2020年高考数学二轮复习 规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题 理.doc

微专题15函数的单调性、极值点、极值、最值——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重要内容之一，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中.重点考查分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想，对学生的分析问题的能力要求较高，考查考生的逻辑推理、数学抽象的学科核心素养.考点一利用导数研究函数的单调性【必备知识】1、函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内(1)如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在(a,b)单调递增；(2)如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)单调递减；(3)如果f'(x)=0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是常数函数.2、由导数求单调区间的步骤(1)求定义域.(2)求导数.(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.3、两个条件(1)f'(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f'(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.4、三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【典型例题】ax2-1【例1】已知函数f(x)=ln(x-1)+当a>0时，讨论函数f(x)的单调性.x-1,【解析】函数 f ( x ) = ln( x - 1) + 的定义域为 x ∈ (1,+∞) ，则 f ' ( x ) = 1 > 1 即 a>1 时， f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,+∞) ，单调递减区间为 (0, ) ， ( 2a - 1 ,+∞) ，单调递减区间为 (0, ) 。

（ （ x⎣ ⎦ax 2 - 1x - 12ax( x - 1) - (ax 2 - 1)+=x - 1 ( x - 1)2x( x - 2a - 1 )a ( x - 1)2 ，令 f ' ( x ) = 0 解得 x =2a - 1a，当 2a - 1 a= 1 即 a=1 时， f ' ( x ) = x ( x - 1)2> 0 恒成立，则 f ( x ) 的单调递增区间为 (1,+∞) ，当2a - 1 2a - 1 2a - 1a a a当 2a - 1 a< 1 即 0<a<1 时， f ( x ) 的单调递增区间为 (1,+∞) ，综上所述：当 0 < a ≤ 1时， f ( x ) 的单调递增区间为 (1,+∞) ；当 a>1 时， f ( x ) 的单调递增区间为2a - 1 a a【方法归纳 提炼素养】——数学思想是分类讨论思想，核心素养是数学运算.利用导数讨论(证明)函数 f ( x ) 在 (a, b ) 内单调性的步骤(1)求 f ' ( x ) .(2)确认 f ' ( x ) 在 (a, b ) 内的符号.(3)得出结论: f ' ( x ) > 0 时为增函数, f ' ( x ) < 0 时为减函数.注:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类的标准（i ）按导函数是否有零点分大类； ii ）在大类中再按导函数零点的大小比较分小类； i ii）在小类中再按零点是否在定义域中分类.【类比训练 1】已知函数 f ( x ) = ( x - 1)e x + a ln( x + 1) - ax + b , x ∈ [0,1] .（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）略.【解析】（1） f ' (x ) = x + 1 ⎡(x + 1)e x - a ⎤ ，令 g (x ) = (x + 1)e x - a ， x ∈ [0,1]，则 g ' (x ) = (x + 2)e x > 0 ，则 g (x ) 在 [0,1] 上单调递增，∪.若 a ≤ 1 ，则 g (x ) ≥ g (0) = 1 - a ≥ 0 ，则 f ' (x ) = x ⋅ g x ≥ 0 ，则 f (x ) 在 [0,1] 上单调递增；∪.若 a ≥ 2e ，则 g (x ) ≤ g (1) = 2e - a ≤ 0 ，则 f ' (x ) = x ⋅ g x ≤ 0 ，则 f (x ) 在 [0,1] 上单调递减；所以 f ' (1) = - 1 = 0 ，所以切线的斜率为 0，所以切线方程为 y = -1 .（2）因为 f ' ( x ) = 1≥ e ，即 0 < m ≤ < e ，即 < m < 1 时，在 (1, ) 上 h ( x ) > 0 ，函数 f ( x ) 在 (1, ) 上单调递增，在 ( , e )( )x + 1( ) x + 1∪.若 1 < a < 2e ，则 g (0) = 1 - a < 0 ， g (1) = 2e - a > 0 ，又 g (x ) 在 [0,1] 上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数 x ∈ (0,1)，使得 g (x ) = (x + 1)e x 0- a = 0 ，当 x ∈ [0, x ) 时， g (x ) < 0 ，则 f ' (x ) < 0 ，则 f (x ) 在 [0, x )上单调递减， 0当 x ∈ [x ,1]时， g (x ) ≥ 0 ，则 f ' (x ) ≥ 0 ，则 f (x ) 在 [x ,1] 上单调递增.综上，当 a ≤ 1 时， f (x ) 在 [0,1] 上单调递增；当 a ≥ 2e 时， f (x ) 在 [0,1] 上单调递减；当 1 < a < 2e 时，存在唯一实数 x ∈ (0,1)，使得 (x + 1)e x 0= a ，f (x ) 在 [0, x )上单调递减，在 [x ,1] 上单调递增.【类比训练 2】已知函数 f ( x ) = ln x - mx (m ∈ R) .（1）若 m=1，求曲线 y = f ( x ) 在点 P(1,-1) 处的切线方程；（2）讨论函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上的单调性.【解析】（1）若 m=1，则 f ( x ) = ln x - x ， f '( x ) = 1- 1 ，x111 - mx- m = x x，令 h ( x ) = -mx + 1 ， h ( x ) 是过点（0,1）的一次函数，∪当 m ≤ 0 时，在 (1, e ) 上 h ( x ) > 0 ， f ' ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上单调递增.∪当 m > 0 时， h ( x ) 在 (1, e ) 上是减函数，由 h ( x ) 的图像可知，（i ）当 11时，x ∈ (1, e ), h( x ) > 0, f ' ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上单调递增；m e（ii ）第1 < 1 1 1 1 1m e m m m上 h ( x ) < 0 ， f ( x ) 在 ( 1 m, e ) 上单调递减；（iii ）第 0 < 1≤ 1 ，即 m ≥ 1时， x ∈ (1, e ), h( x ) < 0, f ' ( x ) < 0 ，函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上单调递减.m考点二利用导数求函数的极值（点）【必备知识】1、函数的极值与导数若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在x=a附近的其他值都小，f'(a)=0，并且在x=a的左侧f'(x)<0，在x=a的右侧f'(x)>0，那么点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在x=b附近的其他值都大，f'(b)=0，并且在x=b的左侧f'(x)>0，在x=b的右侧f'(x)<0，那么点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数的极小值.注：极值点一点是方程f'(x)=0的根；但方程f'(x)=0的根不一定是函数的极值点。

