2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练：(十一) Word版含解析

高考大题专攻练11.函数与导数(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=x·e x-1-a(x+lnx)，a∈R.xx专注92494447(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为x轴，求a的值.(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调区间.(3)若任意x>0，f(x)≥f(m)恒成立，且f(m)≥0，求证：f(m)≥2(m2-m3).【解析】(1)f(x)的定义域是(0，+≦)，f′(x)=e x-1+x·e x-1-a，故f(1)=1-a，f′(1)=2-2a，故切线方程是y-(1-a)=(2-2a)(x-1)，即y=(2-2a)x+a-1；由2-2a=0，且a-1=0，解得a=1.(2)由(1)得a=1，f′(x)=(x+1)，令g(x)=e x-1-，x∈(0，+≦)，所以g′(x)=e x-1+>0，故g(x)在(0，+≦)上递增，又g(1)=0，x∈(0，1)时，g(x)<g(1)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(1，+≦)时，g(x)>g(1)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0，1)递减，在(1，+≦)递增.(3)f′(x)=(x+1)，令h(x)=e x-1-，x∈(0，+≦)，h′(x)=e x-1+，①a≤0时，h(x)>0，此时f′(x)>0，f(x)递增，无最小值，故a≤0不符合题意；②a>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，+≦)递增，取实数b，满足0<b<min，则e b-1<=，-<-2，故h(b)=e b-1-<-2<0，又h(a+1)=e a->1-=>0，所以存在唯一的x0∈(b，a+1)，使得h(x0)=0，即a=x0，x∈(0，x0)时，h(x)<h(x0)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(x0，+≦)时，h(x)>h(x0)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故x=x0时，f(x)取最小值，由题设，x0=m，故a=m·e m-1，lna=lnm+m-1，f(m)=me m-1(1-m-lnm)，由f(m)≥0，得1-m-lnm≥0，令ω(m)=1-m-lnm，显然ω(m)在(0，+≦)递减.。

[80分] 12＋4标准练(三)1.已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.(0，＋∞) D.(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1， 解得y >0，所以全集U ＝(0，＋∞)，又P ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 2.“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件. 3.(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A.4.(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，当x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确.故选A. 5.已知x ，y 的取值如下表：对所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝1.03x ＋a ^，则a ^等于( ) A.1.30 B.1.13 C.1.65 D.1.80 答案 B解析 根据题意得x ＝4，y ＝5.25，将样本点中心(4，5.25)代入线性回归方程，可得a ^＝1.13. 6.(2019·汉中质检)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有( )A.12种B.22种C.28种D.30种 答案 C解析 由题意可分两种情况讨论：①甲可能在A 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有C 14＋C 24＋C 34＝14(种)分法； ②甲可能在B 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有C 14＋C 24＋C 34＝14(种)分法.一共有14＋14＝28(种)分法.7.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A.－4B.－1C.1D.4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB → ＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，AB →，AC →不共线，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.8.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入正整数n 的值为( )A.6B.5C.4D.3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得4≤n<5，所以输入n的值为4.9.把正方形ABCD沿对角线AC折起到△ACD′的位置，当以A，B，C，D′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD′和平面ABC所成角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°答案 C解析如图，当D′O⊥平面ABC时，三棱锥D′－ABC的体积最大.∴∠D ′BO 为直线BD ′和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △D ′OB 中，OD ′＝OB ，∴直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为45°.10.已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz 的最小值为( )A.3B.3(3＋1)2C.4D.2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号.又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z 22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.11.(2019·湖南长沙一中、常德一中等六校联考)已知函数f (x )＝ln x －ax＋a 在x ∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤e1－e ，－1B.⎣⎡⎭⎫e1－e ，1C.⎣⎡⎭⎫e1－e ，－1D.[－1，e)答案 C解析 ∵f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2，x ∈[1，e].当a ≥－1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，e]上单调递增，不合题意. 当a ≤－e 时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上单调递减，也不合题意.当－e<a <－1时，则当x ∈[1，－a )时，f ′(x )<0，f (x )在[1，－a )上单调递减， 当x ∈(－a ，e]时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，e]上单调递增， 又f (1)＝0，所以要使函数f (x )在x ∈[1，e]上有两个零点， 只需f (e)＝1－ae ＋a ≥0即可，解得e 1－e≤a <－1.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e1－e ，－1.12.椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 A解析 如图所示，右顶点B (1,0)，上顶点A (0，b )，左焦点F (－1－b 2，0)，线段FB 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22.线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b ，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12，把x ＝1－1－b 22＝m ， 代入上述方程，可得y ＝b 2－1－b 22b＝n .由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可得m ＋n <0， ∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b <0，化简得b <1－b 2， 又0<b <1，解得0<b <22. ∴e ＝c a ＝c ＝1－b 2∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.13.已知复数z 满足z (3＋4i)＝3－4i ，z 为z 的共轭复数，则|z |＝________. 答案 1解析 由题意得z ＝3－4i 3＋4i ＝(3－4i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－7－24i 9＋16＝－725－2425i ，∴z ＝－725＋2425i ，|z |＝⎝⎛⎭⎫－7252＋⎝⎛⎭⎫24252＝1.14.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________.答案 4解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A (－1，－2)处取得最大值，其最大值为 z max ＝2×(－1)－3×(－2)＝4.15.已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －3c )a ，则sin A －2cos C 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，32解析 由题意得b 2－c 2＝a 2－3ac ， 即a 2＋c 2－b 2＝3ac ， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以B ＝π6，由⎩⎨⎧0<A <π2，0<C ＝5π6－A <π2，得π3<A <π2，0<cos A <12. 因为sin A －2cos C ＝sin A ＋2cos(B ＋A )＝sin A ＋2⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝3cos A ，所以0<3cos A <32， 故sin A －2cos C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，32.。

