知识讲解复数基础

一、虚数的由来利用二次方程式解的公式，√b2−4ac<0时，出现负数，这是发现虚数单位的根源二、虚数的定义虚数用英文名表述为imaginary number,故取其英文名首字母i命名，i称为虚数单位（imaginary unit）并定义i=√−1i2=−1三、复数的定义对于a+bi的形式表示称为复数（complex number）若a不等于0，b等于0，则复数不存在，只有实数a;若a等于0，b不等于0，则复数则为纯虚数;若a不等于0，b等于0，则a+bi为一般复数四、共轭复数a+bi与a-bi 称为共轭复数五、复数的运算1、复数的加减z1=a+biz2=c+diz1+z2=(a+c)+(b+d)iz1−z2=(a−c)+(b−d)i2、复数的乘法z1∗z2=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i3、复数的除法z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac−adi+bci−bdi2c2−d2i2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i#利用共轭复数的算法4、复数的幂z12=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2−b2+2abi六、复数的极坐标表示对于复数a+bi，|z|=√a2+b2,称为复数z的绝对值;令|z|=r，∠zox=θ，则复数可转换为z=a+bi=r(ar +bri)的形式，根据三角函数定义ar=cosθ,br=sinθ,则复数的表示方式可以转换为：z=r(cosθ+isinθ)#称为复数的极坐标七、复数的指数形式表示八、德.莫依尔定理使用极坐标可以简单方便的计算复数的积的运算。

z1∗z2=(cosθ1+isinθ1)∗(cosθ2+isinθ2)=cosθ1∗cosθ2−sinθ1sinθ2+(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)i 根据三角函数的加法定理z1∗z2=cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2)i对于n个复数相乘，同样有类似的规律：z1∗z2∗z3∗…∗z n=cos(θ1+θ2+⋯+θn)+isin(θ1+θ2+⋯+θn）当θ1=θ2=⋯=θn=θ时，z n=cosnθ+isinnθ（n为正整数、负整数以及0都成立），该公式称为德.莫依尔定理当n为复数时，则有e n=e x+iy=e x(cosy+isiny)。