第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值、最值一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-；（2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得2()63f x x '=-. 令2()630f x x '=->，解得2x <-或2x >. 当(,2x ∈-∞-时，函数为增函数；当,)2x ∈+∞时，函数也为增函数.令2()630f x x '=-<，解得22x -<<当()22x ∈-时，函数为减函数. 故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和()2+∞，单调递减区间为(,22-. （2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x-+'=-=. 令()0f x '>，解得x >；令()0f x '<，解得0x <<. 故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x2x －x2.令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x2＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)． 令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．【举一反三】【套路总结】用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间 ①求函数的定义域D ②求导'()f x③解不等式'()f x ＞()<0得解集P④求DP ,得函数的单调递增（减）区间。

§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是 . 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为 .答案 (2，＋∞)6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 7.函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 . 答案 [－1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的递增区间为(1，＋∞). 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为(1，＋∞).(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3， 所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上是减少的，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上是增加的，则函数g (x )＝a |x －2|的递减区间是 .答案 (－∞，2]解析 因为f (x )在R 上是增加的，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的递减区间就是y ＝|x －2|的递减区间(－∞，2].(3)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图像，由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为 .答案 [－1,1)解析 由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1).2.函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为 . 答案2解析 由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3.函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为 . 答案 [3，＋∞)解析 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞). 4.当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为 .答案 85解析 由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是 . 答案 (－5，－2)∪(2，5)解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上是增加的，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是增加的， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是减少的， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图像的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图像的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x >12或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝⎝⎛⎭⎫12xD.y ＝x ＋1x答案 A解析 函数y ＝ln(x ＋2)的递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 2.函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (－3)>f (－2) B.f (π)>f (－2)>f (－3) C.f (π)<f (－3)<f (－2) D.f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2).又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 即f (π)>f (－3)>f (－2).4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是减少的，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134，故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数， 知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 答案 D解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上是增加的，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).。

❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.❸对于∀x 1，x 2∈D ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.❻若函数f x 的值域是开区间，则函数无最值；若函数f x 的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是最值.1．函数的单调性❶(1)增函数、减函数如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间❺.2．函数的最值❻12(1)任意性；(2)有大小，即x 1＜x 2(x 1>x 2)； (3)属于同一个单调区间. 对于∀x 1，x 2∈D ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0或f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(4)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .[熟记常用结论]1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)f (x )与a ·f (x )在a >0时具有相同的单调性，在a ＜0时具有相反的单调性． (2)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．(3)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f (x )·g (x )也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f (x )·g (x )是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.2．函数f (x )＝－x ＋1x 在区间⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A.32 B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ∵函数y ＝－x 与y ＝1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－13上都是减函数，∴函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上是减函数，故f (x )的最大值为f (－2)＝2－12＝32.3．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]4．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 5．若函数f (x )满足“对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则满足f (2x －1)＜f (1)的实数x 的取值范围为________．解析：由题意知，函数f (x )在定义域内为减函数， ∵f (2x －1)＜f (1)，∴2x －1>1， 即x >1，∴x 的取值范围为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)考点一 确定函数的单调性区间[全析考法过关][考法全析]考法(一) 确定不含参函数的单调性(区间)[例1] (1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． [解析] (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2. 如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)． (2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)． [答案] (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 考法(二) 确定含参函数的单调性(区间)[例2] 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] 法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1>0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝axx －1－ax x －1x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a ＜0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[规律探求][过关训练]1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 2的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1.故选D. 2．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0＜x 1＜x 2≤a 时， 0＜x 1x 2＜a ，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 函数单调性的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 比较函数值的大小[例1] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c[解析] 由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，∴b >a >c . [答案] D考法(二) 解函数不等式[例2] (1)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x＜1.故选C.(2)因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增， 所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2， 解得0≤a ＜1. [答案] (1)C (2)[0,1)考法(三) 利用函数的单调性求参数[例3] 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，3a －11＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. [答案] ⎣⎡⎭⎫18，13[规律探求][过关训练]1．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B 因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，f (x 1)＜f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)＜0，f (x 2)>0.故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.3．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12＜f (log 19x )＜f ()0， ∴log 19x >12或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0＜x ＜13或1＜x ＜3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0＜x ＜13或1＜x ＜3考点三 函数的最值[师生共研过关][典例精析](1)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为( )A.14 B.12 C.22D.32(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－x ＋12＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，所以m M ＝22.(2)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. [答案] (1)C (2)2[解题技法]求函数最值(值域)的常用方法[过关训练]1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6.答案：62．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14. 答案：143．设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. 答案：92[课时跟踪检测]一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D 函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上为减函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B.4．函数f (x )＝x 1－x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C 因为f (x )＝－1－x ＋11－x ＝－1＋11－x，所以f (x )的图象是由y ＝－1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到，而y ＝－1x的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C. 5．(2019·赣州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析：选B 由题知，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22 D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a 2∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]． 7．函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1， 且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0，所以－1≤m ＜2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 解析：选D 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 9．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2. 又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧ －a 2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x 的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x ≤12.令t ＝1－2f x ，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78.答案：⎣⎡⎦⎤79，78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(－1,1]B ．(－∞，1)C ．[1,3)D ．(1，＋∞)解析：选C 令t ＝－x 2＋2x ＋3，由－x 2＋2x ＋3>0，得－1＜x ＜3.函数t ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴方程为x ＝1，则函数t ＝－x 2＋2x ＋3在[1,3)上为减函数，而函数y ＝log 13t 为定义域内的减函数，所以函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是[1,3)．2．(2019·西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是() A ．(0,1] B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，12B.⎣⎡⎦⎤14，12C.⎝⎛⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫12，1 解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上， 所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)(二)技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n >0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n >0 解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数，∴F (x )是R 上的减函数，∴当m ＜n 时，有F (m )>F (n )，即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A.6．[三角换元法]函数y ＝x ＋－x 2＋10x －23的最小值为________．解析：原函数可化为：y ＝x ＋2－x －52.由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤2，令x －5＝2cos α， 那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π，于是y ＝2cos α＋5＋2sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋5. 因为α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数的最小值为5－ 2.答案：5－ 27．[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知， 当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数，所以g (x )的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通8．[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．9．[数学运算]已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， 所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25. 10．[数学运算]已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2. 即a 的取值范围为(2，＋∞)．。

