高中数学人教B版选修12练习312 复数几何意义

例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解：（1）当x 3 0，即 x 3 时，复数z是实数； （2）当 x 3 0，即 x 3 时，复数z 是虚数； （3）当x 2 0且 x 3 0，即 x 2 时，复数z是纯虚数.
例如，2 i，2 i 2i ，0 i 0，(1) i i ，1 i.
定义：形如a b（i a，b R ）的数称为复数.
定义：形如a b（i a，b R ）的数称为复数. 复数一般用小写字母z表示，即 z a b（i a，b R ）. 其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数：
（1）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：虚数有2 i ，3 i ，i ， 2i ； 其中纯虚数有i ， 2i .
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.
平面直角坐标系中的点 Z (a,b)能唯一确定一个以原 点为始点，Z 为终点的向量OZ .
复数 z a bi 与坐标平面内的向量OZ 建立一一对应 关系，即
复数 z a bi 向量 OZ (a,b) .
复数 z a bi 点 Z (a,b) 向量OZ (a,b) .
说明：向量OZ (a,b)的长度称为复数 z a bi 的模， 复数z的模用 | z |表示，因此| z | a2 b2 .
有理数 实数
测量、分配 度量的 中的等分 需要
N ZQ R
自然数

复数还有哪些特征能和
平面向量类比?
达标检测
1.设 i 为虚数单位， 若 z cos i sin 对应的点位于复平面的第 四象限，则 为（ ） A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
2．下列命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②
2 若|z|≤2，则－2≤ z≤2；③若 z1 ＋z2 2＝0，则 z1＝z2＝0.其中正
z a bi (a R, b R)
实部
虚部
其中
i 称为虚数单位。
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数）
z=a+bi Z(a,b)
a
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面 (简称复平面) x x轴------实轴 o y轴------虚轴
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
数学运用一
变式训练：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
确命题的个数为( A．0 个
)
B．1 个 C．2 个 D．3 个

应用创新演练见课时跟踪训练(八)
其共轭复数为－15－8i. 法二：原式可化为 z＝2－|z|＋8i， ∵|z|∈R，∴2－|z|是 z 的实部， 于是|z|＝ 2－|z|2＋82， 即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i 得 z＝－15＋8i. 其共轭复数为 z＝－15－8i. [一点通] 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用 模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比 较大小．
1．设 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R
D．a＞0，b∈R
解析：复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，
虚部可为任意实数．
答案：D
2．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边 长为 1)．
解：如题图所示，点 A 的坐标为(4,3)， 则点 A 对应的复数为 4＋3i. 同理可知点 B，C，F，G，H，O 对应的复数分别为： 3－3i，－3＋2i，－2,5i，－5i,0.
1．复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复 平面内， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1 ，y 轴的单位是 i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应 复数 0 . 2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi一一对应有序实数对(a，b) 一一对应点 Z(a，b)．
7．复数 z＝x＋3＋i(y－2)(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨
迹是
．
解析：∵|z|＝2，∴(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
答案：以(－3,2)为圆心，2 为半径的圆 8．设 z∈C，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？

复数的几何意义【教学目标】明白得复数与从原点动身的向量的对应关系，把握复数的向量表示 ，复数模的概念及求法，复数模的几何意义；体会数形结合的思想在数学中的重要意义；体会事物间的普遍联系.【教学重点】复数的几何意义 【教学难点】复数的模一、课前预习：（阅读教材86--87页，完成知识点填空）1.试探：实数与数轴上的点是一一对应的，实数能够用数轴上的点来表示，那么复数可否也能用点来表示呢？2.复平面、实轴、虚轴．．．．．．．．．：复数),(R b a bi a z ∈+=与有序实数对),(b a 是 对应关系这是因为关于任何一个复数),(R b a bi a z ∈+=，由复数相等的概念可知，能够由一个有序实数对),(b a 惟一确信，如i z 23+=能够由有序实数对 （ ） 确信，又如i z +=2能够由有序实数对( )来确信；又因为有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，成立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数),(R b a bi a z ∈+=可用点),(b a Z 表示，那个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，也叫高斯平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 .实轴上的点都表示 ，关于虚轴上的点要除 外，因为原点对应的有序实数对为 ，它确信的复数是 ，表示是实数.故除原点外，虚轴上的点都表示 .在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数 ，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数 ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是 ，i z 35--=对应的点( )在第 象限.3.复数的模．．．．：设复数),(R b a bi a z ∈+=对应的点为Z ，那么复数z 对应的向量为 ， 向量的 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模（或 ），记作 .则=+||bi a .当0=b 时=||z ，为实数意义上的绝对值，4.共轭复数．．．．： . ),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数记作复平面中，两个互为共轭复数对应的点关于 对称.二、课上学习：（参照教材87页例题，探讨完成）例1.已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,求它们的模和共轭复数.例2.设C Z ∈，知足以下条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z|=1 ； (2)2||≥z ； （3） 2<|z |<3三、课后练习：页练习A,89页练习B2.以下命题中的假命题是（ ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

