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自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A∩B的值。
A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。
答案：-36. 计算等比数列1, 2, 4, ...的第5项。
答案：167. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
答案：25π8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-7三、解答题（共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 1110. 已知直线l1: y = 2x + 1和直线l2: y = -x + 3，求两直线的交点坐标。
答案：交点坐标为(1, 3)11. 已知圆心在原点，半径为5的圆，求圆的方程。
答案：x^2 + y^2 = 2512. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为2，当x = 3时取得。
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b与c的关系。
答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。
又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。
将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。
由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。
2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。
答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。
根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。
由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。
将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。
解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。
所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。
根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。
二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。
答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。
所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。
2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。
答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）目录：专题一：不等式 01～11页专题二：复数、平面向量 12～20页专题三：三角函数 21～27页专题四：创新与综合题 28～33页专题五：概率 34～43页专题六：数列与极限 44～55页专题七：解析几何 56～74页专题八：平面几何 75～83页专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一：不等式一、选择题。
1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。
自考本科数学卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题5分，共50分）1．等比数列}{n a 的公比为q ，则“01>a ，且1>q ”是“对于任意正自然数n ，都有n n a a >+1”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件2．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，x x f )31()(=，那么)9(1--f 的值为（）（A ）2（B ）－2（C ）3（D ）－33．已知数列}{n a 中，31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则2003a 等于（）（A ）6（B ）－6（C ）3（D ）－34、0=b 是直线b kx y +=过原点的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5、方程43)22(log =x 的解为（）A .4=x B .2=x C .2=x D .21=x 6.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率,由表可知,从2011年到2014年,消费量占比增长率最大的能源是（）A.天然气B.核能C.水利发电D.再生能源表我国各种能源消费的百分率原油（%）天然气（%）原煤（%）核能（%）水利发电（%）再生能源（%）2011年17.7 4.570.40.7 6.00.72014年17.55.666.01.08.11.87.若角α的终边过点()6,8P -,则角α的终边与圆221x y +=的交点坐标是（）A.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8.关于x,y 的方程y mx n =+和221x y m n +=在同一坐标系中的图象大致是（）12349.已知()2nx -的二项展开式有7项,则展开式中二项式系数最大的项的系数是（）A.-280B.-160C.160D.56010.若有7名同学排成一排照相,恰好甲、乙两名同学相邻,并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（）A.421B.121C.114D.2711、已知定义在R 上的函数12)(-=-mx x f (m 为实数)为偶函数，记)3(log 5.0f a =，)5(log 2f b =，)2(m f c =，则c b a ,,的大小关系为()A 、c b a <<B 、b a c <<C 、b c a <<D 、ab c <<12、不等式152x x ---<的解集是（）A 、(,4)-∞B 、(,1)-∞C 、(1,4)D 、(1,5)13、函数x x y 2cos sin =是()A 、偶函数B 、奇函数C 、非奇非偶函数C 、既是奇函数，也是偶函数14、若(12)a ＋1<(12)4－2a ，则实数a 的取值范围是()A 、(1，＋∞)B 、(12，＋∞)C 、(－∞，1)D 、(－∞，12)15、化简3a a 的结果是()A 、aB 、12aC 、41aD 、83a16、下列计算正确的是()A 、(a3)2＝a9B 、log36－log32＝1C 、12a -·12a ＝0D 、log3(－4)2＝2log3(－4)17、三个数a ＝0.62，b ＝log20.3，c ＝30.2之间的大小关系是()A 、a<c<bB 、a<b<cC 、b<a<cD 、b<c<a18、8log 15.021+-⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为()A 、6B 、72C 、16D 、3719、下列各式成立的是()A 、()52522n m n m +=+B 、(ba)2＝12a 12bC 、()()316255-=-D 、31339=20、设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝3，则m 等于()A 、310B 、10C 、20D 、100二、填空题：（共20分）1.sin15°.cos15°=___2.在△ABC 中，AB=1,AC=2,A=60°，则S ∆ABC=___3.若1.3.x 成等比数列，则实数x=_______.三、解答题：（本题共3小题，共50分）1.计算：34cos49()15(4log 212π+--+.2.设c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，S 是ABC ∆的面积，已知4,5,a b S ===(1)求角C ;(2)求c 边的长度.3.已知函数)1,0()(≠>+=b b b a x f x的图象过点)4,1(和点)16,2(.(1)求)(x f 的表达式；(2)解不等式23)21()(x x f ->；(3)当]4,3(-∈x 时，求函数6)(log )(22-+=x x f x g 的值域.参考答案：一、选择题1-5题答案:AABCA 6-10题答案:DADBA 11-15题答案:BABAB;16-20题答案:BBCDA.