2022年内蒙古包头市中考数学试卷及答案解析

2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.计算−3−2的结果是( )A. −1B. 1C. −5D. 52.据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为( )A. 1.1×1012B. 1.1×1011C. 11×1010D. 0.11×10123.不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是( )A. ba+b B. baC. aa+bD. ab4.图中几何体的三视图是( )A.B.C.D.5.学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间(单位：ℎ)，分别为：4，5，5，6，10.这组数据的平均数、方差是( )A. 6，4.4B. 5，6C. 6，4.2D. 6，56.下列运算正确的是( )A. √12×√8=±2 B. (m+n)2=m2+n2C. 1x−1−2x=−1xD. 3xy÷−2y23x=−9x22y7.如图．△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F.若∠BCD=α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示)( )A. 90°+12α B. 90°−12α C. 180°−32α D. 32α8.已知x1，x2是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式x13−2022x1+x22的值是( )A. 4045B. 4044C. 2022D. 19.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF：FC的值是( )A. 3B. √5+1C. 2√2+1D. 2+√310.以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD=AE，则∠BAD=3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.因式分解：x3−9x=______．(k>0)的图象上，若0<y1<y2，则a的12.点(2a−1,y1)、(a,y2)在反比例函数y=kx取值范围是______．13.如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为______(用含π的代数式表示)；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为______．14.某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y 千克，则购买量y 关于付款金额x(x >10)的函数解析式为______．15. 已知AB 为⊙O 的直径且AB =2，点C 是⊙O 上一点(不与A 、B 重合)，点D 在半径OB上，且AD =AC ，AE 与过点C 的⊙O 的切线垂直，垂足为E.若∠EAC =36°，则CD =______，OD =______．16. 在平面直角坐标系中，点C 和点D 的坐标分别为(−1,−1)和(4,−1)，抛物线y =mx 2−2mx +2(m ≠0)与线段CD 只有一个公共点，则m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算求解18. (1)计算2sin45°−|2−√2|+(−13)−1； 19. (2)解方程组：{4x +y =5x−12+y 3=2．20. “一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB 的高度，某数学兴趣小组在D 处用测角仪测得雕像顶部A 的仰角为30°，测得底部B 的俯角为10°.已知测角仪CD 与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB 的高．(用非特殊角的三角函数及根式表示即可)21. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下： 22. 17 18 16 13 24 15 27 26 18 19 23. 22 17 16 19 32 30 16 15 16 28 24. 15 32 23 17 14 15 27 27 16 1925. 对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下26.频数分布表组别一二三四五六七销售额/万元13≤x<1616≤x<1919≤x<2222≤x<2525≤x<2828≤x<3131≤x<34频数61033a b2数据分析表平均数众数中位数20.3c d请根据以上信息解答下列问题：(1)上表中a=______，b=______，c=______，d=______；(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；(3)若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率．27.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．28.(1)求证：BD=CD；29.(2)若tanC=12，BD=4，求AE．30.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE//x轴，AD⊥BE于点D，点C(72,−12)是直线BE上一点，且AC=√2CD．31.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；32.(2)根据图象，请直接写出不等式kx+b−mx<0的解集．33.今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．34.(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？35.(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？豆数量的2336.下面图片是八年级教科书中的一道题．37.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示：取AB的中点G，连接EG.)38.39.(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：______；40.(2)如图1，若点E是BC边上任意一点(不与B、C重合)，其他条件不变．求证：AE=EF；41.(3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．=k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．42.设BEBC43.x2+bx+c经过点B(4,0)和点C(0,2)，与x轴的另一个交点为A，44.如图，抛物线y=−12连接AC、BC．45.(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；46.(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．47.(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ//y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．48.答案和解析1.【答案】C【解析】解：−3−2=−5．故选：C．运用有理数的减法运算法则计算．本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：1100亿=110000000000=1.1×1011．故选：B．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是b．a+b故选：A．根据概率的计算公式直接计算即可．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m．n本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，如果A为随机事件，那么0<P(A)<1．4.【答案】C【解析】解：根据题意可得，图中几何体的三视图如图，．故选：C ．应用简单几何体的三视图判断方法进行判定即可得出答案．本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵x −=15×(4+5+5+6+10)=6，∴S 2=15×[(4−6)2+2×(5−6)2+(6−6)2+(10−6)2]=4.4， 故选：A ．先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算可得．本题主要考查平均数、方差，解题的关键是掌握平均数、方差的计算公式．6.【答案】D【解析】解：A 、√12×√8=2，故A 不符合题意；B 、(m +n)2=m 2+2mn +n 2，故B 不符合题意；C 、1x−1−2x=2−xx 2−x，故C 不符合题意；D 、3xy ÷−2y 23x=−9x 22y，故D 符合题意；故选：D ．利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7.【答案】C【解析】解：由旋转的性质可知，BC =CD ，∠B =∠EDC ，∠A =∠E ，∠ACE =∠BCD ， ∵∠BCD =α，∴∠B=∠BDC=180°−α2=90°−α2，∠ACE=α，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°−∠B=α2．∴∠E=α2．∴∠EFC=180°−∠ECF−∠E=180°−32α.故选：C．由旋转的性质可知，BC=CD，∠B=∠EDC，∠A=∠E，∠ACE=∠BCD，因为∠BCD=α，所以∠B=∠BDC=180°−α2=90°−α2，∠ACE=α，由三角形内角和可得，∠A=90°−∠B=α2.所以∠E=α2.再由三角形内角和定理可知，∠EFC=180°−∠ECF−∠E=180°−32α.本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．8.【答案】A【解析】解：把x=x1代入方程得：x12−x1−2022=0，即x12−2022=x1，∵x1，x2是方程x2−x−2022=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=−2022，则原式=x1(x12−2022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=1+4044=4045．故选：A．把x=x1代入方程表示出x12−2022=x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．9.【答案】D【解析】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=12∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=12BD，AC=2AO，AB=AD，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴DB=AD，∵∠AOD=90°，点E是DA中点，∴OE=AE=DE=12AD，∴设OE=AE=DE=a，∴AD=BD=2a，∴OD=12BD=a，在Rt△AOD中，AO=√AD2−DO2=√(2a)2−a2=√3a，∴AC=2AO=2√3a，∵EA=EO，∴∠EAO=∠EOA=30°，∴∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°，∵∠DEF=45°，∴∠OEF=∠DEO−∠DEF=15°，∴∠EFO=∠EOA−∠OEF=15°，∴∠OEF=∠EFO=15°，∴OE=OF=a，∴AF=AO+OF=√3a+a，∴CF=AC−AF=√3a−a，∴AFCF =√3a+a√3a−a=√3+1√3−1=2+√3，故选：D．∠DAB=30°，AC⊥BD，连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC=12BD，AC=2AO，AB=AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB=AD，OD=12AD，然后设OE=AE=DE=再根据直角三角形斜边上的中线可得OE=AE=DE=12a，则AD=BD=2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF=∠EFO=15°，从而可得OE=OF=a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：(1)根据题意得：0.9×1.1a−0.85a=0.14a，故①是正确的；(2)如图：设∠EDC=x；则∠AED=x+60°，∵AD=AE∴∠ADE=∠AED，∴∠DAC=180°−2∠AED=180°−2x−120°=60−2x．∴∠BAD=60°−∠DAC=2x=2∠EDC．故②是错误的．(3)如图：D为BC的中点，两边为AB，AC；把AD中线延长加倍，得△ACD≌△EBD，所以AC =BE ，所以△ABE 与对应三角形全等，得∠BAE 与对应角相等，再根据两边及夹角相等，两个三角形全等， 故③是正确的．(4)设该列自然数为a ，则新数为a 2100，则a −a 2100=−a 2+100a100=−(a−50)2+2500100，∵0≤a ≤55，∴原数与对应新数的差是先变大，再变小． 故④是错误的． 故选：B ． (1)列代数式求解；(2)利用三角形内角和及外交关系定理求解； (3)利用三角形全等进行判断； (4)利用作差比较代数式的大小．主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理及正确计算．11.【答案】x(x +3)(x −3)【解析】解：x 3−9x=x(x 2−9)=x(x +3)(x −3)． 故答案为x(x +3)(x −3)．先提取公因式x ，再利用平方差公式进行分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．12.【答案】a >1【解析】解：∵k >0，∴反比例函数y =kx (k >0)的图象在一、三象限，在每个象限，y 随x 的增大而减小， ∵0<y 1<y 2，∴点(2a −1,y 1)、(a,y 2)都在第一象限， ∴2a −1>a ， 解得：a >1，故答案为：a>1．先确定反比例函数y=kx(k>0)的图象在一、三象限，由0<y1<y2可知点(2a−1,y1)、(a,y2)都在第一象限，根据反比例函数的性质即可得到2a−1>a，求解即可．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．13.【答案】3πa2103a 5【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD=(5−2)×180°5=108°，∴S扇形=108π×a2360=3πa210；又∵弧BD的长为108πa180=3πa5，即圆锥底面周长为3πa5，∴圆锥底面直径为3a5，故答案为：3πa210；3a5．先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．本题考查正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．14.【答案】34x+2【解析】解：当x>2时，y=5×2+5×0.8(x−2)=4x+2；∵14>10，∴x>2，∴4x+2=14，即：x=3．故答案为：3；y=4x+2．根据糯米的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上种子，超过2千克的部分的种子的价格打8折，分别即可得出解析式；再把y=14代入即可．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．15.【答案】1−1+√52【解析】解：如图：连接OC，设OD=x，∵直径AB=2，∴OA=OC=1，∴AD=AC=1+x，∵EC与⊙O相切于点C，∴OC⊥EC，∵AE⊥EC，∴∠AEC=90°，∴AE//OC，∴∠EAC=∠ACO=36°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=36°，∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=72°，∴∠OCD=∠ACD−∠ACO=36°，∵∠COD=2∠CAD=72°，∴∠COD=∠ADC=72°，∴OC=DC=1，∴∠OCD=∠CAD，∠ADC=∠ODC，∴△DOC∽△DCA，∴DODC =DCDA，∴x1=11+x，解得：x=−1±√52，经检验：x=−1±√52是原方程的根，∵x>0，∴OD=−1+√5，2．故答案为：1，−1+√52连接OC，设OD=x，则AC=AD=1+x，利用切线的性质可得OC⊥EC，从而可得AE/ /OC，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得∠EAC=∠ACO=∠OAC=36°，从而可得∠ADC=∠ACD=72°，进而可得∠OCD=36°，∠COD=∠ADC=72°，即可得出OC= DC=1，最后证明△DOC∽△DCA，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．16.【答案】m=3或−1<m<−38=1，【解析】解：抛物线的对称轴为：x=−−2m2m当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,2)，顶点坐标为(1,2−m)，直线CD的表达式y=−1，当m>0时，且抛物线过点D(4,−1)时，16m−8m+2=−1，(不符合题意，舍去)，解得：m=−38当抛物线经过点(−1,−1)时，m+2m+2=−1，解得：m=−1(不符合题意，舍去)，当m>0且抛物线的顶点在线段CD上时，2−m=−1，解得：m=3，当m<0时，且抛物线过点D(4,−1)时，16m−8m+2=−1，，解得：m=−38当抛物线经过点(−1,−1)时，m+2m+2=−1，解得：m=−1，，综上，m的取值范围为m=3或−1<m<−38故答案为：m =3或−1<m <−38．根据抛物线求出对称轴x =1，y 轴的交点坐标为(0,2)，顶点坐标为(1,2−m)，直线CD 的表达式y =−1，分两种情况讨论：m >0时或m <0时，利用抛物线的性质分析求解． 本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17.【答案】解：(1)原式=2×√22−2+√2−3 =√2−2+√2−3 =2√2−5； (2)方程组整理得{4x +y =5①3x +2y =15②，②−①×2得：−5x =5， 解得：x =−1，把x =−1代入①得：−4+y =5， 解得：y =9，则方程组的解为{x =−1y =9．【解析】(1)原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；(2)方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，则CD =BE =1米，在Rt △CBE 中，∠BCE =10°， ∴CE =BEtan10∘=1tan10∘(米)，在Rt△ACE中，∠ACE=30°，∴AE=CE⋅tan30°=1tan10∘⋅√33=√33tan10°(米)，∴AB=AE+BE=(1+√33tan10°)米，∴雕像AB的高为(1+√33tan10°)米．【解析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CD=BE=1米，然后在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19.【答案】421618【解析】解：(1)a=4，b=2；c=16，d=18；故答案为4，2，16，18；(2)月销售额定为18万元合适．理由如下：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售额定为中位数，因为低于中位数和高于中位数的人数相同，所以月销售额定为18万元合适；(3)画树状图为：共有12种等可能的结果，其中这两名营业员在同一组内的结果数为4，所以这两名营业员在同一组内的概率=412=13．(1)利用唱票的形式可得到a、b的值，然后根据众数和中位数的定义确定数据的众数与中位数；(2)根据中位数的意义确定月销售额定；(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出这两名营业员在同一组内的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图、众数和中位数．20.【答案】(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=DC；(2)解：∵BD=DC=4，∴BC=DB+DC=8，在Rt△ADC中，tanC=12，∴AD=CD⋅tanC=4×12=2，∴AC=√AD2+CD2=√22+42=2√5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠AEB=∠ADC=90°，∠C=∠C，∴△CDA∽△CEB，∴CECD =CBCA，∴CE4=2√5，∴CE=165√5，∴AE=CE−AC=65√5，∴AE的长为65√5．【解析】(1)连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；(2)利用(1)的结论可得BD =DC =4，BC =8，然后在Rt △ADC 中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，从而利用勾股定理求出AC 的长，最后证明△CDA∽△CEB ，利用相似三角形的性质求出CE 的长，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵AD ⊥BE 于点D ，AC =√2CD ．∴cos∠ACD =CDAC =√22， ∴∠ACD =45°，∴△ADC 是等腰直角三角形， ∴AD =CD ，∵A 点的横坐标为1，点C(72,−12)， ∴CD =72−1=52，∴A(1,52−12)，即A(1,2)， ∵反比例函数y 2=mx 的图象过A 、B 两点， ∴m =1×2=2，∴反比例函数的表达式为y 2=2x ， ∵BE//x 轴，∴B 点的纵坐标为−12， ∴B(−4,−12)，把A 、B 的坐标代入y 1=kx +b 得{k +b =2−4k +b =−12，解得{k =12b =32，∴一次函数的表达式为y 1=12x +32；(2)从图象可以看出，不等式kx +b −m x<0的解集是x <−4或0<x <1．【解析】(1)根据题意求得A 点的坐标，用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进而求得B 的坐标，代入y 1=kx +b ，即可解得一次函数的解析式；(2)观察函数图象即可求解．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合是解题的关键．22.【答案】解：(1)设去年每吨土豆的平均价格是x 元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为(x +200)元，第二次采购每吨土豆的平均价格为(x −200)元， 由题意得：300000x+200×2=500000x−200，解得：x =2200，经检验，x =2200是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；(2)由(1)得：今年采购的土豆数为：3000002200+200×3=375(吨)，设应将m 吨土豆加工成薯片，则应将(375−m)吨加工成淀粉，由题意得：{m ≥23(375−m)m 5+375−m 8≤60， 解得：150≤m ≤175，设总利润为y 元，则y =700m +400(375−m)=300m +150000，∵300>0，∴y 随m 的增大而增大，∴当m =175时，y 的值最大=300×175+150000=202500，答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．【解析】(1)设去年每吨土豆的平均价格是x 元，则第一次采购每吨土豆的平均价格为(x +200)元，第二次采购每吨土豆的平均价格为(x −500)元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列出分式方程求解即可；(2)先求出今年采购的土豆数，根据采购的土豆需不超过60天加工完毕，加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列出不等式组并求解，然后由一次函数的性质求出最大利润即可．本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准数量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．23.【答案】AG=CE【解析】(1)解：∵点E为BC的中点，∴BE=CE，∵点G为AB的中点，∴BG=AG，∴AG=CE，故答案为：AG=CE；(2)证明：取AG=EC，连接EG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，∵AG=CE，∴BG=BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠FEC=∠BAE，∴△GAE≌△CEF(ASA)，∴AE=EF；(3)解：k=1时，四边形PECF是平行四边形，如图，3由(2)知，△GAE≌△CEF ，∴CF =EG ，设BC =x ，则BE =kx ，∴GE =√2kx ，EC =(1−k)x ，∵EP ⊥AC ，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴∠PEC =45°，∴∠PEC +∠ECF =180°，∴PE//CF ，∴PE =√22(1−k)x ，当PE =CF 时，四边形PECF 是平行四边形，∴√22(1−k)x =√2kx ，解得k =13．(1)根据点E 为BC 的中点，可得答案；(2)取AG =EC ，连接EG ，首先说明△BGE 是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF ，可得答案；(3)设BC =x ，则BE =kx ，则GE =√2kx ，EC =(1−k)x ，再利用等腰直角三角形的性质表示EP 的长，利用平行四边形的判定可得只要EP =FC ，即可解决问题．本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，取AG =CE ，证明△GAE≌△CEF 是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点B(4,0)和点C(0,2)代入抛物线y =−12x 2+bx +c 中， 则{−12×42+4b +c =0c =2， 解得：{b =32c =2，∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2，在y=−12x2+32x+2中，令y=0得−12x2+32x+2=0，解得：x1=−1，x2=4，∴A(−1,0)；(2)存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：如图：∵点D是线段AC的中点，A(−1,0)，C(0,2)，∴D(−12,1)，设E(0,t)，又B(4,0)，∵∠BED=90°，∴BE2+DE2=BD2，即[(4−0)2+(0−t)2]+[(−12−0)2+(1−t)2]=(4+12)2+(0−1)2，化简得：t2−t−2=0，解得：t1=−1，t2=2，∴E的坐标为(0,−1)或(0,2)；(3)∵B(4,0)、C(0,2)，∴设直线BC的解析式为y=kx+2(k≠0)，把点B(4,0)代入解析式得，4k+2=0，解得：k=−12，∴直线BC的解析式为y=−12x+2，设点P(m,−12m2+32m+2)，则M(m,−12m+2)，①当∠PCM=2∠OBC时，过点C作CF⊥PM于点F，如图，∵CF⊥PM，PM//y轴，∴CF//OB，∴∠FCM=∠OBC，F(m,2)，又∵∠PCM=2∠OBC，∴∠PCF=FCM=∠OBC，∴F是线段PM的中点，∴−12m2+32m+2+(−12m+2)2=2，整理得：m2−2m=0，解得：m=2或m=0，∵点P是第一象限内抛物线上的动点，∴m=2；②∠CMP=2∠OBC时，∵∠CMP=∠BMN，∴∠BMN=2∠OBC，即∠BMN=2∠NBM，∵PN⊥x轴，∴∠BMN+∠NBM=90°，即3∠NBM=90°，∴∠NBM=30°，∴OC=12BC，∵BC=√OC2+OB2=√4+16=2√5≠4，∴此种情况不存在；③当∠CPM=2∠OBC时，∵∠CMP=∠NMB=90°−∠OBC，∴∠PCM=180°−∠CPM−∠CMP=180°−2∠OBC−(90°−∠OBC)=90°−∠OBC，∴∠PCM=∠CMP，∴PC=PM，∴(m−0)2+(−12m2+32m+2−2)2=[(−12m2+32m+2)−(−12m+2)]2，整理得：m2+14m4−32m3+94m2=14m4−2m3+4m2，解得：m=32；综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或32．【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2，令y=0得A(−1,0)；(2)由A(−1,0)，C(0,2)，知线段AC的中点D(−12,1)，设E(0,t)，根据∠BED=90°，得[(4−0)2+(0−t)2]+[(−12−0)2+(1−t)2]=(4+12)2+(0−1)2，即可解得E的坐标为(0,−1)或(0,2)；(3)分当∠PCM=2∠OBC时，∠CMP=2∠OBC时，当∠CPM=2∠OBC时三种情况，利用二次函数的性质和等腰三角形，勾股定理等性质进行计算即可．本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质、直角三角形性质及应用，利用分类讨论的思想是解题的关键．。