设 $z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di neq 0$，则 $frac{z_1}{z_2} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
02
复数在平面坐标系中表示
复平面与极坐标系简介
学科竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和 数学建模等活动，提高应 用复数解决问题的能力。
未来发展趋势预测
复数在物理学中的应用
预测复数在量子力学、电磁学等物理 学领域的应用前景和发展趋势。
复数在工程领域的应用
探讨复数在信号处理、控制系统等工 程领域的应用潜力和发展方向。
复数在计算机科学中的应用
分析复数在计算机图形学、人工智能 等领域的应用前景和挑战。
复平面
复平面是一个二维平面，其中横轴表 示复数的实部，纵轴表示复数的虚部 。这样，每个复数都可以在复平面上 找到一个对应的点。
极坐标系
极坐标系是一种二维坐标系，其中每 个点由到原点的距离（半径）和从正x 轴逆时针旋转到该点的角度（极角） 来确定。
复数在复平面上表示方法
点表示法
在复平面上，一个复数a+bi可以 表示为点(a,b)。
几何变换：旋转、伸缩和反射
旋转
在复平面上，旋转可以通过乘以 复数 $e^{itheta}$ 实现，其中 $theta$ 是旋转角度。例如，将
点 $z$ 绕原点逆时针旋转 $theta$ 角度后得到点 $ze^{itheta}$。
伸缩
伸缩可以通过乘以一个实数实现 。例如，将点 $z$ 沿着从原点到 该点的直线方向拉伸或压缩 $k$ 倍（$k > 0$）后得到点 $kz$。

A组第4题、第5题； B组第1题、第2题
2.思考：满足 | z 2 3i | 1的复数 平面上构成怎样的图形？
z 对应的点在复
3.选做：查阅资料，复数在实际生活中有哪些应用？
新知探究 思考1：在几何上，我们用什么来表示实数？
A
a
实数
(数)
一一对应
数轴上的点
(形)
思考2：类比实数的几何表示，可以用什么来表示复 数？
z a bi
(a, b R)
实部 虚部
( a, b)
1.复数的几何意义(1)
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi y b
一一对应
直角坐标系中的点 复平面内 Z(a,b)
思考:(1)满足 | z | 5 ( z R) 的
z 值有几个？ (2)满足 | z | 5 ( z C ) 的 z 值有几个？这些复数
对应的点在复平面上构成怎样的图形？ y 5
-5
O
-5
5
x
(3)满足 3 | z | 5 的复数 z 对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
(3)满足 3 | z | 5 的复数 z 对应的点在复平面上构 构成怎样的图形？ y 5 3 –5 –3
a
3.复数的模
平面向量 OZ (a, b) 的模 叫做复数 z a bi的模
2 2 | OZ | a b | z |
y b
Z(a,b)
注:(1) | z | 0
(2)两个复数的模可以比较大小
OZ
o
a
x
1 例2：求复数 z1 3 4i 及 z2 2i 的模，并 2
建立了直角坐标系 来表示复数的平面 ------复平面 x轴 ------实轴

