高考数学二轮复习课件：专题9_第一讲_函数与方程思想

[解析]
1 1 ∵t∈[ 2，8]，∴2≤log2t≤3，∴2≤m≤3.
解法一：不等式可化为：(2－x)m<x2－4x＋4. 即(2－x)m<(2－x)2， ①当 x＝2 时，上式不成立； ②当 x≠2 时，若 x<2，则 m<2－x ∴2－x>3 即 x<－1， 若 x>2，则 m>2－x，
1 3 ∴2－x<2即 x>2，又 x>2，∴x>2. 综上可得{x|x<－1，或 x>2}．
3 f(x)的值域为－3，2，
3 m∈－3，2.
[评析] 本题若令cosx＝t，则可通过换元法将原方程化为 关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通 过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单 地求得参数m的取值范围．
若关于 x 的方程 9x＋(4＋a)· 3x＋4＝0 有大于 1 的解， 则实数 a 的取值范围是( 25 A．a<－ 3 13 C．a<－ 3
[解析]
1 1 1 令 f(n)＝ ＋ ＋…＋ (n∈N*)， n＋1 n＋2 3n＋1
对任意的 n∈N*， 1 1 1 1 f(n＋1)－f(n)＝ ＋ ＋ － 3n＋2 3n＋3 3n＋4 n＋1 2 ＝ >0， 3n＋13n＋23n＋4
所以 f(n)在 N*上是增函数． 13 又 f(1)＝12，对一切正整数 n，f(n)>a－7 都成立的充 13 要条件是12>a－7， 97 所以 a< ，故所求正整数 a 的最大值是 8. 12
2 x －4x＋3>0 0，即 2 x －1>0
，
所以 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
[例 3]
1 1 求正整数 a 的最大值， 使不等式 ＋ n＋1 n＋2
1 ＋…＋ >a－7 对一切正整数 n 都成立． 3n＋1 [分析] 要求正整数 a 的最大值， 应先求 a 的取值范 1 1 1 围，关键是求出代数式 ＋ ＋…＋ 的最小 n＋1 n＋2 3n＋1 值，可将其视为关于 n 的函数，通过单调性求解．
4 13 x ∴－3 ＋3x<－ 3 ，
13 25 即 4＋a<－ 3 ，∴a<－ 3 .
[例 2]
(2011· 盐城二次质检)已知 f(t)＝log2t，t∈
[ 2，8]，对于 f(t)值域内所有实数 m，不等式 x2＋mx ＋4>2m＋4x 恒成立，求 x 的取值范围．
[分析] 本题可用参变分离或看作关于m的一次函数处理．
(2011·东莞模拟)对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px>4x＋p－3恒成立 的x的取值范围是________． [答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
[解析]
x2＋px>4x＋p－3 对于 0≤p≤4 恒成立可以
变形为 x2－4x＋3＋p(x－1)>0 对于 0≤p≤4 恒成立， 所以 一次函数 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3 在区间[0,4]上的最小 值大于
解法二：原不等式可化为(x－2)m＋(x－2)2>0， 1 令 f(m)＝(x－2)m＋(x－2) ，m∈[2，3]时，
2
有 f(m)的最小值大于 0， ∵x＝2 时，不成立．
x≠2， 1 ∴f2>0， f3>0，
x≠2， 1 即2x－2＋x－22>0， 2 3 x － 2 ＋ x － 2 >0，
解得 x<－1 或 x>2. 综上可得 x 的取值范围是{x|x<－1 或 x>2}．
[评析] 应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多 元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种： (1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函 数的最值(或值域)，然后求解． (2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而 构造函数加以解决．
[解析]
原方程可化为 m＝－cos2x＋2cosx.
令 f(x)＝－cos2x＋2cosx， 则 f(x)＝－2cos2x＋1＋2cosx
12 3 ＝－2cosx－2 ＋ ， 2
由于－1≤cosx≤1， 1 3 所以当 cosx＝ 时，f(x)取得最大值 ， 2 2
当 cosx＝－1 时，f(x)取得最小值－3， 故函数 即
[例1] (2011·泰安市模拟题)若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实 数根，则实数m的取值范围是________． [分析] 将方程变形为m＝－cos2x＋2cosx，则当方程有实数根时， －cos2x＋2cosx的取值范围就是m的取值范围．
[答案]
3 －3， 2
解得 a≥－2＋2 2或 a≤－2－2 2.
a＋b＋c＝0 (函数思想)： 由已知 a＋bc－1＝0
得 b＋c－bc＋1＝0，
如果 c＝1，则 b＋1－b＋1＝0，即 2＝0，不成立． c＋1 1＋c 因此 c≠1，所以 b＝ ，a＝ －c， c－1 1－c
1＋c 2 令 f(c)＝ －c＝－2＋(1－c)＋ 1－c 1－c 当 1－c>0 时，f(c)≥－2＋2 ＝－2＋2 2. 当 1－c<0 时，f(c)≤－2－2 ＝－2－2 2. 2 c－1· c－1 2 1－c· 1－c
[评析] 本题是构造函数解题的很好的例证．如果对数列 求和，那就是误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调 性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思 想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其 性质，才能使解题思路灵活变通．
(2011·广州模拟)已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求 a的取值范围． [解析] (方程思想)：因为b＋c＝－a，bc＝1－a. 所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根， 所以Δ＝a2－4(1－a)≥0， 即Δ＝a2＋4a－4≥0，
[答案] A
) B．a≤－8 D．a≤－4
[解析]
由原方程得
x
4 x 4＋a＝－3x，取 t＝3 ，则 g(t)＝t＋ t ， ∵g(t)在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增， 13 而 x>1，∴t>3，∴g(t)>g(3)＝ 3 ，