2023年初中学业水平考试试卷数学一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.【答案】C【解析】解：A 选项，()236a a =，不符合题意；B 选项，1028a a a ÷=，不符合题意；C 选项，45a a a ⋅=，符合题意；D 选项，515(1)a a --=-，不符合题意；故选：C ．2.【答案】B【解析】解：1x m -≤解得1x m ≤+，由数轴得：13m +=，解得：2m =，故选：B ．3.【答案】D【解析】解：∵2||a b a b ⊗=-，∴2(2)(1)(2)1413-⊗-=---=-=，故选：D ．4.【答案】C【解析】解：∵CA CB =，132∠=︒，∴1801742CBA CAB ︒-∠∠=∠==︒，∵a b ，∴274CBA ∠=∠=︒，故选：C ．5.【答案】D【解析】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，所以该几何体的主视图是故选：D ．6.【答案】A【解析】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A 的坐标共有6种情况：()1,2，()2,1，()1,3，()3,1，()2,3，()3,2，并且它们出现的可能性相等．点A 坐标在双曲线6y x =上有2种情况:()2,3，()3,2．所以，这个事件的概率为2163P ==．故选：A ．7.【答案】D【解析】∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为1a +，其中0a >，∴()22215a a ++=，其中0a >，解得：3a =，14a +=，∴4cos 5α=，故选：D .8.【答案】B【解析】解：正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得：2(3)26y x x =--=-+，故选：B ．9.【答案】B【解析】解：∵O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，∴点D 、E 、F 分别是AB BC AC 、、的中点，∴111,,222DF BC DE AC EF AB ===，∵ 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，∴21CB CA AB ++=即22221DF DE EF ++=，∴4EF =，故选：B ．10.【答案】A【解析】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD ==，tan 3BD BOA OD ∠==，∴2OB AB ===，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒，∵OA B ' 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=︒，∴A '，B ，D 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，∴1BC =，∴2CD =，∴)2C ，将其代入(0,0)k y k x x =>>得：k =，故选：A ．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11.【答案】3【解析】解：∵2132<<，即22212<<，∴12<<，∴1,2a b ==，∴3a b +=．故答案为：3．12.【答案】14-##0.25-【解析】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，122x x +=，128x x =-，∴121214x x x x +=-，故答案为：14-．13.【答案】π【解析】解：正方形ABCD ，∴,,AO CO BO DO AD CD ===，45DBE ∠=︒，∴(SSS)AOD COB ≌ ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ==∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即(245360ππ⨯⨯=，故答案为：π．14.【答案】2【解析】解：点(,3)P m 在223y ax ax =-++上，∴2323am am =-++，(2)0am m --=，解得：2,0m m ==(舍去)故答案为：2．15.【答案】5【解析】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵90ACB ∠=︒，3AC =，1BC =，∴AB ==∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△，∴==AB AB '，90BAB '∠=︒，∴ABB ' 是等腰直角三角形，∴45ABB '∠=︒，又∵DF AB ⊥，∴45FDB ∠=︒，∴DFB △是等腰直角三角形，∴DF BF =，∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯，即=AD ，∵90C AFD ∠=∠=︒，CAB FAD ∠=∠，∴AFD ACB ，∴DF AF BC AC=，即3AF DF =，又∵=AF DF -，∴10=4DF ，∴105==42AD ，51=3=22CD -，∴52==512AD CD ，故答案为：5．16.【答案】①③④【解析】解：①∵正五边形ABCDE ，∴()180531085ABC BCD CDE DEA ∠∠∠∠︒⨯-=====︒，AB BC CD DE AE ====，∴180108362BAC BCA DAE ADE DCE CED ∠∠∠∠∠∠︒-︒=======︒，∴10836ACE BCA DCE DCE ∠∠∠∠=︒--=︒=，∴CF 平分ACD ∠；正确；②∵36ACE DEC ∠∠==︒，DFE AFC ∠=∠，∴DEF ACF ∽，∴DF DE AF AC=，∵2DE AB AB AC =>，，∴12DF AF ≠，即2AF DF ≠，故②错误；③∵BAC ACE =∠∠，1083636180ABC BAD ∠∠+=︒+︒+︒=︒，∴BC AD ∥，AB CE ∥，∴四边形ABCF 是平行四边形，∵AB BC =，∴四边形ABCF 是菱形；正确；④∵36CED DAE ∠∠==︒，EDFADE ∠=∠，∴DEF DAE ∽△△，∴DE EF AD AE=，∴ED AE AD EF ⋅=⋅，即2AB AD EF =⋅，正确；故答案为：①③④．三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17.【答案】（1）224a ab +，1；（2）4x =【解析】解：（1）原式2222444a ab b a b =+++-224a ab =+．当11,4a b =-=时，原式212(1)4(1)14=⨯-+⨯-⨯=．（2）33511x x x =+--方程两边乘(1)x -，得35(1)3x x =--．解得4x =．检验：将4x =代入14130x -=-=≠，∴4x =是原方程的根．18.【答案】（1）该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务【解析】（1）解：15.916.919.221.823.023.520.056x +++++==（万辆），20.0520> ，∴该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆．（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等．建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务．19.【答案】（1）行进路线BC 和CA 所在直线的夹角为60︒【解析】（1）解：如图，根据题意得，80,25NAC SAB ∠=︒∠=︒，45,ABC AB ∠=︒=180NAS ∠=︒ ，180180802575CAB NAC SAB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．在ABC 中，180CAB ABC BCA ∠+∠+∠=︒，180754560BCA ∴∠=︒-︒-︒=︒．答：行进路线BC 和CA 所在直线的夹角为60︒．（2）过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ．90ADB ADC ∴∠=∠=︒，45ABD ∠=︒ ，45BAD ABD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=,在Rt △ABD 中，sin AD ABD AB ∠=，23(km)2AD ∴==．3(km)BD AD ∴==,在Rt ACD △中，tan AD BCA CD∠= ，CD ∴==，(3BC BD CD ∴=+=+．20.【答案】（1）1503000y x =-+（2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元【解析】（1）解：当110x ≤≤时，设每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠．∵图象过(1,2850),(10,1500)A B 两点，2850,101500.k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得150,3000.k b =-⎧⎨=⎩∴当110x ≤≤时，每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式为1503000y x =-+．（2）设销售收入为w 万元，①当110x ≤≤时，21(1503000)115(5)337510w x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，150-< ，当5x =时，3375w =最大（万元）．②当1012x <≤时，115001150150010w x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，1500> ，∴w 随x 的增大而增大，∴当12x =时，3300w =最大（万元）．33753300>∵，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．21.【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】（1）证法一：如图，连接BD ，∵ BCBC =，∴BDC BAC ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴ADC ADB BDC∠=∠+∠∵BAC BDC ∠=∠，∴90ADC BAC ∠=︒+∠，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，证法二：如图，连接BC ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∴180ABC ADC ∠=︒-∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BAC ABC ∠+∠=︒，∴18090BAC ADC ∠+︒-∠=︒，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，（2）解：如图，连接OC ，∵ACP ADC ∠=∠，90ADC BAC ∠-∠=︒，∴90ACP BAC ∠-∠=︒，∵OA OC =，∴BAC ACO ∠=∠，∴90ACP ACO ∠-∠=︒，∴90OCP ∠=︒．∵O 的半径为3，∴3AO OC ==，在Rt OCP 中，222OP OC CP =+，∵4CP =，∴2223425OP =+=，∴5OP =，∴8AP AO OP =+=，22.【答案】（1）点Q 在线段PC 的垂直平分线上（2）①证明见解析，②=PQ 【解析】（1）解：如图，点Q 在线段PC 的垂直平分线上．理由如下：连接QC ．∵四边形ABCD 是菱形，对角线,AC BD 相交于点O ，,BD AC OA OC⊥=∴QA QC ∴=．QA QP = ，QC QP ∴=，∴点Q 在线段PC 的垂直平分线上．（2）①证明：如图，∵四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，ABD ADB ∴∠=∠，CBD CDB ∠=∠，BD AC ⊥ ，ADO CDO ∴∠=∠，ABD CBD ADO ∴∠=∠=∠．BAP ADB ∠=∠ ，BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠．AE BE ∴=，90APB ∠=︒ ，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒．在Rt BPE △中，90,30EPB PBE ∠=︒∠=︒ ，12EP BE ∴=．AE BE = ．12EP AE ∴=，2AE EP ∴=；②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，∴BP CP EP a ==，，2,3AE a AP a∴==在Rt APB 中，90APB ∠=︒，tan 3AP ABP BP ∠== ，BP ∴=．CP BP ∴==AO CO = ，,AOE COQ OE OQ ∠=∠=，AOE COQ ∴△≌△，2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠．AE CQ ∴∥，90APB ∠=︒ ，90QCP ∴∠=︒．在Rt PCQ △中，90QCP ∠=︒，由勾股定理得222PQ PC CQ =+，2222)(2)7PQ a a ∴=+=PQ ∴=．23.【答案】（1）(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E（2）①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或6)【解析】（1）解：∵直线123y x =-+交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当0x =时，2,y =()0,2D ∴，当0y =时，6,x =()6,0E ∴．∵直线123y x =-+交抛物线于,B C 两点，213123x x x ∴-++=-+，231030x x ∴-+=，解得121,33x x ==．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当3x =时，1y =．)1(3,C ∴；（2）如图，①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒45DFK CFK ∴∠=∠=︒90,OFK OFD DFK ∴∠=∠+∠=︒FK y ∴∥轴．3tan 1PFK ∠= ，1tan 3PFK ∴∠=．设点P 的坐标为()2,31t t t -++，根据题意得133t <<．（i ）当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，111tan ,233PFK t ∠=<<．过点1P 作1PH x ⊥轴，垂足为H ．111,PH KF HPF PFK ∴∠=∠∥，11tan 3HPF ∴∠=．,HF OF OH =- 2HF t ∴=-，在1Rt PHF △中，111tan ,3HF HPF PH ∠== 13PH HF ∴=，2131PH t t =-++ ，2313(2),t t t ∴-++=-2650,t t ∴-+=121,5t t ∴==（舍去）．当1t =时，2313,t t -++=1(1,3)P ∴（ii ）当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，21tan ,233P FK t ∠=<<．过点2P 作2P M x ⊥轴，垂足为M ．2,P M KF ∴∥22MP F P FK ∴∠=∠，21tan ,3MP F ∴∠=,MF OM OF =- 2MF t ∴=-在2Rt P MF △中，221tan ,3MF MP F P M ∠== 23P M MF ∴=，2231P M t t =-++ ，2313(2),t t t ∴-++=-27,t ∴=34t t ∴==．当t =时，2316,t t -++=-26)P ∴-∴点P 的坐标为(1,3)或6)-．。

2024年内蒙古包头市中考数学试卷及答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1．（3分）计算所得结果是（）A．3B．C．3D．±3【分析】先计算，再化简二次根式．【解答】解：＝＝＝，故答案为：C．【点评】本题考查了二次根式的计算，掌握计算法则是解题的关键．2．（3分）若m，n互为倒数，且满足m+mn＝3，则n的值为（）A．B．C．2D．4【答案】B．3．（3分）如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（）A．8B．4C．8πD．4π【分析】判断出圆柱的主视图矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由已知可得，主视图为长为4，宽为2的矩形，所以圆柱的主视图的面积为4×2＝8．故选：A．【点评】此题主要考查了点、线、面、体以及简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．4．（3分）如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．5．（3分）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：记《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种，∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是＝，故选：D．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（3分）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A．y＝（x+1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2﹣2【分析】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减的原则得出解析式即可．【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1．将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．7．（3分）若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＜1C．1＜m＜2D．1＜m＜【分析】根据题意列出不等式组进行计算求解即可．【解答】解：由题意可得2m﹣1＜m＜4﹣m，即，解得：m＜1，故选：B．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和数轴，掌握以上基础知识是解题的关键．8．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（）A．B．C．D．π【分析】连接BC，根据垂直平分线的性质得BC＝OB，可得△OBC是等边三角形，求出∠AOC＝20°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接BC，∵OD＝DC，BD⊥OC，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵∠AOB＝80°，∴∠AOC＝20°，∴的长为＝．故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，关键是根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质求出圆心角的度数．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（）A．14B．11C．10D．9【分析】过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，利用三角形面积公式和梯形的面积公式，+S梯形ABFE+S△AOE进行计算．利用四边形OABC的面积＝S△BCF【解答】解：过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，∵O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），∴OE＝1，AE＝2，BF＝3，CF＝2，EF＝2，S△BCF+S梯形ABFE∴四边形OABC的面积＝S△AOE+＝×1×2+×3×2+＝9，故选：D．【点评】本题主要考查了梯形的面积、三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．也考查了坐标与图形性质．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF 相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（）A．B．C．D．【分析】过G作GH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB＝CD＝4，AD∥BC，得到BE＝EF＝CF＝2，求得BF＝CE＝4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFE＝∠DEC＝45°，求得△EGF 是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过G作GH⊥BC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD∥BC，∵BC＝6，BE＝EF＝FC，∴BE＝EF＝CF＝2，∴BF＝CE＝4，∴AB＝BF＝CE＝DC＝4，∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，∴∠AFE＝∠DEC＝45°，∴△EGF是等腰直角三角形，∴GH＝EH＝，∴BH＝3，∴BG＝＝，∴sin∠GBF＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。

包头市中考数学试卷含答案解析包头市中考数学试卷含答案解析一、选择题1. 下面哪一个数是0.5的倍数？A. 0.25B. 0.3C. 0.75D. 0.6答案：C解析：0.5的倍数是0.5的整数倍，所以选项C是0.5的倍数。

2. AB=BC，若AC的长度是8cm，AB的长度是4cm，BC的长度为多少？A. 8cmB. 6cmC. 10cmD. 12cm答案：B解析：题目中已知 AB=BC，所以AB和BC的长度相等。

而AC的长度是8cm，所以AB和BC的长度都是4cm。

3. 若两数的和为10，差为4，这两数分别是多少？A. 6和4B. 5和5C. 7和3D. 8和2答案：D解析：设两数为x和y，根据题意，可以列方程得到 x+y=10 和 x-y=4 。

解方程可以得到x=6，y=4。

所以答案为6和4。

4. 下面哪一个数是素数？A. 20B. 30C. 17D. 24答案：C解析：素数是除了1和它本身外没有其他约数的数，而17只能被1和17整除，所以是素数。

5. 下面哪个数是1的倒数？A. 1B. 2C. 0.5D. -1答案：A解析：1的倒数是1除以1，得到1，所以答案是A。

二、解答题1. 计算：12+(34-16)÷2×3答案：12+(34-16)÷2×3 = 12+18÷2×3 = 12+9×3 = 12+27 = 39解析：根据运算法则，先计算括号里面的运算，即34-16=18。

然后计算18÷2=9。

最后计算12+9×3=12+27=39。

2. 某树木被分为长4cm、宽2cm的正方形木块，如果需要80个木块才能拼成一个整树，则整个树木的长度和宽度各是多少？答案：设整个树木的长度为x cm，宽度为y cm。