2020年高考理科数学一轮总复习：函数的单调性与最值第2讲 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值 导师提醒1．掌握函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．注意单调性的两个易错点(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．3．记牢五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上( ) A ．递减 B ．递增C ．先递减后递增D ．先递增后递减解析：选C.因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x ＝3，所以函数y ＝x 2－6x ＋10在(2，3)上为减函数，在(3，4)上为增函数．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：(－∞，－12)(教材习题改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 求函数的单调区间(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上递增．法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2， 所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为单调减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为单调增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是________．解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)． 答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增．函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜e ，所以f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)， 所以b ＞a ＞c . 【答案】 D角度二 解函数不等式定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)【解析】 因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C. 【答案】 C角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2019·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)【解析】 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －（a ＋2），由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.所以a 的取值范围是a ≤－3.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.【答案】 (1)C (2)D函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：选D.因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.2．(2019·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)． 故选B.函数的最值问题(师生共研)(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．(2)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为________．【解析】 (1)因为y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0.当x ＞1时，y ＝x ＋6x ≥26，当且仅当x ＝6时，等号成立，此时f (x )min ＝26－6.又26－6＜0， 所以f (x )min ＝26－6.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}，由题意知y ＞0，则y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－（x ＋1）2＋4， 当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22； 当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2， 所以m M ＝22.【答案】 (1)26－6 (2)22求函数最值的5种常用方法及其思路1．(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． 解析：法一：令t ＝x －1， 且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.答案：12．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一坐标系中， 作函数f (x )，g (x )图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：13．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6.答案：6函数单调性问题中的核心素养已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 【解】 (1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1.在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3， 解得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}．依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8，9]C ．[8，9]D ．(0，8)解析：选B.2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)， 由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8＜x ≤9.[基础题组练]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x解析：选A.对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ′＝e x －1，而当x ∈(0，＋∞)时，y ′＞0，所以函数y ＝e x －x 在(0，＋∞)上是增函数．2．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D.由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增．故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．5．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)， 因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1. 11．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2]时，－1≤f (x )≤0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．[综合题组练]1．(应用型)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.3．(2019·西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.要使y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，所以a ≥1.故选C.4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D.因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．5．(应用型)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是__________．解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得到函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2处取得最大值6.答案：66．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax－2)，其中a 是大于0的常数．(1)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(2)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．。

第五课时 函数的单调性与最值知识记忆1.函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间.2.函数的最值【知识拓展】 函数单调性的常用结论(1)()()()()12121212,,0f x f x x x D x x f x Dx x -∀∈=>⇔-对在上是增函数，()()()12120f x f x f x D x x -<⇔-在上是减函数。