探究4：已知 z 4, 求 z 6 8i 的最大值和最小值。 最大值14，最小值6
结论： z1 z2 表示点Z1, Z2两点间的距离
自我总结
这节课我们学习了: 体验落实
A．0 C．－5i
课堂反馈
) B．－5 D．5
→ → 1．在复平面内，若OZ＝(0，－5)，则OZ对应的复数为(
→ 【解析】 OZ对应的复数z＝0－5i＝－5i.
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × ) (3)复数的模一定是正实数． (× )
2．已知复数 z＝i，复平面内对应点 Z 的坐标为 A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
( A )
3．向量 a＝(1，－2)所对应的复数是 A．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i B．z＝1－2i D．z＝－2＋i
【自主解答】 复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1， 在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)． (1)若z对应的点在实轴上，则有 1 2a－1＝0，解得a＝ . 2 (2)若z对应的点在第三象限，则有
2 a －1<0， 2a－1<0，
1 解得－1<a< . 2
( B )
5 4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝________.
例题讲解
复数与点的对应关系
典例 :已知复数z (a 2 1) (2a 1)i, 其中a R.当复数z在复平面内 对应的点满足下列条件 时，求a的值（或取值范围）。 （ 1）在实轴上；（ 2）在第三象限；（ 3）在抛物线y 2 4 x上。
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面叫复平面

2.复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应 点的坐标为(a,b),而不是(a,bi). (2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向 量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复 平面上与 相等的向量有无数个.
OZ
探究点2 复数的模 1.复数的模可以等于该复数吗? 提示:可以,当复数为正实数和0时就可以. 2.任意两个复数的模能比较大小吗? 提示:复数的模为实数,故能比较大小.
(2)由题意得
m2 m2
m 2 0, 3m 2 0,
所以1 m 所2以, -1<m<1.
(3)由已m 知2得或mm<21-, m-2=m2-3m+2.所以m=2.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？
提示：( -1，0). 3
2.典例2中复数对应的点有什么特点? 提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等. 3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标 是什么? 提示:(m2-m-2,m2-3m+2).
【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，
【归纳总结】 对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比 左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示, 所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大 小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.
(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=
+i2对 3
A.第一象限内
B.实轴上
C.虚轴上
D.第四象限内
2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x m

例2:说出图中 复平面内点所 表示的复数 (每个小方格 的边长是1)
y
C
-8+6i
6+7i
A
B
-6
O D
x
-3i
E
2-7i
例3:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
m 2 m 6 0 3 m 2 解：由 2 得 m m 2 0 m 2 或 m 1
a c b d
问题1：
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 条件
必要不充分
问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较 大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:
当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
虚数不可以比较大小！
复数的几何意义
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数）
练：复数z与
所对应的点在复平面内
z
(
)
(A)关于 A x轴对称 (B)关于y轴对称 (C)关于原点对称(D)关于直线y=x对称
z 与z 思考： 、
z 之间有什么关系？
| z || z | a2 b2
| z | | z | z z
2 2
例5:求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=5-5i
一、复习回顾： 1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
b 0a R ; a 0 纯虚数： b 0 复数相等 a bi c di 特别地，a+bi=0 . a=b=0
虚数：
z a bi (a R, b R) 复数的代数形式: a 复数的实部 ，虚部 . b 实数： b 0a R ;