则 x/4 × y/2= 80 。

解方程可以得到 x=40，y=16。

所以整个树木的长度是40cm，宽度是16cm。

2023年包头市中考数学考试卷及答案解析一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.下列各式计算结果为5a 的是（）A.()23a B.102a a ÷ C.4a a⋅ D.15(1)a --【答案】C 【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断．【详解】解：A 、()236a a =，不符合题意；B 、1028a a a ÷=，不符合题意；C 、45a a a ⋅=，符合题意；D 、515(1)a a --=-，不符合题意；故选：C ．【点睛】题目主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．2.关于x 的一元一次不等式1x m -≤的解集在数轴上的表示如图所示，则m 的值为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．【详解】解：1x m -≤解得1x m ≤+，由数轴得：13m +=，解得：2m =，故选：B ．【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．3.定义新运算“⊗”，规定：2||a b a b ⊗=-，则(2)(1)-⊗-的运算结果为（）A.5-B.3- C.5 D.3【答案】D 【解析】【分析】根据新定义的运算求解即可．【详解】解：∵2||a b a b ⊗=-，∴2(2)(1)(2)1413-⊗-=---=-=，故选：D ．【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．4.如图，直线a b ，直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132∠=︒，则2∠的度数为（）A.32︒B.58︒C.74︒D.75︒【答案】C 【解析】【分析】由CA CB =，132∠=︒，可得1801742CBA CAB ︒-∠∠=∠==︒，由a b ，可得2CBA ∠=∠，进而可得2∠的度数．【详解】解：∵CA CB =，132∠=︒，∴1801742CBA CAB ︒-∠∠=∠==︒，∵a b ，∴274CBA ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（）A.B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，所以该几何体的主视图是故选：D ．【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．6.从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m 和n ．若点A 的坐标记作(),m n ，则点A 在双曲线6y x=上的概率是（）A.13B.12C.23D.56【答案】A 【解析】【分析】先求出点A 的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线6y x=上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A 的坐标共有6种情况：()1,2，()2,1，()1,3，()3,1，()2,3，()3,2，并且它们出现的可能性相等．点A 坐标在双曲线6y x=上有2种情况:()2,3，()3,2．所以，这个事件的概率为2163P ==．故选：A ．【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率()m P A n=．7.如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cos α的值为（）A.34B.43C.35D.45【答案】D【解析】【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为1a +，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出cos α的值即可.【详解】∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为1a +，其中0a >，∴()22215a a ++=，其中0a >，解得：3a =，14a +=，∴4cos 5α=，故选：D.【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8.在平面直角坐标系中，将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（）A.23y x =-+B.26y x =-+ C.23y x =-- D.26y x =--【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得：2(3)26y x x =--=-+，故选：B ．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．9.如图，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，垂足分别为,,D E F ，连接,,DE EF FD ．若 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，则EF 的长为（）A.8B.4C.3.5D.3【答案】B 【解析】【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D 、E 、F 分别是AB BC AC 、、的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．【详解】解：∵O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，∴点D 、E 、F 分别是AB BC AC 、、的中点，∴111,,222DF BC DE AC EF AB ===，∵ 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，∴21CB CA AB ++=即22221DF DE EF ++=，∴4EF =，故选：B ．【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．10.如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),O A B OA B '△与OAB 关于直线OB 对称，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与A B '交于点C ．若A C BC '=，则k 的值为（）A.23B.332C.3D.32【答案】A 【解析】【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,3BD OD ==，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，D 三点共线，结合图形确定)3,2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),(23,0),(3,1)O A B ，∴1,3BD OD ==∴3AD OD ==，3tan 3BD BOA OD ∠==，∴222OB AB OD BD ==+=，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒，∵OA B ' 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=︒，∴A '，B ，D 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，∴1BC =，∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)ky k x x=>>得：k =，故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11.若,a b 为两个连续整数，且a b <<，则a b +=________．【答案】3【解析】【分析】根据夹逼法求解即可．【详解】解：∵2132<<，即22212<<，∴12<<，∴1,2a b ==，∴3a b +=．故答案为：3．【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．12.若12,x x 是一元二次方程228=0x x --的两个实数根，则1212x x x x +=________．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，122x x +=，128x x =-，然后代入求解即可．【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，122x x +=，128x x =-，∴121214x x x x +=-，故答案为：14-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根1x ，2x 满足12b x x a+=-，12c x x a =．13.如图，正方形ABCD 的边长为2，对角线,AC BD 相交于点O ，以点B 为圆心，对角线BD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】π【解析】【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD =，再由扇形的面积公式求解即可．【详解】解：正方形ABCD ，∴,,AO CO BO DO AD CD ===，45DBE ∠=︒，∴(SSS)AOD COB ≌ ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ==∴阴影部分的面积为扇形BED 的面积，即(245360ππ⨯⨯=，故答案为：π．【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．14.已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________．【答案】2【解析】【分析】将点(,3)P m 代入函数解析式求解即可．【详解】解：点(,3)P m 在223y ax ax =-++上，∴2323am am =-++，(2)0am m --=，解得：2,0m m ==(舍去)故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．15.如图，在Rt ABC △中，90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则ADDC的值为________．【答案】5【解析】【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，利用勾股定理求得AB =，根据旋转的性质可证ABB ' 、DFB △是等腰直角三角形，可得DF BF =，再由1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ ，得=AD ，证明AFD ACB，可得DF AF BC AC =，即3AF DF =，再由=AF DF -，求得10=4DF ，从而求得52AD =，12CD =，即可求解．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵90ACB ∠=︒，3AC =，1BC =，∴AB ==∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△，∴==AB AB '，90BAB '∠=︒，∴ABB ' 是等腰直角三角形，∴45ABB '∠=︒，又∵DF AB ⊥，∴45FDB ∠=︒，∴DFB △是等腰直角三角形，∴DF BF =，∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ ，即=AD ，∵90C AFD ∠=∠=︒，CAB FAD ∠=∠，∴AFD ACB ，∴DF AFBC AC =，即3AF DF =，又∵=AF DF -，∴10=4DF ，∴105==42AD ，51=3=22CD -，∴52==512AD CD ，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．16.如图，,,AC AD CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：①CF 平分ACD ∠；②2AF DF =；③四边形ABCF 是菱形；④2AB AD EF =⋅其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形ABCDE ，∴()180531085ABC BCD CDE DEA ∠∠∠∠︒⨯-=====︒，AB BC CD DE AE ====，∴180108362BAC BCA DAE ADE DCE CED ∠∠∠∠∠∠︒-︒=======︒，∴10836ACE BCA DCE DCE ∠∠∠∠=︒--=︒=，∴CF 平分ACD ∠；正确；②∵36ACE DEC ∠∠==︒，DFE AFC ∠=∠，∴DEF ACF ∽，∴DF DE AF AC=，∵2DE AB AB AC =>，，∴12DF AF ≠，即2AF DF ≠，故②错误；③∵BAC ACE =∠∠，1083636180ABC BAD ∠∠+=︒+︒+︒=︒，∴BC AD ∥，AB CE ∥，∴四边形ABCF 是平行四边形，∵AB BC =，∴四边形ABCF 是菱形；正确；④∵36CED DAE ∠∠==︒，EDF ADE ∠=∠，∴DEF DAE ∽△△，∴DE EF AD AE=，∴ED AE AD EF ⋅=⋅，即2AB AD EF =⋅，正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17.（1）先化简，再求值：2(2)(2)(2)a b a b a b +++-，其中11,4a b =-=．（2）解方程：33511x x x=+--．【答案】（1）224a ab +，1；（2）4x =【解析】【分析】（1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并同类项，最后代入求解即可；（2）根据解分式方程的一般步骤进行求解即可．【详解】解：（1）原式2222444a ab b a b =+++-224a ab =+．当11,4a b =-=时，原式212(1)4(1)14=⨯-+⨯-⨯=．（2）33511x x x =+--方程两边乘(1)x -，得35(1)3x x =--．解得4x =．检验：将4x =代入14130x -=-=≠，∴4x =是原方程的根．【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算以及化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．请根据所给信息，解答下列问题：（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．【答案】（1）该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；（2）利用条形统计图中的数据进行阐述即可．【小问1详解】解：15.916.919.221.823.023.520.056x+++++==（万辆），20.0520>，∴该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆．【小问2详解】2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等．建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务．【点睛】本题考查平均数及中位数等统计知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A B C A→→→．B点在A点的南偏东25︒方向处，C点在A点的北偏东80︒方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角ABC∠为45︒．（1）求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角BCA ∠的度数；（2）求检查点B 和C 之间的距离（结果保留根号）．【答案】（1）行进路线BC 和CA 所在直线的夹角为60︒（2）检查点B 和C 之间的距离为(33)km+【解析】【分析】（1）根据题意得，80,25NAC SAB ∠=︒∠=︒，45,32ABC AB ∠=︒=解即可；（2）过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，由等角对等边得出AD BD =，再由正弦函数及正切函数求解即可．【小问1详解】解：如图，根据题意得，80,25NAC SAB ∠=︒∠=︒，45,32ABC AB ∠=︒=180NAS ∠=︒ ，180180802575CAB NAC SAB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．在ABC 中，180CAB ABC BCA ∠+∠+∠=︒，180754560BCA ∴∠=︒-︒-︒=︒．答：行进路线BC 和CA 所在直线的夹角为60︒．【小问2详解】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ．90ADB ADC ∴∠=∠=︒，45ABD ∠=︒ ，45BAD ABD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=,在Rt △ABD 中，sin AD ABD AB ∠=，2323(km)2AD ∴==．3(km)BD AD ∴==,在Rt ACD △中，tan AD BCA CD∠= ，3(km)3CD ∴==，(33)km BC BD CD ∴=+=．答：检查点B 和C 之间的距离为(33)km +．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．20.随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第x （x 为整数）个月每台的销售价格为y （单位：元），y 与x 的函数关系如图所示（图中ABC 为一折线）．（1）当110x ≤≤时，求每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式；（2）设该产品2022年第x 个月的销售数量为m （单位：万台），m 与x 的关系可以用1110m x =+来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格⨯销售数量）【答案】（1）1503000y x =-+（2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入=每台的销售价格⨯销售数量求得销售收入为w 万元与销售月份x 之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．【小问1详解】解：当110x ≤≤时，设每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠．∵图象过(1,2850),(10,1500)A B 两点，2850,101500.k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得150,3000.k b =-⎧⎨=⎩∴当110x ≤≤时，每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式为1503000y x =-+．【小问2详解】设销售收入为w 万元，①当110x ≤≤时，21(1503000)115(5)337510w x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，150-< ，当5x =时，3375w =最大（万元）．②当1012x <≤时，115001150150010w x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，1500> ，∴w 随x 的增大而增大，∴当12x =时，3300w =最大（万元）．33753300>∵，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21.如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是 AC 上一点，P 是AB 延长线上一点，连接,,AD DC CP ．（1）求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）（2）若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）证法一：连接BD ，得到90ADB ∠=︒，因为BAC BDC ∠=∠，所以90ADC BAC ∠-∠=︒；证法二：连接BC ，可得180ADC ABC ∠+∠=︒，则180ABC ADC ∠=︒-∠，根据90ACB ∠=︒，可得90BAC ABC ∠+∠=︒，即可得到结果；（2）连接OC ，根据角度间的关系可以证得OCP △为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【小问1详解】证法一：如图，连接BD ，∵ BC BC =，∴BDC BAC ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴ADC ADB BDC∠=∠+∠∵BAC BDC ∠=∠，∴90ADC BAC ∠=︒+∠，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，证法二：如图，连接BC ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∴180ABC ADC ∠=︒-∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BAC ABC ∠+∠=︒，∴18090BAC ADC ∠+︒-∠=︒，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，【小问2详解】解：如图，连接OC ，∵ACP ADC ∠=∠，90ADC BAC ∠-∠=︒，∴90ACP BAC ∠-∠=︒，∵OA OC =，∴BAC ACO ∠=∠，∴90ACP ACO ∠-∠=︒，∴90OCP ∠=︒．∵O 的半径为3，∴3AO OC ==，在Rt OCP 中，222OP OC CP =+，∵4CP =，∴2223425OP =+=，∴5OP =，∴8AP AO OP =+=，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．22.如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．（1）如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；（2）如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）点Q 在线段PC 的垂直平分线上（2）①证明见解析，②7=PQ a 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；（2）①根据菱形的性质得出AB BC CD DA ===，再由各角之间的关系得出30BAP ABD CBD ∠=∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接QC ．利用等边三角形的判定和性质得出2,3AE a AP a ==，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．【小问1详解】解：如图，点Q在线段PC的垂直平分线上．理由如下：连接QC．AC BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，对角线,∴⊥=BD AC OA OC,∴=．QA QC，QA QP=∴=，QC QP∴点Q在线段PC的垂直平分线上．【小问2详解】①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴===，AB BC CD DA∴∠=∠，CBD CDBABD ADB∠=∠，⊥，BD AC∴∠=∠，ADO CDO∴∠=∠=∠．ABD CBD ADO∠=∠，BAP ADB∴∠=∠=∠．BAP ABD CBD∴=，AE BE，∠=︒90APB∴∠+∠=︒，90BAP ABP30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒．在Rt BPE △中，90,30EPB PBE ∠=︒∠=︒ ，12EP BE ∴=．AE BE = ．12EP AE ∴=，2AE EP ∴=；②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，∴BP CP EP a ==，，2,3AE a AP a∴==在Rt APB 中，90APB ∠=︒，3tan 3APABP BP ∠== ，BP ∴=．CP BP ∴==AO CO = ，,AOE COQ OE OQ ∠=∠=，AOE COQ ∴△≌△，2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠．AE CQ ∴∥，90APB ∠=︒ ，90QCP ∴∠=︒．在Rt PCQ △中，90QCP ∠=︒，由勾股定理得222PQ PC CQ =+，2222)(2)7PQ a a ∴=+=PQ ∴=．【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，直线123y x =-+交抛物线于,B C 两点（点B 在点C 的左侧），交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．（1）求点,,D E C 的坐标；（2）F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,,AF DF CF ，且2221AF EF +=．①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan 1PFK ∠=时，求点P 的坐标．【答案】（1）(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E（2）①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或6)-【解析】【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，2m =，过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出1tan 3PFK ∠=，设点P 的坐标为()2,31t t t -++，根据题意得133t <<．分两种情况分析：（i ）当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，111tan ,233PFK t ∠=<<．（ii ）当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，21tan ,233P FK t ∠=<<．求解即可．【小问1详解】解：∵直线123y x =-+交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当0x =时，2,y =()0,2D ∴，当0y =时，6,x =()6,0E ∴．∵直线123y x =-+交抛物线于,B C 两点，213123x x x ∴-++=-+，231030x x ∴-+=，解得121,33x x ==．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当3x =时，1y =．【小问2详解】如图，①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒45DFK CFK ∴∠=∠=︒90,OFK OFD DFK ∴∠=∠+∠=︒FK y ∴∥轴．3tan 1PFK ∠= ，1tan 3PFK ∴∠=．设点P 的坐标为()2,31t t t -++，根据题意得133t <<．（i ）当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，111tan ,233PFK t ∠=<<．过点1P 作1PH x ⊥轴，垂足为H ．111,PH KF HPF PFK ∴∠=∠∥，11tan 3HPF ∴∠=．,HF OF OH =- 2HF t ∴=-，在1Rt PHF △中，111tan ,3HF HPF PH ∠==13PH HF ∴=，2131PH t t =-++ ，2313(2),t t t ∴-++=-2650,t t ∴-+=121,5t t ∴==（舍去）．当1t =时，2313,t t -++=1(1,3)P ∴（ii ）当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，21tan ,233P FK t ∠=<<．过点2P 作2P M x ⊥轴，垂足为M ．2,P M KF ∴∥22MP F P FK ∴∠=∠，21tan ,3MP F ∴∠=,MF OM OF =- 2MF t ∴=-在2Rt P MF △中，221tan ,3MF MP F P M ∠== 23P M MF ∴=，2231P M t t =-++ ，2313(2),t t t ∴-++=-27,t ∴=34t t ∴==．当t =时，2316,t t -++=-26)P ∴-∴点P 的坐标为(1,3)或6)-．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．。

2023年内蒙古包头中考数学真题及答案注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．下列各式计算结果为5a 的是（）A．()23a B．102a a ÷C．4a a ⋅D．15(1)a --2．关于x 的一元一次不等式1x m -≤的解集在数轴上的表示如图所示，则m 的值为（）A．3B．2C．1D．03．定义新运算“⊗”，规定：2||a b a b ⊗=-，则(2)(1)-⊗-的运算结果为（）A．5-B．3-C．5D．34．如图，直线a b ，直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132∠=︒，则2∠的度数为（）A．32︒B．58︒C．74︒D．75︒5．几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．6．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m ),m n ，则点A 在双曲线6y x =上的概率是（）1312237．如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为较小的锐角为α，则的值为（A．348．在平面直角坐标系中，函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（A．23y x =-+9．如图，O 是锐角三角形为,,D E F ，连接,DE A．8B．410．如图，在平面直角坐标系中，A．23B．二、填空题：本大题共有的横线上．11．若,a b 为两个连续整数，且12．若12,x x 是一元二次方程13．如图，正方形ABCD 角线BD 的长为半径画弧，交14．已知二次函数y =则m 的值为________．15．如图，在Rt ABC △转90︒，得到AB C ''△16．如图，,,AC AD CE 是正五边形①CF 平分ACD ∠；形；④2AB AD EF =⋅其中正确的结论是________．三、解答题：本大题共有程写在答题卡的对应位置．17．（1）先化简，再求值：（2）解方程：31 x= -18．在推进碳达峰、碳中和进程中，为我国某自主品牌车企请根据所给信息，解答下列问题：(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可）条增加月销量的合理化建议．19．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为点在A点的南偏东25︒方向32km处，C点在A点的北偏东80BC所在直线的夹角ABC∠为45︒．(1)当110x ≤≤时，求每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第x 个月的销售数量为m （单位：万台）1110m x =+来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入销售价格⨯销售数量）21．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是 AC 上一点，接,,AD DC CP ．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．22．如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线231y x x =-++交y 轴于点A 交抛物线于,B C 两点（点B 在点C 的左侧），交y 轴于点D ，交x 轴于点(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,,AF DF CF ，且2AF EF +①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan 1PFK ∠=时，求点P 的坐标．故选：D．【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．6．A【分析】先求出点数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．【详解】解：从∵(0,0),(23,0),(O A B ∴1,3BD OD ==，∴3AD OD ==，tan ∠∴2OB AB OD BD ==+∴60OBD ABD ∠∠==∵OA B ' 与OAB 关于直线∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=∴A '，B ，D 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形ABCDE ∴ABC BCD CDE ∠∠∠===∠∠∠90ADB ADC ∴∠=∠=︒，45ABD ∠=︒ ，45BAD ABD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=,在Rt △ABD 中，sin AD ABD AB ∠=，2323(km)2AD ∴=⨯=．3(km)BD AD ∴==,在Rt ACD △中，tan BCA ∠ 33(km)3CD ∴==，(33)km BC BD CD ∴=+=+答：检查点B 和C 之间的距离为【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．20．(1)1503000y x =-+的长，进而求得结果．【详解】（1）证法一：如图，连接BD ，∵ BCBC =，∴BDC BAC ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴ADC ADB BDC∠=∠+∠∵BAC BDC ∠=∠，∴90ADC BAC ∠=︒+∠，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，证法二：如图，连接BC ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∴180ABC ADC ∠=︒-∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BAC ABC ∠+∠=︒，∴18090BAC ADC ∠+︒-∠=︒，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，（2）解：如图，连接OC ，∵ACP ADC ∠=∠，90ADC BAC ∠-∠=︒，∴90ACP BAC ∠-∠=︒，∵OA OC =，∴BAC ACO ∠=∠，∴90ACP ACO ∠-∠=︒，∴90OCP ∠=︒．∵O 的半径为3，∴3AO OC ==，在Rt OCP 中，222OP OC CP =+，∵4CP =，∴2223425OP =+=，∴5OP =，∴8AP AO OP =+=，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．22．(1)点Q 在线段PC 的垂直平分线上（2）①证明：如图，∵四边形ABCD ∴===，AB BC CD DA∴∠=∠，CBD CDB ABD ADB∠=∠， ，BD AC⊥∴∠=∠，ADO CDOABD CBD ADO∴∠=∠=∠．∠=∠，BAP ADB∴∠=∠=∠．BAP ABD CBD∴=，AE BE②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，∴BP CP EP a ==，，2,3AE a AP a∴==在Rt APB 中，90APB ∠=︒，3tan 3AP ABP BP ∠== ，3BP a ∴=．3CP BP a∴==AO CO = ，,AOE COQ OE OQ ∠=∠=AOE COQ ∴△≌△，2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠．AE CQ ∴∥，90APB ∠=︒ ，【点睛】题目主要考查菱形的性质，质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23．(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出()2,31t t t -++，根据题意得13t <<线上时，111tan ,233PFK t ∠=<<．（21tan ,233P FK t ∠=<<．求解即可．【详解】（1）解：∵直线13y x =-当0x =时，2,y =()0,2D ∴，当0y =时，6,x =()6,0E ∴．①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=。

2023年内蒙古包头市中考数学真题试卷注意事项：1．本试卷共6页,满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前,考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后,将条形码粘贴在答题卡的指定位置．3．答题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有10小题,每小题3分,共30分．每小题只有一个正确选项,请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1. 下列各式计算结果为5a 的是（ ）A. ()23aB. 102a a ÷C. 4a a ⋅D. 15(1)a -- 2. 关于x 的一元一次不等式1x m -≤的解集在数轴上的表示如图所示,则m 的值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 03. 定义新运算“⊗”,规定：2||a b a b ⊗=-,则(2)(1)-⊗-的运算结果为（ ）A. 5-B. 3-C. 5D. 3 4. 如图,直线a b ,直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ,点C 在直线b 上,且CA CB =．若132∠=︒,则2∠的度数为（ ）A. 32︒B. 58︒C. 74︒D. 75︒5. 几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数,该几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 6. 从1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数,分别记作m 和n ．若点A 的坐标记作(),m n ,则点A 在双曲线6y x=上的概率是（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 567. 如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为（ ）A. 34B. 43C. 35D. 458. 在平面直角坐标系中,将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数(0)y kx b k =+≠的图象,则该一次函数的解析式为（ ）A. 23y x =-+B. 26y x =-+C. 23y x =--D. 26y x =-- 9. 如图,O 是锐角三角形ABC 的外接圆,,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥,垂足分别为,,D E F ,连接,,DE EF FD ．若 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21,则EF 的长为（ ）A. 8B. 4C. 3.5D. 310. 如图,在平面直角坐标系中,OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),O A B OA B '△与OAB 关于直线OB 对称,反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象与A B '交于点C ．若A C BC '=,则k 的值为（ ）A.B.C.D. 二、填空题：本大题共有6小题,每小题3分,共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若,a b 为两个连续整数,且a b <<,则a b +=________．12. 若12,x x 是一元二次方程228=0x x --的两个实数根,则1212x x x x +=________． 13. 如图,正方形ABCD 的边长为2,对角线,AC BD 相交于点O ,以点B 为圆心,对角线BD 的长为半径画弧,交BC 的延长线于点E ,则图中阴影部分的面积为________．14. 已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>,若点(,3)P m 在该函数的图象上,且0m ≠,则m 的值为________．15. 如图,在Rt ABC △中,90,3,1ACB AC BC ∠=︒==,将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒,得到AB C ''△．连接BB ',交AC 于点D ,则AD DC的值为________．16. 如图,,,AC AD CE 是正五边形ABCDE 的对角线,AD 与CE 相交于点F ．下列结论：①CF 平分ACD ∠; ①2AF DF =; ①四边形ABCF 是菱形; ①2AB AD EF =⋅其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共有7小题,共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17. （1）先化简,再求值：2(2)(2)(2)a b a b a b +++-,其中11,4a b =-=． （2）解方程：33511x x x=+--． 18. 在推进碳达峰、碳中和进程中,我国新能源汽车产销两旺,连续8年保持全球第一．图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．请根据所给信息,解答下列问题：（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆;（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可）,并提出一条增加月销量的合理化建议．19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动．如图,A 点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B 点和C 点,行进路线为A B C A →→→．B 点在A 点的南偏东25︒方向处,C 点在A 点的北偏东80︒方向,行进路线AB 和BC 所在直线的夹角ABC ∠为45︒．（1）求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角BCA ∠的度数;（2）求检查点B 和C 之间的距离（结果保留根号）．20. 随着科技的发展,扫地机器人已广泛应用于生活中,某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2022年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第x （x 为整数）个月每台的销售价格为y （单位：元）,y 与x 的函数关系如图所示（图中ABC 为一折线）．（1）当110x ≤≤时,求每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式;（2）设该产品2022年第x 个月的销售数量为m （单位：万台）,m 与x 的关系可以用1110m x =+来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格⨯销售数量）21. 如图,AB 是O 的直径,AC 是弦,D 是AC 上一点,P 是AB 延长线上一点,连接,,AD DC CP ．（1）求证：90ADC BAC ∠-∠=︒;（请用两种证法解答）（2）若ACP ADC ∠=∠,O 的半径为3,4CP =,求AP 的长．22. 如图,在菱形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ,点,P Q 分别是边BC ,线段OD 上的点,连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．（1）如图1,连接QA ．当QA QP =时,试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上,并说明理由; （2）如图2,若90APB ∠=︒,且BAP ADB ∠=∠,①求证：2AE EP =;①当OQ OE =时,设EP a ,求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．23. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ,直线123y x =-+交抛物线于,B C 两点（点B 在点C 的左侧）,交y 轴于点D ,交x 轴于点E ．（1）求点,,D E C 的坐标;（2）F 是线段OE 上一点()OF EF <,连接,,AF DF CF ,且2221AF EF +=．①求证：DFC △是直角三角形;①DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点,当3tan 1PFK ∠=时,求点P 的坐标．2023年内蒙古包头市中考数学真题试卷答案一、选择题．1. C2. B3. D4. C5. D6. A7. D8. B9. B解：①O 是锐角三角形ABC 的外接圆,,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥.①点D ,E ,F 分别是AB BC AC 、、的中点. ①111,,222DF BC DE AC EF AB ===. ① 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21.①21CB CA AB ++=即22221DF DE EF ++=.①4EF =.故选：B ．10. A解：如图所示,过点B 作BD x ⊥轴.①(0,0),O A B .①1,BD OD ==①AD OD ==,tan 3BD BOA OD ∠==①2OB AB ===,30BOA BAO ∠∠==︒.①60OBD ABD ∠∠==︒,120OBA ∠=︒.①OA B '与OAB 关于直线OB 对称.①120OBA '∠=︒.①180OBA OBD '∠+∠=︒.①A ',B ,D 三点共线.①2A B AB '==.①A C BC '=.①1BC =.①2CD =.①)2C .将其代入(0,0)k y k x x=>>得：k = 故选：A ．二、填空题．11. 3 12. 14-13. π14. 215. 5解：过点D 作DF AB ⊥于点F .①90ACB ∠=︒,3AC =,1BC =.①AB ==①将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△.①==AB AB '90BAB '∠=︒.①ABB '是等腰直角三角形.①45ABB '∠=︒.又①DF AB ⊥.①45FDB ∠=︒.①DFB △是等腰直角三角形.①DF BF =. ①1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯,即=AD . ① 90C AFD ∠=∠=︒,CAB FAD ∠=∠.①AFD ACB . ①DF AF BC AC=,即3AF DF =. 又①=AF DF .①=DF①5==2AD ,51=3=22CD -. ①52==512AD CD . 故答案为：5．16. ①①①三、解答题．17. （1）224a ab +,1;（2）4x =18. （1）该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势;12月的销量最大;有三个月的销量超过了20万辆;中位数为20.5万辆;月均销量超过20万辆等建议：充分了解客户需求,及时处理客户反馈,提供优质的售后服务19. （1）行进路线BC 和CA 所在直线的夹角为60︒（2）检查点B 和C之间的距离为(3+20. （1）1503000y x =-+（2）第5个月的销售收入最多,最多为3375万元 21.（1）证明见解析（2）8【小问1详解】证法一：如图,连接BD .①BC BC =.①BDC BAC ∠=∠.①AB 是O 的直径.①90ADB ∠=︒.①ADC ADB BDC ∠=∠+∠①BAC BDC ∠=∠.①90ADC BAC ∠=︒+∠.①90ADC BAC ∠-∠=︒.证法二：如图,连接BC .①四边形ABCD 是O 的内接四边形. ①180ADC ABC ∠+∠=︒.①180ABC ADC ∠=︒-∠.①AB 是O 的直径.①90ACB ∠=︒.①90BAC ABC ∠+∠=︒.①18090BAC ADC ∠+︒-∠=︒.①90ADC BAC ∠-∠=︒.【小问2详解】解：如图,连接OC .①ACP ADC ∠=∠,90ADC BAC ∠-∠=︒. ①90ACP BAC ∠-∠=︒.①OA OC =.①BAC ACO ∠=∠.①90ACP ACO ∠-∠=︒.①90OCP ∠=︒．①O 的半径为3.①3AO OC ==.在Rt OCP 中,222OP OC CP =+.①4CP =.①2223425OP =+=.①5OP =.①8AP AO OP =+=.22. （1）点Q 在线段PC 的垂直平分线上（2）①证明见解析,①=PQ【小问1详解】解：如图,点Q 在线段PC 的垂直平分线上．理由如下：连接QC ．①四边形ABCD 是菱形,对角线,AC BD 相交于点O . ,BD AC OA OC ⊥=∴QA QC ∴=．QA QP =.QC QP ∴=.①点Q 在线段PC 的垂直平分线上．【小问2详解】①证明：如图,①四边形ABCD 是菱形. AB BC CD DA ∴===.ABD ADB ∴∠=∠,CBD CDB ∠=∠. BD AC ⊥.ADO CDO ∴∠=∠.ABD CBD ADO ∴∠=∠=∠．BAP ADB ∠=∠.BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠．AE BE ∴=.90APB ∠=︒.90BAP ABP ∴∠+∠=︒.30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒． 在Rt BPE △中,90,30EPB PBE ∠=︒∠=︒. 12EP BE ∴=． AE BE =．12EP AE ∴=.2AE EP ∴=;①如图,连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒. ①ABC 是等边三角形． ①90APB ∠=︒.①BP CP EP a ==，.2,3AE a AP a ∴==在Rt APB 中,90APB ∠=︒.tan AP ABP BP ∠==.BP ∴=．CP BP ∴==AO CO =,,AOE COQ OE OQ ∠=∠=.AOE COQ ∴△≌△.2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠． AE CQ ∴∥.90APB ∠=︒.90QCP ∴∠=︒．在Rt PCQ △中,90QCP ∠=︒. 由勾股定理得222PQ PC CQ =+.2222)(2)7PQ a a ∴=+=PQ ∴=．23. （1）(3,1)C ,(0,2)D ,(6,0)E（2）①证明见解析,①点P 的坐标为(1,3)或6)【小问1详解】解：①直线123y x =-+交y 轴于点D ,交x 轴于点E . 当0x =时,2y =()0,2D ∴.当0y =时,6x =()6,0E ∴．①直线123y x =-+交抛物线于,B C 两点. 213123x x x ∴-++=-+. 231030x x ∴-+=,解得121,33x x ==． ①点B 在点C 的左侧.①点C 的横坐标为3.当3x =时,1y =．)1(3,C ∴;【小问2详解】如图.①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A . 当0x =时,1y =．(0,1)A ∴1OA ∴=在Rt AOF 中,90AOF ∠=︒. 由勾股定理得222AF OA OF +=. 设(,0)F mOF m ∴=221AF m ∴=+.(6,0)E ．6OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-. 2221AF EF +=221(6)21m m ∴++-= 122,4m m ∴==.OF EF <2m ∴=2OF ∴=(2,0)F ∴．(0,2)D2OD ∴=.OD OF ∴=．DOF ∴是等腰直角三角形. 45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴,垂足为G ． (3,1)C1,3CG OG ∴==.1GF OG OF =-=CG GF ∴=CGF ∴是等腰直角三角形. 45GFC ∴∠=︒90DFC ∴∠=︒DFC ∴是直角三角形． ①FK 平分,90DFC DFC ∠∠=︒ 45DFK CFK ∴∠=∠=︒90OFK OFD DFK ∴∠=∠+∠=︒ FK y ∴∥轴．3tan 1PFK ∠=.1tan 3PFK ∴∠=． 设点P 的坐标为()2,31t t t -++,根据题意得133t <<． （i ）当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时,111tan ,233PFK t ∠=<<． 过点1P 作1PH x ⊥轴,垂足为H ． 111,PH KF HPF PFK ∴∠=∠∥. 11tan 3HPF ∴∠=． HF OF OH =-2HF t ∴=-.在1Rt PHF △中.111tan 3HF HPF PH ∠== 13PH HF ∴=. 2131PH t t =-++. 2313(2)t t t ∴-++=- 2650t t ∴-+= 121,5t t ∴==（舍去）． 当1t =时,2313t t -++= 1(1,3)P ∴（ii ）当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时,21tan ,233P FK t ∠=<<． 过点2P 作2P M x ⊥轴,垂足为M ． 2P M KF ∴∥ 22MP F P FK ∴∠=∠. 21tan 3MP F ∴∠= MF OM OF =- 2MF t ∴=- 在2Rt P MF △中. 221tan 3MF MP F P M ∠== 23P M MF ∴=. 2231P M t t =-++. 2313(2)t t t ∴-++=- 27t ∴=34t t ∴==．当t=时,2316t t-++=26)P∴①点P的坐标为(1,3)或6)．。

