垂线(1)

垂线（1）知识要点1．当两条直线相交所成的角为 °时，就称两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 线，它们的交点叫做 。

2．如右图: 若AB⊥CD ,则∠BOC = °,∠AOC= °；反之,若∠AOD=90°,则AB CD 。

3．垂线性质:过一点 直线与已知直线垂直。

典型考题知识点1: 垂直定义的应用【例1】如图，点O 是直线m 上一点，当∠1和∠2的满足__________时，能使OA ⊥OB 。

分析：要使OA ⊥OB ，则只需∠AOB=90 ，又因为∠1+∠2+∠AOB=180°，所以∠1+∠2=90 。

知识点2：垂线的画法【例2】如图根据下列语句画图：（1）在图甲中过点P 画射线AM 的垂线，Q 为垂足；（2）在图乙中过点P 画射线BN 的垂线，交射线BN 反向延长线于Q 点；（3）在图丙中过点P 画线段AB 的垂线，交线段AB 延长线于Q 点。

分析：（1）因为射线具有向一方的无限延伸性，所以垂足在射线AM 上。

（2）由于射线BN 沿BN 方向延伸，不能向NB 方向延伸，用直角三角板画图知垂足在射线BN 的反向延长线上，延长线用虚线表示。

（3）线段有长度，不向两方延伸，画垂线时可以先延长AB ，延长线用虚线表示。

同步训练1．若直线AB 与CD 垂直相交于O,此时∠ = ∠ =∠ =∠ =90°。

2.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD= °。

3．如图2,AO⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD= °。

4.如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_ _。

5．如图4，OA ⊥OB ，OD ⊥OC ，则下列说法不正确的是( )A.∠BOC=∠AODB.∠AOC+∠BOD=180°O D CBA(2)O D C B A 图2 图甲 图乙 图丙 N(1)O D CB图1C.∠COD 与∠AOB 互补D.∠COB 与∠BOD 相等6．（2007．济南市）已知：如图5，AB CD ⊥，垂足为O ，EF 为过点O 的一条直线，则1∠与2∠的关系一定成立的是（ ）A ．相等B ．互余C ．互补D ．互为对顶角7．如图6，①过C 作CP ⊥AB 于P ；②过C 作CQ ⊥AC 于C ，交AB 于Q ；③过B 作射线BT 与直线AC 垂直，垂足为T 。

O DCBA七年级数学分层教学导学稿学案一、课 题 5.1.2 垂线(一) 编写备课组二、本课学习目标与任务： 1、经历观察、操作、归纳概括、交流等活动,进一步发展用几何语言准确表达能力。

2、了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.三、知识链接：1、你知道教室墙角落的几条线两两之间的夹角是多少度吗？2、石匠师傅用的铅垂是用来检查墙面是否成一条直线，同时也用来检验墙面是否与地面垂直。

首先要知道铅垂的作用，铅垂在地球重力的作用下，总是竖直向下的，而地面时水平的，所以二者垂直的关系。

用铅垂靠近墙角，如果墙和铅垂的线重合或平行，则说明墙与地面是否垂直。

四、自学任务（分层）与方法指导：1、阅读课本P3---5的内容，回答在相交线的模型中,固定木条a ，转动木条b ， 当b 的位置变化时，a 、b 所成的角α也会发生变化： 当α 时，a 与b 垂直； 当α 时,a 与b 不垂直，叫斜交. 所以两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。

2、用语言概括垂直定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

3、垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O ”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。

4、垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90°（ ）∴AB ⊥CD （ ） （2）∵ AB ⊥CD （ ）∴ ∠AOD=90° （ ）5、垂直的生活应用观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么印象?找一找：在你身边，还能发现哪些“垂直”的实例？ 6、垂线的画法：用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线.(1)已知直线l ，画出直线l 的垂线，能画几条? l小组内交流，明确：直线l 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。

