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截面几何性质 作业专业班级 姓名 学号1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。
（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。
（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。
（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。
则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。
A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。
A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。
A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。
A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。
A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。
习题I −1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=zm 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。
解：O(c)(a)z (b)l n n dzz zdz z z l n ln2100c++==⎰⎰()2c+=-=⎰⎰n l dzz ydy y l y nl n l nn解：由对称 r z =cπππ342322223222c r rr r ydy y r y r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。
（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。
（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-= I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
解：4302bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。
其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。
(a)a(b)C解：444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z 由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34c ry =所以由 2c 01Ay I I z z += 得 4222c m 1098.0314213927.010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m 30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAa I I z z I −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。
第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合。
若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
课时授课计划
第七章截面的几何性质
通过例子引入（让学生知道截面的重要性）
截面尺寸和形状完全相同的杆件，因为放置的方式不同，
其承载能力是大不相同的。
思考：抗弯能力与截面形状有何关系？
一、静矩与形心
平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心
坐标（形心到该轴的距离）的乘积。
特性：
当坐标轴通过该平面图形的形心（简称形心轴）时，静矩等于零；反之，若平面图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。
二、惯性矩
简单图形对其形心轴的的惯性矩
（见课本111页表7-1）
三、惯性矩的平行移轴公式
已知
对z 轴的惯性矩：
平行移轴定理，或称为平行移轴公式：截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
四、例题分析
1、T 字形截面尺寸及形心位置如下图所示，求该截面对其形心轴的惯性矩。
2、讲解：例8－7
五、讨论
形心的计算。
⎩⎨⎧+=+=b z z a y y C
C
⎰=A c z dA y I C
2
⎰=A z dA
y I 2⎰⎰++=+=A
C C A C z dA a a y y dA a y I )2()(2
2
2。
简明材料力学第3版课后答案第七章1.灰铸铁的硬度测定方法是（） [单选题] *A.布氏硬度(正确答案)B.洛氏硬度C.维氏硬度2.下列物质属于晶体的是（） [单选题] *A.松香B.水晶(正确答案)C.石蜡3.冷塑性变形的金属晶粒重新结晶为均匀的等轴晶粒需进行的热处理是( ) [单选题] *A.去应力退火B.完全退火C.再结晶退火(正确答案)4.下列情况属于相变过程的是（） [单选题] *A.液态金属的结晶(正确答案)B.晶粒长大C.冷变形金属的再结晶5.在铁碳合金的基本组成相中，属于金属化合物是（） [单选题] *A.铁素体B.渗碳体(正确答案)C.奥氏体6.调质是（） [单选题] *A.淬火+低温回火B.淬火+中温回火C.淬火+高温回火(正确答案)7.下列关于合金元素在钢中的作用论述错误的是（） [单选题] *A.合金元素的加入使铁素体产生固溶强化B.合金元素的加入使奥氏体相区的大小发生改变C.除钴外，合金元素的加入使C曲线左移(正确答案)8.阻止石墨化的元素有（） [单选题] *A.硅B.磷C.硫(正确答案)9.属于软基体上分布硬质点的轴承合金有（） [单选题] *A.锡基巴氏合金(正确答案)B.铝基轴承合金C.珠光体灰铸铁10.碳以片状石墨形式存在的铸铁是（） [单选题] *A.灰铸铁(正确答案)B.白口铸铁C.球墨铸铁11. 截面上的全应力的方向( ) [单选题] *A、平行于截面(正确答案)B、垂直于截面C、可以与截面任意夹角D、与截面无关12. 脆性材料的延伸率( ) [单选题] *A、小于5%(正确答案)B、小于等于5%C、大于5%D、大于等于5%13.危险截面是（）所在的截面。
[单选题] *A、最大面积B、最小面积C、最大应力(正确答案)D、最大内力14. 描述构件上一截面变形前后的夹角叫（） [单选题] *A、线位移B、转角(正确答案)C、线应变D、角应变15. 塑性材料的名义屈服应力使用（） [单选题] *A、σS表示(正确答案)B、σb表示C、σp表示D、σ0.2表示16. 描述构件上一截面变形前后的夹角叫（） [单选题] *A、线位移B、转角(正确答案)C、线应变D、角应变17.塑性材料的名义屈服应力使用（） [单选题] *A、σS表示(正确答案)B、σb表示C、σp表示D、σ0.2表示18. 构件在外力作用下（）的能力称为稳定性。