2022年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．计算112-⎛⎫⎪⎝⎭所得结果是〔〕A．﹣2 B．12-C．12D．2【答案】D．【解析】试题分析：112-⎛⎫⎪⎝⎭=112=2，应选D．考点：负整数指数幂．2．假设21a=，b是2的相反数，那么a+b的值为〔〕A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3【答案】C．【解析】考点：有理数的乘方；相反数；有理数的加法；分类讨论．3．一组数据5，7，8，10，12，12，44的众数是〔〕A．10 B．12 C．14 D．44【答案】B．【解析】试题分析：这组数据中12出现了2次，次数最多，∴众数为12，应选B．考点：众数．4．将一个无盖正方体形状盒子的外表沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是〔〕A．B．C．D．【答案】C．【解析】考点：几何体的展开图．5．以下说法中正确的选项是〔〕A．8的立方根是±2B8C．函数11yx=-的自变量x的取值范围是x＞1D．在平面直角坐标系中，点P〔2，3〕与点Q〔﹣2，3〕关于y轴对称【答案】D．【解析】试题分析：A．8的立方根是2，故A不符合题意；B8B不符合题意；C．函数11yx=-的自变量x的取值范围是x≠1，故C不符合题意；D．在平面直角坐标系中，点P〔2，3〕与点Q〔﹣2，3〕关于y轴对称，故D符合题意；应选D．考点：最简二次根式；立方根；函数自变量的取值范围；关于x轴、y轴对称的点的坐标．6．假设等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，那么该等腰三角形的底边长为〔〕A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A ． 【解析】试题分析：假设2cm 为等腰三角形的腰长，那么底边长为10﹣2﹣2=6〔cm 〕，2+2＜6，不符合三角形的三边关系；假设2cm 为等腰三角形的底边，那么腰长为〔10﹣2〕÷2=4〔cm 〕，此时三角形的三边长分别为2cm ，4cm ，4cm ，符合三角形的三边关系；应选A ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论．7．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外部相同，其中有5个黄球，4个蓝球．假设随机摸出一个蓝球的概率为13，那么随机摸出一个红球的概率为〔 〕 A ．14 B ．13 C ． 512 D ．12【答案】A ． 【解析】考点：概率公式． 8．假设关于x 的不等式12ax -<的解集为x ＜1，那么关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是〔 〕A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 【答案】C ． 【解析】试题分析：解不等式12a x -<得x ＜12a +，而不等式12a x -<的解集为x ＜1，所以12a+=1，解得a =0，又因为△=24a -=﹣4，所以关于x 的一元二次方程210x ax ++=没有实数根．应选C ． 考点：根的判别式；不等式的解集．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =45°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，假设BC =42影局部的面积为〔〕A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1 【答案】B．【解析】考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．10．以下命题：①假设ab＞1，那么a＞b；②假设a+b=0，那么|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A．【解析】试题分析：∵当b ＜0时，如果ab＞1，那么a ＜b ，∴①错误； ∵假设a +b =0，那么|a |=|b |正确，但是假设|a |=|b |，那么a +b =0错误，∴②错误； ∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确； ∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误； 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，应选A ． 考点：命题与定理．11．一次函数14y x =，二次函数2222y x =+，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为1y 与2y ，那么以下关系正确的选项是〔 〕A ． 12y y >B ．12y y ≥C ． 12y y <D ．12y y ≤ 【答案】D ． 【解析】考点：二次函数与不等式〔组〕．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．假设AC =3，AB =5，那么CE 的长为〔 〕A．32B．43C．53D．85【答案】A．【解析】试题分析：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴BF FGAB AC=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴453FC FG-=，∵FC=FG，∴453FC FC-=，解得：FC=32，即CE的长为32．应选A．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的性质；综合题．二、填空题：本大题共有8小题，每题3分，共24分，将答案填在答题纸上13． 2022年至 2022年，中国同“一带一路〞沿线国家贸易总额超过3万亿美元，将3万亿美元用科学记数法表示为．【答案】3×1012．【解析】试题分析：3万亿=3×1012，故答案为：3×1012．考点：科学记数法—表示较大的数．14．化简：22111aaa a-⎛⎫÷-⎪⎝⎭= ．【答案】﹣a﹣1．【解析】15．某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名女生的平均身高为163cm，那么30名男生的平均身高为cm．【答案】168．【解析】试题分析：设男生的平均身高为x，根据题意有：〔20×163+30x〕÷50 =166，解可得x=168〔cm〕．故答案为：168．考点：加权平均数．16．假设关于x、y的二元一次方程组325x yx ay+=⎧⎨-=⎩的解是1x by=⎧⎨=⎩，那么b a的值为．【答案】1．【解析】考点：二元一次方程组的解．17．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，那么∠ACB= 度．【答案】20．【解析】试题分析：∵∠BAC=12∠BOC，∠ACB=12∠AOB，∵∠BOC=2∠AOB，∴∠ACB=12∠BAC=20°．故答案为：20．考点：圆周角定理．18．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．假设AB=2，AD=3，那么cos∠AEF的值是．【答案】22．【解析】考点：矩形的性质；解直角三角形．19．如图，一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数2yx=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，假设AC=BC，那么点C的坐标为．【答案】〔0，2〕．【解析】试题分析：由12y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21xy=⎧⎨=⎩或12xy=-⎧⎨=-⎩，∴A〔2，1〕，B〔1，0〕，设C〔0，m〕，∵BC=AC，∴AC2=BC2，即4+〔m﹣1〕2=1+m2，∴m=2，故答案为：〔0，2〕．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．20．如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．以下结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④假设点D是AB的中点，那么S△ABC=2S△ABE．其中正确的结论是．〔填写所有正确结论的序号〕【答案】①②④．【解析】③∵AN=AM，∴△AMN为等腰三角形，所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，∴S△ACN=S△ABM，∵点M、N分别是BE、CD的中点，∴S△ACD=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，∴S△ACD=S △ABE，∵D是AB的中点，∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE，所以④正确；此题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．有三张正面分别标有数字﹣3，1，3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们反面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．〔1〕试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率；〔2〕求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．【答案】〕〔1〕49；〔2〕23．【解析】试题分析：〔1〕画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果数，根据概率公式可得；〔2〕根据〔1〕中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求解可得．试题解析：〔1〕画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中数字之积为负数的有4种结果，∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为49； 〔2〕在〔1〕种所列9种等可能结果中，数字之和为非负数的有6种，∴两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为69=23． 考点：列表法与树状图法．22．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ，CD =3． 〔1〕求AD 的长；〔2〕求四边形AEDF 的周长．〔注意：此题中的计算过程和结果均保存根号〕【答案】〔1〕6；〔2〕83． 【解析】〔2〕∵DE ∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵∠EAD =∠ADF =∠DAF ，∴AF =DF ，∴四边形AEDF 是菱形，∴AE =DE =DF =AF ，在Rt △CED 中，∵∠CDE =∠B =30°，∴DE =cos30CD=23∴四边形AEDF 的周长为83考点：菱形的判定与性质；平行线的性质；含30度角的直角三角形．23．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x ，面积为S 平方米．〔1〕求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 〔2〕设计费能到达24000元吗？为什么？〔3〕当x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？【答案】〔1〕28S x x =-+〔0＜x ＜8〕；〔2〕能；〔3〕当x =4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元． 【解析】试题解析：〔1〕∵矩形的一边为x 米，周长为16米，∴另一边长为〔8﹣x 〕米，∴S =x 〔8﹣x 〕=28x x -+，其中0＜x ＜8，即28S x x =-+〔0＜x ＜8〕；〔2〕能，∵设计费能到达24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12〔平方米〕，即28x x -+=12，解得：x =2或x =6，∴设计费能到达24000元．〔3〕∵28S x x =-+=2(4)16x --+，∴当x =4时，S 最大值=16，∴当x =4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P ，连接OC ，CB ． 〔1〕求证：AE •EB =CE •ED ； 〔2〕假设⊙O 的半径为3，OE =2BE ，95CE DE =，求tan ∠OBC 的值及DP 的长．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕tan ∠OBC 2，43． 【解析】〔2〕解：∵⊙O的半径为3，∴OA=OB=OC=3，∵OE=2BE，∴OE=2，BE=1，AE=5，∵95CEDE=，∴设CE=9x，DE=5x，∵AE•EB=CE•ED，∴5×1=9x•5x，解得：x1=13，x2=﹣13〔不合题意舍去〕，∴CE=9x=3，DE=5x=53，过点C作CF⊥AB于F，∵OC=CE=3，∴OF=EF=12OE=1，∴BF=2，在Rt△OCF中，∵∠CFO=90°，∴CF2+OF2=OC2，∴CF=22，在Rt△CFB中，∵∠CFB=90°，∴tan∠OBC=222CFBF==2，∵CF⊥AB于F，∴∠CFB=90°，∵BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，在△CFE和△PBE中，∵∠CFB=∠PBE，EF=EF，∠FEC=∠BEP，∴△CFE≌△PBE〔ASA〕，∴EP=CE=3，∴DP=EP﹣ED=3﹣53=43．考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形．25．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．〔1〕如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；〔2〕如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；〔3〕如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．【答案】〔1〕DD ′=3，A ′F = 4﹣3；〔2〕154；〔3〕754． 【解析】〔2〕由△A ′DF ∽△A ′D ′C ，可推出DF 的长，同理可得△CDE ∽△CB ′A ′，可求出DE 的长，即可解决问题；〔3〕如图③中，作FG ⊥CB ′于G ，由S △ACF =12•AC •CF =12•AF •CD ，把问题转化为求AF •CD ，只要证明∠ACF =90°，证明△CAD ∽△FAC ，即可解决问题；试题解析：〔1〕①如图①中，∵矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A 'B 'C 'D '，∴A ′D ′=AD =B ′C =BC =4，CD ′=CD =A ′B ′=AB =3∠A ′D ′C =∠ADC =90°，∵α=60°，∴∠DCD ′=60°，∴△CDD ′是等边三角形，∴DD ′=CD =3．②如图①中，连接CF ．∵CD =CD ′，CF =CF ，∠CDF =∠CD ′F =90°，∴△CDF ≌△CD ′F ，∴∠DCF =∠D ′CF =12∠DCD ′=30°，在Rt △CD ′F 中，∵tan ∠D ′CF =''D FCD ，∴D ′F =3，∴A ′F =A ′D ′﹣D ′F =4﹣3． 〔2〕如图②中，在Rt △A ′CD ′中，∵∠D ′=90°，∴A ′C 2=A ′D ′2+CD ′2，∴A ′C =5，A ′D =2，∵∠DA ′F =∠CA ′D ′，∠A ′DF =∠D ′=90°，∴△A ′DF ∽△A ′D ′C ，∴''''A D DF A D CD =，∴243DF =，∴DF =32，同理可得△CDE ∽△CB ′A ′，∴'''CD ED CB A B =，∴343ED =，∴ED =94，∴EF =ED +DF =154． 〔3〕如图③中，作FG ⊥CB ′于G ．，∵四边形A ′B ′CD ′是矩形，∴GF =CD ′=CD =3，∵S △CEF=12•EF •DC =12•CE •FG ，∴CE =EF ，∵AE =EF ，∴AE =EF =CE ，∴∠ACF =90°，∵∠ADC =∠ACF ，∠CAD =∠FAC ，∴△CAD ∽△FAC ，∴AC AD AF AC =，∴AC 2=AD •AF ，∴AF =254，∵S △ACF =12•AC •CF =12•AF •CD ，∴AC •CF =AF •CD =754．考点：相似形综合题；旋转的性质；压轴题． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线232y x bx c =++与x 轴交于A 〔﹣1，0〕，B 〔2，0〕两点，与y轴交于点C ．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕直线y =﹣x +n 与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且BE =4EC ． ①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，△AGF 与△CGD 是否全等？请说明理由；〔3〕直线y =m 〔m ＞0〕与该抛物线的交点为M ，N 〔点M 在点N 的左侧〕，点 M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为〔1，0〕．假设四边形OM 'NH 的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．【答案】〔1〕233322y x x =--；〔2〕①n =﹣2；②△AGF 与△CGD 全等；〔3541 【解析】试题分析：〔1〕根据抛物线232y x bx c =++与x 轴交于A 〔﹣1，0〕，B 〔2，0〕两点，可得抛物线的解析式；〔2〕①过点E 作EE '⊥x 轴于E '，那么EE '∥OC ，根据平行线分线段成比例定理，可得BE '=4OE '，设点E 的坐标为〔x ，y 〕，那么OE '=x ，BE '=4x ，根据OB =2，可得x 的值，再根据直线BC 的解析式即可得到E 的坐标，把E 的坐标代入直线y =﹣x +n ，可得n 的值；②根据F 〔﹣2，0〕，A 〔﹣1，0〕，可得AF =1，再根据点D 的坐标为〔1，﹣3〕，点C 的坐标为〔0，﹣3〕，可得CD ∥x 轴，CD =1，再根据∠AFG =∠CDG ，∠FAG =∠DCG ，即可判定△AGF ≌△CGD ；〔3〕根据轴对称的性质得出OH =1=M 'N ，进而判定四边形OM 'NH 是平行四边形，再根据四边形OM 'NH 的面积，求得OP 的长，再根据点M 的坐标得到PM '的长，Rt △OPM '中，运用勾股定理可得OM '的值，最后根据OM '×d =53，即可得到d 的值．试题解析：〔1〕∵抛物线232y x bx c =++与x 轴交于A 〔﹣1，0〕，B 〔2，0〕两点，∴32620b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，解得：323b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴该抛物线的解析式233322y x x =--；解得：32'3k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为332y x =-，当x =25时，y =﹣125，∴E 〔25，﹣125〕，把E 的坐标代入直线y =﹣x +n ，可得﹣25+n =﹣125，解得n =﹣2； ②△AGF 与△CGD 全等．理由如下：∵直线EF 的解析式为y =﹣x ﹣2，∴当y =0时，x =﹣2，∴F 〔﹣2，0〕，OF =2，∵A 〔﹣1，0〕，∴OA =1，∴AF =2﹣1=1，由2333222y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，解得：2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或13x y =⎧⎨=-⎩，∵点D 在第四象限，∴点D 的坐标为〔1，﹣3〕，∵点C 的坐标为〔0，﹣3〕，∴CD ∥x 轴，CD =1，∴∠AFG =∠CDG ，∠FAG =∠DCG ，∴△AGF ≌△CGD ； 〔3〕∵抛物线的对称轴为x =2b a -=12，直线y =m 〔m ＞0〕与该抛物线的交点为M ，N ，∴点M 、N 关于直线x =12对称，设N 〔t ，m 〕，那么M 〔1﹣t ，m 〕，∵点 M 关于y 轴的对称点为点M '，∴M '〔t ﹣1，m 〕，∴点M '在直线y =m 上，∴M 'N ∥x 轴，∴M 'N =t ﹣〔t ﹣1〕=1，∵H 〔1，0〕，∴OH =1=M 'N ，∴四边形OM 'NH 是平行四边形，设直线y =m 与y 轴交于点P ，∵四边形OM 'NH 的面积为53，∴OH ×OP =1×m =53，即m =53，∴OP =53，当233322x x --=53时，解得x 1=﹣43，x 2=73，∴点M 的坐标为〔﹣43，53〕，∴M '〔43，53〕，即PM '=43，∴Rt △OPM '中，OM 22'OP PM +41，∵四边形OM 'NH 的面积为53，∴OM '×d =53，∴d 541．考点：二次函数综合题；探究型；压轴题．。