七年级数学下册《垂线》课案（1）（学生用）（无答案）新人教版5.1.2 垂线（1）（新授课）【学习目标】1．知识技能（1）使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论．（2）会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线．2．解决问题通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行适当的说理．3．数学思考经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力．4．情感态度通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐．【学习重难点】1．重点：使学生掌握垂线，理解垂线的性质．2．难点：用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法．课前延伸【知识梳理】1．下列说法中，不正确的是（）A．经过一点能画一条直线和已知线段垂直B．一条直线可以有无数条垂线C．过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条D．过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直2．下列说法正确的有（）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是垂线．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在（ ）A ． 这条线段上B ．这条线段的端点C ． 这条线段的延长线上D ．以上都有可能4．如图，直线AB 与直线CD 的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD ＝∠________＝∠________＝∠________＝90°．5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE 与AB _____（填“垂直”或“不垂直”）．ABCDOADOBCE1 2第4题 第5题自主学习记录卡课内探究一、课堂探究1（问题探究，自主学习）1．（1）现有一条已知直线AB ，分别过直线外一点C 和直线上一点D ，作AB 的垂线，你能有几种方法？CADB（2）通过上述方法画出的垂线有几条？从中你能发现什么结论？ 二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）1．已知如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，且∠DOE ＝3∠COE ，求∠AOD 的度数．OEDCBA2．如图，OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，OE 是OD 的反向延长线．（1）试说明：∠AOC ＝∠BOD ；（2）若∠BOD ＝32°，求∠AOE 的度数．三、反馈训练1．如图，OB ⊥CD ，∠AOC ∶∠BOC ＝2∶5，则∠AOB 等于（ ）A ．36°B ．126°C ．108°D ．162°CDAB O ABDCOABCDO第1题 第2题 第3题 2．如图，AO ⊥BO ，CO ⊥DO ，∠AOC ∶∠BOC ＝1∶5，则∠BOD ＝ （ ）A ．105°B ．112.5°C ．135°D ．157.5°3．∠A 的两边分别垂直于∠B 的两边，∠A 比∠B 大60°，则∠A 是（ ）A ．120°B ．35°C ．40°D ．38°4．如图，AO ⊥BC ，垂足为O ，且∠COD －∠DOA ＝34°28′，则∠BOD ＝________．ADO B CAEF BCD OADOCBPSTRQ第4题 第5题 第6题 第7题5．如图，直线AB 、EF 相交于点O ，OC ⊥AB ，∠DOE ＝2∠AOE ，∠BOF ＝33°，则∠AOD ＝__________，∠DOC ＝__________，∠COE ＝__________，∠DOF ＝__________． 6．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，AD ⊥CD 于点D ，CB ⊥AB 于点B ，若∠A ＝35°，则∠C等于____________°．7．如图，∠PQR ＝138°，SQ ⊥QR ，QT ⊥PQ ，则∠SQT 等于____________． 8．如图，直线BC 与MN 相交于点O ，AO ⊥BC ，OE 平分∠BON ，若∠EON ＝21°，求∠AOM 的度数．9．如图，AB 、CD 、EF 相交于O 点，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ∶∠COG ＝4∶7，求∠DOF 、∠DOH 的大小．EF H BACGD四、布置作业：1．必做题：教科书第8页习题5．1第3、4、5、6题2．选做题：（1）如图，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，延长AC交直线MN于E，作ED⊥BC，垂足为D，请你找出图中5对互余的角和5对互补的角．（2）已知如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数.3．【预习题】1．点到直线的距离是指（）A．直线外一点到这条直线的垂线的长度B．直线外一点到这条直线上任意一点的距离C．直线外一点到这条直线的垂线段D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度2．和一个已知点P的距离等于3㎝的直线可以画（）A．1条B．2条C．3条D．无数条G OFEDC BA3．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上三点，PA ＝5Cm ，PB ＝3Cm ，PC ＝4Cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4㎝B ．3㎝C ．小于3㎝D ．不大于3㎝4．如图，若把水渠中的水引到水池C ，挖一条沟CD 垂直于渠岸AB ，垂足为D ，这时沟CD最短，这时根据_________________________。