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

高一复数怎么理解知识点高中一年级的学生在英语学习中，会接触到复数这一知识点。

复数是英语中一项基础而重要的语法知识，正确理解和运用复数形式对于语言学习的成功至关重要。

本文将介绍高一复数的概念、形式以及使用方法，并提供一些学习复数的实用技巧。

一、复数的概念和形式复数（plural）是英语中表示多个个体或事物的名词形式。

在大多数情况下，复数形式的名词是通过在单数形式后面加上“-s”或“-es”来构成的。

1. 一般规则大部分名词的复数形式是在单数形式后面加上“-s”。

例如，“book”（书）的复数形式是“books”（书籍），“cat”（猫）的复数形式是“cats”（猫咪）。

2. 特殊规则有一些名词的复数形式比较特殊，需要记住其形式变化。

- 当名词以s、x、ch、sh结尾时，复数形式应在单数形式后加上“-es”。

例如，“box”（盒子）的复数形式是“boxes”（盒子们）。

- 当名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y变为i，再加上“-es”。

例如，“baby”（婴儿）的复数形式是“babies”（婴儿们）。

- 当名词以“-f”或“-fe”结尾时，复数形式将f或fe改为v，再加上“-es”。

例如，“leaf”（叶子）的复数形式是“leaves”（叶子们）。

二、复数的用法除了表达多个个体或事物以外，复数在句子中还有其他几种常见的用法。

1. 表示泛指复数形式的名词可以用来表示一类人或事物的泛指。

例如，“Children should obey their parents.”（孩子们应该服从父母。

）这里的“children”表示所有的孩子。

2. 表示具体数量复数形式的名词可以表示确切的数量。

例如，“There are three boys in the classroom.”（教室里有三个男孩。

）这里的“boys”表示确切的数量为三个。

3. 表示部分整体复数形式的名词还可以表示整体的一部分。

例如，“Some students are good at math.”（有些学生擅长数学。

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

复数的特殊知识点总结一、复数的一般形式1.在名词后面加-s或-es大部分的英语名词，在单数形式的基础上，加上-s或-es就可以构成复数。

如：book —books, cat — cats, bus — buses, box — boxes等。

在词尾是s, x, es, ch, sh结尾的词后加-es，如：glass — glasses, bus — buses, box — boxes 等。

特殊情况1：在辅音字母+y结尾的单词，变复数时，把y变为i, 再加-es. 如：baby —babies, lady — ladies。

但是，在元音字母+y结尾的单词，变复数时直接加-s。

如：boy —boys, day — days。

特殊情况2：有些名词的复数形式并不是在词尾加s或es，而是改变词根的拼写。

如：man — men, woman — women。

2.某些名词有单复数同形。

如：deer, sheep, fish等。

3.某些名词的复数形式是不规则的。

如：child — children, foot — feet, tooth — teeth, mouse — mice, person — people等。

二、复数的形式变化受限定词和修饰语的影响1.表示一些或若干的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是不定式。

如：a few books, some books。

2.表示一个的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。

如：an apple, a dozen apples。

3.表示具体的某个限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。

如：this book, these books。

如果名词前面有修饰语，也应该注意修饰语的变化。

如：a red book, two red books。

三、复数名词的用法1.在句子中作主语时，复数名词要和动词保持一致。

如果复数名词作为主语，谓语动词通常用复数形式。

复数知识点归纳复数知识点归纳复数是数学中的一种概念，用来表示实数之外的另一类数。

它由实数和虚数组成，可以用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。

在这篇文章中，我将对复数进行详细讲解，包括复数的基本概念、复数的运算、复数的共轭以及复数的模和幅角。

一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，它的一般形式为 a+bi，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。

实部是复数的实数部分，虚部是复数的虚数部分。

虚数单位 i 是一个特殊的数，它满足 i²=-1。

二、复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和减法都是按照实部和虚部进行分别计算的，而乘法和除法则需要注意虚数单位的平方等于 -1。

1. 加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和是(a+c)+(b+d)i。

2. 减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的差是 (a-c)+(b-d)i。

3. 乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的积是 (ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的商是(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。

三、复数的共轭复数的共轭指的是将一个复数的虚部取相反数后得到的复数。

一个复数的共轭用符号表示为 a-bi。

例如，对于复数2+3i，它的共轭为 2-3i。

四、复数的模和幅角复数的模是一个复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi|=sqrt(a²+b²)。

复数的幅角指的是一个复数与实轴的夹角，它的计算公式为tanθ=b/a。

其中，θ表示幅角，b 表示复数的虚部，a 表示复数的实部。

总结以上是关于复数的基本概念、运算、共轭、模和幅角的讲解。

复数在数学以及其他领域中都有广泛的应用，例如在电学中，交流电的表示就需要用到复数。

高中数学知识点归纳复数基础知识高中数学中，复数是一个重要的概念。

复数既包括实数部分，也包括虚数部分。

在这篇文章中，我们将对高中数学中与复数相关的基础知识进行归纳总结。

一、复数的定义与表示复数可以用一个实数和一个虚数相加的形式来表示。

虚数单位i定义为i²=-1，其中i是虚数单位，i²是虚数单位的平方。

复数的一般形式为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分。

二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。

例如：(2+3i) + (5-2i) = 7 + i(2+3i) - (5-2i) = -3 + 5i2. 复数的乘法：使用分配律和虚数单位的定义进行计算。

例如：(2+3i)(5-2i) = 10 + 15i -4i -6i² = 16 + 11i3. 复数的除法：将除法运算转化为乘法运算，并进行分子、分母的真分数分解，最后再进行计算。

例如：(2+3i) / (5-2i) = [(2+3i)(5+2i)] / [(5-2i)(5+2i)] = (4+19i) / 29三、复数的性质1. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数记作a-bi，实部不变，虚部取相反数。