2024年内蒙古包头中考数学试题及答案注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1. 所得结果是（ ）A. 3 C. D. ±【答案】C【解析】【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．===；故选C ．2. 若,m n 互为倒数，且满足3m mn +=，则n 的值为（ ）A. 14 B. 12 C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据,m n 互为倒数，则1⋅=m n ，把1⋅=m n 代入3m mn +=，即可得出m 的值，进一步即可得出n 的值．【详解】解：∵,m n 互为倒数，∴1⋅=m n ，∵3m mn +=，∴2m =，则12n =，故选：B ．3.如图，正方形ABCD 边长为2，以AB 所在直线为轴，将正方形ABCD 旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）A. 8B. 4C. 8πD. 4π【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可．【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，∴面积为248⨯=；故选A ．4.如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出180AEF CGE +∠=︒∠，得出结合对顶角的性质180AEF DGF ∠+∠=︒，根据邻补角的定义得出180AEF BEG ∠+∠=︒，即可求出中与AEF ∠互补的角，即可求解．详解】解∶∵AB CD ∥，∴180AEF CGE +∠=︒∠，∵CGE DGF ∠=∠，∴180AEF DGF ∠+∠=︒，【又180AEF BEG ∠+∠=︒，∴图中与AEF ∠互补的角有CGE ∠，DGF ∠，BEG ∠，共3个．故选∶C ．5.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）A. 116 B. 112 C. 16 D. 14【答案】D【解析】【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率=事件发生的次数÷所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可．【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为A B C D 、、、，画树状图如下：一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是41164=，故选：D ．6. 将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）A. ()213y x =+- B. ()=+-2y x 12 C. ()213y x =-- D. ()212y x =--【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为222y x x =+-，再把222y x x =+-化为顶点式即可．【详解】解：抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，则抛物线变为222y x x =+-，∴222y x x =+-化成顶点式则为 ()213y x =+-，故选：A ．7.若21m -，m ，4m -这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m 的取值范围是（ ）A. 2m < B. 1m < C. 12m << D. 513m <<【答案】B【解析】【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：214m m m -<<-，解得：1m <；故选B ．8.如图，在扇形AOB 中，80AOB ∠=︒，半径3OA =，C 是 AB 上一点，连接OC ，D 是OC 上一点，且OD DC =，连接BD ．若BD OC ⊥，则 AC 的长为（ ）A. π6 B. π3 C. π2 D. π【答案】B【解析】【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC ，根据OD DC =，BD OC ⊥，易证OBC △是等腰三角形，再根据OB OC =，推出OBC △是等边三角形，得到60BOC ∠=︒，即可求出20AOC ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接BC ，OD DC =，BD OC ⊥，OB BC ∴=，∴OBC △是等腰三角形，OB OC =，∴OB OC BC ==，OBC △是等边三角形，∴60BOC ∠=︒，80AOB ∠=︒，∴20AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒，3OA =，∴ 203ππ1803AC ⨯==，故选：B ．9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是()0,0O ，()1,2A ，()3,3B ，()5,0C ，则四边形OABC 的面积为（ ）A. 14B. 11C. 10D. 9【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，过A 作AM OC ⊥于M ，过B 作BN OC ⊥于N ，根据A 、B 、C 的坐标可求出OM ，AM ，MN ，BN ，CN ，然后根据M OABC AO BCN AMNB S S S S ++=形梯形四边 求解即可．【详解】解∶过A 作AM OC ⊥于M ，过B 作BN OC ⊥于N ，∵()0,0O ，()1,2A ，()3,3B ，()5,0C ，∴1OM =，2AM =，3ON BN ==，5CO =，∴2MN ON OM =-=，2CN OC ON =-=，∴四边形OABC 的面积为AOM BCNAMNB S S S ++梯形 ()1111223232222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯9=，故选：D ．10.如图，在矩形ABCD 中，,E F 是边BC 上两点，且BE EF FC ==，连接,,DE AF DE 与AF 相交于点G ，连接BG ．若4AB =，6BC =，则sin GBF ∠的值为（ ）C. 13 D. 23【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G 作GH BC ⊥，证明AGD FGE ∽，得到13FG EF AG AD ==，再证明GHF ABF ∽，分别求出,HG FH 的长，进而求出BH 的长，勾股定理求出BG 的长，再利用正弦的定义，求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD ，BE EF FC ==，4AB =，6BC =，∴6,AD BC AD BC ==∥，2BE EF FC ===，∴AGD FGE ∽，4BF =，∴13FG EF AG AD ==，∴14FG AF =过点G 作GH BC ⊥，则：GH AB ∥，∴GHF ABF ∽，∴14FH GH FG BF AB AF ===，∴114FH BF ==，114GH AB ==，∴3BH BF FH =-=，∴BG ==，∴sin HG GBF BG ∠===故选A ．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11. ()20241-=______．【答案】3【解析】【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可．【详解】解：原式213=+=；故答案为：3．12. 已知一个n 边形的内角和是900︒，则n =________．【答案】7【解析】【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成()2180n -⋅︒，依此列方程可求解．【详解】解：根据题意，得()2180900n -︒=⋅︒，解得7n =．故答案为：713.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______．【答案】1y x =+（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k 、b 的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k 及b 的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可．【详解】解：设一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴0,0k b >>，∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：1y x =+（答案不唯一）．故答案为：1y x =+（答案不唯一）．14.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 内部，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点P ，连接,OA OB ．若140AOB ∠=︒，35BCP ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．【答案】105︒##105度【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接OC ，利用等边对等角得出20OAB OBA ∠=∠=︒，OCB OBC ∠=∠，利用切线的性质可求出55OBC OCB ∠=∠=︒，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解∶连接OC ，的∵OA OB OC ==，140AOB ∠=︒，∴()1180202OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒，OCB OBC ∠=∠，∵CP 是切线，∴90OCP ∠=︒，即90OCB BCP ∠+∠=︒，∵35BCP ∠=︒，∴55OBC OCB ∠=∠=︒，∴75ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180105ADC ABC ∠=︒-∠=︒，故答案：105︒．15. 若反比例函数12y x =，23y x =-，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值是a ，函数2y 的最大值是b ，则b a =______．【答案】12##0.5【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出a 与b 的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出a 与b ，再代入b a 进而得出答案．【详解】解： 函数12y x =，当13x ≤≤时，函数1y 随x 的增大而减小，最大值为a ，1x ∴=时，12y a ==，23y x=- ，当13x ≤≤时，函数2y 随x 的增大而减大，函数2y 的最大值为21y b =-=，1122b a -∴==．故答案为：12．16. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，6AB =，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接DE ．若CE AF =，则DE 的长为______．为【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D 作DH AC ⊥于H ，先判断ABC ，ACD 都是等边三角形，得出60EAF ∠=︒，6AC AB ==，132AH CH AC ===，利用含30︒的直角三角形的性质可得出22AE AF CE ==，进而求出CE ，HE ，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解∶过D 作DH AC ⊥于H ，∵菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，6AB =，∴AB BC CD AD ===，60ADC ABC ∠=∠=︒，∴ABC ，ACD 都是等边三角形，∴60EAF ∠=︒，6AC AB ==，132AH CH AC ===，∵EF AB ⊥，∴30AEF ∠=︒，∴2AE AF =，又CE AF =，∴2AE CE =，∴2CE =，∴1HE CH CE =-=，在Rt CDH △中，22227DH CD CH =-=，∴DE ==故答案为：．三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17. （1）先化简，再求值：()()2121x x +-+，其中x =（2）解方程：2244x x x x --=--．【答案】（1）21x -，7；（2）3x =【解析】【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x 的值代入计算即可；（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：（1）()()2121x x +-+22122x x x =++--21x =-，当x =(217=-=；（2）2244x x x x --=--去分母，得()224x x x ---=，解得3x =，把3x =代入43410x -=-=-≠，∴3x =是原方程的解．18. 《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（240x ≥），良好（225240x ≤<），及格（185225x ≤<），不及格（185x <），其中x 表示测试成绩（单位：cm ）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：a ．本校测试成绩频数（人数）分布表：等级优秀良好及格不及格频数（人数）40706030b ．本校测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率222.5228p85%c．本校所在区县测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率218.722323%91%请根据所给信息，解答下列问题：（1）求出p的值；（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．【答案】（1）20%（2）乙同学的测试成绩是226cm（3）见解析【解析】【分析】本题考查的是频率分布表，中位数，平均数的意义．读懂统计图，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）先根据本校测试成绩频数（人数）分布表求出本次测试的总人数，利用优秀率=成绩为优秀的人数除以总人数即可求解；（2）根据第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，即可求解；（3）根据优秀率和平均数的意义说明即可．【小问1详解】+++=（人），解：本次测试的总人数为：40706030200成绩为优秀的人数为：40人，p=÷⨯=；则优秀率为：40200100%20%【小问2详解】解： 第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，⨯-=，则2228230226cm答：乙同学的测试成绩是226cm；【小问3详解】解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，本校测试成绩的优秀率为20%，本校所在区县测试成绩优秀率为23%，222.5218.7,20%23%>< ，从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平；建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．19.如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB 的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．（1）请你设计测量教学楼AB 的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用,m n 等表示，测出的角用,αβ等表示），并对设计进行说明；（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB 的高度（用字母表示）．【答案】（1）见解析 （2）()tan tan m αβ+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）将测角仪放在D 处，用皮尺测量出D 到AB 的距离为m ，用测角仪测出A 的仰角为α，测出B 的俯角为β即可；（2）过C 作CEAB ⊥于E ，分别在Rt BCE 和Rt ACE 中，利用正切的定义求出BE 、AE ，即可求解．【小问1详解】解：如图，将测角仪放在D 处，用皮尺测量出D 到AB 的距离为m ，用测角仪测出A 的仰角为α，测出B 的俯角为β；【小问2详解】解：如图，过C 作CE AB ⊥于E ，则四边形CDBE 是矩形，ACE α∠=，BCE β∠=，∴CE BD m ==，BE CD =，在Rt BCE 中，tan tan BE CE ECB m β=⋅∠=，在Rt ACE 中，tan tan BE CE ECA m α=⋅∠=，∴()tan tan AB AE BE m αβ=+=+，答：教学楼AB 的高度为()tan tan m αβ+．20.图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y （单位：cm ）随着碗的数量x （单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y 与x 之间的对应数据：/x 个1234/cmy 68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y 与x 之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm ，求此时碗的数量最多为多少个？【答案】（1） 2.4 3.6y x =+（2）10个【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答；（2）根据（1）中y 和x 的关系式列出不等式求解即可．【小问1详解】解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm ，∴()6 2.41 2.4 3.6y x x =+-=+，检验∶当1x =时，6y =；当2x =时，8.4y =；当3x =时，10.8y =；当4x =时，13.2y =；∴ 2.4 3.6y x =+；【小问2详解】解：根据题意，得2.4 3.628.8x +≤，解得10.5x ≤，∴碗的数量最多为10个．21. 如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．（1）如图1，若1BE =，CE =，求O 的半径；（2）如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答）【答案】（1）3 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒-∠，结合2BOC BCE ∠=∠，可得出90OBC BCE ∠+∠=︒，在Rt OCE 中，利用勾股定理求解即可；（2）法一：过O 作OF BD ⊥于F ，利用垂径定理等可得出12BF BD OE ==，然后利用HL 定理证明Rt Rt CEO OFB ≌ ，得出COE OBF ∠=∠，然后利用平行线的判定即可得证；法二：连接AD ，证明CEO ADB ∽ ，得出COE ABD ∠=∠，然后利用平行线判定即可得证【小问1详解】解∶∵OC OB =，∴()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒-∠，∵2BOC BCE ∠=∠，∴()11802902OBC BCE BCE ∠=︒-∠=︒-∠，即90OBC BCE ∠+∠=︒，∴90OEC ∠=︒，∴222OC OE CE =+，∴()2221OC OC =-+，解得3OC =，即O 的半径为3；【小问2详解】证明：法一：过O 作OF BD ⊥于F，的∴12BF BD =，∵2BD OE=∴OE BF =，又OC OB =，90OEC BFO ∠=∠=︒，∴()Rt Rt HL CEO OFB ≌，∴COE OBF ∠=∠，∴BD OC ∥；法二：连接AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴2AD CE ====，∴12OC CE OE AB AD BD ===，∴CEO ADB ∽ ，∴COE ABD ∠=∠，∴BD OC ∥．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．22. 如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．（1）如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；（2）如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②::2:1:3AG GH HC =（2）3AM AN =，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据ABE DCE S S = ，得出E 为AD 的中点，证明出AHE CHF ≌即可；②先证明出AGB HGE ∽得到2AB AG EH GH==，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接BD 交CN 于点F ，证明()AAS AEB DEM ≌，进一步证明出四边形ABDM 为平行四边形，得出DF 为CMN 的中位线，得到12DF MN =，再证明出AEN DEF ≌得到DF AN =，再通过等量代换即可求解．【小问1详解】解：①ABE DCE S S = ，E ∴为AD 的中点，AE DE ∴=，F 是边BC 的中点，BF CF ∴=，AE CF ∴=，在ABCD Y 中，AD BC∴EAH FCH ∠=∠，AH CH ∴=，H ∴是AC 的中点；②,AE BF AE BF =∥ ，∴四边形ABFE 为平行四边形，AB EF ∴∥，AGB HGE ∴ ∽，AB AG EH GH∴=，∵AHE CHF ≌，EH FH ∴=，2AB AG EH GH∴==，2AG GH ∴=，1133GH AH HC ∴==，::2:1:3AG GH HC ∴=；【小问2详解】解：线段AM 与线段AN 之间的数量关系为：3AM AN =，理由如下：连接BD 交CN 于点F ，如下图：由题意，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ，,AE DE AEB DEM =∠=∠ ，又AB CD ∥ ，AB CM \∥，AB DM ∴=，∴四边形ABDM 为平行四边形，,AM BD AB MD ∴==，AB CD =，DM CD ∴=，D ∴为CM 的中点，DF MN ∥ ，12CD CF CM CN ∴==，F ∴为CN 的中点，DF ∴为CMN 的中位线，12DF MN ∴=，,,AE DE AEN DEF NAE FDE =∠=∠∠=∠ ，()ASA AEN DEF ∴ ≌，DF AN ∴=，12DF AN MN ∴==，2MN AN ∴=，3AM AN MN AN ∴=+=，3AM AN ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x bx c =-++与x 轴相交于()1,0A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为()2,M d ，连接AM ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若C 是y 轴正半轴上一点，连接,AC CM ．当点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求证：ACM BAM ∠=∠；（3）如图2，连接BM ，将ABM 沿x 轴折叠，折叠后点M 落在第四象限的点M '处，过点B 的直线与线段AM '相交于点D ，与y 轴负半轴相交于点E ．当87BD DE =时，3ABD S △与2M BD S '△是否相等？请说明理由．【答案】（1）2286y x x =-+-（2）见解析 （3）相等，理由见解析【解析】【分析】（1）根据顶点为()2,M d ，利用()2222b b a -=-=⨯-求出8b =，再将()1,0A 代入解析式即可求出6c =-，即可得出函数表达式；（2）延长MC 交x 轴于点D ，由（1）知抛物线的解析式表达式为2286y x x =-+-，求出()2,2M ，再利用待定系数法求出直线MC 的解析式为3142y x =+，进而求出2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则53AD =，利用两点间距离公式求出105,36DM CD ==，易证ACD MAD ∽ ，得到ACD MAD ∠=∠，由180ACD ACM MAD BAM ∠+∠=∠+∠=︒，即可证明ACM BAM ∠=∠；（3）过点D 作DG x ⊥轴，交x 轴于点G ，利用抛物线解析式求出()3,0B ，求出3,2OB AB ==，根据OE DG ∥，易证BDG BEO ∽ ，得到=BG BD DG OB BE OE =，由87BD DE =，即815BD BE =，求出85BG =，得到75OG =，即点D 的横坐标为75，由折叠的性质得到()2,2M '-，求出直线AM '的解析式为22y x =-+，进而求出74,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到45DG =，利用三角形面积公式求出1425ABD S AB DG =⋅= ，则146255M BD ABM ABD M S S S AB y '''=-=⋅-= ，即可证明结论．【小问1详解】解： 该抛物线的顶点为()2,M d ，即该抛物线的对称轴为2x =，∴()2222b b x a =-=-=⨯-，∴8b =，将()1,0A 代入解析式228y x x c =-++，则028c =-++，∴6c =-，∴抛物线的解析式表达式为2286y x x =-+-；【小问2详解】证明：如图1，延长MC 交x 轴于点D ，由（1）知抛物线的解析式表达式为2286y x x =-+-，则2228262M y =-´+´-=，∴()2,2M ，点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线MC 的解析式为()0y kx b k =+≠，则1222b k b⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：1234b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线MC 的解析式为3142y x =+，则31042D x =+，23D x ∴=-，∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0A ，∴53AD =，∴105,36DM CD ====，551136,1052233ADCD DMAD ==== ，∴ADCD DM AD=，ADM ADM ∠=∠ ，∴ACD MAD ∽ ，∴ACD MAD ∠=∠，180ACD ACM MAD BAM ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACM BAM ∠=∠；小问3详解】解：过点D 作DG x ⊥轴，交x 轴于点G ，【令22860x x -+-=，即2430x x -+=，解得：121,3x x ==，根据题意得：()3,0B ，∴3,2OB AB ==，DG x ⊥轴，OE x ⊥轴，∴OE DG ∥，∴BDG BEO ∽ ，∴=BG BD DG OB BE OE=， 87BD DE =，即815BD BE =，∴88155BG OB ==，∴75OG =，∴点D 的横坐标为75，由折叠的性质得到()2,2M '-，设直线AM '的解析式为()0y mx n m =+≠，则220m n m n -=+⎧⎨=+⎩，解得：22m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AM '的解析式为22y x =-+，742255D y ∴=-⨯+=-，∴74,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴45DG =，∴1425ABD S AB DG =⋅= ，∴146255M BD ABM ABD M S S S AB y '''=-=⋅-= ，∴4123355ABDS =⨯=△，6122255M BD S '=⨯=△，∴32ABD M BD S S '=△△．【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．。

