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工程电磁场与电磁波丁君版答案第四章习题答案第四章习题4-1解：选柱坐标系，在所求无源区内电位函数满足：02=?φφ只和r 相关0=???φ0=??z φ方程化为 0)(1=????rr r r φ21ln C r C +=φ为常数21,C C 由 006.0==φ时r 501.0-==φ时r得 88.27588.9721=-=C C88.275ln 88.97+-=r φr a rE ?188.97=-?=φ4—2：解：图一依据边界条件：?????====021R R R R U φφ０可得：???????--=-=００UR R R B U R R R R A 1211221 ∴()120212021R R U R R R R U R R ---=φ(2) ()R R a RR R U R R a R E ?1?212021?-=??-=-?=φφ (1) 如图一，依据题意可知：电位函数φ满足拉普拉斯方程。
接受球坐标系：2=?φ0=??θφ0=???φR 相关只于φ，方程化为: 0)(122=????R R R R φφ积分得：B RA +?=1φ(3) ()R R R aR R R U R E D ?12102001-?===εε内表 S S d D s Sρ=??内表S S D s ρ=内表∴)(12102R R R U R D s -==ερ内表4—3：解：选择直角坐标如图，由恒定电场的泊松方程可得：xy设两板间距离为d,代入边界条件?????====000U dz z φφ???????+=+==?ερερ22002021d d U d d U C C ∴)2()2(2002ερερφερερφd d U z E zdd U z +-=-?=++-=4—4：解：选择柱坐标系，依据恒定电磁场的拉普拉斯方程，(1) 02=?m φ，m φ只在?方向上有变化，所以：B A r m m+==???φ?φ:,01222积分得由 0=?时：0,0==B m 得φ∴?φA m = l m m a dld Hφφ-=-?=l d H d m?-=φ??-=?-=ππφ2020I l d H d m0,0,2=??=??-=?xy φφερφ方程可化为：,22ερφ-=??z2122:C z C z ++-=ερφ积分得B A I m m+=-==?φφπ?代入,2π2?=-A I π2I A -= ?πφ2Im -= (2) ??π?φφφa rI a d d r a dl d H m l m m21==-=-?=可见，利用拉普拉斯方程与安培环路定理求出来的结果一样。
工程电磁场答案第1章梯度：x y z u u u gradu e e e u x y z∂∂∂=++=∇∂∂∂; 散度：y x z A A A divA A x y z∂∂∂=++=∇⋅∂∂∂ ； 旋度:xy zxy ze e e rotA A x y z A A A ∂∂∂==∂∂∂ ∇⨯ 1-1（1）解：，T xy = ∴等温线方程为T x ，y c ==解得cy x=为双曲线族 （2）解：21T 2x y=+ ， ∴等温线方程为221T c x y ==+，解得221x y c +=为半径的圆族 1-2（1）解：1u ax by cz=++ ，∴等值面方程为1u c ax by cz==++，解得， 110ax by cz c ++-=所以它为平行平面族（2）解：u z =-，∴等值面方程为u z c ==，解得()222x y z c +=-，顶点在(的圆锥面族)0,0,c （3）解： ()222ln u x y z=++，∴等值面方程为，()222ln u x y z =++c =解得222cx y z e ++=， 所以它为球心在原点的球面族1-3解：由题意可得,,x y z 2A x A y A z ===，又x y zdx dy dz A A A ==，即2dx dy dzx y z ==， ,2dx dy dx dzx y x z∴==， 212,y c x z c x ==， 过()1.0,2.0,3.0M 122,3c c ∴==，即22,3y x z x ==（联立）1-4解：由题意可知22,,x y z 2A y x A x y A y z ===，,x y zdx dy dz A A A ==即222dx dy dz y x x y y z ==，,dx dy dx dzy x x z∴==， 可得2212,x y c z c -==x （联立） 1-5 解：|621M ux z x ∂=+=∂2， 0|2M uz y ∂=-=-∂6，|222M uz y x z ∂=-+=∂4，余弦cos αβγ===，所以方向导数为0|1264M u l ∂=-=∂ 1-6 解：000|5,|4,|M M M u u uy z x z x y x y z∂∂∂=+==+==+=∂∂∂3， 过点()， 1.0,2.0,3.0余弦cos α==，cos β==cos γ==543+=1-7 解：0|22,24,2M u u u y x z x y z∂∂∂==-===-=-∂∂∂2)， 设点到点的方向余弦为()2.0, 1.0.1.0-(3.0,1.0. 1.0-1cos 3α==，22cos ,cos 33βγ==-， 所以方向导数为()12222333⎛⎫⨯-++-⨯-= ⎪⎝⎭103， 由题意可知。
习题五5-1 一圆柱形铝管，外半径为32 mm ，管壁厚6 mm ，求单位长度的电阻。