例如：共轭复数：对于复数3+2i，它的共轭复数为3-2i。

2. 复数的模：对于复数a+bi，它的模记作|a+bi| = √(a² + b²)，表示复数到原点的距离。

例如：|3+4i| = √(3² + 4²) = 53. 复数的乘法公式：(a+bi)(a-bi) = a² - (bi)² = a² + b²。

其中，(bi)² = -b²。

四、复数在方程中的应用1. 复数根：复数可以用来求解高中数学中的二次方程。

例如：对于方程x² + 4 = 0，可以将其转化为(x+2i)(x-2i) = 0，从而得到x=±2i。

动词的复数知识点总结一、动词的复数形式1.一般情况下，动词的复数形式是在动词原形的基础上加上-s或-es。

例如，动词 play 的复数形式是 plays，动词 watch 的复数形式是 watches。

2.在规则动词的情况下，根据动词原形的不同，复数形式的变化也不尽相同。

以下是一些常见的规则动词的复数形式变化规则：- 如果动词以辅音+y结尾，将y改为i再加上-es。

例如，study的复数形式是 studies。

- 如果动词以辅音+o结尾，大多数情况下在动词原形后面直接加上-es。

例如，go的复数形式是 goes。

- 如果动词以辅音+o结尾，但是要遵循以下规则：动词后面直接加-s。

例如，piano的复数形式是 pianos。

- 以辅音+o结尾但是需要改变的情况：有如强调时将动词直接加-es。

例如，do的复数形式是 does。

- 不规则动词的复数形式变化规则除了规则动词外，还有一些不规则动词在复数形式上的变化规则。

这些不规则动词的复数形式变化不遵守以上的一般规律，需单独记忆。

例如，动词 be 的复数形式是 are，动词have 的复数形式是 has。

还有一些不规则动词的复数形式是完全不一样的，如动词 go 的复数形式是 went。

二、动词的复数用法动词的复数形式在句子中的用法是非常广泛的，它可以用来表达不同的时态和语态，也可以用来与主语保持一致。

接下来我们将详细介绍动词复数形式的用法：1.动词的复数形式在一般现在时中的用法在一般现在时中，当主语是第三人称单数时，谓语动词需要用动词的第三人称单数形式。

例如，He goes to school every day.（他每天都去上学。

）其中，主语He是第三人称单数，谓语动词go需要用第三人称单数形式goes。

2.动词的复数形式在一般过去时中的用法在一般过去时中，当主语是第三人称单数时，谓语动词需要用动词的第三人称单数形式。

例如，She finished her homework yesterday.（她昨天完成了她的作业。

七年级上册英语知识点复数英语中，复数（plural）是指除单数（singular）之外的数。

在字母末尾加“s”通常是将名词变为复数形式的规则，但也有很多例外。

本文将介绍一些七年级上册英语中常用的复数形式以及其规则。

一、一般规则大多数名词复数都在词尾加“s”，例如：1. cat——cats2. book——books3. table——tables单数词尾为s、ss、x、ch、sh时，复数词尾加“es”，例如:1. bus——buses2. class——classes3. box——boxes4. watch——watches以辅音字母+y结尾的名词，变y为i，再加“es”，例如:1. baby——babies2. city——cities3. family——families二、特殊规则有些名词复数形式需要特别记住或要牢记。

以下是七年级上册英语中一些常见的特殊复数形式：1. 人名和地名通常不变，例如:1. Alan——Alan2. China——China2. 以-f或-fe结尾的名词，f或fe变为v，再加“es”，例如:1. knife——knives2. calf——calves3. leaf——leaves3. 以-o结尾的名词有两种变化方式，一种是加“s”，一种是加“es”，例如:1. zoo——zoos2. potato——potatoes4. 以-us结尾的名词变为-i，再加“es”，例如:1. cactus——cacti2. bus——buses5. 不规则名词，例如：1. man——men2. woman——women3. child——children4. foot——feet5. tooth——teeth三、注意事项1. 不可数名词无法使用复数形式，例如water、rice、money等。