2022年内蒙古自治区包头市中考数学试卷1.√8+√2的计算结果是( )A．5B．√10C．3√2D．4+√22.2022年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2022年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为( ) A．0.9348×108B．9.348×107C．9.348×108D．93.48×1063.点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为( )A．−2或1B．−2或2C．−2D．14.下列计算结果正确的是( )A．(a3)2=a5B．(−bc)4÷(−bc)2=−b2c2C．1+1a =2aD．a÷b⋅1b =ab25.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB=75∘，∠ECD=50∘，则∠A的度数为( )A．50∘B．55∘C．70∘D．75∘6.如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体( )A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图改变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变7.两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为( )A．2B．3C．4D．58.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√29.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC:∠AOD:∠DOB=2:7:11，CD=4，则CD⏜的长为( )A．2πB．4πC．√2π2D．√2π10.下列命题正确的是( )A．若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为±2B．一个正数的算术平方根一定比这个数小C．若b>a>0，则ab >a+1b+1D．若c≥2，则一元二次方程x2+2x+3=c有实数根11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−32x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC:S△CDA=4:1．若双曲线y=kx(x>0)经过点C，则k的值为( )A．43B．34C．25D．5212.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC>AC，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M 在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE=OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点G．下列结论：① CD=2GF；② BD2−CD2=AC2；③ S△BOE=2S△AOG；④若AC=6，OF+OA=9，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个13.在函数y=xx−3中，自变量x的取值范围是．14.分式方程3−xx−2+x2−x=1的解是．15.计算：(√3+√2)(√3−√2)2=．16.如图，在正方形ABCD，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE=56∘，则∠CEF=∘．17.一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为．18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为．19.在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．20.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30∘，则tan∠DEC的值为．21.我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：839268557771736273959294726459667175698687798177688262776188整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题．(1) 补全频数直方图；(2) 参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是分；(3) 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于60分60分到89分不低于90分估计使用该公司这款5G产品的满意度等级不满意满意非常满意1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．22.如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东45∘方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了3√2km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75∘方向，然后他由B地向北偏东15∘方向骑行了6km到达C地．(1) 求A地与电视塔P的距离；(2) 求C地与电视塔P的距离．23.某商店销售A，B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．(1) 求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？(2) 该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？24.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(1) 求AE的长；(2) 求cos∠CAG的值及CG的长．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△AʹBʹC，AʹC与AB交于点D．(1) 如图，当AʹBʹ∥AC时，过点B作BE⊥AʹC，垂足为E，连接AE．①求证：AD=BD；的值；②求S△ACES△ABE(2) 如图，当AʹC⊥AB时，过点D作DM∥AʹBʹ，交BʹC于点N，交AC的延长线于点M，的值．求DNNMx2−2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．抛物线的顶点为M，直线y=−12(1) 求b的值及点M的坐标；(2) 将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM−∠ACM=45∘；(3) 点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF=2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF=4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】C【解析】 √8+√2=2√2+√2=3√2．2. 【答案】B【解析】 9348 万 =93480000 用科学记数法表示为 9.348×107，故选：B ．3. 【答案】A【解析】由题意得：∣2a +1∣=3，当 2a +1>0 时，有 2a +1=3，解得 a =1；当 2a +1<0 时，有 2a +1=−3，解得 a =−2；所以 a 的值为 1 或 −2．4. 【答案】D【解析】A. (a 3)2=a 6，故A 选项错误；B. (−bc )4÷(−bc )2=b 4c 4÷b 2c 2=b 2c 2，故B 选项错误；C. 1+1a =a a +1a =a+1a ，故C 选项错误； D. a ÷b ⋅1b =a b ⋅1b =a b 2，故D 选项正确． 故答案为D ．5. 【答案】B 【解析】 ∵CE ∥AB ，∴∠B =∠ECD =50∘，∴∠A =180∘−∠B −∠ACB =55∘，故选B ．6. 【答案】C【解析】主视图是从立体图形的正面看，俯视图是从立体图形的上面看，左视图是从立体图形的左面看，故将小立方块移走后，主视图不变，左视图和俯视图均发生改变．故选择C ．7. 【答案】B【解析】 ∵ 两组数据：3，a ，b ，5 与 a ，4，2b 的平均数都是 3，∴{a +b =12−3−5,a +2b =9−4,解得 a =3，b =1，则新数据 3，3，1，5，3，4，2，众数为 3，故选B ．8. 【答案】A【解析】 ∵AC =2，BC =2√2，∴AB =√22+(2√2)2=2√3，∵D 是 AB 的中点，∴AD =CD =BD =√3．由题意可得：{BE 2+DE 2=3,BE 2+(DE +√3)2=8.两式相减得：(DE +√3)2−DE 2=8−3，解得 DE =√33，BE =2√63．9. 【答案】D【解析】 ∵∠AOD:∠DOB =7:11，∠AOD +∠DOB =180∘，∴∠AOD =180∘×718=70∘，又 ∵∠AOC:∠AOD =2:7，∴∠AOC =20∘，∴∠COD =90∘，又 ∵CD =4，∴OD =√162=2√2，∴CD ⏜=n×π×OD 180=90×π×2√2180=√2π．故答案选D ．10. 【答案】D【解析】A 选项：当 x =2 时，分式无意义，故A 选项错误；B 选项：1 的算数平方根还是 1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B 选项错误；C 选项：可以假设 b =2，a =1，满足 b >a >0，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C 选项错误；D 选项：x 2+2x +3−c =0，当 c ≥2 时，Δ=b 2−4ac =4c −8≥0，一元二次方程有实数根，故D 选项正确．故本题选择 D ．11. 【答案】A【解析】对于 y =−32x +3，当 x =0 时，y =3；当 y =0 时，x =2，∴B (0,3)，A (2,0)．∴OB=3，OA=2．设C(x,−32x+3)．根据题意知，四边形ODCE是矩形，∴CE=OD=x，OE=CD=−32x+3．∴AD=2−x．∵CE⊥y轴，CD⊥x轴，∴∠BEC=∠CDA=90∘，∵∠ACD+∠DAC=90∘，∵∠BCE+∠ACD=90∘，∴∠BCE=∠DAC，∴△BEC∽△CDA，∴S△BECS△CDA =(CEAD)2=41．∴CEAD=2．∴x2−x =2，解得：x=43．经检验，x=43是原方程的根．∴CD=−32×43+3=1．∴C(43,1)．∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴1=k43，即k=43．12. 【答案】D【解析】由题意知：MN垂直平分AB，∴OA=OB，ED⊥AB，∵OD=OE，∴四边形ADBE是菱形，∵OF⊥AC，∠ACB=90∘，∴OF∥BC，AF=CF，∴FG是△ACD的中位线，∴CD=2GF，故①正确；∵四边形ADBE是菱形，∴AD=BD，在Rt△ACD中，AD2−CD2=AC2，∴BD2−CD2=AC2，故②正确；∵FG是△ACD的中位线，∴点G是AD的中点，∴S△AOD=2S△AOG，∵S△AOD=S△BOE，∴S△BOE=2S△AOG，故③正确；∵AC=6，∴AF=3，设OA=x，则OF=9−x，∵OA2=OF2+AF2，∴x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴AB=10，∴BC=8，∵BD2−CD2=AC2，∴BD2−(8−BD)2=62，解得BD=254，∴四边形ADBE的周长为254×4=25．13. 【答案】x≠3【解析】在函数y=xx−3中，分母不为0，则x−3≠0，即x≠3．14. 【答案】x=53【解析】3−xx−2+x2−x=1，方程左右两边同乘x−2，得3−x−x=x−2．移项合并同类项，得x=53．经检验，x=53是方程的解．15. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)(√3−√2)2=(√3+√2)(√3−√2)(√3−√2) =[(√3)2−(√2)2](√3−√2)=√3−√2.16. 【答案】22【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，AB∥CD，又∵BD是角平分线，∴∠ABE=∠CBE=45∘，又∵∠BAE=56∘，∴∠AFD=56∘，∴∠EFC=124∘，在△ABE和△CBE中，{AB=CB,∠ABE=∠CBE=45∘, BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴∠BAE=∠BCE=56∘，∴∠ECF=90∘−56∘=34∘，∴∠CEF=180∘−∠EFC−∠ECF=180∘−124∘−34∘=22∘．17. 【答案】13【解析】分别从标有数字1，2，3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有(1,2)，(1,3)和(2,3)3种情况，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为：39=13．故答案为13．18. 【答案】16【解析】如图，在平行四边形ABCD中．∴AB=CD=2，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180∘．∵BE，CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE，∴∠AEB=∠ABE，∠DEC=∠DCE，∠CBE+∠BCE=90∘．∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90∘，∴AD=2+2=4，∴BC=AD=4，在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2=42=16．19. 【答案】4【解析】∵A，B的纵坐标一样，∴A，B是对称的两点，∴对称轴x=−1+52=2，即−b2a=−b2=2，∴b=−4．y=x2−4x+1=x2−4x+4−3=(x−2)2−3．∴抛物线顶点(2,−3)．满足题意n得最小值为4，故答案为4．20. 【答案】√32【解析】过C作CF⊥BD，垂足为F点，∵矩形ABCD，∠ADB=30∘，∴AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90∘，∠DBC=∠ADB=30∘，AB=CD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠DBC=90∘，∠FBC+∠FCB=∠FCB+∠FCD=90∘，∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30∘，设DF=a，则CF=√3a，CD=2a，BD=4a，∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90∘，∴△AEB≌△CFD，∴EB=DF=a，∴EF=4a−a−a=2a，∴tan∠DEC=CFEF =√32，故答案是√32．21. 【答案】(1) 根据题意，满意度在70∼80之间的有：77，71，73，73，72，71，75，79，77，77，共10个；满意度在90∼100之间的有：92，95，92，94，共4个．补全条形图，如下：(2) 74(3) 根据题意，1500×430=200．∴ 在 1500 个用户中满意度等级为“非常满意”的人数大约为 200 人．【解析】(2) 把数据从小到大进行重新排列，则第 15 个数为：73，第 16 个数为：75，∴ 中位数为：73+752=74．22. 【答案】(1) 由题意知：∠A =45∘，∠NBC =15∘，∠NBP =75∘，过点 B 作 BE ⊥AP 于点 E ，如图，在 Rt △ABE 中，∠ABE =90∘−45∘=45∘，∴AE =BE ，∵AB =3√2，∴AE =BE =3，在 Rt △BEP 中，∠EBP =180∘−∠ABE −∠NBP =60∘，∴PE =BE ⋅tan60∘=3√3，∴AP =AE +PE =3+3√3．(2) ∵BE =3，∠BEP =90∘，∠EBP =60∘，∴BP =BE cos60∘=6，又 ∵∠CBP =∠NBP −∠NBC =75∘−15∘=60∘，BC =6，∴△BCP 是等边三角形，∴CP =BP =6．23. 【答案】(1) 设 A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为 x 元和 y 元．根据题意可得{x =y −40,2x +3y =820.解得{x =140,y =180.∴A 种商品和 B 种商品的销售单价分别为 140 元和 180 元．(2) 设购进 A 商品 m 件，则购进 B 商品 (60−m ) 件．根据题意可得：110m +140(60−m )≤7800.解得：m ≥20.令总利润为 w ，则w =[140m +180(60−m )]−[110m +140(60−m )]=−10m +2400. ∴ 当 m =20 时，获得利润最大，此时 60−m =60−20=40．∴A 进 20 件，B 进 40 件时获得利润最大．24. 【答案】(1) 过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，∵直线l为⊙O的切线，A是切点，∴OA⊥AE，∵OC⊥AB，∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90∘，∴四边形AOHE是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CE=√34，∴CH=√CE2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−OC=2．(2) ∵∠OAE=∠AOC=90∘，∴OC∥AE，∴△ADE∽△OCD，∴ADOD =AEOC=23，∴AD=1.2，OD=1.8，∵5BF−5AD=4，∴BF=2，∴OF=1，∴AF=4，CF=√OC2+OF2=√10，连接BG，∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，∴△AFC∽△GFB，∴AFGF =CFBF，∴4GF =√102，∴GF=4√105，∴CG=CF+GF=9√105，设CO延长线交⊙O于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，在Rt△CGN中，∠CGN=90∘，CN=6，CG=9√105，∴NG=√CN2−CG2=3√105，∴cos∠CAG=cos∠CNG=NGCN =3√105×16=√1010．25. 【答案】(1) ① ∵Rt △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 Rt △AʹBʹC ，∴∠A =∠Aʹ，∵AʹBʹ∥AC ，∴∠ACAʹ=∠Aʹ，∴∠ACAʹ=∠A ，∴AD =CD ，∵∠ACD +∠BCD =90∘，∠A +∠ABC =90∘，∴∠BCD =∠ABC ．∴BD =CD ．∴AD =BD ．② ∵∠BCD =∠ABC =∠CEM ，∠ACB =∠BEC =∠EMC =90∘，∴△ACB ∽△BEC ∽△CME ，BC =2，AC =4．∴BC AC =EC BC =EM CM =24=12．设 CE =x ，在 Rt △CEB 中，BE =2x ，BC =2，则 (2x )2+x 2=22，解得 x =2√55， 即 EC =2√55，BE =4√55． 同理可得：EM =25．∴S △BEC =12⋅EC ⋅BE =12×2√55×4√55=45， S △ACE =12⋅AC ⋅EM =12×4×25=45，S △ABC =12⋅AC ⋅BC =12×4×2=4， S △ABE =S △ABC −S △ACE −S △BEC 4−45−45=125． ∴S △ACE S △ABE =45125=13．(2) 在 Rt △ABC 中，BC =2，AC =4，则 AB =√22+42=2√5．∴12×2×4=12×2√5×CD ，解得：CD =45√5．∵∠A =∠BCD ，∠ADC =∠BDC ，∴△ADC ∽△BDC ．∴CD 2=BD ⋅AD ，即 (45√5)2=(2√5−AD)⋅AD ，解得：AD =85√5．∵DM∥AʹBʹ，∴∠Aʹ=∠CDM，∠AʹCBʹ=∠DAN．∴△CDN∽△CAʹBʹ．∴CNBʹC =CDAʹC，即CN=CDAʹC⋅BʹC=45√54×2=25√5．∵∠ADC=∠AʹCBʹ=90∘，∴CN∥AB．∴MNDM =CNAD=25√588√5=14．∴DMNM=4．∴DNNM=3．26. 【答案】(1) ∵y=13x2−2x=13(x−3)2−3，∴顶点M的坐标为(3,−3)，令y=13x2−2x中y=0，得x1=0，x2=6，∴A(6,0)，将点A的坐标代入y=−12x+b中，得−3+b=0，∴b=3．(2) ∵y=mx+n由y=−12x+3平移得来，∴m=−12，∵过点M(3,−3)，∴−32+n=−3，解得n=−32，∴平移后的直线CM的解析式为y=−12x−32，过点D作DH⊥直线y=−12x−32，∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D(2,0)的坐标代入，得4+k=0，∴k=−4，∴直线DH的解析式为y=2x−4，解方程组{y=−12x−32, y=2x−4,得 {x =1,y =−2,∴H (1,−2)，∵D (2,0)，H (1,−2)，∴DH =√5，∵M (3,−3)，D (2,0)，∴DM =√10，∴sin∠DMH =DH DM =12，∴∠DMH =45∘，∵∠ACM +∠DMH =∠ADM ，∴∠ADM −∠ACM =45∘．(3) 存在点 E ，过点 G 作 GP ⊥x 轴，过点 E 作 EQ ⊥x 轴，∵A (6,0)，B (0,3)，∴AB =3√5，∵∠BEF =2∠BAO ，∠BEF =∠BAO +∠AFE ，∴∠BAO =∠AFE ，∴AE =EF ，∵3GF =4EF ，∴GF EF =43，设 GF =4a ，则 AE =EF =3a ，∵EQ ⊥x 轴，∴EQ ∥OB ，∴△AEQ ∽△ABO ，∴AQ AO =AE AB ，∴AQ 6=3√5，∴AQ =6√55a ， ∴AF =12√55a ，∵∠AFE =∠PFG ，∴△FGP ∽△AEQ ，∴GF AE =FP AQ ，∴FP =8√55a ， ∴OP =PG =4√55a ，∴4√55a+8√55a+12√55a=6，解得a=√54，∴AQ=6√55×√54=32，∴OQ=92，将x=92代入y=−12x+3中，得y=34，∴当∠BEF=2∠BAO时，存在点E，使得3GF=4EF，此时点E的坐标为(92,34 )．。

2024年初中学业水平考试试卷数学注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.计算所得结果是（）A.3B.C. D.±2.若,m n 互为倒数，且满足3m mn +=，则n 的值为（）A.14B.12C.2D.43.如图，正方形ABCD 边长为2，以AB 所在直线为轴，将正方形ABCD 旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（）A.8B.4C.8πD.4π4.如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（）A.116 B.112C.16D.146.将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A.()213y x =+- B.()=+-2y x 12C.()213y x =-- D.()212y x =--7.若21m -，m ，4m -这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m 的取值范围是（）A.2m < B.1m < C.12m << D.513m <<8.如图，在扇形AOB 中，80AOB ∠=︒，半径3OA =，C 是 AB 上一点，连接OC ，D 是OC 上一点，且OD DC =，连接BD ．若BD OC ⊥，则 AC 的长为（）A.π6B.π3C.π2D.π9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是()0,0O ，()1,2A ，()3,3B ，()5,0C ，则四边形OABC 的面积为（）A.14B.11C.10D.910.如图，在矩形ABCD 中，,E F 是边BC 上两点，且BE EF FC ==，连接,,DE AF DE 与AF 相交于点G ，连接BG ．若4AB =，6BC =，则sin GBF ∠的值为（）A.1010B.31010C.13D.23二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11.()2024381+-=______．12.已知一个n 边形的内角和是900︒，则n =________．13.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______．14.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 内部，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点P ，连接,OA OB ．若140AOB ∠=︒，35BCP ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．15.若反比例函数12y x=，23y x=-，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值是a ，函数2y 的最大值是b ，则b a =______．16.如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，6AB =，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接DE ．若CE AF =，则DE 的长为______．三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17.（1）先化简，再求值：()()2121x x +-+，其中x =（2）解方程：2244x xx x --=--．18.《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（240x ≥），良好（225240x ≤<），及格（185225x ≤<），不及格（185x <），其中x 表示测试成绩（单位：cm ）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：a ．本校测试成绩频数（人数）分布表：等级优秀良好及格不及格频数（人数）40706030b ．本校测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率222.5228p85%c ．本校所在区县测试成绩统计表：平均数中位数优秀率及格率218.722323%91%请根据所给信息，解答下列问题：（1）求出p 的值；（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm ，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．19.如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB 的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．（1）请你设计测量教学楼AB 的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用,m n 等表示，测出的角用,αβ等表示），并对设计进行说明；（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB 的高度（用字母表示）．20.图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y （单位：cm ）随着碗的数量x （单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y 与x 之间的对应数据：/x 个1234/cmy 68.410.813.2（1）依据小亮测量的数据，写出y 与x 之间的函数表达式，并说明理由；（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm ，求此时碗的数量最多为多少个？21.如图，AB 是O 的直径，,BC BD 是O 的两条弦，点C 与点D 在AB 的两侧，E 是OB 上一点（OE BE >），连接,OC CE ，且2BOC BCE ∠=∠．（1）如图1，若1BE =，CE =，求O 的半径；（2）如图2，若2BD OE =，求证：BD OC ∥．（请用两种证法解答）22.如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．（1）如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；（2）如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x bx c =-++与x 轴相交于()1,0A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为()2,M d ，连接AM ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若C 是y 轴正半轴上一点，连接,AC CM ．当点C 的坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，求证：ACM BAM ∠=∠；（3）如图2，连接BM ，将ABM 沿x 轴折叠，折叠后点M 落在第四象限的点M '处，过点B 的直线与线段AM '相交于点D ，与y 轴负半轴相交于点E ．当87BD DE =时，3ABD S △与2M BD S '△是否相等？请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1.【答案】C===；故选C ．2.【答案】B【解析】解：∵,m n 互为倒数，∴1⋅=m n ，∵3m mn +=，∴2m =，则12n =，故选：B ．3.【答案】A【解析】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，∴面积为248⨯=；故选A ．4.【答案】C【解析】解∶∵AB CD ∥，∴180AEF CGE +∠=︒∠，∵CGE DGF ∠=∠，∴180AEF DGF ∠+∠=︒，又180AEF BEG ∠+∠=︒，∴图中与AEF ∠互补的角有CGE ∠，DGF ∠，BEG ∠，共3个．故选∶C ．5.【答案】D【解析】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为A B C D 、、、，画树状图如下：一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是41164=，故选：D ．6.【答案】A【解析】解：抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，则抛物线变为222y x x =+-，∴222y x x =+-化成顶点式则为()213y x =+-，故选：A ．7.【答案】B【解析】解：由题意，得：214m m m -<<-，解得：1m <；故选B ．8.【答案】B【解析】解：连接BC ，OD DC =，BD OC ⊥，OB BC ∴=，∴OBC △是等腰三角形，OB OC =，∴OB OC BC ==，OBC △是等边三角形，∴60BOC ∠=︒，80AOB ∠=︒，∴20AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒，3OA =，∴ 203ππ1803AC ⨯==，故选：B ．9.【答案】D【解析】解∶过A 作AM OC ⊥于M ，过B 作BN OC ⊥于N ，∵()0,0O ，()1,2A ，()3,3B ，()5,0C ，∴1OM =，2AM =，3ON BN ==，5CO =，∴2MN ON OM =-=，2CN OC ON =-=，∴四边形OABC 的面积为AOM BCNAMNB S S S ++梯形 ()1111223232222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯9=，故选：D ．10.【答案】A【解析】解：∵矩形ABCD ，BE EF FC ==，4AB =，6BC =，∴6,AD BC AD BC ==∥，2BE EF FC ===，∴AGD FGE ∽，4BF =，∴13FG EF AG AD ==，∴14FG AF =过点G 作GH BC ⊥，则：GH AB ∥，∴GHF ABF ∽，∴14FH GH FG BF AB AF ===，∴114FH BF ==，114GH AB ==，∴3BH BF FH =-=，∴221310BG =+=∴10sin 1010HG GBF BG ∠===；故选A ．二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．11.【答案】3【解析】解：原式213=+=；故答案为：3．12.【答案】7【解析】解：根据题意，得()2180900n -︒=⋅︒，解得7n =．故答案为：713.【答案】1y x =+（答案不唯一）【解析】解：设一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠，∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴0,0k b >>，∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：1y x =+（答案不唯一）．故答案为：1y x =+（答案不唯一）．14.【答案】105︒##105度【解析】解∶连接OC ，∵OA OB OC ==，140AOB ∠=︒，∴()1180202OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒，OCB OBC ∠=∠，∵CP 是切线，∴90OCP ∠=︒，即90OCB BCP ∠+∠=︒，∵35BCP ∠=︒，∴55OBC OCB ∠=∠=︒，∴75ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180105ADC ABC ∠=︒-∠=︒，故答案为：105︒．15.【答案】12##0.5【解析】解： 函数12y x =，当13x ≤≤时，函数1y 随x 的增大而减小，最大值为a ，1x ∴=时，12y a ==，23y x =- ，当13x ≤≤时，函数2y 随x 的增大而减大，函数2y 的最大值为21y b =-=，1122b a -∴==．故答案为：12．16.【答案】【解析】解∶过D 作DH AC ⊥于H ，∵菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，6AB =，∴AB BC CD AD ===，60ADC ABC ∠=∠=︒，∴ABC ，ACD 都是等边三角形，∴60EAF ∠=︒，6AC AB ==，132AH CH AC ===，∵EF AB ⊥，∴30AEF ∠=︒，∴2AE AF =，又CE AF =，∴2AE CE =，∴2CE =，∴1HE CH CE =-=，在Rt CDH △中，22227DH CD CH =-=，∴DE ==故答案为：三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．17.【答案】（1）21x -，7；（2）3x =【解析】解：（1）()()2121x x +-+22122x x x =++--21x =-，当x =(217=-=；（2）2244x x x x --=--去分母，得()224x x x ---=，解得3x =，把3x =代入43410x -=-=-≠，∴3x =是原方程的解．18.【答案】（1）20%（2）乙同学的测试成绩是226cm（3）见解析【解析】【小问1详解】解：本次测试的总人数为：40706030200+++=（人），成绩为优秀的人数为：40人，则优秀率为：40200100%20%p =÷⨯=；【小问2详解】解： 第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，则2228230226cm ⨯-=，答：乙同学的测试成绩是226cm ；【小问3详解】解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，本校测试成绩的优秀率为20%，本校所在区县测试成绩优秀率为23%，222.5218.7,20%23%>< ，从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平；建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．19.【答案】（1）见解析（2）()tan tan m αβ+【解析】【小问1详解】解：如图，将测角仪放在D 处，用皮尺测量出D 到AB 的距离为m ，用测角仪测出A 的仰角为α，测出B 的俯角为β；【小问2详解】解：如图，过C 作CE AB ⊥于E ，则四边形CDBE 是矩形，ACE α∠=，BCE β∠=，∴CE BD m ==，BE CD =，在Rt BCE 中，tan tan BE CE ECB m β=⋅∠=，在Rt ACE 中，tan tan BE CE ECA m α=⋅∠=，∴()tan tan AB AE BE m αβ=+=+，答：教学楼AB 的高度为()tan tan m αβ+．20.【答案】（1） 2.4 3.6y x =+（2）10个【解析】【小问1详解】解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm ，∴()6 2.41 2.4 3.6y x x =+-=+，检验∶当1x =时，6y =；当2x =时，8.4y =；当3x =时，10.8y =；当4x =时，13.2y =；∴ 2.4 3.6y x =+；【小问2详解】解：根据题意，得2.4 3.628.8x +≤，解得10.5x ≤，∴碗的数量最多为10个．21.【答案】（1）3（2）见解析【解析】【小问1详解】解∶∵OC OB =，∴()11802OBC OCB BOC ∠=∠=︒-∠，∵2BOC BCE ∠=∠，∴()11802902OBC BCE BCE ∠=︒-∠=︒-∠，即90OBC BCE ∠+∠=︒，∴90OEC ∠=︒，∴222OC OE CE =+，∴()2221OC OC =-+，解得3OC =，即O 的半径为3；【小问2详解】证明：法一：过O 作OF BD ⊥于F ，∴12BF BD =，∵2BD OE=∴OE BF =，又OC OB =，90OEC BFO ∠=∠=︒，∴()Rt Rt HL CEO OFB ≌，∴COE OBF ∠=∠，∴BD OC ∥；法二：连接AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴2AD CE ====，∴12OC CE OE AB AD BD ===，∴CEO ADB ∽ ，∴COE ABD ∠=∠，∴BD OC ∥．22.【答案】（1）①见解析；②::2:1:3AG GH HC =（2）3AM AN =，理由见解析【解析】【小问1详解】解：①ABE DCE S S = ，E ∴为AD 的中点，AE DE ∴=，F 是边BC 的中点，BF CF ∴=，AE CF ∴=，在ABCD Y 中，AD BC∴EAH FCH ∠=∠，又∵AHE CHF ∠=∠，()AAS AHE CHF ∴ ≌，AH CH ∴=，H ∴是AC 的中点；②,AE BF AE BF =∥ ，∴四边形ABFE 为平行四边形，AB EF ∴∥，AGB HGE ∴ ∽，AB AG EH GH∴=，∵AHE CHF ≌，EH FH ∴=，2AB AG EH GH∴==，2AG GH ∴=，1133GH AH HC ∴==，::2:1:3AG GH HC ∴=；【小问2详解】解：线段AM 与线段AN 之间的数量关系为：3AM AN =，理由如下：连接BD 交CN 于点F ，如下图：由题意，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ，,AE DE AEB DEM =∠=∠ ，又AB CD ∥ ，AB CM \∥，ABE DME ∴∠=∠，()AAS AEB DEM ∴ ≌，AB DM ∴=，∴四边形ABDM 为平行四边形，,AM BD AB MD ∴==，AB CD =，DM CD ∴=，D ∴为CM 的中点，DF MN ∥ ，12CD CF CM CN ∴==，F ∴为CN 的中点，DF ∴为CMN 的中位线，12DF MN ∴=，,,AE DE AEN DEF NAE FDE =∠=∠∠=∠ ，()ASA AEN DEF ∴ ≌，DF AN ∴=，12DF AN MN ∴==，2MN AN ∴=，3AM AN MN AN ∴=+=，3AM AN ∴=．23.【答案】（1）2286y x x =-+-（2）见解析（3）相等，理由见解析【解析】【小问1详解】解： 该抛物线的顶点为()2,M d ，即该抛物线的对称轴为2x =，∴()2222b b x a =-=-=⨯-，∴8b =，将()1,0A 代入解析式228y x x c =-++，则028c =-++，∴6c =-，∴抛物线的解析式表达式为2286y x x =-+-；【小问2详解】证明：如图1，延长MC 交x 轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为2286y x x =-+-，则2228262M y =-´+´-=，∴()2,2M ，点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线MC 的解析式为()0y kx b k =+≠，则1222b k b⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：1234b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线MC 的解析式为3142y x =+，则31042D x =+，23D x ∴=-，∴2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()1,0A ，∴53AD =，∴105,36DM CD ====，551136,1052233ADCD DMAD ==== ，∴ADCD DM AD=，ADM ADM ∠=∠ ，∴ACD MAD ∽ ，∴ACD MAD ∠=∠，180ACD ACM MAD BAM ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACM BAM ∠=∠；【小问3详解】解：过点D 作DG x⊥轴，交x 轴于点G ，令22860x x -+-=，即2430x x -+=，解得：121,3x x ==，根据题意得：()3,0B ，∴3,2OB AB ==，DG x ⊥轴，OE x ⊥轴，∴OE DG ∥，∴BDG BEO ∽ ，∴=BG BD DG OB BE OE =，87BD DE =，即815BD BE =，∴88155BG OB ==，∴75OG =，∴点D 的横坐标为75，由折叠的性质得到()2,2M '-，设直线AM '的解析式为()0y mx n m =+≠，则220m n m n -=+⎧⎨=+⎩，解得：22m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AM '的解析式为22y x =-+，742255D y ∴=-⨯+=-，∴74,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴45DG =，∴1425ABD S AB DG =⋅= ，∴146255M BD ABM ABD M S S S AB y '''=-=⋅-= ，∴4123355ABD S =⨯=△，6122255M BD S '=⨯=△，∴32ABD M BD S S '=△△．。

