2020届名校联盟高三联考评估卷(八)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前湖南省八校2020届高三毕业班调研联考数学（理）试卷本试题卷共23题(含选考题)。

考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：lh 、lwz注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自已的姓名、准考证号和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第I 卷（选择题）一、选择题。

(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分。

在每小题的四个选项中只有一个选项最符合题目要求。

)1．已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则（ ）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2．已知()21i z-= 1i +（i 为虚数单位），则复数z=（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ）A. 最低温与最高位为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ）A. 7B. 8C. 15D. 16 5．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -=( )A. -2B. 0C. 1D. 26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．三次函数1223)(23++-=x x ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，则)(x f 在区间)3,1(上的最小值是（ ） A ．38 B ．611 C ．311 D ．358．已知()002sin13,2sin77a =， 1a b -=， a 与a b -的夹角为3π，则•a b =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28yx = B ．28x y = C ．24yx = D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A. 2B. 4C. 2D. 4+11．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，点M ， N ， F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A. 121212．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A. 在线段上存在一定点，使得的长度是定值B. 点在某个球面上运动C. 对于任意位置，二面角始终大于二面角D. 存在某个位置，使得直线与所成角为第II 卷（非选择题）二、填空题。

浙江新高考名校联考信息卷（八）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2560A x x x =--<，{}133x B x +=<，则()R B A ⋂=（ ）A. {}06x x <<B. {}10x x -<≤C. {}06x x ≤<D.{}0x x <【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A 、B ，再求出集合B 的补集，最后进行交运算，要注意是否能取到端点值． 【详解】由2560x x --<，解得16x -<<，所以{}16A x x =-<<． 由133x +<，得0x <，所以{}0B x x =<，所以{}0RB x x =≥，所以(){}R06B A x x ⋂=≤<，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的交、补运算，考查考生的运算求解能力及对基础知识的掌握情况．2.已知复数1z bi =+满足z zi z z⋅=--，其中z 为复数z 的共轭复数，则实数b =（ ） A. 1- B. 2C. 1D. 1或1-【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到21z z b ⋅=+，2z z bi -=，代入已知等式，即可求得实数b 的值．【详解】由题意得1z bi =-，所以221z z bi z z b-=⎧⎨⋅=+⎩，所以由z zi z z ⋅=--，得22122b bi b +=-=，得1b =． 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力，属于基础题. 3.函数()s ln co 2xxf x =的大致图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由()s ln co 2xxf x =，得x ∈R ，0x ≠且1x ≠±，故排除选项A 、B ． ()()()cos 2cos 2ln ln x xf x f x x x--===-，所以，函数()y f x =为偶函数，故排除D ，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质等，对考生的识图能力要求较高，属于中等题. 4.已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 33a b >B.11a b< C. 22a b >D.||a b b >+【答案】D 【解析】 【分析】：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A 项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果. 【详解】对于A ，根据函数3y x =的单调性可知，33a b a b >⇔>，是充要条件； 对于B ，11a b <时，可以得到0a bab->，对应的结果为当0ab >时，a b >；当0ab <时，a b <，所以其为既不充分也不必要条件；对于C ，由22a b >，可以得到a b >，对于,a b 的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C ，经分析，当a b b >+时，得到,a b b b a b >+≥∴>,充分性成立，当a b >时，a b b >+不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.5.