高二数学人教选修1-2课后练习第3章数系的扩充与复数3.1.2 复数的几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016²黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016²烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016²西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin 【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016²潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016²武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016²郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016²福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016²南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0²x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016²合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016²黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016²烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016²西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016²潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016²武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016²郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016²福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016²南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0²x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016²合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014²重庆高考)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】根据复数的几何意义直接写出复数对应复平面内点的坐标进行判断.【解析】选B.实部为-2，虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2，1)，位于第二象限，故选B.【补偿训练】(2015²郑州高二检测)已知a∈R,且0<a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1)i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为0<a<1,所以a>0且a-1<0,故复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点(a,a-1)位于第四象限.故选D.2.(2015²大连高二检测)若复数z=(a2-3a+2)+(a2-4)i对应的点在虚轴上(不包含原点),则实数a的值等于( )A.1B.2C.1或2D.±2【解析】选A.复数z对应的点的坐标是(a2-3a+2,a2-4),依题意应有解得a=1,即实数a的值等于1.3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )A.-<x<2B.x<2C.x>-D.x<-或x>2【解析】选A.依题意应有<,即5x2-6x+2<10,解得-<x<2,故选A. 【补偿训练】1.使|lo x-4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是( )A. B.(0，1]∪[8，+∞)C.∪[8，+∞)D.(0，1)∪(8，+∞)【解析】选C.因为|lo x-4i|≥|3+4i|==5，所以(lo x)2+42≥25，所以≥9，所以lo x≥3或lo x≤-3，所以0<x≤或x≥8.2.已知i为虚数单位，z1=a+i，z2=2-i，且|z1|=|z2|，求实数a的值.【解析】因为a为实数，所以|z1|=，|z2|==，因为|z1|=|z2|，所以=.所以a2=4，所以a=〒24.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解析】选C.复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.故选C.5.在复平面内,O为原点,若向量对应的复数z的实部为3,且||=3,如果点A关于原点的对称点为点B,则向量对应的复数为( )A.-3B.3C.3iD.-3i【解析】选 A.根据题意设复数z=3+bi,由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),已知||=3,即=3,解得b=0,故z=3,点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z'=-3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.【解析】由题意知||=|z|==13.答案:13【补偿训练】(2015²武汉高二检测)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2= .【解析】z1在复平面上的对应点为(2，-3)，关于原点的对称点为(-2，3)，故z2=-2+3i.答案：-2+3i7.设z为纯虚数，且|z-1|=|-1+i|，则复数z= .【解题指南】设z=ai(a∈R，且a≠0)，利用模长公式来求解.【解析】因为z为纯虚数，所以设z=ai(a∈R，且a≠0)，则|z-1|=|ai-1|=.又因为|-1+i|=，所以=，即a2=1，所以a=〒1，即z=〒i.答案：〒i8.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.【解析】由已知,得解得1<x<2.答案:(1,2)【补偿训练】i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .【解题指南】利用复数的几何意义求解.【解析】根据复数的几何意义,z1=2-3i与z2=-2+3i关于原点对称.答案:-2+3i三、解答题(每小题10分，共20分)9.设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)|z|=2.(2)|z|≤3.【解题指南】利用复数模的计算公式转化为实际x,y满足的条件来求解.【解析】(1)|z|=2,表明向量的模(长度)等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.【一题多解】本题还可用下面的解法设z=x+yi(x,y∈R)(1)由|z|=2,得=2,所以x2+y2=4,所以点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(2)由|z|≤3,得≤3,所以x2+y2≤9,所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.【补偿训练】已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，求实数a的取值范围.【解题指南】根据复数的代数形式求模后，转化为含参数的二次不等式来求解.【解析】因为|z1|=，|z2|=|x2+a|，且|z1|>|z2|，所以>|x2+a|⇔(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①：1-2a=0⇒a=，即a=时，0·x2+>0恒成立.或②：⇒-1<a<.所以a∈.因此实数a的取值范围是.10.实数m分别取什么数时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在第三象限?(2)对应的点在直线x+y+4=0?【解析】z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.因为m∈R,所以z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.(1)要使z对应的点在第三象限,必有⇒所以-3<m<-2.(2)要使z对应的点在直线x+y+4=0上,必有点(m2+5m+6,m2-2m-15)满足方程x+y+4=0,所以(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,解得m=-或m=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是( )A.z对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z对应的点在实轴上方D.z一定是实数【解析】选C.因为2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=(t+1)2+1≥1,所以排除A,B,D.故选C.2.下列命题中的假命题是( )A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【解析】选D.①任意复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0总成立.所以A为真；②由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0，故B为真；③若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，所以|z1|=|z2|，反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时|z1|=|z2|，故C为真；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，所以D为假命题.故选D.二、填空题(每小题5分，共10分)3.复数z=sin40°+isin230°的模等于.【解析】|z|====1.答案:14.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a= .【解题指南】根据三个复数对应的点共线,可得到任两点连线的斜率相等,建立方程可求a 的值.【解析】设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),由已知可得=,从而可得a=5.答案:5三、解答题(每小题10分，共20分)5.实数k为何值时,复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i对应的点位于:(1)x轴正半轴上?(2)y轴负半轴上?(3)第四象限的角平分线上?【解题指南】先确定复数的实部与虚部,并求出复数z的对应点,再进行计算.【解析】因为k为实数,所以k2-3k-4,k2-5k-6都为实数,所以复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i的对应点Z的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6).(1)若对应点位于x轴正半轴上,则解得k=6.(2)若对应点位于y轴负半轴上,则解得k=4.(3)若对应点位于第四象限的角平分线上,又第四象限的角平分线的方程为y=-x(x>0),所以解得k=5.【补偿训练】已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围).(1)在实轴上.(2)在第三象限.(3)在抛物线y2=4x上.【解析】复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1，2a-1).(1)若z对应的点在实轴上，则有2a-1=0，解得a=.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得-1<a<.(3)若z对应的点在抛物线y2=4x上，则有(2a-1)2=4(a2-1)，即4a2-4a+1=4a2-4，解得a=.6.复数i，1，4+2i分别对应平面上A，B，C三点，另取一点D作平行四边形ABCD，求BD 的长.【解析】由题意得向量对应的复数为1-i，设D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，则=(4-x，2-y)，由=，得解得所以D对应的复数为3+3i，所以=(2，3)，则||=，即BD的长为.。