2022年内蒙古包头市中考数学试卷及答案解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。

每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1．若24×22＝2m，则m的值为（）A．8B．6C．5D．22．若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（）A．﹣8B．﹣5C．﹣1D．163．若m＞n，则下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0D．1﹣2m＜1﹣2n 4．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）A．3B．4C．6D．95．2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（）A．B．C．D．6．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或67．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22°B．32°C．34°D．44°8．在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：110．已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．211．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB 边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．3B．2C．3D．212．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC＝EF B．OC＝2EF C．2OC＝EF D．OC＝EF二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。

内蒙古包头市2022年中考[数学]考试真题与答案解析同卷城市：巴彦淖尔、锡林郭勒、乌兰察布、乌海、阿拉善一、选择题本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题自的答案标号涂黑．1. 若，则m 的值为（ ）A. 8 B. 6C. 5D. 2【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算计算，即可求解．【详解】，，故选：B ．2. 若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则的值为（ ）A.B.C.D. 16【答案】C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得，c 的倒数是4，可得 ，代入即可求解．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴，∵c 的倒数是4，∴，∴，故选：C42222m ⨯=4242622222m +⨯===4242622222m +⨯=== 6m ∴=334a b c +-8-5-1-0a b +=14c =0a b +=14c =334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-3. 若，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】解：A 、∵m ＞n ，∴，故本选项不合题意；B 、∵m ＞n ，∴，故本选项不合题意；C 、∵m ＞n ，∴，故本选项不合题意；D 、∵m ＞n ，∴，故本选项符合题意；故选：D ．4. 几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）A. 3B. 4C. 6D. 9【答案】B【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；【详解】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可以画出左视图如图，m n >22m n -<-1122m n ->-0n m ->1212m n-<-22m n ->-1122m n -<-0m n ->1212m n -<-所以这个几何体的左视图的面积为4故选：B5. 2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（）A. B. C.D.【答案】D【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．【详解】记小明为，其他2名一等奖为，列树状图如下：故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到概率为．故选：D ．6. 若是方程两个实数根，则的值为（ ）A. 3或B. 或9C. 3或D. 或6【答案】A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出的的16131223A B C 、4263P ==12,x x 2230x x --=212x x ⋅9-3-6-3-2230x x --=答案．【详解】解：∵，∴，,则两根为：3或-1，当时，，当时，，故选：A ．7. 如图，是的两条直径，E 是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】连接OE ，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OE ，如图所示：∵OB=OC ，，2230x x --=12331x x -⋅==-()()130x x +-=23x =212212239x x x x x x ==--⋅=g g 21x =-2121222··33x x x x x x ⋅==-=,AB CD O e »BCBC DE 22ABC ∠=︒CDE ∠22︒32︒34︒44︒22OCB ABC ∠=∠=︒136COB ∠=︒68COE ∠=︒22ABC ∠=︒∴，∴，∵E 是劣弧的中点，∴，∴；故选C ．8. 在一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大，且，则点在（）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出a 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A 点所处的象限即可．【详解】∵在一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大，∴，即，又∵，∴，∴点在第三象限，故选：B9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，与相交于点E ，连接，则与的周长比为（）A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1【答案】D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明22OCB ABC ∠=∠=︒136COB ∠=︒»BC1682COE COB ∠=∠=︒1342CDE COE ∠=∠=︒()50y ax b a =-+≠0ab >(,)A a b ()50y ax b a =-+≠50a -＞0a ＜0ab >0b ＜(,)A a b AC BD ,AB CD ABE △CDE △，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，，， ∴，而，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选：D ．10. 已知实数a ，b 满足，则代数式的最小值等于（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a 2-4a+9变形(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a 2+2b-6a+7=a 2+2(a+1)-6a+7=a 2-4a+9为ABE CDE V V ∽3DM =3BC =DM BC =DM BC ∥AB DC ∥BAE DCE ∠=∠ABE CDE ∠=∠ABE CDE V V ∽21ABE CDEC AB C CD ====△△1a -=2267a b a +-+=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a 2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A ．11. 如图，在中，，将绕点C 顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点B 是对应点．若点恰好落在边上，则点A 到直线的距离等于（）A. B. C. 3 D. 2【答案】C【分析】如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图，过作于由，结合旋转：Rt ABC V 90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒=ABC V A B C ''V A 'B 'B 'AB A C'A AQ A C ¢^,Q 4,AB AC ==60,,90,B A B C BC B C A CB ¢¢¢¢¢Ð=Ð=°=Ð=°BB C '△60,A CA ¢Ð=°A AQ A C ¢^,Q 90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒=4,AB AC \==为等边三角形，∴A 到的距离为3．故选C12. 如图，在矩形中，，点E ，F 分别在边上，，AF 与相交于点O ，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】过点O 作OM ⊥BC 于点M ，先证明四边形ABFE 是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．【详解】过点O 作OM ⊥BC 于点M ，，四边形ABCD矩形，是60,,90,B A B C BC B C A CB ¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°=Ð=°BB C ¢\V 60,30,BCB ACB ¢¢\Ð=°Ð=°60,A CA ¢\Ð=°sin 60 3.AQ AC \=°==g A C 'ABCD AD AB >,AD BC ,EF AB AE AB =∥BE OC 2BF CF =OCEF 2OC=2EF=2OC =OC EF=MF CF OM ==OC =90OMC ∴∠=︒，，，四边形ABFE 是正方形，，，，，由勾股定理得，，故选：A ．二、填空题本大题共有7小题，每小题3分，共21分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．13.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________．【答案】且【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x ≠0，解得：且，故答案为：且．14. 计算：___________．【答案】##【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．90ABC BAD ∴∠=∠=︒,EF AB AE AB = ∥90ABC BAD AEF ∴∠=∠=︒=∠∴45,AFB OB OF ∴∠=︒=12MF BF OM ∴==2BF CF = MF CF OM ∴==OC ===2OC ∴=1x+1x ≥-0x ≠1x ≥-0x ≠1x ≥-0x ≠222a b aba b a b-+=---a b b a-+【详解】解：原式=,故答案为：．15. 某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：候选人通识知识专业知识实践能力甲809085乙808590根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是___________．（填“甲”或“乙”）【答案】甲【分析】分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案．【详解】甲的成绩为（分），乙的成绩为（分），，被录用的是甲，故答案为：甲．出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权，理解加权平均数的概念，掌握其公式是解题的关键．16. 如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．2222()a b ab a b a b a b a b+--==----a b 25380908586.5101010⨯+⨯+⨯=25380859085.5101010⨯+⨯+⨯=86.585.5> ∴k x k f 12k f f f n ++= 1122k kx f x f x f x n++=x 12,,,k f f f O e AB O e AB =»AB【答案】【分析】根据条件可证为直角三角形，得到，之后利用弧长公式即可得到答案．【详解】解：由题知，，，，劣弧．故答案为：．17. 若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．【答案】【分析】设这个多项式为A ，由题意得：，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：，，故答案为：．18. 如图，在中，，，D 为边上一点，且，连接，以点D 为圆心，的长为半径作弧，交于点E （异于点C ），连接，则的长为___________．πAOB ∆90AOB ∠=︒AB =2OA OB ==222AB OA OB ∴=+90AOB ∠=︒∴∴»AB 902180ππ⨯==π2328xy y +-2235xy y +-23y xy -+22(328)235A xy y xy y ++-=+-22(328)235A xy y xy y ++-=+-22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+23y xy -+Rt ABC V 90ACB ∠=︒3AC BC ==AB BD BC =CD DC BC DE BE【答案】##【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出，根据等腰三角形性质得出，根据，，得出设，则，证明，得出，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，，∵DF ⊥BC ，∴，∵，，∴∵，∴，设，则，∵，∴，∵，3-3-+DC DE =CF EF =90ACB ∠=︒3AC BC ==AB =CF x =3BF x =-DF AC P BF BD CF AD=3BE =DC DE =CF EF =90ACB ∠=︒3AC BC ==AB ===3BD BC ==3AD =-CF x =3BF x =-90ACB ∠=︒AC BC ⊥DF BC ⊥∴，∴，即，解得：，∴，∴．故答案为：．19. 如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x 轴相交于点C ，D 是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为___________．【答案】4【分析】如图，连结BD ，证明 再求解反比例函数为：， 直线AB 为： 再求解 再利用相似三角形的性质可得答案．DF AC P BF BD CFAD=3x x -=x =226CE x ===-3363BE CE =-=-+=-3-(0)k y k x =>(1,6)A (3,)B b AB OA AD BC AB DO ⋅=⋅CD ,ADC DOC V V 12,S S 12S S -,DAB OAC V V ∽6y x =()3,2,B 28,y x =-+()4,0,C 14612,2AOC S =´=V【详解】解：如图，连结BD ，， 而 在反比例函数图象上， 即反比例函数为：，在反比例函数图象上， 即 设直线AB 为：解得： ∴直线AB 为： 当时，故答案为：4 AD BC AB DO ⋅=⋅,AD AB DO BC\=,AD AB AO AC\=,DAB OAC Ð=Ð,DAB OAC \V V ∽()1,6A Q k y x=6,k \=6y x=()3,B b Q 6y x =2,b ∴=()3,2,B ,y mx n =+6,32m n m n ì+=ï\í+=ïî2,8m n ì=-ïí=ïî28,y x =-+∴0y =4,x =()4,0,C \14612,2AOC S \=´´=V ,DAB OAC QV V ∽24,9ADBA B AOC A S y y S y æö-ç÷\==ç÷èøV V 2,3AB AD AC AO ==1221128,124,33S S \=´==´=12 4.S S \-=三、解答题本大题共有6小题，共3分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．20. 2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分将全部测试成绩x （单位：分）进行整理后分为五组（，，，，），并绘制成如下的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生；（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．【答案】（1）40 （2）480人（3）加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤援等），提高避险能力【分析】（1）根据频数分布直方图进行求解即可；（2）由总人数乘以测试成绩达到80分及以上为优秀的比例即可求解；（3）根据题意提出合理化建议即可．【小问1详解】由频数分布直方图可得，一共抽取：（人）故答案为：40；【小问2详解】（人），所以优秀的学生人数约为480人；【小问3详解】加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力．21. 如图，是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角为，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角为，已知，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物的高度．461012840++++=12896048040+⨯=AB 1.5DH CG ==AB ADE ∠αACE ∠45︒7tan ,9AB BH α=⊥AB【答案】19米【分析】设米．在中，得到．在中，得到，．根据，列方程．【详解】解：如图．根据题意，，．设米．在中，∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵，∴（米）．答：建筑物的高度为19米．AE x =Rt AEC V CE AE x ==Rt AED △5DC =5DE x =+7tan 9α=求解90,AED ADE α∠=︒∠=45,5, 1.5ACE DC HG EB CG DH ∠=︒=====AE x =Rt AEC V 90,45AEC ACE ∠=︒∠=︒CE AE x ==Rt AED △5DC =5DE x =+7tan ,tan 9AE ADE DE α∠==759x x =+9735x x =+17.5x =17.5AE =1.5EB =17.5 1.519AB AE EB =+=+=AB22. 由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x 天（x 取整数）时，日销售量y （单位：千克）与x 之间的函数关系式为草莓价格m （单位：元/千克）与x 之间的函数关系如图所示．（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；（2）求当时，草莓价格m 与x 之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？【答案】（1）40千克 （2） （3）第10天的销售金额多【分析】（1）把x=14代入求出y 值即可；（2）用待定系数法求解，设m 与x 之间的函数关系式为，把(4,24),(12,16)代入，求出k ，b 值即可求解；（3）把x=8，x=10分别代入y=12x ，求出y ，再把x=8，x=10分别代入（2）问所求解析式求出m 值，然后分别求出my 值，比较即可求解．【小问1详解】解：∵当时，，∴当时，（千克）．12010,203201016,x x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩（）（）412x ≤≤28m x =-+20320y x =-+m kx b =+1016x <≤20320y x =-+14x =201432040y =-⨯+=∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．【小问2详解】解：当时，设草莓价格m 与x 之间的函数关系式为，∵点在的图像上，∴解得，∴函数关系式为．【小问3详解】解：∵当时，，∴当时，，当时，．∵当时，，∴当时，，当时，．∴第8天的销售金额为：（元），第10天的销售金额为：（元）．∵，∴第10天的销售金额多．23. 如图，为的切线，C 为切点，D 是上一点，过点D 作，垂足为F ，交于点E ，连接并延长交于点G ，连接，已知．（1）若的半径为5，求的长；（2）试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．412x ≤≤m kx b =+()()4,24,12,16m kx b =+424,1216.k b k b +=⎧⎨+=⎩1,28.k b =-⎧⎨=⎩28m x =-+010x ≤≤12y x =8x =12896y =⨯=10x =1210120y =⨯=412x ≤≤28m x =-+8x =82820m =-+=10x =102818m =-+=96201920⨯=120182160⨯=21601920>AB O e O e DF AB ⊥DF O e EO O e ,,CG OC OD 2DOE CGE ∠=∠O e CG DE EF【答案】（1） （2），证明见解析【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O 作，垂足为H ，根据题意得，，即四边形是矩形，所以， 根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OD ，根据HL 得，即可得，所以，即可得．【小问1详解】解：如图所示，连接．∵，∴，∵，∴，∵为的切线，C 为切点，∴，2DE EF =2COE CGE ∠=∠2DOE CGE ∠=∠COE DOE ∠=∠OC AB ⊥90OCB ∠=︒90DFB ∠=︒90OCB DFB ∠=∠=︒OC DF ∥ODE V 60DOE ∠=︒30CGE ∠=︒10GE =90GCE ∠=︒Rt GCE V OCE △30ECF ∠=︒Rt CEF V 12EF CE =2DE EF =CE OH DF ⊥90OCB DFC ∠=∠=︒OCFH CF OH =DE OE =Rt CFE Rt OHE V V ≌EF EH =DH EH EF ==2DE EF =CE »»CECE =2COE CGE ∠=∠2DOE CGE ∠=∠COE DOE ∠=∠AB O e OC AB ⊥∴，∵，垂足为F ，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∴．∵的半径为5，∴，∵是的直径，∴，∴在中，．【小问2详解】，证明如下证明：方法一：如图所示，90OCB ∠=︒DF AB ⊥90DFB ∠=︒90OCB DFB ∠=∠=︒OC DF ∥COE OED ∠=∠DOE OED ∠=∠OD DE =OD OE =ODE V 60DOE ∠=︒30CGE ∠=︒O e 10GE =GE O e 90GCE ∠=︒Rt GCEV cos 10cos30GC GE CGE =⋅∠=⨯︒=2DE EF =∵，∴，∴．∵，∴为等边三角形，∴．∵，∴．∴在中，，∴，即；方法二：如图所示，连接，过点O 作，垂足为H ，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵是等边三角形，∴，60COE DOE ∠=∠=︒»»CEDE =CE DE =OC OE =OCE △60OCE ∠=︒90OCB ∠=︒30ECF ∠=︒Rt CEF V 12EF CE =12EF DE =2DE EF =CE OH DF ⊥90OHF ∠=︒90OCB DFC ∠=∠=︒OCFH CF OH =ODE V DE OE =∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴CE=OD ，∵，在和中，∴（HL ），∴，∴，∴．24. 如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．OH DF ⊥DH EH =COE DOE ∠=∠»»CEDE =CE DE =CE OE =CF OH =Rt CFE △Rt OHE △CE OD CF OE=⎧⎨=⎩Rt CFE Rt OHE V V ≌EF EH =DH EH EF ==2DE EF =ABCD AC 5AB AC ==6BC =E F AD F E AE DF =CE CE BA G M BC AM MF MF CE N①若，求的长；②在满足①的条件下，若，求证：；（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．【答案】（1）①；②证明见解析 （2）【分析】（1）①解：根据平行四边形的性质可证，得到，再根据，，，结合平行四边形的性质求出的长，代入比例式即可求出的长；②先根据证明可得，再根据，求出，进一步证明，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论．（2）如图，连接，先根据证明，再结合，说明，利用平行线分线段成比例定理可得，接着证明，可得到，设，则，根据构建方程求出，最后利用可得结论．【小问1详解】①解：如图，∵四边形是平行四边形，，，∴，，，，∴，，∴，∴，32AE =AG EN NC =AM BC ⊥GF H GF EH EHG EFG CEF ∠=∠+∠2HF GH =EF 532ABCD AGE DCE △∽△AG AE DC DE=5AB AC ==6BC =32AE =DE AG ASA ENF CNM △≌△EF CM =32AE =AE DF =3EF =BM MC =CF SAS AEC DFC △≌△EHG EFG CEF ∠=∠+∠EH CF ∥12GE EC =AGE DCE △∽△12AE DE =AE x =2DE x =6AD AE DE =+=x EF AD AE DF =--ABCD 5AB AC ==6BC =AB CD P AD BC ∥5DC AB ==6AD BC ==GAE CDE ∠=∠AGE DCE ∠=∠AGE DCE △∽△AG AE DC DE =∴，∵，∴，∴，∴，∴的长为．②证明：∵，∴，∵，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，AG DE DC AE =g g 32AE =39622DE AD AE =-=-=93522AG =⨯53AG =AG 53AD BC ∥EFN CMN ∠=∠EN NC =ENF △CNM V EFN CMN EN CNENF CNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ENF CNM ASA △≌△EF CM =32AE =AE DF =32DF =3EF AD AE DF =--=∴，∵，∴，∴，∵，∴．【小问2详解】如图，连接，∵，，∴，∴，∵，在和中，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∵，3CM =6BC =3BM BC CM =-=BM MC =AB AC =AM BC ⊥CF AB AC =AB DC =AC DC =CAD CDA ∠=∠AE DF =AEC △DFC △AC DC CAD CDAAE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AEC DFC SAS △≌△CE CF =CFE CEF∠=∠EHG EFG CEF ∠=∠+∠EHG EFG CEF EFG CFE CFG ∠=∠+∠=∠+∠=∠EH CF ∥GH GE HF EC =2HF GH =∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，即，∴，∴．∴的长为．25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标是，顶点C 的坐标是，M 是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y 轴交于点G ．12GE EC =AB CD P GAE CDE ∠=∠AGE DCE ∠=∠AGE DCE △∽△AE GEDE CE =12AE DE =2DE AE =AE x =2DE x =6AD =26AD AE DE x x =+=+=2x =2AE =2DF =2EF AD AE DF =--=EF 22(0)y ax c a =+≠(2,0)(0,4)AM（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N 是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N 与点M 关于y 轴对称；（3）如图2，直线与y 轴交于点H ，是否存在点M ，使得．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）如图．过点M 作轴，垂足为D ．当与都以为底时，可得．再求解，，直线的解析式为．直线的解析式为，可得 ．从而可得答案；（3）过点M 作轴，垂足为E ．设，则．由，可得．同理可得．再利用，建立方程方程即OM AOG MOG V V ，12,S S 122S S =CN AM ∥BM 27OH OG -=24y x =-+115,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MD y ⊥AOG V MOG V OG 2OA MD =(2,0)A -(1,3)M AM 2y x =+CN 4y x =+(1,3)N -ME x ⊥()24M m m -+，24OE m ME m ==-+，tan tan MBE HBO ∠=∠()()22422242m EM BO OH m m BE m -+⋅===+=+-()()22422422m EM AO OG m m AE m -+⋅===-=-+27OH OG -=可．【小问1详解】解：∵抛物线与x 轴交于点，顶点为，∴解得∴该抛物线的解析式为．【小问2详解】证明：如图．过点M 作轴，垂足为D ．当与都以为底时，∵，∴．当时，则，解得．∵，∴，∴．设点M 的坐标为，∵点M 在第一象限，∴，∴，∴．设直线的解析式为，2y ax c =+(2,0)B (0,4)C 404a c c +=⎧⎨=⎩，．14a c =-⎧⎨=⎩，．24y x =-+MD y ⊥AOG V MOG V OG 122S S =2OA MD =0y =240x -+=122,2x x =-=(2,0)B (2,0)A -21OA MD ==，()24m m -+，1m =243m -+=(1,3)M AM 11y k x b =+∴解得∴直线解析式为．设直线的解析式为，∵直线，∴，∴，∵，∴．∴直线的解析式为，将其代入中，得，∴，解得．∵点N 在第二象限，∴点N 的横坐标为，∴，∴．∵，∴点N 与点M 关于y 轴对称．【小问3详解】如图．存在点M ，使得．理由如下：过点M 作轴，垂足为E ．∵，∴．的1111203k b k b -+=⎧⎨+=⎩，．1112k b =⎧⎨=⎩，．AM 2y x =+CN 22y k x b =+CN AM ∥211k k ==2y x b =+(0,4)C 24b =CN 4y x =+24y x =-+244x x +=-+20x x +=1201x x ==-，1-3y =(1,3)N -(1,3)M 27OH OG -=ME x ⊥()24M m m -+，24OE m ME m ==-+，∵，∴，∴．在和中，∵，∴，∴．∵，∴，在和中，∵，∴，∴．∵，∴，∴．当时，，∴．∴存在点，使得．(2,0)B 2OB =2BE m =-Rt BEM V Rt BOH V tan tan MBE HBO ∠=∠EM OH BE BO=()()22422242m EM BO OH m m BE m -+⋅===+=+-2OA =2AE m =+Rt AOG V Rt AEM V tan tan GAO MAE ∠=∠OG EM AO AE =()()22422422m EM AO OG m m AE m -+⋅===-=-+27OH OG -=()()224427m m +--=12m =12m =21544m -+=115,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭115,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭27OH OG -=。