(2()()0,a y x a x=+>-∞∞对勾函数的增区间为和 ， )(00⎡⎣减区间为和.(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数()()f g x 的单调性与函数()()y f u u g x ==和的单调性的关系是“同增异减”.课前预习1.下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是________.(填序号) ∈1y x =；∈21y x =-； ∈1y x =-；∈()221y x =-.2.函数2,0,,0x x y x x ≥⎧=⎨<⎩的单调增区间为__________；单调减区间为__________. 3.已知函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上是增函数，则实数a 的取值范围为_________.4.(2017·盐城模拟)函数()2230y x x x =+->的单调增区间为________.5.已知函数()[]2,2,6,1f x x x =∈-则()f x 的最大值为________，最小值为________. 课堂讲解题型一 确定函数的单调性(区间) 考点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)(2017·连云港模拟)函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是______________.(2)223y x x =-++的单调增区间为____________.考点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数()()2=01axf x a x >-，用定义法判断函数()f x 在()1,1-上的单调性.思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“⋃”连接.(1)已知函数()223f x x x =--，则该函数的单调递增区间为__________.(2)已知函数()()2ln f x x mx m R =+∈，求函数()f x 的单调区间.题型二 函数的最值例3 (1)函数()21,12,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为________.(2)已知()[)22,1,,1x x af x x a x++=∈+∞≤且. ∈当12a =时，求函数()f x 的最小值； ∈若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(1)函数1y x x =+-的最小值为________.(2)函数()()28=11x f x x x +>-的最小值为________.题型三 函数单调性的应用 考点1 比较大小例4 已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()()21210f x f x x x -⋅-<⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为____________. 考点2 解函数不等式例5 (2017·苏州月考)定义在R 上的奇函数()y f x =在()+∞0，上递增，且1=02f ⎛⎫⎪⎝⎭，则满足19(log )0f x >的x 的集合为________________.考点3 求参数范围例6 (1)如果函数()2=23f x ax x +-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知()()()21,1,1xa x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，那么a 的取值范围是________.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.∈视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；∈需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ∈分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(2017·徐州模拟)已知函数()1=xxf x x e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，若()()12f x f x <，则下面正确的式子为________. ∈12x x >;∈12+=0x x ；∈12x x <;∈2212x x <.课后练习1.(2017·南京模拟)下列函数中，在区间()1+∞，上是增函数的是________.∈1y x =-+； ∈11y x=-； ∈()21y x =--;∈13xy -=.2.函数()=2f x x x -的单调减区间是__________.3.(2017·宿迁模拟)要使函数22x ky x +=-与()3log 2y x =-在()3+∞，上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________.4.定义新运算⊕：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数()()()[]=12,2,2f x x x x x ⊕-⊕∈-的最大值等于________.5.已知(),1=42,12x a x f x a x x ⎧>⎪⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________.6.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ∈f (0)＝0；∈f (x 3)＝12f (x )；∈f (1－x )＝1－f (x ).则f (13)＋f (18)＝________.7.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.8.函数()f x )2(log 31)(2+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x在区间[－1，1]上的最大值为________.9.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10.已知()f x f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.f x f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2(a＞0)在区间[0，1]内11.(2017·江苏新海中学期中)已知函数()有一个最大值－5，则a的值为________.12.(2017·江苏泰州中学月考)已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝________.f x f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a的值.13.函数()f x f(x)＝－(x＋1)2＋2|x＋1|＋3.14.(2017·江苏南通中学质检)已知函数()f x的单调区间，并指出相应的单调性；(1)试求函数()(2)若f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1)恒成立，试求实数a的取值范围.