习交流 2
复数 z=3+4i 的模为( ).
A.25
B.5
答案:B
C.2 5
D. 5
课堂合作探究
问题导学
一、复平面内的点与复数的关系 活动与探究 1
1.在复平面内,点 A,B 对应的复数分别是-3+2i,1-4i,则线段 AB 的中 点对应的复数是( ).
A.-2-2i B.4-6i C.-1-i D.2-3i
< =
0, 0,
∴
m
3 =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ< -7
������ < 5, 或m=
4,∴m=4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴), 而 m2+3m-28≥0,
解得 m≥4 或 m≤-7.
迁移与应用 1.复数 z=-2i-1,则复数 z 在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:复数 z 在复平面内的对应点为(-1,-2),该点位于第三象限. 答案:C
(2)如何理解复数的几何意义? 提示:①在复平面中,复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的点应该是 Z(a,b),而 不是(a,bi). ②复数 z=a+bi 的对应向量OZ是以原点 O 为起点,否则就谈不上一 一对应. ③我们常把复数 z=a+bi(a,b∈R)说成点 Z 或说成向量OZ,并且规定, 相等的向量表示相等的复数.
迁移与应用
已知复数 z=a+i(0<a<2),则|z|的取值范围是
.
解析:|z|= a2 + 1,
∵0<a<2,∴1<a2+1<5,∴1<|z|< 5.

5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________. [答案] 3i
[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9. 又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数， ∴ab＝ ＋03， ≠0 ，ab＝ ≠0－，3， 又 a2＋b2＝9，∴a＝0，b＝3.
三、解答题 6．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋ (m2－2m－15)i是： (1)对应点在x轴上方； (2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析] (1)由 m2－2m－15>0，得知 m<－3 或 m>5 时，z 的对应点在 x 轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知： m＝－3－4 41或 m＝－3＋4 41， z 的对应点在直线 x＋y＋5＝0 上．
[解析] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为 m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得mm22－－m3m－＋2＜2＞00 ∴－m＞1＜2或m＜m＜2 1’ ∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
一、选择题
1．在下列结论中正确的是
()
A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
B．任何两个复数都不能比较大小
C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数
集是一一对应的
D．－1的平方根是i
[答案] A
[解析] 两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai
是实数排除C，－1的平方根是±i排除D，故选A.
3．复数的模
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 O→Z ，则 O→Z 的