温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word 文档返回原板块。

高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。

(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017·北京)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )， 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n， 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )， 直线BN 的方程为y ＝n 2－m (x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n 2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n . 又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问△PMN 与△PAB 面积之差是否为定值？说明理由．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋4y 20＝4，直线PA ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 则|BM |＝|1－y M |＝y M －1＝－1－2y 0x 0－2. 直线PB ：y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 则|AN |＝|2－x N |＝x N －2＝－2－x 0y 0－1，∴S △PMN －S △PAB ＝12|AN |·(|OM |－|OB |) ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2y 0x 0－2 ＝12·x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12·4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 3．(2017届河北省衡水中学押题卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的上、下两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8，椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)已知O 为坐标原点，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ′，N ′是直线l 上的两点，且F 1M ′⊥l ，F 2N ′⊥l ，求四边形F 1M ′N ′F 2面积S 的最大值．解 (1)因为△MNF 2的周长为8，所以4a ＝8，所以a ＝2. 又因为ca ＝32，所以c ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)将直线l 的方程y ＝kx ＋m 代入到椭圆方程x 2＋y 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－4＝0. 由直线与椭圆仅有一个公共点知，Δ＝4k 2m 2－4(4＋k 2)(m 2－4)＝0，化简得m 2＝4＋k 2.设d 1＝|F 1M ′|＝|－3＋m |k 2＋1， d 2＝|F 2N ′|＝|3＋m |k 2＋1， 所以d 21＋d 22＝⎝⎛⎭⎪⎫m －3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋3k 2＋12 ＝2(m 2＋3)k 2＋1＝2(k 2＋7)k 2＋1， d 1d 2＝|－3＋m |k 2＋1·|3＋m |k 2＋1＝|m 2－3|k 2＋1＝1， 所以|M ′N ′|＝|F 1F 2|2－(d 1－d 2)2＝12－(d 21＋d 22－2d 1d 2)＝ 12k 2k 2＋1. 因为四边形F 1M ′N ′F 2的面积S ＝12|M ′N ′|(d 1＋d 2)，所以S 2＝14×12k 2k 2＋1×(d 21＋d 22＋2d 1d 2) ＝3k 2(4k 2＋16)(k 2＋1)2.令k 2＋1＝t (t ≥1)，则S 2＝3(t －1)[4(t －1)＋16]t 2＝12(t －1)(t ＋3)t 2 ＝12(t 2＋2t －3)t 2＝12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋13， 所以当1t ＝13时，S 2取得最大值16，故S max ＝4，即四边形F 1M ′N ′F 2面积的最大值为4. 4．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，其离心率为22，又抛物线x 2＝4y 在点P (2,1)处的切线恰好过椭圆C 的一个焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (－4,0)，斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，直线AF 1，BF 1的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数λ，使得k 1k ＋k 2k ＝λk 1k 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线x 2＝4y 在点P (2,1)处的切线方程为y ＝x －1，它过x 轴上的点(1,0)， ∴椭圆C 的一个焦点为(1,0)，即c ＝1.又∵e ＝ca ＝22，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 的方程为y ＝k (x ＋4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 2＋2y 2＝2 ⇒(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－16k 21＋2k 2，x 1x 2＝32k 2－21＋2k 2.∵F 1(－1,0)，k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2＋1， ∴1k 1＋1k 2＝x 1＋1y 1＋x 2＋1y 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋4＋x 2＋1x 2＋4，∴k k 1＋k k 2＝2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＝27， ∴k 1k ＋k 2k ＝27k 1k 2. ∴存在常数λ＝27.。