解：铝管的内半径为26mm ，设流过铝管的电流为I ，则： 662222211034810)2632()(⨯=⨯-=-=-πππI IR R IJ6/10348I E J σπσ==⨯13349.5103486103486-=⨯=⨯⨯=⋅=σπσπσII I d E R （Ω）5-2 一长为l m 的导体，电阻率为σ,导体各处的横截面相似，一端的面积为A m 2,另一端面的面积为kA m 2，求两端面间的电阻。
5-2.解：（此题应为导体各处的横截面相似且呈线性关系）。
z设流入导体的电流为I ，则设任一截面面积为()z S ，由⎩⎨⎧==kA l S A S )()0(得： ⎪⎩⎪⎨⎧-==A l k a A b 1则：AAz lk z S +-=1)(σE z S IJ ==)(σ⋅=∴)(z S I Ek Ak Il A z A lk dz I dz E U ln )1()1(11⋅-=+⋅-⋅=⋅=⎰⎰σσAk k l IU R ⋅-⋅==∴σ)1(ln5-3解：σb lU本题所求电感为跨接在内外导体间的r ar E E ˆ)(=r arl I J ˆ2π=E Jσ= r alr IE ˆ2σπ=ab lI dr lr I l d E U babaln22πσσπ==⋅=⎰⎰ab UI G ln 2πσ==球冠面积⎰⎰-==πθθπϕθθ20220)cos 1(2sin r d d r Sr a r E E ˆ)(= r r a r Ia S I J ˆ)c o s 1(2ˆ2θπ-== σS J E = ⎰⎰-=⋅-=21)cos 1(22r r dr r Il d E U σθπ2112)cos 1(2r r r r IU R θπσ--==5-5.解：设电容器板内的D 为0D ，则：d 1=1.0mm d 2=2.0mmd 3=2.5mm1r ε2r ε3r ε方法一：（1） n n D D 10=⎰⋅=⋅=Sn n S D dS D Q 11101111r n n d D d E U εε⋅=⋅=F d S UQ C r 93911011096.71013103613.0---⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅==∴πεε（2）同理 F C 921031.5-⨯=（3）同理 F C 931037.6-⨯= F C C C C 93211012.21111-⨯=++=∴方法二：由介质边界条件nn n n D D D D 0321===⎰⎰⎰⎰++=⋅-=12132321d d d d d n n n dzE dz E dz E l d E Udz D dz D d d d r nd r n⎰⎰++=1212102001εεεεdz D d d d d rn⎰+++3122303εε)(3213210rrrond d d D εεεε++=SD ds D Q n 01=⋅=⎰ UQ C =5-6 解：设内导体单位长度带电量为Q ，E 、D只有r 方向分量，电荷将均匀分布在导体表面上，⎰⎰=⋅+⋅QS d D S d D 2211Q r E r E =+-12110)2(θεθπε 在介质与空气的分界面上t t E E 21=且没有ϕ方向分量，即 21E E E == rQE 1)2(110⋅+-=∴εθθπε)l n ()2(110abQdr E U ba⋅+-=⋅=∴⎰εθθπε[])l n (/)2(110abU QC εθθπε+-==∴5-7l设电轴的位置偏离轴心c mm a 85.68= mm h 53.8= M 点N 点的电位相等 120ln 2R R l περφ=ca c a h l M +-+=2ln20περφ ca c a h l N ---=2ln20περφ由此可得出ca c a h ca c a h ---=+-+22 所以c 满足0222=+-a hc c可求出0003.0=c 1）由于a h >>，求解导体电位时a 可以忽略。
第四章 习题4-1解：选柱坐标系，在所求无源区内电位函数满足： 2=∇φφ只和r 相关0=∂∂ϕφ0=∂∂zφ方程化为 0)(1=∂∂∂∂rrrr φ 21ln C r C +=φ 为常数21,C C由 006.0==φ时r 501.0-==φ时 r得 88.27588.9721=-=C C88.275ln 88.97+-=r φr a rE ˆ188.97=-∇=φ 4—2：解：图一根据边界条件：⎪⎩⎪⎨⎧====021R R R R U φφ０可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=００U R R R B U R R R R A 1211221 ∴)120112021R R U R RR R U R R ---=φ(2) ()R R a R R R U R R a RE ˆ1ˆ212021⋅-=∂∂-=-∇=φφ (3) ()R R R aR R R U R ED ˆ12102001-⋅===εε内表 (1) 如图一，根据题意可知：电位函数φ满足拉普拉斯方程。
采用球坐标系：2=∇φ0=∂∂θφ0=∂∂ϕφR 相关 只于 φ，方程化为:0)(122=∂∂∂∂R RRR φφ积分得：B RA +⋅=1φSS d D s Sρ=⋅⎰内表SS D s ρ=内表 ∴)(12102R R R U R D s -==ερ内表4—3：解：选择直角坐标如图，由恒定电场的泊松方程可得：xy设两板间距离为d,代入边界条件⎪⎩⎪⎨⎧====00U dz z φφ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==⇒ερερ22002012d d U d d U C C ∴)2()2(2002ερερφερερφddU z E zddU z +-=-∇=++-=4—4：解：选择柱坐标系，根据恒定电磁场的拉普拉斯方程，(1) 02=∇m φ，m φ只在ϕ方向上有变化，所以：BA rm m +==∂∂ϕφϕφ:,01222积分得由 0=ϕ时：0,0==B m 得φ ∴ϕφA m =lm m a dld H φφ-=-∇=l d H d m⋅-=φ⎰⎰-=⋅-=ππφ2020I l d H d mBA I m m+=-==ϕφφπϕ代入,20,0,2=∂∂=∂∂-=∇xyφφερφ方程可化为：,22ερφ-=∂∂z2122:C z C z ++-=ερφ积分得π2⋅=-A I π2I A -= ϕπφ2I m -=(2)ϕϕπϕφφφa rI a d d r a dl d H m l m m 21==-=-∇=可见，利用拉普拉斯方程与安培环路定理求出来的结果一样。
