一元二次不等式及其解法导学案

一元二次不等式及其解法考纲要求1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式.考情分析1.一元二次不等式的解法及三个二次间关系问题是命题热点．2.考查题型多为客观题，有时会在解答中出现交汇命题，着重考查二次不等式的解法，属中、低档题.教学过程基础梳理一元二次不等式的解集若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．双基自测1．(教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2<0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)2．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <13，则ab 的值为( )A ．－3B ．－5C ．6D ．5 3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．若a <0，则关于x 的不等式x2－4ax －5a2>0的解是____________．5．(教材习题改编)不等式x 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况． (3)一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．典例分析考点一、一元二次不等式的解法[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)在本例中，若f (x )变为：f (x )＝x 2－2x ＋ln(x ＋1)，则f ′(x )>0的解集________．[冲关锦囊]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.考点二、一元二次不等式恒成立问题[例2] (2012·湖州模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为 ( ) A ．(－∞，23] B ．[23，＋∞) C ．(－∞，23]∪[23，＋∞) D ．[23，23] [巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1.．(2012·南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则 ( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2C ．－21<a <23D ．－23<a <212．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．[冲关锦囊]1．对于二次不等式恒成立问题．恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方．恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 2．解决恒成立问题还可以利用分离参数法.考点三、一元二次不等式的应用[例3 ]。

§3.2 一元二次不等式及其解法 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格 二、例题 例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为 （其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为 （其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1） 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

x §3.2 《一元二次不等式及其解法》导学案【学习目标】1.了解一元二次不等式及其解。

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

3.能在具体的问题情境中，抽象出一元二次不等式模型。

【重点】一元二次不等式的解法。

【难点】一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

一.复习回顾一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况：（用判别式=∆ 判别） 当0>∆，则 ；当0=∆，则 ；当0<∆，则 ； 思考：求一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的方法有哪些？二、一元二次不等式的概念1、情景引入：一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞养殖，要求水池面积不小于600平方米，假设水池一边长为 x 米，则x 应满足什么关系？解：依题意可得，需满足化简得2、定义：只含有 未知数，并且未知数的 是 的 ，称为一元二次不等式。

一元二次不等式（a ≠0）的一般形式有：ax 2 + bx + c > 0、 ___________________、___________________、___________________3、一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的未知数的取值范围（结果用集合或区间表示）三、一元二次不等式的解法1、225050x x x x -≥-≤探究一元二次不等式、的解集2、根据上述方法，请将下表填充完整：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系四、自学例题：课本P78 例1、例2尝试解答：解下列不等式（1）0322>+-x x ； （2）0562≥-+-x x ；总结：解一元二次不等式的一般步骤是:这个可以课堂上解决，或者写解一元二次不等式的方法总结：求根，因式分解五、课堂练习：解下列不等式：这些不用打在学案上222+-≤-+>-+-> x x x x x x(1)410(2)4410(3)230六、知识迁移：求下列函数的定义域2 ==--y y x x (1)(2)lg(6)。

《一元二次不等式及其解法》导学案问题1.方程250x x -=的根情况如何？问题2. 二次函数25y x x =-的图象开口方向、与x 轴的交点坐标分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向： ；（2）与x 轴的交点坐标： ； 问题3. 根据草图填空： （1）当x = 或 时，0y =，即250x x -=； （2）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的下方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）.所以不等式250x x -<的解集是 ；（3）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的上方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是 ；问题4：如何获得不等式2560x x -+≥的解集呢？问题5：如何将上述方法推广到求解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集呢？关键要考虑哪些方面？规律：有根大于取两边，有根小于取中间；无根大于全实数，无根小于是空集。

六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集.2：求不等式2340x x -++≥ 的解集课堂练习：求下列不等式的解集：（1）24410x x -+> （2）2230x x -+-> （3）29x ≥（4）23710x x -≤ （5）2961x x -≥+ （6）(9)0x x ->（7）2632>+-x x （8）2|2|2<-x 3、 (9)1()()0a x x a-->问题7：（1）利用二次函数的图象解一元二次不等式的步骤是什么？（2）二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间有什么关系？知识点二、三个“二次”之间的关系例1、若不等式的值。