温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word 文档返回原板块。

高考小题标准练(十一)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|1≤x ≤2}，B={x|x 2-1≤0}，则A ∩B=( ) A.{x|-1<x<1} B{x|-1<x<2} C.{1} D.{-1，1}【解析】选C.由已知，得A={x|1≤x ≤2}，B={x|-1≤x ≤1}，则A ∩B={x|x=1}. 2.已知复数z 满足(2-i)2·z=1，则z 的虚部为( ) A.325i B.325C.425i D.425【解析】选D.设复数z=a+bi ，则由(2-i)2·z=1可得：(4-4i-1)·(a+bi)=1，即3a+4b+(3b-4a)i=1，所以{3a +4b =1,3b −4a =0,解得：a=325，b=425，故z 的虚部为425.3.已知log 2a>log 2b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a >1bB.log 2(a-b)>0C.2a-b<1 D.(13)a <(12)b【解析】选D.由log 2a>log 2b 得a>b>0，所以(13)a <(13)b <(12)b，故选D.4.函数f(x)=x 2+bx 的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2021=( )A.1B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016【解题提示】由f ′(1)与直线斜率相等可得f(x)的解析式，从而可得数列{1f(n)}的通项公式，计算可得答案.【解析】选D.f ′(x)=2x+b ，由直线3x-y+2=0可知其斜率为3， 依据题意，有f ′(1)=2+b=3，即b=1， 所以f(x)=x 2+x ，从而数列{1f(n)}的通项为1f(n)=1n 2+n =1n -1n+1，所以S 2021=1-12+12-13+…+12 015-12 016=2 0152 016.5.直线x-y+1=0被圆x 2+y 2+2my=0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m=( ) A.√6-2或√6+2 B.2+√6或2-√6 C.1 D.√6【解析】选B.圆的方程即x 2+(y+m)2=m 2，圆心(0，-m)到已知直线的距离d=|m+1|√2=√3|m|2，解得m=2+√6或m=2-√6.6.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是 ( )【解析】选A.由f ′(x)的图象可知f(x)在(-2，0)上是单调递增的， 在(-∞，-2)，(0，+∞)单调递减，故选A.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是74，则( )A.a=3B.a=4C.a=5D.a=6【解析】选A.第一次：S=32，k=2；其次次：S=53，k=3；第三次：S=74，k=4，退出循环，故选A.8.已知不等式组{x −y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1表示的平面区域为D ，若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则a 的取值范围为( )A.(-∞，2)B.(-∞，1)C.(2，+∞)D.(1，+∞)【解析】选A.平面区域D 如图所示，先求z=ax+y 的最小值，当a ≤12时，-a ≥-12，z=ax+y 在点A(1，0)取得最小值a ；当a>12，-a<-12，z=ax+y 在点B (13,13)取得最小值13a+13.若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则有z=ax+y 的最小值小于1，所以{a ≤12,a <1或{a >12,13a +13<1,解得a<2，故选A.9.在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →=0，2AB →2+BD →2-4=0，若将其沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 的外接球的表面积为( )A.16πB.8πC.4πD.2π【解题提示】由已知中AB →·BD →=0，可得AB ⊥BD ，沿BD 折起后，由平面ABD ⊥平面BDC ，可得三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ，进而依据2AB 2→+BD 2→-4=0，求出三棱锥A-BCD 的外接球的半径.【解析】选C.平行四边形ABCD 中，由于AB →·BD →=0，所以AB ⊥BD ， 沿BD 折成直二面角A-BD-C ， 由于平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ， 所以AC 2=AB 2+BD 2+CD 2=2AB 2+BD 2=4，所以外接球的半径为1，故表面积是4π.10.已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示.x -1 0 2 4 5 y1221若函数y=f(x)-a 有4个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.[1，2) B.[1，2] C.(2，3) D.[1，3)【解析】选A.依据导函数的图象可知：y=f(x)在[-1，0]，[2，4]单调递增，在[0，2]，[4，5]单调递减，将函数的大致图象画出，所以若y=f(x)-a 有4个零点，则a ∈[1，2)，所以答案为A.【加固训练】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0， +∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，则方程f(x)-f ′ (x)=2的解所在的区间是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1，2) D.(2，3)【解析】选C.对任意的x ∈(0，+∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，又由f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，则f(x)-log 2x 为定值，设t=f(x)-log 2x ，则f(x)=log 2x+t ，又由f(t)=3，即log 2t+t=3， 解得t=2；则f(x)=log 2x+2，f ′(x)=1xln2，由于f(x)-f ′(x)=2， 所以log 2x+2-1xln2=2，即log 2x-1xln2=0，设h(x)=log 2x-1xln2，可知h(x)在定义域上为单调增函数，又由于h(1)=log 21-1ln2<0，h(2)=log 22-12ln2=1-1ln4>0，所以h(x)=log 2x-1xln2的零点在区间 (1，2)上，即方程f(x)-f ′(x)=2的解所在的区间是(1，2).二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，则x= .【解析】由于a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，所以x 2-1=(2+x)x ，解得x=-12.答案：-1212.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 .【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，其表面积为：S=12×π×22+12×4×4+12×12×2π×2×√42+22=8+(2+2√5)π.答案：8+(2+2√5)π13.椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是 .【解析】椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2的坐标为(-2，0)，(2，0)，设点P的坐标为(x 0，y 0)，由题意x 024+y 023=1，所以y 02x 02−4=-34，又由于k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=-34，k PA 1=−34k PA 2，直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，所以38≤k PA 1≤34.答案：[38,34]14.抛物线y 2=-12x 的准线与双曲线x 26-y 22=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .【解析】抛物线的准线方程为x=3，双曲线的渐近线方程为y=±√33x ，所以所要求的三角形的面积为12×3×2√3=3√3.答案：3√315.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 .【解析】全部基本大事为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共计8个，总分至少4分的大事可分为“两黑一红”，“一黑两红”，“三红”这三个互斥大事，所以P=38+38+18=78；也可求对立大事“总分少于4分”即“三黑”的概率为18，所以P=1-18=78. 答案：78关闭Word 文档返回原板块。