部分选择题解析：6、【答案】D 【解析】根据表1可知,从2011年到2014年,天然气：5.6 4.5100%24.4%4.5-⨯≈,核能：1.00.7100%42.9%0.7-⨯≈,水力发电：8.1 6.0100%35%6.0-⨯=,再生能源：1.80.7100%157.1%0.7-⨯≈,则消费量占比增长率最大的能源是再生能源.7、【答案】A 【解析】因为()6,8P -,10=,设交点为()11,x y ,又因为圆的半径为1,因此有11141085y y =⇒=,1131065x ==,又因为终边在第二象限,所以选A.8、【答案】D 【解析】当221x y m n +=的图象为椭圆时,00m n >>，,则y mx n =+的图象单调递增,且与y 轴的截距大于0,A 、B 均不符；当221x y m n +=的图象为双曲线时,○1当00m n <>，时,双曲线的焦点在y 轴上,y mx n =+的图象单调递减,且与y 轴的截距大于0；○2当00m n ><，时,双曲线的焦点在x 轴上,y mx n =+的图象单调递增,且与y 轴的截距小于0,综上所述,选项D 正确.9、【答案】B 【解析】()2nx - 的二项展开式有7项,6n ∴=,()616C 2kk kk T x -+=-,又展开式中二项式系数最大的项为第4项,则()3363346C 2160T x x -=-=-,则其系数为160-.10、【答案】A 【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列,有22A 种排列方法,将甲乙作为一个整体,除去丙丁将其他人进行全排列,有44A 种排列方法,再利用插空法将丙丁进行插空,有25A 种排列方法；总共有77A 种排列方法,所以概率为24224577A A A 4A 21⋅⋅=.二、填空题1.答案:0.252.答案:解析:由三角形的面积公式，得3.答案:9三、解答题解：原式=)3cos(23(121ππ++-+=3cos 233π--=21233--=12．解：(1)由题知5,4,35===b a SC ab S sin 21=Csin 542135⨯⨯=∴23sin =∴C 又 C 是ABC ∆的内角3π=∴C 或32π=C (2)当3π=C 时，3cos2222πab b a c -+=215422516⨯⨯⨯-+=21=21=∴c当32π=C 时，22222cos3c a b ab π=+-215422516⨯⨯⨯++=61=61=∴c xx f 4)(=∴（2）23)21(4x x-> 32222->∴xx 322->∴x x 0322<--∴x x 31<<-∴x ∴不等式的解集为)3,1(-（3）64log )(22-+=x x g x 62log 222-+=x x 622-+=x x 7)1(2-+=x 1(3,4]-∈- 7)(min -=∴x g 当4=x 时，max ()18g x =∴值域为]18,7[-。
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分,共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数，则．8．设,且函数的最大值为,则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数，对于，定义,若，则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径,工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值．12．设函数,试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性）,求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。
3。
2 4. 5。
6。
27. 8。
9。
10。
11。
,12.；偶函数;；；周期为 13。
；14。
略;反证法 15。
2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。
1。
1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,,则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数，若存在负数使得,则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中，，，,，,，,,，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2)二．不等式 (9)三．函数 (20)四．数列 (27)五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31)六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35)七．复数 (39)八．三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)nnni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)1.已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边，则$a+b+c-2ab-2bc-2ca$的值是（）。
A。
恒正 B。
恒负 C。
可正可负 D。
非负答案：选B根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得$a+b-c>0$，$a-b+c>0$，$a+b+c>0$，$-a+b+c>0$。
将其代入原式，得$(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c-2ab-2bc-2ca)<0$，因此原式恒为负数，选B。
2.设$m$，$n$是正整数，满足$m+n>mn$，给出以下四个结论：①$m$，$n$都不等于1；②$m$，$n$都不等于2；③$m$，$n$都大于1；④$m$，$n$至少有一个等于1，其中正确的结论是（）。
A。
① B。
② C。
③ D。
④答案：选D将$m+n-mn>0$移项得$(m-1)(n-1)<1$。
因为$m$，$n$是正整数，所以只有$m=1$，$n=1$或$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$不满足条件，而$m=1$，$n$任意或$m$任意，$n=1$都满足条件，因此选D。
3.已知关于$x$的方程$2x+a=x+a$有一个根为1，则实数$a$的值为（）。
A。
$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ B。
$0$ C。
$1$ D。
以上答案都不正确答案：选A将$x=1$代入方程，得$2+a=1+a$，解得$a= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
当$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$2x^2+2x+(1+\sqrt{5})=0$，无实根，舍去；当$a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$x^2-x-(1+\sqrt{5})=0$，有一个根为1，因此选A。
4.已知$a$，$b$，$c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x$，$y$，$z$的值，下列说法正确的是（）。
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11ab-= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅=L ．6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为 ． 7．设函数()xf x x=，则2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ．8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为252，则a = ．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121()1x f x x -=+，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件圆弧半径测量问题．为测量一工件的圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10,4r mm h mm ==时，R 的值．12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π的图像．13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．参考答案：1. 21x -2. 12- 3. 2 4. 945. ()1!1n +-6. 27. ()()()1102112104nn n x n x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪<⎪⎩8. ± 9. 4345 10. 2353x x -- 11.22R r r h=+，60R mm = 12.