15-1(1-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的丁轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是二，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴"的惯性矩1-曲-hh 1_ 仍所以再次应用平行轴定理，得返回15-2(1-9) 试求图示"=-1■■-的半圆形截面对于轴T的惯性矩，其中轴T与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是亠:- -，用平行轴定理得截面对形心轴"的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴芒的惯性矩返回15-3(1-10) 试求图示组合截面对于形心轴 丁的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为匸的等边三 角形。
该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形 心轴T 的距离是利用平行轴定理，得组合截面对 芒轴的惯性矩如下:15-4(1-11)试求图示各组合截面对其对称轴主的惯性矩。
71 - 1 ^- = 3.3m3上面一个圆的圆心到-轴的距离是 ■返回120x10250X10解：(a) 22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是■ I1 '二兀1利用平行轴定理得组合截面对轴T的惯性矩仆=3.4xl07 +2X12IJX10X1151= 6.58xl07mm4(b)等边角钢100x100x10的截面积是1926mm，其形心距外边缘的距离是28.4 mm,求得组合截面对轴的惯性矩如下：珥=10x6003 + 2x250x10x3052 +4x1926x(300-2S.4)2 =1.21xlO p mm 4返回15-5(1-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴-的惯性矩。
关于形心位置，可利用该题的结果。
20 20解：形心轴芒位置及几何尺寸如图所示。
惯性矩匚计算如下:1 ■ 珥=—x400x205 -^400x20x364^ +12 12x20x150x(123,6-75)a = 3.63x：07mm4x 20x150返回D15-6(1-14) 在直径匸〜H的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩=和’*。
第7章 截面图形的几何性质教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。
当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。
研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心考察如图7.1所示任意截面几何图形。
在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。
定义下列积分d y AS z A =∫， d z AS y A =∫(7.1)图7.1分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。
其量纲为长度的三次方。
常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即d d AAzCy V y A S y V AA ===∫∫d d y AAC z Vz A S z VAA===∫∫第7章 截面图形的几何性质·91··91·所以，形心坐标为d Az Cy A Sy AA==∫， d y ACz A S z AA==∫ (7.2a)或y C S A z =⋅，z C S A y =⋅(7.2b)由式(7.2)可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即若0C y =，则0z S =，或若0C z =，则0y S =；反之，若图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必然通过图形的形心。
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
第七章 截面几何性质基本要求与重点1. 形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形 （3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2. 面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3. 惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩 （6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4. 了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1. 形心与重心（1）概念与性质 重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合 若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算 形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：2. 面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式 有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩； 所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心； 反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算nnS x S ixy i A i y c Ai 1 i 1x cnx ic A i i1y cny icA ii1AnnS y S iy x i A i x c Ai 1 i 13. 惯性矩与极惯性矩。
（1）定义点对轴的惯性矩：dIz y 2 dA，dI y z 2 dA点对点的极惯性矩2dI O 2dA图形对轴的惯性矩22I z y2dA , I y z 2dAAA图形对点的惯性矩2 I p 2dAA（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系若I y、I z 是某一图形对直角坐标系yOz 中两轴的惯性矩，I p 是对该坐标系原点O 的极惯性矩。
则：I p I z I y（4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。
（太长了，慢慢读）即：2I z I z C A d 2（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。
第1 步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。
第2 步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。
第3 步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。
4. 惯性积、形心主轴的概念惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。
I yz A z ydAA惯性积的值可为：正、负或零。
当I yz 0时，对应的坐标轴y、z 称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。
两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。
思考题与习题C 为形心， z 为形心轴，问 z 轴上下两部分对 z 轴的静矩存在答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正） 。
