 若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. (f(x)是关于x的函数)。

第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。