⎡⎣；偶函数；11,224k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z()k Z ∈；11,242k k πππ+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦]()k Z ∈；周期为2π13. min 54d =；5,42M ⎛± ⎝⎭14.略；反证法 15. 2；3；232322n n --⨯+2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一．填空题1．若21()21x x f x -=+，1()()g x f x -=，则3()_______5g =．22．函数218x y x +=+的最大值为__________．143．等差数列中，81353a a =，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为__________．204．复数||1z =,若存在负数a 使得2220z az a a -+-=，则________a =5．若1cos sin 2x x -=，则33cos sin ________x x -=．11166．数列{}n a的通项公式为n a =，则这个数列的前99项之和99_______S =．9107．2(1)(1)x x ++++……9899(1)(1)x x ++++中3x 的系数为________．4100C =39212258．数列{}n a 中，00a =，112a =-，26a =，334a =-，420a =，556a =-，642a =，778a =-，872a =，此数列的通项公式为_______n a =．(1)(1)(1)nnn n --+9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．2310．若曲线221:0C x y -= 与 222:()1C x a y -+=的图像有3个交点，则a = ．1±二．解答题1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a ；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b ． （１）a 是否有可能比b 高？ （２）a 和b 是否可能相等？ 1．解：()1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b =； ② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ≤；③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a 所在列与b 所在行相交的人为x 。
因为a 为a 、x 列最矮的人，所以有a x <； 又因为b 为b x 、列最高的人，所以有b x >；于是有a x b<<。
综上，不可能有a b>()2有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,330……，如图2所示：此时有26==．a b3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．（１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（２）若不考虑()1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：()1乙专家若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。
中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。
澳澳中中卡卡伊伊总分澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 31 3 0 3 10 卡 0 3 1 03 3 10 伊 0 0 3 0 0 03假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。
12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。
而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。
()2若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。
澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳3 0 3 0 3 3 12 中 0 30 3 3 3 12 卡 0 3 3 03 3 12 伊 0 0 0 0 0 0假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！ 故中国队至少得13分才可以确保出线。
4．通信工程中常用n 元数组123(,,,)n a a a a ……表示信息，其中0i a =或1，i n N ∈、．设123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，(,)d u v 表示u 和v 中相对应的元素不同的个数．（１）(0,0,0,0,0)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)1d u v =；（２）(1,1,1,1,1)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)3d u v =； （３）令0(0,0,00)n w =14243个……，123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，求证：(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥． 解：()15； ()23510C =；()3记u v 、中对应项同时为0的项的个数为p ，对应项同时为1的项的个数为q ，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n p q --；()p q N p q n ∈+≤、，．(,)d u w 即是u 中1的个数，(,)d v w 即是v 中1的个数，(,)d u v 是u v、中对应项一个为1，一个为0的项的个数。
于是有(,)d u v n p q =--u v 、中1一共有2()q n p q +--个，即(,)(,)d u w d v w n p q +=-+所以有(,)(,)(,)20d u w d v w d u v q +-=≥ 于是(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥．5．曲线()220y px p =>与圆22(2)3x y -+=交于A B 、两点，线段AB 的中点在y x =上，求p ． 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立22(2)3x y -+=与22y px =， 得：22(2)10x p x +-+=． 知1222x x p +=-，121x x =； 22212121212()22()y y y y y y p x x +=+-=+ 且1212y y x x +=+． 得124(2)(1)y y p p =--．又2222121244y y p x x p ==． 所以21228124y y p p p ==-+解得p =或p =． 2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生 数学试题 一、选择题,1.已知向量,a b r r 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥r r r r r r 则,a b r r夹角为( ) A. 6πB. 3π C. 32π D. 65π 2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()tan()αβγαβγ++=-+( )A.11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.11n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )4.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则2221z z z i-+-+的最大值为( )1 B. 21 D. 2+5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=,则抛物线方程为( )A.. 216y x =B. 28y x =C. 216y x =-D. 28y x =- 6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )D.27.若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值围为( )A. (0,1)B. 1(,1)4C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞8.