求的解为b a x bx ax ,,21022<<<+-不等式22ax bx ++>的解集是 ，则a b +的值是_________例2、关于x 的函数)1()1(2-+-+=m x m mx y 的值恒为负，求m 的取值范围. 例3、二次不等式02<++c bx ax 的解集是全体实数的条件是（ ） A 、B 、⎩⎨⎧>∆>00a B 、⎩⎨⎧<∆>00a C 、⎩⎨⎧>∆<00a D 、⎩⎨⎧<∆<00a同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ）3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ） 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的无解，那么（ ）11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<< B ．1x a a<<C ．x a <或1x a> D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ）13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________． 15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解是___． 16、不等式2230x x -->的解是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、不等式30x x +≥的解集为____________________． 21、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．。

一元二次不等式及其解法（第一课时导学案）依兰县高级中学 崔德成一、 课标要求1、知识与技能：使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系；2、过程与方法：通过小组合作探究，使学生熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握数形结合的思想；3、情感态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神。

小组探究让学生体会到团结的力量。

二、 导入新课（数学知识与现实生活的紧密联系，生活离不开数学） 两个网络服务公司（Internet Serice Provider ）的资费标准：电信：每小时收费1.5元网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）<不妨设一次上网不超过17小时>一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网通所需费用少？三、 课前预习1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-的图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>的关系 （完成“四、合作展示”中表格的第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义的？其数学表达形式是什么？4、画出函数27y x =-的图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0四．合作展示动手试试：画出函数25y x x =-的图象，把纸沿x 轴对折，看看有什么发现？观察图像，填空：① 当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0的解集是_________________不等式25x x -<0的解集是_________________小组探究1：类比三个“一次”的关系，探究一元二次不等式的解法，并完成下表：小结：问：当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或小组探究2：如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？五．应用探究：个人展示：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，求其解集。

1现有两家ISP 公司可供选择：公司B 的收费原则如下：在用户上网的第小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1小时计算).一般上网时间不会超过17小时.那么,一次上网在多长时间所需费用少? ____________________________________ 练 习判 断下列不等式是否是一元二次不等式：(1) x 2－5x ＋6≤0； (2) x 2－9≥0；(3) 3x 2－2 x ＞0； (4) x 2－x ≤－3 ； (5) (x －2)2≤0 ； (6) 3x ＋5＞0；(7) x 2 ＞－4 ；(8) 4x 2－3y ＋4＜0．一元二次不等式的一般表达式为_____________________怎么求刚才应用题中不等式的解集呢？如图：当__________时，函数图像在x 轴下方，此时，y____0， 即x 2－5x______0当____________时，函数图像在x 轴上方，此时，y_____0， 即x 2－5x_______0例1：解下列不等式：（1） （2）24410x x -+> （3）2230x x -+-> 解： 解： 解：问题3：讨论总结利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 1 ，基础自测(1)3x 2－7x ≤10；(2) －2x 2+x －5<0； (3) －x 2+4 x －4<0； (4) x 2－x+0.25>0；(5)－2x 2+x<－3； (6) 12x 2－31x+20＞0 (7)3x 2+5x<0； (8)3x 2－6x ＋2＜0．梳理归纳：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：1、若ax 2+bx+c=0（a>0）有两不等实根x 1<x 2 对于ax 2+bx+c>0（a>0）,则取两边； 对于ax 2+bx+c<0（a>0）,则取中间.2、若方根有“一根”或 “无根”，则用 “图象法”解不等式021102<+-x x。

高三上学期《一元二次不等式及其解法》导教案一、教课内容分析一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着宽泛的应用工具作用，储藏侧重要的数形联合思想，是代数、三角、分析几何交汇综合的部分，在高中数学中拥有举足轻重的地位。

教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是采纳简短了然的数形联合的方法，从详细到抽象，从特别到一般，用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法。

教课中，利用几何画板的动向演示功能，指引学生联合二次函数的图象研究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。

经过对一元二次不等式解集的研究过程，浸透函数与方程、数形联合、分类议论等重要的数学思想。

一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，研究中应注意对“特例”的办理，让学生注意对“特别状况”的办理，才能让学习的内容更为完好。

所以，本节课教课的要点是环绕一元二次不等式的解法，经过图象认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出表现数形联合的思想。

二、教课目的分析 1. 经过对一元二次不等式解法的研究，让学生认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

2. 掌握一元二次不等式的求解步骤，特别是对“特例”的办理。

3.经过图象解法浸透数形联合、分类化归等重要的数学思想，培育学生着手能力，察看剖析能力、抽象归纳能力、归纳总结等系统的逻辑思想能力，培育学生简洁直观的思想方法和优秀的思想质量。

三、学生学情剖析学生已有的认知基础是，学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等相关知识，为本节课的学习打下了基础。