内蒙古包头市乌兰察布市2022年中考数学试题（word版含解析）2022年内蒙古包头乌兰察布市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2022包头）在，0，﹣1，A．B．0C．﹣1D．这四个实数中，最大的是（）2．（3分）（2022包头）2022年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（）A．12.8某10美元B．1.28某10美元1213C．1.28某10美元D．0.128某10美元3．（3分）（2022包头）下列计算结果正确的是（）A．2a+a=3aB．（﹣a）a=﹣aC．（﹣）=4D．（﹣2）=﹣14．（3分）（2022包头）在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A．B．3C．D．2336236﹣210115．（3分）（2022包头）一组数据5，2，某，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（）A．2B．C．10D．6．（3分）（2022包头）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1B．0C．1D．27．（3分）（2022包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2B．3C．4D．68．（3分）（2022包头）下列说法中正确的是（）A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C．“同位角相等”这一事件是不可能事件D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件9．（3分）（2022包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．10．（3分）（2022包头）观察下列各数：1，，，的第6个数为（）A．B．C．D．，…，按你发现的规律计算这列数πB．πC．πD．π11．（3分）（2022包头）已知下列命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则in∠A＞inB；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；③若a＞b，则a（m+1）＞b（m+1）；④若|﹣某|=﹣某，则某≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④12．（3分）（2022包头）如图，已知二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象与某轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线某=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当某＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b＞8a；其中正确的结论是（）2222A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2022包头）计算：（14．（3分）（2022包头）化简：（a﹣15．（3分）（2022包头）已知关于某的一元二次方程某+2﹣）某=．）÷=．某﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（3分）（2022包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，则n=．17．（3分）（2022包头）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C （3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．（用“＜”连接）18．（3分）（2022包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，inB=，则线段AC的长为．19．（3分）（2022包头）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为．=，则3S△BDG=13S△DGF．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）21．（8分）（2022包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．22．（8分）（2022包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．24．（10分）（2022包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE=DFDB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．2上一点，且∠BDE=∠CBE，25．（12分）（2022包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．①t为何值时，l经过点C？②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．26．（12分）（2022包头）已知抛物线y=某+b某+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△A OC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．22022年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2022包头）在，0，﹣1，A．B．0C．﹣1D．这四个实数中，最大的是（）考点：实数大小比较．分析：利用任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．解答：解：∵正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，0＜＜1，1＜∴﹣1＜0＜＜＜2，，故选D．点评：本题主要考查了比较实数的大小，掌握任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，是解答此题的关键．2．（3分）（2022包头）2022年中国吸引外国投资达1280亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国，将1280亿美元用科学记数法表示为（）1011A．12.8某10美元B．1.28某10美元1213C．1.28某10美元D．0.128某10美元考点：科学记数法—表示较大的数．n分析：科学记数法的表示形式为a某10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．11解答：解：1280亿=128000000000=1.28某10，故选：B．n点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a 某10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2022包头）下列计算结果正确的是（）A．2a+a=3aB．（﹣a）a=﹣aC．（﹣）=4D．（﹣2）=﹣1考点：同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．336236﹣20分析：根据同底数幂的乘法的性质，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、2a+a=3a，故错误；235B、（﹣a）a=a，故错误；C、正确；D、（﹣2）=1，故错误；故选：C．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，理清指数的变化是解题的关键．4．（3分）（2022包头）在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A．B．3C．333D．2考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：设BC=某，则AB=3某，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．解答：解：设BC=某，则AB=3某，由勾股定理得，AC=2某，tanB===2，故选：D．点评：本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．5．（3分）（2022包头）一组数据5，2，某，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（）A．2B．C．10D．考点：方差；算术平均数．分析：根据平均数的公式求出某的值，根据方差公式求出方差．解答：解：由题意得，（5+2+某+6+4）=4，解得，某=3，=[（5﹣4）+（2﹣4）+（3﹣4）+（6﹣4）+（4﹣4）]=2，故选：A．点评：本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．方差S=[（某1﹣）+（某2﹣）+…+（某n﹣）]．6．（3分）（2022包头）不等式组的最小整数解是（）2222222222A．﹣1B．0C．1D．2考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．解答：解：，解①得某＞﹣1，解②得某≤3，不等式组的解集为﹣1＜某≤3，不等式组的最小整数解为0，故选B．点评：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．（3分）（2022包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2B．3C．4D．6考点：正多边形和圆．分析：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BCAD，即可得出结果．解答：解：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD=∴BC=2，某3=3；，∴△ABC的面积=BCAD=某2故选：B．点评：本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（3分）（2022包头）下列说法中正确的是（）A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C．“同位角相等”这一事件是不可能事件D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件考点：随机事件；列表法与树状图法．分析：根据概率的意义，可判断A；根据必然事件，可判断B、D；根据随机事件，可判断C．解答：解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，故A错误；B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故B正确；C、同位角相等是随机事件，故C错误；D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，故D错误；故选：B．点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．（3分）（2022包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π考点：扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．分析：根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．解答：解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，故选：A．点评：本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．10．（3分）（2022包头）观察下列各数：1，，，的第6个数为（）A．B．C．D．，…，按你发现的规律计算这列数考点：规律型：数字的变化类．分析：观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．解答：解：观察该组数发现：1，，，，…，第n个数为，当n=6时，==．故选C．点评：本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为11．（3分）（2022包头）已知下列命题：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则in∠A＞inB；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；③若a＞b，则a（m+1）＞b（m+1）；④若|﹣某|=﹣某，则某≥0．其中原命题与逆命题均为真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：命题与定理．分析：先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真假即可．．22解答：解：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则in∠A＞inB，原命题为真命题，逆命题是：在Rt△ABC中，∠C=90°，若in∠A＞inB，则∠A＞∠B，逆命题为真命题；②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc，原命题为真命题，逆命题是：四条线段a，b，c，d中，若ad=bc，则=，逆命题为真命题；③若a＞b，则a（m+1）＞b（m+1），原命题为真命题，22逆命题是：若a（m+1）＞b（m+1），则a＞b，逆命题为真命题；④若|﹣某|=﹣某，则某≥0，原命题为假命题，逆命题是：若某≥0，则|﹣某|=﹣某，逆命题为假命题．故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（3分）（2022包头）如图，已知二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象与某轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线某=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当某＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b＞8a；其中正确的结论是（）2222A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①先由抛物线的对称性求得抛物线与某轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当某＞3时，y＜0；②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据某=﹣=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a＜0；2③设抛物线的解析式为y=a（某+1）（某﹣3），则y=a某﹣2a某﹣3a，令某=0得：y=﹣3a．由抛2物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣b＞8a得c﹣2＜0与题意不符．解答：解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与某轴令一个交点的坐标为（3，0），当某＞3时，y＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a＜0，∵某=﹣=1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a（某+1）（某﹣3），则y=a某﹣2a某﹣3a，令某=0得：y=﹣3a．∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤﹣3a≤3．解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由4ac﹣b＞8a得：4ac﹣8a＞b，∵a＜0，∴c﹣2＜∴c﹣2＜0∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选：B．点评：本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2022包头）计算：（﹣）某=8．222考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣=9﹣1=8，故答案为：8点评：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）（2022包头）化简：（a﹣考点：分式的混合运算．专题：计算题．）÷=．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式===，故答案为：点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（3分）（2022包头）已知关于某的一元二次方程某+数根，则k的取值范围是k≥1．考点：根的判别式．2某﹣1=0有两个不相等的实分析：根据二次根式有意义的条件和△的意义得到到k的取值范围．解答：解：∵关于某的一元二次方程某+∴解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．，2，然后解不等式组即可得某﹣1=0有两个不相等的实数根，故答案为：k≥1．22点评：此题考查了一元二次方程a某+b某+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．16．（3分）（2022包头）一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，则n=1．考点：概率公式．分析：由一个不透明的布袋里装有5个球，其中4个红球和1个白球，它们除颜色外其余都相同，现将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是红球的概率为，即可得方程：=，解此分式方程即可求得答案．解答：解：根据题意得：=，解得：n=1，经检验：n=1是原分式方程的解．故答案为：1．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）（2022包头）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C （3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y2＜y1＜y3．（用“＜”连接）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．解答：解：∵反比例函数y=中k=3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随某的增大而减小．∵﹣2＜﹣1＜0，∴点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，且0＞y1＞y2．∵3＞0，∴点C（3，y3）位于第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．（3分）（2022包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O 的直径，若⊙O的半径是4，inB=，则线段AC的长为2．考点：圆周角定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则inD=inB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．解答：解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴inD=inB=，在Rt△ACD中，∵inD=∴AC=AD=某8=2．故答案为2．=，点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．19．（3分）（2022包头）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为．考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．分析：首先连接AC，再根据余弦定理，求出AC的长度是多少；然后根据菱形的性质，判断出AC⊥BD，再根据EG⊥BD，可得EG∥AC，所以可．，据此求出EG的长为多少即解答：解：如图1，连接AC，∵菱形ABCD的边长是∴AC=∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴，，∠A=60°，，=3，又∵EG=AE，∴解得EG=∴EG的长为，．，故答案为：．点评：（1）此题主要考查了翻折变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．=，则3S△BDG=13S△DGF．其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）考点：四边形综合题．分析：先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确；由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；由△BGD是等腰直角三角形得到BD=过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF=DFGM=解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，=，求得S△BDG=某=，故④正确．=，∴AB=BE，∠AEB=45°，∵AB=CD，∴BE=CD，故①正确；，∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；∵△DCG≌△BEG，∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，∵∠EGC=90°，∴∠BGD=90°，∵BD=∴BG=DG=∴S△BDG=某∴3S△BDG=，，==，过G作GM⊥CF于M，∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=1，∴GM=CF=，∴S△DGF=DFGM=∴13S△DGF=，=，∴3S△BDG=13S△DGF，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共60分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写出）21．（8分）（2022包头）某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图1、图2两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）本次接收随机抽样调查的男生人数为40人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为162°；（2）补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；（3）若该校七年级共有男生480人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除以总人数再乘以360°即可得出“良好”所对应的圆心角的度数；（2）用40﹣2﹣8﹣18即可；（3）用480乘以良好所占的百分比即可．解答：解：（1）8÷20%=40（人），18÷40某360°=162°；（2）“优秀”的人数=40﹣2﹣8﹣18=12，如图，（3）“良好”的男生人数：某480=216（人），答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为216人．点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22．（8分）（2022包头）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）根据已知和tan∠ADC=﹣BC求出AB；（2）根据co∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC，求出AD，根据co∠BDC=，求出BD．解答：解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，∵tan∠ADC=，，∴AC=3tan60°=3在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴BC=CD=3，∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．，（2）在Rt△ADC中，∵co∠ADC=∴AD===6米，在Rt△BDC中，∵co∠BDC=∴BD===3米．，（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设购买甲种鱼苗某尾，乙种鱼苗y尾，根据题意列一元一次方程组求解即可；（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，根据题意列不等式求出解集即可；（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，列出w与某之间的函数关系式，运用一次函数的性质解决问题．解答：解：（1）设购买甲种鱼苗某尾，乙种鱼苗y尾，根据题意可得：，解得：．答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾．（2）设购买甲种鱼苗z尾，乙种鱼苗（700﹣z）尾，列不等式得：85%z+90%（700﹣z）≥700某88%，解得：z≤280．答：甲种鱼苗至多购买280尾．（3）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，则w=3m+5（700﹣m）=﹣2m+3500，∵﹣2＜0，∴w随m的增大而减小，∵0＜m≤280，∴当m=280时，w有最小值，w的最小值=3500﹣2某280=2940（元），∴700﹣m=420．答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2940元．点评：本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数应用问题，审清题意，找到等量或不等关系是解决问题的关键．24．（10分）（2022包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE=DFDB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．2上一点，且∠BDE=∠CBE，考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．（3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出解得OA=2．==，然后根据已知条件得出===，=，，设OA=某，则PA=某，PO=2某，得出解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，=，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴=，∴DE2=DFDB；（3）解：连接DA、DO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠EBD=∠OBD，∴∠EBD=∠ODB，∴OD∥BE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=OB，∴=∴=，∴=，∵DE=2，∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，∴=，设OA=某，∴PA=某，PO=2某，∴=，2∴2某=16，某=2∴OA=2．，点评：本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（12分）（2022包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．①t为何值时，l经过点C？②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．考点：四边形综合题．分析：（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解；（3）①当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答；②当PQ的。

机密★启用前2023年初中学业水平考试试卷数学注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．下列各式计算结果为5a 的是（）A ．()23a B ．102a a ÷C ．4a a⋅D ．15(1)a --2．关于x 的一元一次不等式1x m -≤的解集在数轴上的表示如图所示，则m 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．03．定义新运算“⊗”，规定：2||a b a b ⊗=-，则(2)(1)-⊗-的运算结果为（）A ．5-B ．3-C ．5D ．34．如图，直线a b ，直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132∠=︒，则2∠的度数为（）A ．32︒B ．58︒C ．74︒D ．75︒5．几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（）A ．．．．6．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m 和作(),m n ，则点A 在双曲线6y x=上的概率是（）A ．13．12237．如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为，大正方形的面积为较小的锐角为α，则的值为（）A ．348．在平面直角坐标系中，函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（A ．23y x =-+9．如图，O 是锐角三角形为,,D E F ，连接,DE EFA ．8B ．10．如图，在平面直角坐标系中，(0,0),(23,0),(3,1),O A B △(0,0)ky k x x=>>的图象与A A ．23B ．二、填空题：本大题共有题卡上对应的横线上．11．若,a b 为两个连续整数，且12．若12,x x 是一元二次方程13．如图，正方形ABCD 的边长为角线BD 的长为半径画弧，交14．已知二次函数y =则m 的值为________．15．如图，在Rt ABC △转90︒，得到AB C ''△16．如图，,,AC AD CE是正五边形①CF平分ACD∠；②AF其中正确的结论是________三、解答题：本大题共有程或推理过程写在答题卡的对应位置．17．（1）先化简，再求值：（2）解方程：31 x= -18．在推进碳达峰、碳中和进程中，为我国某自主品牌车企请根据所给信息，解答下列问题：(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可）增加月销量的合理化建议．19．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为点在A点的南偏东25︒方向32km处，C点在A点的北偏东80BC所在直线的夹角ABC∠为45︒．(1)求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角(2)求检查点B 和C 之间的距离（结果保留根号）20．随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第x （x 为整数）x 的函数关系如图所示（图中ABC (1)当110x ≤≤时，求每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第x 个月的销售数量为m （单位：万台）1110m x =+来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入销售价格⨯销售数量）21．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是 AC 上一点，接,,AD DC CP ．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线231y x x =-++交y 轴于点A 交抛物线于,B C 两点（点B 在点C 的左侧），交y 轴于点D ，交x 轴于点(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,,AF DF CF ，且2AF EF +①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan 1PFK ∠=时，求点P 的坐标．故选：D．【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．6．A【分析】先求出点数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．【详解】解：从∵(0,0),(23,0),(O A B ∴1,3BD OD ==，∴3AD OD ==，tan ∠∴2OB AB OD BD ==+∴60OBD ABD ∠∠==∵OA B ' 与OAB 关于直线∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=∴A '，B ，D 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形ABCDE ∴ABC BCD CDE ∠∠∠===90ADB ADC ∴∠=∠=︒，45ABD ∠=︒ ，45BAD ABD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=,在Rt △ABD 中，sin AD ABD AB ∠=，2323(km)2AD ∴=⨯=．3(km)BD AD ∴==,在Rt ACD △中，tan BCA ∠ 33(km)3CD ∴==，(33)km BC BD CD ∴=+=+答：检查点B 和C 之间的距离为【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．20．(1)1503000y x =-+(2)第5个月的销售收入最多，最多为【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入=每台的销售价格函数关系，再利用函数的性质即可求解．∴90ADB ∠=︒，∴ADC ADB BDC∠=∠+∠∵BAC BDC ∠=∠，∴90ADC BAC ∠=︒+∠，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，证法二：如图，连接BC ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∴180ABC ADC ∠=︒-∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BAC ABC ∠+∠=︒，∴18090BAC ADC ∠+︒-∠=︒，∴90ADC BAC ∠-∠=︒，（2）解：如图，连接OC ，∵ACP ADC ∠=∠，90ADC BAC ∠-∠=︒，∴90ACP BAC ∠-∠=︒，∵OA OC =，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．22．(1)点Q在线段PC的垂直平分线上(2)①证明见解析，②7PQ a=（2）①证明：如图，∵四边形ABCD AB BC CD DA ∴===，ABD ADB ∴∠=∠，CBD CDB ∠=∠，BD AC ⊥ ，ADO CDO ∴∠=∠，ABD CBD ADO ∴∠=∠=∠．BAP ADB ∠=∠ ，BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠．AE BE ∴=，90APB ∠=︒ ，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒．在Rt BPE △中，90,EPB PBE ∠=︒∠ 12EP BE ∴=．AE BE = ．12EP AE ∴=，2AE EP ∴=；②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，∴BP CP EP a ==，，2,3AE a AP a∴==在Rt APB 中，90APB ∠=︒，3tan 3AP ABP BP ∠== ，3BP a ∴=．3CP BP a∴==AO CO = ，,AOE COQ OE OQ ∠=∠=AOE COQ ∴△≌△，2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠．AE CQ ∴∥，90APB ∠=︒ ，90QCP ∴∠=︒．在Rt PCQ △中，90QCP ∠=︒，由勾股定理得222PQ PC CQ =+，【点睛】题目主要考查菱形的性质，质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23．(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出()2,31t t t -++，根据题意得13t <<上时，111tan ,233PFK t ∠=<<．（ii 21tan ,233P FK t ∠=<<．求解即可．【详解】（1）解：∵直线13y x =-当0x =时，2,y =()0,2D ∴，当0y =时，6,x =()6,0E ∴．∵直线123y x =-+交抛物线于,B C当3x =时，1y =．)1(3,C ∴；（2）如图，①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D。