5.1.2垂线第课时1.知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.通过操作、探究等活动,培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识.通过生动、有趣的活动,使学生积极参与到数学活动中,并在活动中感受成功的快乐.【重点】垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.【难点】过一点画已知直线的垂线.【教师准备】相交线模型、三角尺、量角器.【学生准备】三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.导入一:出示意大利比萨斜塔图片.师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗?对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢?如图所示,直线AB可以看成地平面,射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题,就涉及我们要学习的垂线问题.[设计意图]从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题,更能唤起学生探求新知的欲望.导入二:(学生事先准备宽约为1 cm,长约为20 cm的两张硬纸条,图钉一个)课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起,提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个交点?如图所示,可以看到,直线AB与CD相交,只有一个交点,可以说明直线AB,CD相交于点O.【思考】两条直线相交所构成的四个角能否相等?[设计意图]用现实生活中的例子,引入相交线所成的角,为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.导入三:如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=90°,求其他三个角.教师出示问题,学生独立解决问题,并在练习本上书写解答过程.在这一过程中,教师应当关注学生是否能够独立完成问题,并且能否较规范地写出解答过程.然后学生口述过程并说明理由.[设计意图]通过练习,一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论证能力.一、探究垂线的概念思路一利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.教师出示相交线模型,如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:AB⊥CD,垂足为O.推理过程如下:因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直定义).[设计意图]通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.[知识拓展](1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条直线互相垂直.2.感受生活中互相垂直的实例.【思考】生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?教师出示图片:(提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系)学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.[设计意图]通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.3.例题讲解(自设).如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于()A.30°B.34°C.45°D.56°〔解析〕∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻补角互补).故选B.[设计意图]角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.思路二1.实验探究.教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:问题:在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变?师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.教师追问(1):当a与b所成角α为90°时,其余各角分别为多少度?师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角α为90°时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.教师追问(2):这时木条a与b有何位置关系呢?师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.[设计意图]让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.2.变换角度,认识垂直.仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°,可以得出这两条直线有何位置关系呢?师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.教师追问(1):如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢?师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.如图所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB),读作“AB 垂直于CD”.如果垂足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示.教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直?两条线段呢?师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:因为AB⊥CD(已知),所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定义);反之,因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD.[设计意图]教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?[设计意图]学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点;(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图(1)是点在直线l上,图(2)是点在直线l外.两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.提示:(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括两种情况:①点在直线外;②点在直线上.活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.[设计意图]通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.(补充)如图(1)所示,在三角形ABC中,∠BCA为钝角.(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;(2)画出过点A且与线段BC垂直的直线.〔解析〕利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.(1)过点C作AB的垂线,垂足在线段AB 上.(2)因为∠BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.解:(1)过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图(2)所示.(2)过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图(2)所示.[知识拓展](1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上(如图所示).(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.1.垂线的概念:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.2.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.1.下列说法中,正确的个数是()①相等的角是对顶角;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;③两条直线相交有且只有一个交点;④两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故①错误;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故②正确;两条直线相交有且只有一个交点,故③正确;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故④正确.即正确的个数是3.故选C.2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有()①两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;②两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°,根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.解析:图(1)的P点在射线OA,OB之外,图(2)的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图(2)过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.解:如图所示.4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,求∠AOE和∠DOF的度数.解:因为OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,所以∠AOE=90°-25°=65°,∠DOF=90°+25°=115°.第1课时1.探究垂线的概念当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.例12.垂线的画法和性质在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例2一、教材作业【必做题】教材第5页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题5.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°2.两条直线相交所构成的四个角中:①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.其中能判定这两条直线垂直的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°,则∠BOE等于()A.30°B.60°C.120°D.130°【能力提升】5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.6.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题.(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;(2)分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;(3)画∠AOD的平分线OF,交MN于点F;(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:∠COF=度,∠EOF=度.【拓展探究】8.(1)在图(1)中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;(2)量一量图(1)中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是;(3)同样在图(2)和图(3)中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图(2)和图(3)中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图2:,图3:;(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角.(不要求写出理由)【答案与解析】1.C(解析:因为∠1=145°,所以∠2=180°-145°=35°,因为CO⊥DO,所以∠COD=90°,所以∠3=90°-∠2=90°-35°=55°.故选C.)2.D(解析:根据垂直的定义:两直线的交角为90°时,这两条直线互相垂直进行分析即可.)3.D(解析:因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90°,所以与AB垂直的边有4条.故选D.)4.C(解析:因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°,所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°+30°=120°.故选C.)5.解:因为CO⊥OE,所以∠COE=90°.因为∠COF=34°,所以∠EOF=90-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°.因为∠COF=34°,所以∠AOC=56°-34°=22°.则∠BOD=∠AOC=22°.6.解:(1)因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°.因为OE平分∠BOC,∠BOC=90°,所以∠COE=45°,∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°. (2)OD⊥OE.理由如下:OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°,因为∠AOE-∠COE=2∠COE+30°,且∠AOE-∠COE=90°,所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°.因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,所以OD⊥OE.7.解:(1)如图所示的射线OE. (2)如图所示的ON,OM,线段MN. (3)如图所示的OF平分∠AOD,交MN于点F. (4)110208.解:(1)如图(1)所示. (2)∠P+∠1=180°(3)如图(2)(3)所示. ∠P=∠1∠APB+∠1=180°(4)相等或互补在这堂课中,学生的主体地位突出,真正经历了知识形成的全过程.在自主学习、合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明,在自由探索与合作交流的学习方式中,学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课中的每一个学习活动,都以学生个性思维、自我感悟为前提,多次设计了让学生自主探索、合作交流的活动.通过学生和谐有效地互动,强化了学生的自主学习意识.(1)在教学过程中学生归纳的少,教师说明的多,没有让学生充分发表自己的见解.(2)在学习画垂线的过程中,部分学生画的不够规范,教师在指导上不够到位.对于知识的形成,教师要充分让学生探索、观察,用自己的语言表述发现的问题,然后充分发挥集体的合力,取长补短,逐步完善,教师再给以适当的点拨,形成结论.画已知直线的垂线,教师要注意画图的指导,一要注意规范,二要注意对知识的分析与强化,使学生对垂线有更深一步的认识.从而达到对知识的理解和掌握,对于学生出现的问题一定要及时点评.。