学生依据详细的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，学生可能存在的困难：（ 1）二次函数是初中学习的难点，很多学生对二次函数的知识掌握欠缺，对本节课的顺利展开有必定的影响；（ 2）从特别的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，学生全面考虑不一样状况下的解集有必定的困难。

一元二次不等式及其解法导学案问题1.（会画图） 作二次函数25y x x =-的图象 （1）开口方向：（2）与x 轴的交点坐标： （3）对称轴为： （4）顶点坐标：问题2.（会看图）根据图象填空：1. 当x = 或 时，0y =，即250x x -=；2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即25x x -0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x -<的解集是3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即25x x -0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a > 的解集（参考世纪金榜第55页左下角）小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： （参考世纪金榜第54页右侧【知识点拨】第2点）例1、解下列不等式：（1）2340x x --≥ （2）24410x x -+>（3）2230x x -+-> （4）24+40x x +≤注：一般步骤：(1)变形：200ax bx c a ++>>保证中 （2）判别式：是否有根 （3）画草图例2、已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，解不等式()3f x >注：解分段函数型不等式，应该分段解：设12,(),y x a f x y x a ≥⎧=⎨<⎩，则12()x a x af x m y m y m ≥<⎧⎧>⇒⎨⎨>>⎩⎩或 例3、解不等式：22560x ax a -+>(0)a ≠注：含有参数的不等式需要对根进行比较练习、已知一元二次不等式260ax bx ++>的解集为{|23}x x -<<，求a ，b 的值.例4、解不等式：22(2)log 0x x ->。

一元二次不等式及其解法导学案一、学习目标理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法。

三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系。

教学过程：（一）情景引入一位同学把自己的计算机接入因特网。

现有两家ISP 公司可供选择。

公司A 每小时收费1.5元，公司B 的收费原则是在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若一次上网用时超过17小时，按17小时计算）。

一般来说，一次上网时间不会超过17小时，不妨假设一次上网时间总小于17小时。

那么选用哪一家公司的网络更省钱？假设你一次上网x 小时，则公司A 收取的费用为___________元。

则公司B 收取的费用是__________元，原因是________________如果能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少，则_____________________________整理得_________________________思考：什么是一元二次不等式？（二）新课导学如何解一元二次不等式250x x -<？问题1：根据初中学过的一元二次函数的图像和性质，做出函数25y x x =-的草图。

问题2：根据草图填空：1. 当x = 或 时，0y =，即250x x -=； 2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即: 25x x -____0（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x -<的解集是 .问题3：情境导入部分提到的那位同学的问题怎么解决？问题4：写出250x x ->的解集_______________________________________. 总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a > 的解集；完成下表格，并回答思考问题：思考：如果给定的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<其中的0a <怎么办？______________________________小结：利用一元二次函数图像解一元二次不等式的步骤：1.将原来的不等式化成一般形式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<其中0a >；2. 计算方程20ax bx c ++=判别式∆，分析方程解的情况；3. 画出一元二次函数2y ax bx c =++图像，写出解集。

3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不等式及其解法引入新课阅读课本P76关于因特网接入问题。

思考以下问题：（1） B 公司每小时的收费是多少？（设上网时长x 小时）（2） 如何计算B 公司上网x 小时的总费用？（3） 本问题怎么样有不等式表示？本节课学习目标：1.能从实际问题中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际背景.2.正确理解一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数之间的关系.（重点）3.掌握一元二次不等式的解法.(难点）探究点一：一元一次不等式解法探究你是怎么解不等式2x+7>0的呢？你能找到它与函数y=2x+7的联系吗？请用该函数解释的解可以吗？小结提升：你能用函数y=ax+b 解释不等式ax+b>0(或<0)的解吗？探究点二：一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的概念不等式≤2x -5x 0有两个特点：（1）只含有一个未知数x ；（2）未知数的最高次数为2.一元二次不等式的定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般表达式为ax 2+bx+c>0(a ≠0)或ax 2+bx+c<0 (a ≠0)，其中a ，b ，c 均为常数.2.怎样求一元二次不等式x 2-5x ≤0的解集？画出二次函数2y =x -5x 的图象.（1） 当x 取 时，y=0; 当x 时，y>0; 当x 时，y<0. （2）由图象可知：不等式2x -5x >0 的解集为 ; 不等式2x -5x >0的解集为 .小结提升：不等式22ax +bx +c >0或ax +bx +c <0(a >0)的解集是什么？三、应用举例例1 求不等式 24x -4x+1>0的解集.例2 求不等式2-x +2x -3>0的解集.例3 求不等式23x +2x >2-3x 的解集.【提升总结】解一元二次不等式的一般步骤：（1）化成不等式的标准形式: 22ax +bx +c >0或ax +bx +c <0(a >0)； （2)求方程2ax +bx +c =0(a >0)的根,并画出对应的一元二次函数2y =ax +bx +c(a >0)的图象；函数的图象(草图)或当Δ>0时，方程2ax +bx +c =0有两个不等的实数根1212x ，x （x <x ）， 2ax +bx +c >0(a >0)的解集为{}12x x <x 或x >x ，2ax +bx +c <0(a >0)的解集为{}12x x<x <x .简记为：大于0取两边，小于0取中间.课堂训练：1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a>0，则一元二次不等式ax 2+1>0无解.（ ）(2)若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集为{x|x 1<x<x 2}.（ ）(3)不等式x 2-2x+3>0的解集为R.（ ）2.（2013·广东高考） 不等式的解集为 . 3.函数f(x)=+log 3(3+2x -x 2)的定义域为_____．4.已知函数f(x)= 22x 2x x 0x 2x x 0⎧+≥⎪⎨-+⎪⎩，，，＜， 解不等式f(x)＞3.3.解下列不等式：211(1)x +4x +4>0; (2)(-x)(+x)>02322(3)1-x -4x >0; (4)3x +5<4x.本节小结：回顾本节课你有什么收获？ 1.一元二次不等式的定义；2.一元二次不等式的解法及步骤；3.一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数的联系.220x x +-<。