如图,ABC ∆接于O e ,过BC 中点D 作平行于AC 的直线,ll 交AB 于E ,交O e 于G F 、,交O e 在A 点处的切线于P,若3,2,3PE ED EF ===,则PA 的长为( ) D.9.数列{}k a 共有11项,1110,4,a a ==且1||1,1,2,k k a a k +-==L 满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 160 10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转,τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用k σ表示连续k 次σ的变换,则234στστστσ是( ) A. 4σ B. 5σ C.2στ D.2τσ 二、解答题13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆与直线y x =相切.(1)求椭圆的方程;(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.14.一袋中有a 个白球和b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X . (1)求1EX ;(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+=L(3)证明:11(1) 1.n n EX EX a b+=-++ 参考答案: 一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D二.解答题13.【解】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,因为它与直线y x =只有一个公共点,所以方程组22221,x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解,整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=.所以2222222()4((3)0,a b a a b =--+-=V 得223a b +=.又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b ==所以椭圆方程为2212x y +=.(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,则||||22PMQN PQ MN S ⋅===四边形.若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k-.所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y联立方程221,2.x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.则22121222422,2121k k x x x x k k --+==++所以12|||PQ x x=-==同理可得||MN=所以222422242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252 PMQNkPQ MN k k kSk k k k k k⋅+++====-++++++四边形242221114()4()12410424410kk k kk=-=-++++因为22144101018kk++≥=（当且仅当21k=时取等号）所以,2211(0,],1184410kk∈++也所以2211164()[,2]1294410kk-∈++所以综上所述,PMQNS四边形的面积的最小值为169,最大值为2.14.【解】(1)1n=时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为aa b+;也可能为1a+个(即取出的是黑球),概率为ba b+,故21(1)a b a ab bEX a aa b a b a b++=⋅++⋅=+++.(2)首先,10(0);naP X a Pa b+=+=⋅+1k≥时,第1n+次取出来有a k+个白球的可能性有两种;第n次袋中有a k+个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b+个白球(故此时黑球有b k-个),第1n+次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为;ka kPa b+⋅+第n次袋中有1a k+-个白球,第1n+次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b+个,故此时黑球的个数为1b k-+.这种情况发生的概率为11(1)kb kP ka b--+⋅≥+.故111()(1).n k k a k b k P X a k P P k a b a b+-+-+=+=⋅+⋅≥++ (3)第1n +次白球的个数的数学期望分为两类:第n 次白球个数的数学期望,即n EX .由于白球和黑球的总个数为a b +,第1n +次取出来的是白球,这种情况发生的概率是nEX a b+;第1n +次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是na b EX a b+-+,此时白球的个数是 1.n EX +故21()(1)(1)(1)n n n nn n n n EX a b EX EX EX EX EX EX EX a b a b a b a b ++-=+⋅+=+-+++++22()())11(11n n n n n EX EX EX EX EX a b a b a b a b=+-+-=-+++++清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2009年12月30日）1.求()xe f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑. 3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线60x y+=，12y x=，0y=所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组21260y xy xx y<⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知(1,1)A--，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)xy x=>一支上.(1)求证B、C关于直线y x=对称；(2)求△ABC的周长.复旦大学2010年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1．sin x+sin y=0，则cos2x-sin2y=___________________．2．平面π1,π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y=________________________．4．0，1不能是首位，则本市从7位升到8位，使得资源增加____． 5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________．6．15(x的常数项为_________________．7．n ＝__________________． 8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|． 4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？ 5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．1．设f (x )1，则10(2)f x dx =⎰__________． 2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+v v v 在向量34b i j =+v v v上的投影()ba =v v __________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)，则k 的取值围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．2、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号) 1．若今天是星期二，则31998天之后是( ) A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值围是 ( ) A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( ) A ．-2B ．2C ．-4D ．43、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=L ，1212n n a a a +=L ． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++>L ． 4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．1. 数12825N =⨯的位数是_______________。