大题规范练(九) “20题、21题”24分练(时间：30分钟 分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过椭圆的一个焦点作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝1.P (－b,0)，A 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2上不同于P 的任意一点，过点P 作与PA 垂直的直线交圆x 2＋y 2＝a 2于B ，C 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)试问|BC |2＋|CA |2＋|AB |2是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． [解] (1)假设直线l 过椭圆的右焦点(c,0)，把x ＝c 代入椭圆方程，得c 2a 2＋y 2b2＝1，即y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，所以|MN |＝2b 2a ＝1. 又b a ＝1－e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以a ＝2b ，结合2b 2a ＝1，可得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知x 20＋y 20＝1，x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝4，P (－1,0)，所以|BC |2＋|CA |2＋|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 0)2＋(y 2－y 0)2＋(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2＝2(x 21＋y 21)＋2(x 22＋y 22)＋2(x 20＋y 20)－2(x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0)＝18－2(x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0)．因为PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0，又PA →＝(x 0＋1，y 0)，PB →＝(x 1＋1，y 1)，所以(x 0＋1)·(x 1＋1)＋y 0y 1＝0，即x 0x 1＋y 0y 1＝－1－(x 0＋x 1)，所以x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0＝x 2(x 0＋x 1)＋y 2(y 0＋y 1)－1－(x 0＋x 1)＝(x 0＋x 1)(x 2－1)＋y 2(y 0＋y 1)－1.①当BC ⊥x 轴时，直线BC 与圆O 仅有一个交点P ，此时A (1,0)，|BP |＝|CP |＝3，|AB |＝|CA |＝22＋32＝7，所以|BC |2＋|CA |2＋|AB |2＝(23)2＋(7)2＋(7)2＝26. ②当BC 与x 轴不垂直时，直线BC 与圆O 有2个交点，设直线BC 交圆O 于另一点A ′，由A ′P ⊥AP ，知A ′A 为圆O 的直径，所以A ′(－x 0，－y 0)．由线段A ′P 的中点与BC 的中点重合，可知x 1＋x 2＝－x 0－1，y 1＋y 2＝－y 0，即x 1＋x 0＝－1－x 2，y 1＋y 0＝－y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0＝(－1－x 2)(x 2－1)＋y 2(－y 2)－1＝1－(x 22＋y 22)－1＝－4，所以|BC |2＋|CA |2＋|AB |2＝18－2×(－4)＝26.综上，|BC |2＋|CA |2＋|AB |2是定值，且为26.21．已知函数f (x )＝x 2ln x ＋1－x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ≥1时，f (x )≥a (x －1)2恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x －1.当x ＞1时，2x ln x ＞0，x －1＞0，所以f ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，2x ln x ＜0，x －1＜0，所以f ′(x )＜0，所以函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)设g (x )＝f (x )－a (x －1)2＝x 2ln x ＋1－x －a (x －1)2(x ≥1)， g ′(x )＝2x ln x ＋x －1－2a (x －1)，g ″(x )＝2ln x ＋3－2a .若3－2a ≥0，即a ≤32，对一切x ≥1时，g ″(x )≥0， 所以g ′(x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(1)＝0，所以g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，符合条件；若3－2a ＜0，即a ＞32，存在x 0∈(1，＋∞)使得g ″(x )＝0， 当x ∈(1，x 0)时，g ″(x )＜0，所以函数g ′(x )在区间(1，x 0)上单调递减，所以当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )＜g ′(1)＝0，所以函数g (x )在区间(1，x 0)上单调递减， 故当x ∈(1，x 0)时，g (x )＜g (1)＝0，这与题意矛盾．综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.本文档仅供文库使用。