&3.2.《一元二次不等式的解法》（第一课时）学案 班别： 座号： 姓名：一、创设情境、引入新课学校要在长为8米,宽为6 米的一块长方形地面上进行绿化。

计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)。

为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度x 的取值范围是什么?一元二次不等式定义： 标准形式： 二、探究交流，发现规律 思考：1.一元二次方程2760x x -+=的实根为2.画出函数276y x x =-+的图象，并根据图象回答：当x 取 时，y>0 ？即不等式2760x x -+>的解集为当x 取 时，y<0 ？即不等式2760x x -+<的解集为三、启发引导，形成结论 完成下列表格 ⊿=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()的根002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx axxx xxxx xx四、典例剖析，规范步骤 例1：解不等式 （1）x 2-x-2<0 （2）4x 2-4x+1>0变式：?)0?,0(01442≤<≥+-x x 的解集分别是？ （3）0322<+-x x （4）322-<+-x x五、当堂检测、巩固基础 解不等式：4)1(2>x0)9()2(>-x x六、回顾小结，加深印象 本节课学习的重点： 学习难点：七、课后作业、提升深化1.求函数2.解不等式2(1)940x ->(2)(2)0x x -<(3)()(1)0(1)x a x a --<<3.设计求解一元二次不等式 20(0)ax bx c a ++>>的程序框图.。

高三上学期《一元二次不等式及其解法》导学案一、教学内容解析一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一，在高中数学中起着广泛的应用工具作用，蕴藏着重要的数形结合思想，是代数、三角、解析几何交汇综合的部分，在高中数学中具有举足轻重的地位。

教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法，而是采取简洁明了的数形结合的方法，从具体到抽象，从特殊到一般，用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法。

教学中，利用几何画板的动态演示功能，引导学生结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程。

通过对一元二次不等式解集的探究过程，渗透函数与方程、数形结合、分类讨论等重要的数学思想。

一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，探究中应注意对“特例”的处理，让学生注意对“特殊情况”的处理，才能让学习的内容更加完整。

因此，本节课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法，通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想。

二、教学目标解析.通过对一元二次不等式解法的探究，让学生了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

2.掌握一元二次不等式的求解步骤，尤其是对“特例”的处理。

3.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想，培养学生动手能力，观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。

三、学生学情分析学生已有的认知基础是，学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关知识，为本节课的学习打下了基础。

学生根据具体的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大，学生可能存在的困难：（1）二次函数是初中学习的难点，许多学生对二次函数的知识掌握欠缺，对本节课的顺利开展有一定的影响；（2）从特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，学生全面考虑不同情况下的解集有一定的困难。