2. 在使用复数形式时，需要注意一些细节问题。

例如，当使用a/an表示单数时，要使用some表示复数形式。

复数知识点精心总结复数是英语语法中一个重要的概念，它指的是表示多个物品、人、或事物的形式。

在英语中，复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es，并且有一些不规则变化。

在这篇文章中，我们将总结复数的知识点，包括复数形式的构成、不规则复数、以及如何正确使用复数形式。

1. 复数形式的构成在英语中，大多数名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s或-es。

具体规则如下：a) 单数名词如果以辅音字母+y结尾，变为复数时将y变为i再加-es。

例如：city-cities, baby-babies。

b) 单数名词如果以辅音字母+o结尾，变为复数时通常加上-es。

例如：potato-potatoes, hero-heroes。

c) 单数名词如果以辅音字母+o结尾，变为复数时加-s。

例如：photo-photos, piano-pianos。

d) 单数名词如果以辅音字母+fe或f结尾，变为复数时通常将fe变为v再加-es。

例如：wife-wives, leaf-leaves。

e) 单数名词如果以“-us”结尾，变为复数时通常改为“-i”。

例如：focus-foci, cactus-cacti。

2. 不规则复数除了按照上述规则形成复数外，一些名词的复数形式并不按照规律变化，被称为不规则复数。

这些不规则复数需要单独记忆和掌握。

例如：a) 单数名词以“-s”，“-ch”，“-sh”，或“-x”结尾，复数形式直接在单数形式上加“-es”。

例如：bus-buses, bench-benches, brush-brushes, box-boxes。

b) 一些名词的复数形式与单数形式完全不同。

例如：child-children, tooth-teeth, foot-feet, man-men, woman-women。

c) 有些名词的复数形式与单数形式相同。

例如：sheep-sheep, deer-deer, fish-fish。

复数易错知识点总结1.一般规则在英语中，一般情况下，名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s或-es。

比如，cat的复数形式是cats，而box的复数形式是boxes。

但是，也有一些例外情况。

以-s、-x、-sh、-ch结尾的名词变复数时，要加-es，如class-classes，watch-watches等。

以辅音字母+y结尾的单词，变复数时，将y变为i再加-es，如baby-babies。

以辅音字母+o结尾的单词，加-es多数是复数形式，如potato-potatoes，但也有很多例外的情况如 photo-photos。

此外，有些名词的复数形式和单数形式是相同的。

比如，sheep和deer的复数形式都是sheep和deer。

2.不规则名词复数形式在英语中，也有一些名词的复数形式是不规则的，需要在实际使用中进行熟记。

比如，man的复数形式是men，woman的复数形式是women，child的复数形式是children，foot的复数形式是feet，tooth的复数形式是teeth等。

3.集体名词复数形式在英语中，有一些名词是集体名词，它们表示一个整体。

这类名词在构成复数形式时，可以表示整体的所有成员，也可以表示整体的每个成员。

比如，family可以表示一个家庭的所有成员，也可以表示家庭中的每一个成员；team可以表示一个团队中所有的队员，也可以表示团队中的每一个队员。

另外，一些集体名词本身就是复数形式，比如police、people等。

4.不可数名词在英语中，有一些名词是不可数名词，它们没有复数形式。

这类名词表示的是一种抽象的概念，不能用来进行数量上的计数。

比如，milk、water、sugar等都是不可数名词，它们没有复数形式。

但是，有时可以使用一些量词来表示这些不可数名词的数量，比如a bottle of milk、two cups of water等。

5.专有名词复数形式在英语中，有一些专有名词的复数形式是不规则的，需要在实际使用中进行熟记。

初中知识点归纳名词的复数形式与不规则变化名词是英语中最基础的词类之一，它在句子中起到了非常重要的作用。

在英语中，名词的复数形式是我们必须要掌握的一个知识点。

本文将对初中阶段常见名词的复数形式以及不规则变化进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、一般名词的复数形式1. 可数名词加-s大部分可数名词的复数形式是在词尾加-s，比如：books、dogs、chairs等。

这是我们最常见的一种复数形式。

2. 以s、x、sh、ch结尾的名词加-es以s、x、sh、ch结尾的名词，在复数形式上需要在词尾加-es，比如：boxes、watches、bushes、branches等。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i加-es以辅音字母+y结尾的名词，在复数形式上需要将y变为i，再加-es，比如：berries、cities、parties等。

4. 以f或fe结尾的名词，变f或fe为v再加-es以f或fe结尾的名词，在复数形式上需要将f或fe变为v，再加-es，比如：leaves、knives、thieves等。