第四章答案4-14 ① 电场强度的瞬时矢量为：[])3(05.0cos )32(]Re[)(z t a j a a j e E t E z y x t j +-+--=⋅=ππωω② 磁场强度的瞬时矢量为：[])3(05.0cos )32(1)(1)(00z t a j a j a t E a t H z y x z +-+-=⨯=ππωηη4-15 ① 由麦克斯韦方程得tB x E e z E e E y z y x ∂∂-=∂∂+∂∂-=⨯∇对上式积分，得)cos(sin )sin(cos 00kx t z b k E e kx t z b b E e B z x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=ωπωωπωπ)cos(sin )sin(cos 100000kx t z b k E e kx t z bb E e B H z x -⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛==ωπωμωπωμπμ ② 平均能量密度为z x T av e b kE e kE dt H E T Sωμωμ020*********-=⨯=⎰③ 导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在0=z 表面上，法线z e n=，面电流密度为)sin(000kx t bE e H e J y z z -=⨯==ωωμπ在b z =表面上，法线z e n-=，面电流密度)sin(00kx t bE e He J y bz z -=⨯-==ωωμπ4-16 ① 电场强度的复数表达式为)3(03.001.0π+-=kz j y jkz x ea e a E ② 磁场强度的复数表达式为：jkz y kz j x z e a e a E a H 01.0103.0110)3(00ηηηπ+=⨯=+磁场强度的瞬时表达式为：y x a kz a kz H )10cos(01.01)310cos(03.018080-++-=πηππη4-19 ① 一段长度为l 的同轴线，假设其轴线与圆柱坐标系z 轴重合，直流电流均匀分布在导线的横截面上，于是有σπσπ)(,)(2222a b Ie J E a b I e J z z-==-=在导线表面，)(2a b Ie H -=πφ因此，导线表面的坡印亭矢量322)(2a b Ie H E S r--=⨯=σπ 它的方向处处指向导线表面。
② 将坡印亭矢量延导线段表面积分，有R I a b lI l a b a b I dS e S S d S Sr S 222322)()(2)(2 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅-=⋅-⎰⎰σππσπ 式中，R 为导线段电阻。
上式表明，从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热损耗功率。
这就验证了坡印亭定理。
4-20 ① 由麦克斯韦方程得tB x E e z E e E y z y x ∂∂-=∂∂+∂∂-=⨯∇对上式积分，得)cos(sin )sin(cos 00k t z d k E e k t z d d E e B z x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=ωπωωπωπ)cos(sin )sin(cos 100000k t z d k E e k t z dd Ee B H z x -⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛==ωπωμωπωμπμ ② 导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在0=z 表面上，法线z e n=，面电流密度为)sin(000k t dE e H e J y z z s -=⨯==ωωμπ在b z =表面上，法线z e n-=，面电流密度)sin(00k t dE e He J y dz z s -=⨯-==ωωμπ4-21 在边界0=x 处有)(x e n=)cos(,0,00t kz H H H E z x y ω-===所以，导电壁上的电流密度和电荷密度的值为)cos(000t kz H e H e e Hn J y x zz x x S ω--=⨯=⨯===000=⨯==x S D nρ在0=x 处电磁场满足的边界条件为00)cos(0=⋅=⋅=⨯--=⨯D n B n E n t kz H e H n yω同理，在a x =处)(x e n-=有)cos(00t kz H e H e e Hn J y ax zz x ax S ω--=⨯-=⨯===0=⨯==a x Sa D nρ 000)cos(0=⋅=⋅=⨯--=⨯D n B n E n t kz H e H n yω4-23 ① 由麦克斯韦方程可得tH ct z k k E a ct z k k E a z E a z E a E y x x yy x ∂∂-=----=∂∂+∂∂-=⨯∇000000)(sin )(cos μ对上式积分，得磁场强度瞬时值为)(cos )(sin 000000ct z k cE a ct z k c E a H y x ---=μμ故坡印亭矢量的瞬时值cE a H E S z020μ -=⨯= ② 因为E的模和幅角分别为022E E E E y x =+=)()(cos )(sin tan 000001ct z k ct z k E ct z k E -=--=-θ所以，E随时间变化的轨迹是圆。