专题检测（一） 集合、复数、算法一、选择题1．(2018·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.3．(2019届高三·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析：选D z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅， A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.5．(2019届高三·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i解析：选D 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i.6.(2018·开封高三定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B 初始值：a ＝675，b ＝125，第一次循环：c ＝50，a ＝125，b ＝50；第二次循环：c ＝25，a ＝50，b ＝25；第三次循环：c ＝0，a ＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a 的值为25.7．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.8．(2018·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,2)B ．[2,4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]解析：选A 集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}．所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．9．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?解析：选B 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132， i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 执行程序框图，第一步：n ＝12，i ＝1，满足条件n 是3的倍数，n ＝8，i ＝2，不满足条件n ＞123； 第二步：n ＝8，不满足条件n 是3的倍数，n ＝31，i ＝3，不满足条件n ＞123； 第三步：n ＝31，不满足条件n 是3的倍数，n ＝123，i ＝4，不满足条件n ＞123； 第四步：n ＝123，满足条件n 是3的倍数，n ＝119，i ＝5，不满足条件n ＞123；第五步：n ＝119，不满足条件n 是3的倍数，n ＝475，i ＝6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12．(2018·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m 2>0，m －12<0，解得－1<m <1.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13．(2018·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n ＝2，那么输入的a 的值可以为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 执行程序框图，输入a ，P ＝0，Q ＝1，n ＝0，此时P ≤Q 成立，P ＝1， Q ＝3，n ＝1，此时P ≤Q 成立，P ＝1＋a ，Q ＝7，n ＝2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P >Q ，所以1＋a >7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14．(2019届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( ) A ．1 B ．0 C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.15．(2018·新疆自治区适应性检测)沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层．某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·bB ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·bC ．i ≤n ？和S ＝a ·bD ．i <n ？和S ＝a ·b解析：选B 观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}，C ＝A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A ．4B ．7C ．15D ．16解析：选C 因为B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝ tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C＝A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24－1＝15，故选C.二、填空题 17．已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2. 答案： 218．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}19．已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R )(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z1＋i的共轭复数为________．解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52， 解得x ＝－3， ∴z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ，故其共轭复数为12－72i.答案：12－72i20．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)32。

实验练11电学实验基本能力集释A组基础达标微练一常用仪器的读数1.某同学利用游标卡尺和螺旋测微器分别测量一圆柱体工件的直径和高度,测量结果如图甲和乙所示。

该工件的直径为 cm,高度为mm。

甲乙2.(1)如图甲所示,当电流表使用的量程为0~0.6 A时,对应刻度盘上每一小格代表 A,图甲中表针所指位置的示数为 A;当电流表使用的量程为0~3 A时,对应刻度盘中每一小格代表 A,图甲中表针所指位置的示数为 A。

(2)如图乙所示,当电压表使用的量程为0~3 V时,每一小格代表V,图乙中表针所指位置的示数为 V;当电压表使用的量程为0~15 V时,则表盘刻度每一小格代表 V,图乙中表针所指位置的示数为 V。