第五课时 函数的单调性与最值 参考答案课前预习1答案 ②2答案 [)+∞0,(),0-∞ 3答案(],1-∞4答案()+∞0,5答案 2 25课堂讲解1答案 (1)(),2-∞- (2) (][],1,0,1-∞- 2解 设1211x x -<<<，则()()12122212=11ax ax f x f x x x ---- ()()()()()()22211212121222221212+1+==1111a x x x x ax x ax ax x ax x x x x ------- ∵1211x x -<<<，∴210,x x ->12+10,x x > ()()2212110x x -->. 又∵0a >，∴()()12>0f x f x -，∴函数()f x 在()1,1-上为减函数.3（1）答案 [)3,+∞（2）解 (导数法)依题意知()f x 的定义域为()0,+∞.对()f x 求导，得()2'1122mx f x mx x x +=+=. 当0m ≥ 时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上单调递增.当0m <时，令()'0f x =，得x =当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >，所以()f x在⎛ ⎝上单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0f x <，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减 4（1）答案 2（2）解 ①当12a =时，()1=22f x x x++，又[)1,x ∈+∞，所以()'21102f x x =->，即()f x 在[)1,+∞上是增函数， 所以()()min 17112212f x f ==++=⨯. ②()[)=2,1,a f x x x x++∈+∞. (ⅰ)当0a ≤时，()f x 在[)1,+∞内为增函数.最小值为()1=3f a +.要使()0f x >在[)1,x ∈+∞上恒成立，只需30a +>，所以30a -<≤.(ⅱ)当01a <≤时，()'21,2a f x x =-因为[)1,x ∈+∞，所以()'0f x ≥，即()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()min 13f x f a ==+，即30,3,a a +>>-所以0 1.a <≤综上所述，()f x 在[)1,+∞上恒大于零时，a 的取值范围是(]3,1-.5答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y x =+[)1,+∞上为增函数，∴min 11x y ==时，.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法) ()()()()221+21+98==119=1++21x x x f x x x x x --+---≥-当且仅当()91=1x x --，即min 48x y ==时，. 方法二 (导数法) ()()()()'2421x x f x x -+=-， 令()'0f x =，得=4x 或=2x - (舍去).当14x << 时，()'0f x <，()f x 在()1,4上是递减的；当4x > 时，()'0f x >，()f x 在()4+∞，上是递增的， 所以()f x 在=4x 处取到极小值也是最小值，即min ()(4)8f x f ==6答案 b a c >>7答案 10133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎩⎭或 8答案 (1)1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (2)3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9答案 ④ 课后练习1答案 ②2答案 []1,23答案 (),4-∞4答案 65答案 [)4,86答案 347答案 [1，＋∞)8答案 39答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧ 2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a 2.函数的单调递增区间为[－a 2，＋∞)，∴－a 2＝3，∴a ＝－6.10答案 (－∞，－2)11答案 5412答案 113解 ()f x f (x )＝4(x －a 2)2－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数()f x 在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0，4)，舍去.③当a 2≥2，即a ≥4时，函数()f x 在[0，2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.14解 (1)当x ≥－1时， ()f x f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即()f x f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ≥－1，－x ＋22＋4x <－1， 其大致图象如图所示.由图易知函数()f x 在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减.(2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数()f x 在(0，＋∞)上单调递减，故由f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1)，得2a2＋a＋1>3a2－2a＋1，即a2－3a<0，解得0<a<3，∴a的取值范围为{a|0<a<3}.。

2020年高考数学（理）专题二第二讲【函数的单调性与最值】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 热点题型一 函数单调性的判定与证明 例1、（2018年全国Ⅱ卷理数）若在是减函数，则的最大值是A.B. C.D.【变式探究】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【举一反三】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性。

热点题型二 求函数的单调区间 例2、（2018年天津卷）已知函数，，其中a >1.（I ）求函数的单调区间；【变式探究】求下列函数的单调区间。

(1)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3； (2)f (x )＝log 13(－x 2－2x ＋3)；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫132x x －； (4)y ＝3x 2－6ln x 。

【举一反三】求出下列函数的单调区间。

(1)f (x )＝|x 2－4x ＋3|；(2)f (x )＝log 2(x 2－1)；(3)f (x )＝13－2x －x 2；热点题型三 函数单调性的应用例3． (1)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增， 且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (log 19x )＞0的x 的集合为________。