()4222111x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为（ ） A. 1 B. 4 C. 1- D. 4-【答案】A 【解析】 【分析】将()421x -利用二项式定理展开，由此可求得()4222111x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数. 【详解】()()4222864222111114641x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以展开式中6x 的系数为6141--=． 故选：A.【点睛】本题主要考查二项武定理，考查考生灵活处理问题的能力、运算求解能力，属于中等题.6.某空间几何体的三视图如图所示，其体积为1，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A. 1 5C.212D. 3【答案】D【解析】 【分析】根据“长对正、宽相等、高平齐”还原该几何体，根据其体积为1求出x 的值，进而求出各个面的面积，得到答案．【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，其中PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，22AB AD BC ===，PA x =．由该几何体的体积为1，得()1221132x +⨯⨯⨯=，解得1x =，故11212PABPADSS==⨯⨯=，151522PBCS =⨯⨯=，()12232ABCD S +⨯==四边形，()22162165222PCDS⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， 故该几何体的各个面中最大面的面积为3， 故选：D ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的面积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中等题.7.如图，1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上的点，Q 是线段1PF 上靠近1F 的三等分点，2PQF 为正三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A.2 B.3 C.23D.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到1PF \2PF ，再在12PF F △中运用余弦定理得到a 、c 的关系，进而求得椭圆的离心率．【详解】由椭圆的定义知，122PF PF a +=，则2322PQ PF a +=， 因为2PQF 为正三角形，所以245a PF =，165aPF =．在12PF F △中，由余弦定理得22216364642cos60252555a a c a a ︒=+-⨯⨯⨯22825a =， 则2725e =，7e ∴=， 故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.8.如图1，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 和CD 的中点，分别沿AE 、EF 、AF 将ABE △、ECF △、AFD 折起，使B 、C 、D 三点重合于P 点，如图2所示．设异面直线AP 与EF 所成的角为α，二面角E AP F --、A EF P --的大小分别为β、γ则下列说法正确的是（ ）A. γβα<<B. βγα<<C. γβα<=D.γβα=<【答案】C【解析】 【分析】根据翻折的性质将所求的空间角转化为平面角，比较这三个角的大小即可．【详解】由翻折的性质易知，AP PE ⊥，AP PF ⊥，故AP ⊥平面PEF ，所以AP EF ⊥，即90α=．由AP PE ⊥，AP PF ⊥可知二面角E AP F --的平面角为EPF ∠，易知EPF 为等腰直角三角形，且90EPF ︒∠=．取EF 的中点M ，连接PM 、AM ，如图．易知二直角A F EF P ---的平面角为PMA ∠，显然PMA ∠为锐角，故γβα<=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角，考查考生的空间想象能力，属于中等题. 9.已知m 、n 是两个非零向量，1m =，23m n +=，则2m n n ++的最大值为（ ） 510 C. 5D. 10【答案】C 【解析】 【分析】可以用n 表示2m n n ++，然后令5sin n θ=，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得到()s 25in m n n θϕ=+++，其中1tan 2ϕ=，从而研究其最值即可.【详解】1m =，23m n +=，()2224419m nn m n +=+⋅+=，22n m n ∴+⋅=，()222225m nm m n n n ∴+=+⋅+=-，2252m n n n n ∴++=-+．令5sin n θ=，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()5cos s 2n 5in m n n θθθϕ=+=+++，其中1tan 2ϕ=，故2m n n ++的最大值为5． 故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的模、向量的运算等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，属于中等题.10.已知正项数列{}n a 满足11a =，()112ln 1n n n n a a a a ++=++，则10a 的取值范围是（ ）A. 101120461024a << B.101110251024a << C. 10111023512a << D. 1011513512a << 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数的知识得到()()ln 10x x x +<>，并利用此不等式对题干中的等式进行放缩，得到当2n ≥时，121n na >-，再利用()ln 10n a +>对题干中的等式进行放缩，得到2n ≥时，112n n a -<，从而得到10a 的取值范围． 【详解】令()()ln 1f x x x =+-，则当0x >时，()11011x f x x x'=-=-<++， 所以函数()y f x =在()0,∞+上单调递减，故()()(0)00f x f x <=>，即()()ln 10x x x +<>．