微练二电表改装3.(多选)(浙江绍兴模拟)如图所示,四个完全相同的灵敏电流表分别改装成两个电流表和两个电压表,电流表A1的量程大于A2的量程,电压表V1的量程大于V2的量程,把它们接入电路中,则下列说法正确的是( )A.电流表A1的读数大于电流表A2的读数B.电流表A1的偏转角大于电流表A2的偏转角C.电压表V1的读数小于电压表V2的读数D.电压表V1的偏转角等于电压表V2的偏转角微练三测量电路与控制电路的选择4.用内阻为3 000 Ω的电压表和内阻为10 Ω的电流表测电阻,在图甲、乙两种情况下,电压表的示数都是60 V,电流表的示数都是0.2 A,则R1的测量值为Ω,真实值是Ω,R2的测量值为Ω,真实值是Ω。

5.要描绘一个标有“3 V0.8 W”小灯泡的伏安特性曲线,要求小灯泡两端的电压由零逐渐增加,且尽量减小实验误差。

已选用的器材除导线、开关外,还有:电池组(电动势为4.5 V,内阻约1 Ω)电流表(量程0~0.6 A,内阻约为1 Ω)电压表(量程0~3 V,内阻约为3 kΩ)滑动变阻器(最大阻值20 Ω,额定电流1 A)实验电路应选用(填字母代号)。

微练四实验器材的选取与实物图的连接6.某同学通过实验测量一个阻值约为5 Ω的定值电阻。

高考小题标准练(四)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数a ＋i 1－2i 是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2B ．－12C.15 D ．－25 解析：由a ＋i 1－2i ＝a ＋＋5＝a －＋＋2a5是纯虚数，得a －2＝0,1＋2a ≠0，所以a ＝2.故选A.答案：A2．设集合A ＝{1,2,3}，则满足A ∪B ＝{1,2,3,4,5}的集合B 有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．16个解析：A ＝{1,2,3}，A ∪B ＝(1,2,3,4,5)，则集合B 中必含有元素4和5，即此题可转化为求集合A ＝{1,2,3}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有23＝8(个). 故选C.答案：C3．已知命题p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直；命题q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知p ⇒/ q ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件. 故选B. 答案：B4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则|t |2＋|t |2＝8，即|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4.故选D.答案：D5．已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：因为抛物线的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.而(1,0)到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝3＋232＋42＝1，所以r ＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．9 B.19C ．－9D ．－19解析：f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.故选B. 答案：B7．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( ) A.22 B.33C. 2D. 3解析：因为sin 2α＋cos2α＝14，所以sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝12(负根舍去)，故α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.故选D.答案：D8．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．记r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1 解析：r＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2，计算可知r 1正相关，r 2负相关．故选C .答案：C9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若c ＝3a ，B ＝30°，那么角C ＝( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得a sin －＝3asin C，解得tan C ＝－3，故C ＝120°. 故选A .答案：A10．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40解析：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2得(n －1)a n ＝na n －1＋2，则有a n n －a n －1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，a n －1n －1－a n －2n －2＝2⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，…，a 22－a 11＝2⎝⎛⎭⎫11－12，累加得an n －a 1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ，所以a n ＝4n －2，所以a 10＝38.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．二项式⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋12x n的展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于________．解析：前三项系数依次为1，n 2，n 2－n8，由题意n ＝1＋n 2－n 8，解得n ＝8(n ＝1舍去)，所以展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(6x )8－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 8－r 6－r 2.令8－r 6－r2＝0，得r ＝2，所以常数项是T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 28＝7.答案：712．设函数f (x )＝x ·2x ＋x ，A 0的坐标原点，A n 为函数y ＝f (x )图像上横坐标为n (n ∈N *)的点，向量a n ＝k ＝1n A k －1A k ，i ＝(1,0)．设θn 为a n 与i 的夹角，则∑k ＝1ntan θk ＝________.解析：a n ＝A 0A n →＝(n ，n ·2n ＋n )，θn 即为向量A 0A n →与x 轴的夹角，所以tan θn ＝2n ＋1，所以∑k ＝1ntan θk ＝2＋22＋…＋2n ＋n ＝2n ＋1＋n －2.答案：2n ＋1＋n －213．如图，在多面体ABCDEF 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为________．解析：分别过点F 作FG ∥EA ，FH ∥ED.连接GH ，则该多面体被分成一个三棱柱和一个四棱锥，则所求体积为V ＝V ADE －GHF ＋V F －GHCB ＝12×3×2×32＋13×32×3×2＝152.答案：15214．已知|a |＝3，|b |＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋b )·(a ＋3b )＝33可得a 2＋4a ·b ＋3b 2＝33，即9＋4×3×4cos θ＋3×16＝33，所以cos θ＝－12，解得θ＝120°.答案：120°15．按右图所示的程序框图运算，若输入x ＝8，则输出的k ＝________.解析：执行循环如下：x ＝2×8＋1＝17，k ＝1；x ＝2×17＋1＝35，k ＝2；x ＝2×35＋1＝71，k ＝3；x ＝2×71＋1＝143＞115，k ＝4，此时满足条件．故输出k 的值为4.答案：4。