③ 磁场能量密度、电场能量密度和坡印亭矢量的时间平均值分别为200)2(0000)2(00,2141]Re[410000E e E a e E a e E a e E a D E w z k j y zjk x z k j y z jk x e av εεεππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅=----* 200,21E w m av ε=c E e H E S zav 020221Re μ -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=*第五章答案5-4 根据题意，设均匀平面电场为)/()cos()(00m mV kz wt E a t E -=式中，340,/1029πμεπ==⨯=w k s rad w 所以)/()340102cos(2)(9m mV z t a t E x ππ-⨯=当m z s t 62,1==μ时，电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印亭矢量为)/(m mV a E x-=)/()340102cos(4)(90m mV z t a t H y ππη-⨯=故此时)/(20m mA a H yη-=)/(6012m mA a H E S z π=⨯=5-5 ① 波长、传播方向与z 轴的夹角分别为m kk k k z x 4.02,5)3()4(22===+=+=πλπππ 6.0cos ,6.08.034=+=+=z z x z x k a a ka a a θππ故53=z θ② 因为0=⋅∇H，所以0124=-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ππj jA zH y H x H H z y x解之，得3=A③ 电场强度矢量)/()6585656()6.08.0()4623()34(0)34(00m V e a a a a a e a a a a H E z x j z y x z x z x j z y x k +-+--+=+⨯++-=⨯=ππηηη5-6 采用直角坐标系 ① 考虑到1201212222221222222122222212)()()(E k e E a k E z y x a E z y x a E z y x a E jkz z zz y y x x =-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇-于是01212=+∇E k E同理，可得01222=+∇E k E② 根据题意可得01,01202101=⨯==⨯=E a H E a H z zηη所以2121,,0,0E E S S ==所形成的场在空间均无能量传播，即21,E E均不能表示电磁波。
5-8 ① 电场强度的振幅为)/(3320200m V E E E y x =+=而2222π=++=z y x k k k k所以波矢量x a k k=，其中z y x k a a a a 333232-+=从而)(42m k==πλ ② 电场强度的瞬时表达式为)/()]322(6cos[)2(3]Re[)(m V z y x wt a a Ee t E y x jwt -+--==π磁场强度矢量的瞬时表达式为)/()322(6cos )336(1)(1)(0m A z y x wt a a a t E a t H z y x k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅++-=⨯=πηη5-9 因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽10kHz 时所对应的厚度。
因为趋肤深度)(00066.0121m f ===μσπωμσδ所以，铜皮的最小厚度为)(0033.05m h ==δ5-11 因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽10kHz 时所对应的厚度。
因为趋肤深度)(000598.01210m f ===μσπωμσδ因为铝壳为5个趋肤深度，故铝壳的厚度应为)(003.050m h ==δ5-15 ① 电场强度的瞬时表达式为)/()(22cos 33),(m V y x t a t r E z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=πω其中，)/(10238s rad kc ⨯==πω ② 对应的磁场强度矢量为)/()(22cos )(3240)(1)(1)(00m A y x t a a t E a t E k k t H x y k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⨯=⨯=πωπηη5-18 此电磁波的x 分量的相位滞后于y 分量的相位，而且两分量的振幅相等，故此波为左旋面极化波。
其对应的磁场强度矢量为)/()(21200m A e a j a E a H zj x y z πηη--=⨯=。