因为0n a >，所以()11112ln 12n n n n n n n a a a a a a a +++++⋅=+<+⋅，即()12n n n a a a +<+，所以1121212n n n n n n n a a a a a a a +++<⇒>⇒++11111211n n n a a a ++⎛⎫>⇒+>+ ⎪⎝⎭， 故当2n ≥时，11111212n n n a a -⎛⎫+<+= ⎪⎝⎭， 所以当2n ≥时，101011121211023n n a a >⇒>=--． 由0n a >，得()ln 10n a +>，故()1112ln 12n n n n n a a a a a +++=++>，即112n n a a +<，故当2n ≥时，1110111122512n n n a a a --⎛⎫<=⇒< ⎪⎝⎭，故10111023512a <<， 故选：C ．【点睛】本题主要考查导数、放缩法的应用等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知1sin 3θ=-，tan 0θ>，则cos θ=________，sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】(1).【解析】 【分析】确定角θ的终边所在的象限，利用同角三角函数的基本关系可求得cos θ的值，利用二倍角公式及差角的正弦公式可求得sin 26πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为1sin 03θ=-<，tan 0θ>，所以θ为第三象限角，所以cos 3θ==-，所以sin 22sin cos 9θθθ==，27cos212sin 9θθ=-=，故1717sin 22cos 2622929218πθθθ⎛⎫-=-=-⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：3-. 【点睛】本题主要考三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，考查化归与转化思想，属于基础题.12.已知x 、y 满足约束条件2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则约束条件表示平面区域的面积为________，目标函数x y 的最大值为________．【答案】 (1). 20 (2). 4 【解析】 【分析】作出可行域，计算三角形区域的面积，然后从目标函数的几何意义入手，数形结合即可求解目标函数的最大值．【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知()8,8C 、()4,0A 、()0,2B ，过点B 作x 轴的平行线，交AC 于点D ，易知()5,2D ，所以ABC 的面积158202S =⨯⨯=．令z x y =-，作出直线0x y -=并平移，数形结合知，z 在点B 处取得最小值2-，在点A 处取得最大值4，故目标函数x y 的最大值为4．故答案为：20；4.【点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生对数形结合思想方法的运用能力，属于基础题.13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m 、n ，其中()()2m nP m P n ξξ+====，则E ξ=________；当D ξ取最小值时，mn = ________．【答案】 (1). 12 (2). 14【解析】 【分析】由分布列的性质可得1m n +=，然后利用数学期望公式可计算出E ξ的值，并计算出D ξ的表达式，利用二次函数的基本性质可求得D ξ的最小值及其对应的mn 的值.【详解】由分布列的性质得122m n m n+++=，即1m n +=， 所以()2222m n m n m n E m n ξ+++=⋅+⋅=12=，2222211111111112222222220D m n m m m ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=-⨯+--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当12m n ==时等号成立，此时14mn =．故答案为：12；14.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的数学期望和方差等，考查的数学核心素养是数学运算，属于中等题.14.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知BD AC ⊥，D 为垂足，7a =，8b =，tan ABC ∠=-BD =________．【解析】 【分析】根据tan ABC ∠=-sin ABC ∠、cos ABC ∠，并由正弦定理求出角A ，再由两角和的正弦公式求出sin C ，解直角三角形即可.【详解】在ABC中，22sin tan cos sin cos 1sin 0ABC ABC ABC ABC ABC ABC ∠⎧∠==-⎪∠⎪∠+∠=⎨⎪∠>⎪⎩，sin 71cos 7ABC ABC ⎧∠=⎪⎪∴⎨⎪∠=-⎪⎩，由正弦定理得7sin A =，sin 2A ∴=．,2ABC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，3A π∴=．在ABC 中，1sin sin()sin cos cos sin 7C A ABC A ABC A ABC ⎛⎫=+∠=∠+∠=- ⎪⎝⎭12714+⨯=，∴sin 7142BD a C =⋅=⨯=．故答案为：2. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正、余弦定理等知识，综合考查考生的运算求解能力、化归与转化能力，属于中等题.15.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足条件：①()()4f x f x =+；②()cos ,0221,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩．则()()2018f f =________；若方程()0f x k -=在(]2018,2018-上有3027个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】 (1). 12 (2). 10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据条件()()4f x f x =+推得函数()y f x =是周期为4的函数，结合函数解析式可求得()()2018f f 的值；作出函数()y f x =在(]2,2-上的图象，数形结合即可求解．