应点,请根据下列点P的位置分别求复数z.
①在虚轴上;
②在实轴负半轴上.
题型一
题型三
题型二
题型四
解:(1)依题意可知1 = (-3,4), 2 = (2a,1).
因为1 ⊥ 2 , 所以1 ·2 = 0,
2
3
即-6a+4=0,解得 a= .
(2)①若复数 z 的对应点 P 在虚轴上,
的(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位
于复平面的第二象限.故选B.
答案:B
【做一做1-2】 若 = (0,-3),则对应的复数为(
A.0
C.-3i
)
B.-3
D.3
解析: 由 = (0,-3),得点Z的坐标为(0,-3),则对应的复数为03i=-3i.故选C.
上述不等式组的解集.
因此,满足条件 2<|z|<3 的点 Z 的集合是以原点为圆心,分别以 2 和 3 为半径的两个圆所
夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图.
题型一
题型三
题型二
题型四
易错辨析
易错点:弄错复数与点的对应关系致错
1
3
【例4】 在复平面内,已知复数z=x− i(x∈R)所对应的点都在单
位圆内,则x的取值范围是
唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一
一对应的(实数0与零向量对应),即
复数 z=a+bi
平面向量
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,
并且规定, 相等的向量表示同一个复数.

3.1.2 复数的几何意义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．(教师用书独具)●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)复平面【问题导思】1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？【提示】一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数的几何意义【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z 与向量OZ →有怎样的对应关系？ 【提示】 一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ 【提示】 一一对应．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r ∈R ).复平面内的点同复数的对应关系(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件． 【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0.(2)若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2.∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)．1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )．2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m . (1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2. (2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1± 5.复数的模的求法已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝ 14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ，(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2. (2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2.|z 2|＝－122＋－322＝1.∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小． 2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数． (2)弄清复数的模与实数绝对值的区别． (3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解． 【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1，即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．1．(2013·福建高考)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限． 【答案】 C2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3【解析】 由复数的几何意义可知OZ →对应的复数为－3i. 【答案】 C3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|4．在复平面内指出与复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 4＝3＋3i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．【解】 由题意知Z 1(－1，2)，Z 2(2，－1)，Z 3(0，－1)，Z 4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，OZ 4→.一、选择题1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( ) A.π6B ．－π6 C.2π3D ．5π6【解析】 ∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)，∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π.【答案】 D2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( ) A ．a ＝0或a ＝2 B ．a ＝0 C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2【解析】 ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.【答案】 A3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．±1或0【解析】 由题意得，a 2＋4＝4＋1⇒a 2＝1⇒a ＝±1. 【答案】 C4．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数【解析】 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2，又z ＝|z |，即a 2＋b 2＝a . ∴b ＝0，a ≥0，即z 是非负实数． 【答案】 D5．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数【解析】 ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0， ∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴D 不正确， ∴C 正确． 【答案】 C 二、填空题6．复数z ＝log 123＋ilog 312对应的点位于复平面内的第________象限．【解析】 ∵log 123<0，log 312<0，∴z 对应的点在第三象限． 【答案】 三7．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.【解析】 设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5.【答案】 58．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 【解析】 由题意得x －12＋2x －12<10，∴5x 2－6x －8<0，∴(5x ＋4)(x －2)<0， ∴－45<x <2.【答案】 (－45，2)三、解答题9．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点，(1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上． 试分别求实数m 的取值范围．【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意，得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1.∴－1＜m ＜1， 即m ∈(－1,1)．(3)由已知，得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.10．已知z 1＝x 2＋x 2＋1i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．【解】 ∵|z 1|＝x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立，等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＝0，1－a 2>0，解得a ＝12，∴a ＝12时，0·x 2＋(1－14)＞0恒成立．或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－41－2a 1－a 2＜0.解得－1＜a ＜12.∴a ∈(－1，12)．综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ，且－1＜a ≤12}．11．如图3－1－1，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：图3－1－1(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数；(2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．【解】 (1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ，∴AO →表示的复数为－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋－22＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x 2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.(教师用书独具)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°，向量OZ →对应的复数z 的模为1，求z .【思路探究】 设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，列出关于a ，b 的方程组．【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵OZ →与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝1，a 2＋b 2＝1，a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1，a 2＋b 2＝1，a >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，b ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22，b ＝－22. ∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i.解答本题易因不能正确的运用条件“向量OZ →与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设AB →对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 【解】 (1)∵点A ，B 对应的复数分别是 z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ， ∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，∴AB →＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)，∴AB →对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ， 得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14， ∴sin θ＝±12. 又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.。