第1课时一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义□01只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集□02使一元二次不等式成立的x的值叫做一元二次不等式的□03解，□04所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集□05{x|x<x1或x>x2}□06{xx≠⎭⎬⎫－b2a□07Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集□08{x|x1<x<x2}□09∅□10∅1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程f (x )＝0的两解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式f (x )>0的解集不可能为{x |x 1<x <x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 80T 1(1))不等式x (x ＋1)≤0的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0](2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)当a >0时，若ax 2＋bx ＋c >0的解集为R ，则Δ应满足的条件为________． (4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________. 答案 (1)D (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4探究1 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0； (5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .拓展提升解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【跟踪训练1】 求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0； (2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0； (4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 探究2 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式⇒－x ＋1<0⇒x >1； 若a <0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0⇒x <1a 或x >1；若a >0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 ①当a ＝1时，式(*)⇒x ∈∅； ②当a >1时，式(*)⇒1a <x <1； ③当0<a <1时，式(*)⇒1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 拓展提升解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式，分类讨论的结果最后不能合并．【跟踪训练2】 (1)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； (2)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0. 解 (1)原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a .②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2. ③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(2)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}； 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }． 探究3 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0， 故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[变式探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}． 拓展提升三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【跟踪训练3】 (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1 解析 (1)由题意可得－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得 12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，故ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0， 即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.[规律小结]1.对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．2.解含参数的不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论． ②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况进行讨论．[走出误区]易错点⊳解含参数的不等式时分类讨论不全出错 [典例] 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.[错解档案] 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}；当a ≠0时，方程(x －2)(ax －2)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝2a . (1)当2a ＝2，即a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； (2)当2a >2，即0<a <1时，原不等式的解集为{|x x >2a 或x <2； (3)当2a <2，即a <0或a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a <0或a >1时，原不等式的解集为{|x x <2a 或x >2.[误区警示] 当a <0或a >1时，只注意到了2a <2，而忽略了当a <0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [规范解答] 以上同错解． (3)当2a <2，即a <0或a >1时，①当a <0时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2； ②当a >1时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [名师点津] 解ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，D 选项中Δ＝9－4×2×2＝－7<0，解集为∅，故选D.2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.{|x －23≤x ≤12 } B.{|x x ≤－23或x ≥12} C.{|x x ≥12 }D.{|x x ≤－32}答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故选B. 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.{|x x ≠－13} B ．{|x －13≤x ≤13}C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13答案 D解析 原不等式可变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.故选D.4．若不等式x 2＋(m －3)x ＋m ≤0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．答案 m ≥9或m ≤1解析 由题意知Δ＝(m －3)2－4m ≥0，即m 2－10m ＋9≥0，∴m ≥9或m ≤1. 5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x . 解 由x 2－3x ＋1>1，得x 2－3x >0， ∴x <0或x >3.由x 2－3x ＋1<9－x ，得x 2－2x －8<0， ∴－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |x <0或x >3}∩{x |－2<x <4} ＝{x |－2<x <0或3<x <4}．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3}答案 C 解析 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0.∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．4．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x >12C ．{x |－3<x <2}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >13答案 B解析 由题意可知，ax 2－5x ＋b ＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝5a ，－3×2＝ba ，解得a ＝－5，b ＝30，则所求不等式可化为30x 2－5x －5>0，即(2x －1)(3x ＋1)>0，解得x <－13或x >12.故选B.二、填空题5．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}，则M ∩N ＝________. 答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13解析 由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0. 所以(3x －1)2>0，解得x ≠13， 即M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠13.由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0，解得－1<x <4，即N ＝{x |－1<x <4}． 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：答案 {x |x ＜－2或x ＞3}解析 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}．7．已知A ＝(1,2)，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，∴B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2，解得1≤a ≤2.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ，g (x )＝－(m ＋4)x －4＋m ，m ∈R . (1)比较f (x )与g (x )的大小； (2)解不等式f (x )≤0.解 (1)由于f (x )－g (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋(m ＋4)x ＋4－m ＝x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0， ∴f (x )>g (x )．(2)不等式f (x )≤0，即x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0， 即(x －m )(x －1)≤0，当m <1时，其解集为{x |m ≤x ≤1}， 当m ＝1时，其解集为{x |x ＝1}， 当m >1时，其解集为{x |1≤x ≤m }．9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)． (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54， 所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.B 级：能力提升练1．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0，∴0<x <2a 1. 2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a <0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a 的取值范围．解 ∵x 2－ax －6a <0有解，∴方程x 2－ax －6a ＝0的判别式Δ＝a 2＋24a >0， ∴a >0或a <－24.解集的区间长度就是方程x 2－ax －6a ＝0的两个根x 1，x 2的距离， 由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－6a ，得 (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋24a . ∵|x 1－x 2|≤5，∴(x 1－x 2)2≤25， ∴a 2＋24a ≤25，∴－25≤a ≤1. 综上可得－25≤a <－24或0<a ≤1， 即a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．。