5.1.2 垂线(第一课时)教学目标1.知识与技能：经历观察、操作、想像、归纳概括、等活动,培养了用几何语言准确表达的能力.2.过程与方法：了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.3、情感态度与价值观：学生在充分经历观察、操作、推理、验证、交流等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣。

教学重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 难点：过直线上（外）的一点作已知直线的垂线。

教学过程一、创设问题情境1.复习相交线的知识，并请学生观察跳水运动员与水平面的关系。

学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?3.垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。

4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.用符号表示为： ∵AB⊥CD，垂足为 O (已知)∴ （垂线的定义） 反过来∵ (已知 ) ∴ AB⊥CD（垂线的定义）或90=∠AOC 或90=∠BOD 或90=∠AOD90=∠BOC 或 90=∠AOC 或 90=∠BOD 或 90=∠AOD90=∠BOC5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.(2)练习：1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（）（A）有一个角为90°（B）有两个角相等（C）有三个角相等（D）有四个角相等（E）有四对邻补角（F）有一对对顶角互补（G）有一对邻补角相等（H）有两组角相等练习2、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关是 .例1、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.【变式训练】：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠2=125°,求∠COE的度数.（二）动手实践，深入探究1、做一做、想一想：①在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？教师可以演示以下的折法：②如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a 外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？【通过动手操作,体会垂线的存在性与唯一性。

O D C B A 导学案2：5.1.2 垂线（1）一、学习目标1.理解垂直、垂线的概念并会表示两条直线垂直.2.理解垂线的性质，会画一条直线的垂线.二、知识链接1．如图，若∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。

三、自学指导认真看课本(Ｐ3—Ｐ5)，完成以下问题。

1.阅读课本P 3的内容，回答上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。

2. 用语言概括垂直定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

3．垂直的表示方法：垂直用符号“ ”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图。

4.垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ ）∴AB ⊥CD （ ） （2）∵ AB ⊥CD （ ）∴ ∠AOD=90°（ ）5．垂直的生活应用观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么印象?找一找：在你身边，还能发现哪些“垂直”的实例？6．用三角尺或量角器画已知直线L 的垂线.(1)已知直线L ，画出直线L 的垂线，能画几条? L 小组内交流,明确直线L 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。

E (3)O D C B A (2)O D C B A (1)O D C BA (2)怎样才能确定直线L 的垂线位置呢?在直线L 上取一点A,过点A 画L 的垂线, 能画几条?再经过直线L 外一点B 画直线L 的垂线,这样的垂线能画出几条?B ．A ． LL从中你能得出什么结论? ____________________________________________2．变式训练,请完成课本P 5练习第2题的画图。