7-2 ．如图所示矩形截面 m-m 以上部分对形心轴 z 的静矩和 m-m 以下部分对形心轴 z 的 静矩有何关系？答：同上7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、 可负、还可为零？答:定义在主要内容中所详细说明。
由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。
面积元为正，坐标可能为正、 负、零。
所以惯性积，可为正、负、零。
而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所 以它们的积分也为正。
7-4．图 a 所示矩形截面，若将形心轴 z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形 截面图 b ，问此截面对 z 轴的惯性矩有何变化？为什么？7-1 ．如图所示 T 形截面， 什么关系？b）图离轴远的点更多。
47-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩I z D，则对z1轴的惯性矩如下128计算是否正确？为什么？Iz1 I1 a2A D4 D 2D 2 5 D4z1 1128 2 8 128答：不对。
平行移轴公式I z I z C a2A 中，I z C的轴必须是过形心且与z 平行的轴。
7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z是否就是图形形心到该轴的距离？答：1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：i z I A z。
惯性半径不是图形形心到该轴的距离。
2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。
（什么时候？）7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为z1轴，试计算对z1z1 轴的静矩。
2S z *300 (640 275.1)640 275.11.997 107mm 3解：a) S z 1 40 200 (2020 40) 160 40 421.248 106m m 3b) S z 12 (40 200 100) 240 40 (420 200) 3.712 106mm 3 或S z 1240 240 120 160 200 100 3.712106mm 3c)S z 180 40 (40160) 40 120 (12040) 120 40 20 1.152 106mm 37-8 ．如图 7—20 所示截面图形，求(1)形心 C 的位置；解： 1.求形心 C 的位置。
形心在 y 轴上，设到底边的距离为 y C 。
y 300 500 ( 250 140) 600 140 70 yC 300 500 600 140 2.阴影部分对 z 轴的静矩S z * 600 140 (275.1 70) 300 (275.1 140)275.12140 1.997 107m m 3 若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单 即2)阴影部分对 z 轴的静矩。
7-9 ．计算图示矩形截面对其形心轴z 的惯性矩；已知b=150mm ，h=300mm 。
如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z 轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。
解：1.矩形惯性矩33I z bh 150 3003.375 10 8mm4 z 12 122.工字形惯性矩I z 50122002 (35012501252 350 50) 5.875 108mm4 或用负面积法33I z350 3002150 2005.875 108mm4 z 12 123.计算增大的百分比p。
88p 5.875 10 3.3785 10 100% 74.74%解：a)图I b h32D4 240 12032IzC12264 1227-10 ．计算图示各图对形心轴z c、y c 的惯性矩。
83.375 10 83.1462460 3.329 107mm4b)图32200 802 ((1 82 ) 3.142 4043.142 40(1004 40)2)12 8 9 3.1422 2 3 3.1421.227 108mm 47-11．计算图示图形对其形心轴z 的惯性矩。
解1. 计算形心轴到顶边的距离dd180 60 30 2 60 15 2 (60 5) 60 240 (120 60) 114.0mm d180 60 2 60 15 2 60 240 114.0mm 2.计算对形心轴z 的惯性矩。
Iy C42 (D(3060)212 64 2b3h6424)342403120 2 (3.142 60412 64260223.142 60 ) 1.166 10 8mm4I z C43D 4 200 803128 12I y C12b12h2 ((81982) R42R(10042 3.142 801.054 10 7mm 41282)0.0109 108mm 41.318 108mm 4I z c I Iz c 2 I IIz c I III z c (1.151 2 0.0108 1.318) 108 2.491 108mm 4 7-12 ．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。
解：由型钢表可查得。
单个参数如下：面积A 19.261cm21.9261 103m m2 形心到边的距离z0 2.84cm28.4m m 对平行于边且过形心的轴的惯性矩I y C I z C179.51cm4 1.7951 106mm 4 由于y D是对称轴，且z D 过形心，根据形心主轴的性质可知y D、z D 是形心主轴。
I z D2I z C2 1.7951 106 3.590 106mm 4I y D2(I y C A (z0 5)2) 2(1.7951 106 1.926 103(28.4 5)2) 7.887 106mm 47-13 ．要使图示两个№10 工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离 a 的值。
解：查表得对单个工字钢：面积 A 14.345cm 21.4345 103mm 2I Iz cI II z c1801260 180 60 (d 30)2 180 6060 1560 15 2 (d 60 5)212180 60 (114 30)2 1.151 108mm43660 1560 15 2 (114 60 5)2363I III z c60 24060 240 (120 60 d) 2123601224060 240 (120 60 114)24 6 4I y C33. 0cm 4 0.330 106mm 4I z C245cm 4 2.45 106 mm 4 对两个工字钢I z 2I z C2 2.45 106mm 4 4.90 106mm 422I y 2(I y C A a4) 2 (0.330 106 1.435 103 a4) 要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：4.90 106 2 (0.330 106 1.435 103 a4)解得：a 76.9m m1.三角形的形心位置的讨论2.梯形的形心位置梯形也是常见的形状之，下面给出其形心位置公式。
1)形心到底的距离用 AE 将其分为两个三角形计算。
这个公式并不好记忆。
对于以后用的比较多的直角梯形可化简为：y Caa2 bbab【前面所有公式推导过程中， 三角形面积前的 32都没有写。