冲刺高考二轮统计与统计案例小题突破练（原卷+答案）一、单项选择题1．已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为() A．200，25 B．200，2 500C．8 000，25 D．8 000，25002．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度．某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效．该企业对参与试验的1 000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如下图表所示：年龄频率[20，30)0.20[30，40)0.30[40，50)0.10[50，60)0.20[60，70)0.10[70，80]0.10则下列结论正确的是( )A ．在受试者中，50岁以下的人数为700B ．在受试者中，抗体呈阳性的人数为800C ．受试者的平均年龄为45岁D ．受试者的疫苗有效率为80%4．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为( )A ．66.5B ．67C ．67.5D ．685．已知一组数据：x 1，x 2，x 3的平均数是5，方差是4，则由2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1和11 这四个数据组成的新数据组的方差是( )A ．16B ．14C ．12D ．116．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程x /万千米 1 2 4 5 维修保养费用y /万元 0.50 0.90 2.30 2.70若用最小二乘法求得回归直线方程为y ^ ＝0.58x ＋a ^，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是( )A ．3.34万元B ．3.62万元C ．3.82万元D ．4.02万元7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），P (χ2≥10.828)＝0.001，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，以下结论正确的为( )A ．爱好跳绳与性别有关B ．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C ．爱好跳绳与性别无关D ．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0018．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点(x ，y )：x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y ^ ＝－1.8x ＋a ^，则据此计算残差为0的样本点是( )A ．(5，9)B ．(6.5，8)C ．(7，6)D ．(8，4)二、多项选择题9．下列统计量中，能度量样本x 1，x 2，…，x n 的离散程度的是( ) A ．样本x 1，x 2，…，x n 的标准差 B ．样本x 1，x 2，…，x n 的中位数 C ．样本x 1，x 2，…，x n 的极差 D ．样本x 1，x 2，…，x n 的平均数10．有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )，c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同11.某车间加工某种机器的零件数x 与加工这些零件所花费的时间y 之间的对应数据如下表所示：x /个 10 20 30 40 50 y /min 62 68 75 81 89由表中的数据可得回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋54.9，则以下结论正确的有( ) A ．相关系数r >0B ．b ^＝0.67C ．零件数10，20，30，40，50的中位数是30D ．若加工60个零件，则加工时间一定是95.1 min12．小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则( )A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．骑车时间的众数的估计值是21分钟C ．坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟D ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 三、填空题13．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为________．14．为了解某社区居民的2021年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8根据上表可得回归直线方程y ^＝0.76x ＋0.4，则t ＝________．15．定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分(满分150分)”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据(数据都是正整数)的描述：①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128； ②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125. 则数学成绩一定优秀的同学是________．16．在对某中学高一年级学生每周体育锻炼时间的调查中，采用随机数法，抽取了男生30人，女生20人. 已知男同学每周锻炼时间的平均数为17小时，方差为11；女同学每周锻炼时间的平均数为12小时，方差为16. 依据样本数据，估计本校高一年级学生每周体育锻炼时间的方差为________．参考答案1．解析：由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为8040% ＝200，则样本中高中生的人数为200×25%＝50，易知总体的容量为501%＝5 000，结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为5 000×50%＝2 500. 故选B. 答案：B 2．解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A 项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%＋75%2＝72.5%＞70%，A 错误．