5. 不变复数有些名词在单数和复数形式上是一样的，称为不变复数，比如：sheep、fish、deer等。

二、不规则名词的复数形式除了上面的一般名词复数规则之外，还有一些名词的复数形式是不规则的。

1. 以-oo结尾的名词变-oo为-ee以-oo结尾的名词，在复数形式上需要将-oo变为-ee，比如：foot- feet、tooth- teeth。

2. 以-us结尾的名词变-us为-i以-us结尾的名词，在复数形式上需要将-us变为-i，比如：bus- buses、cactus- cacti。

3. 以-is结尾的名词变-is为-es以-is结尾的名词，在复数形式上需要将-is变为-es，比如：thesis- theses、analysis- analyses。

4. 以-um结尾的名词变-um为-a以-um结尾的名词，在复数形式上需要将-um变为-a，比如：datum- data、curriculum- curricula。

高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。

只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。

4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。

横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。

1、复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部 2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

4. 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.5.复数的四则运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减； （3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；（4）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。

二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。

三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。

f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。

g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。

2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。

四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。

五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。

高考总复习：复数【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念 1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）i 的周期性：41ni =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.2. 概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。

3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数z a bi =+（,a b R ∈），当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数； 当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数； 当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0. 所以复数的分类如下:z a bi =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩实数；虚数当且时为纯虚数5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+⇔==且. 特别地: 00a bi a b +=⇔==. 应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

高中数学的归纳复数与复数运算的基础知识复数是高中数学中一个重要的概念，归纳复数和复数运算是复数理论的基础知识。

本文将介绍高中数学中与归纳复数和复数运算相关的基础知识和方法。

一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数单位i构成的数，可以用a+bi表示，其中a为实部，b为虚部。

实部和虚部都是实数。

虚数单位i满足i^2=-1。

例如，5+3i、-2+7i、4-6i都是复数。

二、归纳复数的定义与性质归纳复数是指实数和虚数单位i的多次幂的和，可以用a+bi表示，其中a和b都是实数。

归纳复数的定义可表示为：x=a+a1*i+a2*i^2+a3*i^3+...+an*i^n其中，a、a1、a2、a3...an都是实数。

i^n表示i的n次幂。

归纳复数的性质：1. 归纳复数的实部等于所有实数项的和，虚部等于所有虚数项的和。

2. 归纳复数的相等性，两个归纳复数相等，当且仅当它们的相应实数项和相应虚数项相等。

三、复数的加法与减法复数的加法规则：将实部与实部相加，虚部与虚部相加。

例如，(3+2i)+(1-4i)=4-2i复数的减法规则：将实部与实部相减，虚部与虚部相减。

例如，(3+2i)-(1-4i)=2+6i四、复数的乘法与除法复数的乘法规则：使用分配律展开运算，并利用虚数单位i的平方等于-1进行化简。

例如，(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=(11-10i)复数的除法规则：将除法转化为乘法，并合并虚部i。

例如，(3+2i)/(1-4i)=(3+2i)(1+4i)/(1^2-(4i)^2)=(-5+14i)/17=(-5/17)+(14/17)i五、共轭复数共轭复数是指保持实部不变，虚部变号的复数。

例如，如果z=a+bi是一个复数，则它的共轭复数为z*=a-bi。

共轭复数的性质：1. 一个复数与它的共轭复数的积是一个实数，即zz*=a^2+b^2。

2. 若两个复数的乘积是实数，则它们互为共轭复数。

六、复数的模与辐角复数的模可以看作复平面上从原点到该复数的距离。

复数的知识点总结
定义与性质：
复数是形如a+bi的数，其中a、b为实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。

当虚部等于零时，复数就是实数；当虚部不等于零时，复数称为虚数。

虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。

复数集包含了实数集，是实数集的扩张。

复数的运算：
加减法：两个复数的和或差依然是复数，实部是原来两个复数实部的和或差，虚部是原来两个虚部的和或差。

复数的加法满足交换律和结合律。

乘除法：两个复数的积或商仍然是一个复数。

乘法可以通过多项式乘法展开得到，除法可以通过乘以分母的共轭复数来实现。

复数的应用：
复数是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。

在几何和图形处理上，复数能表示平移、旋转、镜射、伸缩等变换，具有极为重要的应用。

在科学计算中，复数也广泛应用于电路设计、电磁场分析、交流电表示等领域。

总之，复数是数学中一个重要而基础的概念，在理论和应用方面都有着广泛的应用。

掌握复数的定义、性质和运算法则，对于理解高级数学概念和解决实际问题都非常重要。

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。