对于B 项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B 正确．对于C 项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s 2后 ＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510 000 ，所以标准差s 后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s 2前 ＝110×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝142.2510 000，所以标准差s 前≈11.93%.所以s 前＞s 后，C 错误．对于D 项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D 错误．故选B.答案：B3．解析：50岁以下1 000×(0.2＋0.3＋0.1)＝600人，A 选项错误．在受试者中，抗体呈阳性的人数为600×0.9＋400×0.85＝880，B 选项错误．受试者的平均年龄为25×0.2＋35×0.3＋45×0.1＋55×0.2＋65×0.1＋75×0.1＝45，C 选项正确．受试者的疫苗有效率为8801 000×100%＝88%，D 选项错误．故选C. 答案：C4．解析：第一组的频率为0.010×10＝0.1，前两组的频率之和为(0.010＋0.020)×10＝0.3，知25%分位数在第二组[60，70)内，故25%分位数为60＋10×0.25－0.10.2＝67.5.故选C. 答案：C5．解析：由已知得x 1＋x 2＋x 3＝15，(x 1－5)2＋(x 2－5)2＋(x 3－5)2＝12，则新数据的平均数为14 (2x 1＋1＋2x 2＋1＋2x 3＋1＋11)＝2（x 1＋x 2＋x 3）＋3＋114＝11，所以方差为14[(2x 1＋1－11)2＋(2x 2＋1－11)2＋(2x 3＋1－11)2＋(11－11)2]，＝14 [4(x 1－5)2＋4(x 2－5)2＋4(x 3－5)2]＝(x 1－5)2＋(x 2－5)2＋(x 3－5)2＝12， 故选C. 答案：C6．解析：由已知x － ＝1＋2＋4＋54 ＝3，y － ＝0.5＋0.9＋2.3＋2.74＝1.6，所以1.6＝0.58×3＋a ^ ，a ^ ＝－0.14，即y ^＝0.58x －0.14，x ＝6时，y ^＝0.58×6－0.14＝3.34， 故选A. 答案：A7．解析：a ＋b ＝40＋20＝60，c ＋d ＝20＋30＝50，a ＋c ＝40＋20＝60， b ＋d ＝20＋30＝50，ad －bc ＝40×30－20×20＝800，n ＝110，χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ＝110×800260×50×60×50 ≈7.822<10.828，故爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001， 故选D. 答案：D8．解析：由题意可知，x － ＝5＋6.5＋7＋8.5＋85 ＝7，y － ＝9＋8＋6＋4＋35＝6，所以回归方程的样本中心点为(7，6)，因此有6＝－1.8×7＋a ^ ⇒a ^＝18.6，所以y ^＝－1.8x ＋18.6，在收集的5个样本点中，(7，6)一点在y ^＝－1.8x ＋18.6上，故计算残差为0的样本点是(7，6).故选C. 答案：C9．解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势． 答案：AC10．解析：A ：E (y )＝E (x ＋c )＝E (x )＋c 且c ≠0，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为x i ，则第二组的中位数为y i ＝x i ＋c ，显然不相同，错误；C ：D (y )＝D (x )＋D (c )＝D (x )，故方差相同，正确； D ：由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝(x max＋c )－(x min ＋c )＝x max －x min ，故极差相同，正确．答案：CD11．解析：由表中的数据，得x － ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895 ＝75，将x － ，y － 代入y ^ ＝b ^ x ＋54.9，得b ^＝0.67，选项A ，B 均正确， 10，20，30，40，50的中位数是30，选项C 正确；当x ＝60时，y ^＝0.67×60＋54.9＝95.1，所以加工时间约是95.1 min ，而非一定是95.1min ，选项D 错误．故选ABC. 答案：ABC12．解析：在骑车时间频率分布直方图中，设骑车时间的中位数为a 1， 所以有0.1×2＋0.2×(a 1－20)＝0.5⇒a 1＝21.5，因此选项A 不正确； 骑车时间的众数的估计值为21分钟，因此选项B 正确； 设骑车时间的平均数为b 1，b 1＝(19×0.1＋21×0.2＋23×0.15＋25×0.05)×2＝21.6；在坐公交车时间频率分布直方图中，设坐公交车时间的中位数为a 2，因为(0.025＋0.05＋0.075＋0.1)×2＝0.5，所以a 2＝20，因此选项C 正确； 设坐公交车时间的平均数为b 2，b 2＝(13×0.025＋15×0.05＋17×0.075＋19×0.1＋21×0.1＋23×0.075＋25×0.05＋27×0.025)×2＝20，因为b 1>b 2，所以选项D 正确， 故选BCD. 答案：BCD13．解析：根据等高条形图可知： 喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为300460×23＝15人．答案：1514．解析：分别求出收入和支出的平均数，可得：x － ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y － ＝6.2＋7.5＋8.0＋9.8＋t 5 ＝31.5＋t 5，代入y ^＝0.76x ＋0.4可得：31.5＋t 5＝0.76×10＋0.4，解得：t ＝8.5. 答案：8.515．解析：在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀； 在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀．综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙． 答案：乙16．解析：根据平均数的计算公式，全班的平均数为z － ＝17×30＋12×2030＋20＝15，设男同学为x 1，x 2，…，x 30，女同学为y 1，y 2，…，y 20，答案：19。