【详解】因为()()4f x f x =+，所以()y f x =是周期为4的函数， 故()()()()()12018212ff f f f ==-=． 作出函数在(2,2]-上图象如图所示， 由图可知，当102k <≤时，方程()0f x k -=在(]2,2-上有3个根， 而函数()y f x =在(]2018,2018-上有1009个周期，所以方程()0f x k -=在(]2018,2018-上恰有3027个根，则每个周期内有三个根，所以k的取值范围为1 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：12；10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查考生用数形结合思想解题的意识与能力，属于中等题.16.某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种花．已知空地1、2上已经种了a花，其余空地需从A、B、C、D、E这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有________种．【答案】1080【解析】分析】先考虑中间“田”字格的种植方案，然后考虑两边剩余的每块空地的种植方案的种数，利用分步乘法计数原理可求得结果.【详解】先考虑中间“田”字格的种植方案，共有45120A=（种），两边剩余的每块空地的种植方案的种数均为133C=，所以不同的种植方案有120331080⨯⨯=（种）．故答案为：1080.【点睛】本题主要考查排列组合问题，考查考生运用计数原理解决实际问题的能力，对分类讨论思想及运算求解能力提出了较高的要求，属于中等题.17.已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使2PF 、1PF 、12F F 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】)2⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】根据2PF 、1PF 、12F F 成等比数列，得到21212PF PF F F =⋅，再根据点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得到122PF PF a -=，因此可以用a 、c 表示1PF 或2PF ，最后根据双曲线右支上的点到焦点的距离的取值范围，即1PF c a ≥+或2PF c a ≥-，得到关于e 的不等式，进而求出e 的取值范围．【详解】令1PF m =，2PF n =，则由2PF 、1PF 、12F F 成等比数列，得212m n F F =． 又2m n a -=，122F F c =，所以()222m m a c =-，即2240m cm ac -+=，则24160c ac ∆=->，m c =>0∆，得4e >．又由m c a ≥+a ≥，224c ac a ≥-，2410e e --≥，所以2e ≥+故答案为：)2⎡+∞⎣.【点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数()22sin 2f x x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,ϕπ∈． （1）当6π=ϕ时，求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 的最大值是32，求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）12f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）先代入6π=ϕ，再化简函数()y f x =的解析式，最后根据余弦函数的单调性求出()y f x =的单调递增区间；（2）根据题意及辅助角公式得到等式2211222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可得2ϕπ=，将ϕ代入()y f x =，求值即可． 【详解】 （1）当6π=ϕ时()22cos 2161cos 2sin 1222x x f x x x ππ⎤⎛⎫++ ⎪⎥-⎛⎫⎝⎭⎣⎦=++=+ ⎪⎝⎭1111112cos2cos22cos 22622442232x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令22223k k x πππππ≤≤+++，k Z ∈，得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 故当6π=ϕ时，函数()y f x =的单调递增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()()11112cos 2cos cos 2sin 22222222f x x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 因为函数()y f x =的最大值是32，所以22112ϕϕ⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 0ϕ=． 又[)0,ϕπ∈，所以2ϕπ=，所以()1sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1122f π-⎛⎫=⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于中等题.19.如图，四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD ，2BCD π∠=，2BC DC ==，4AB =，四边形CDFE 为正方形．（1）若EC BC ⊥，求证：AD BF ⊥；（2）若27=AE AE 与平面CDFE 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）2114. 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，可借助线面垂直进行证明；（2）先证明平面BCE ⊥平面CDFE ，再求出点B 到平面CEFD 的距离，确定A 到平面CEFD 的距离即B 到平面CEFD 的距离，最后在直角三角形中求解．【详解】（1）由四边形CDFE 为正方形，可得EC DC ⊥， EC BC ⊥，DCBC C =，EC ∴⊥平面ABCD ．又//FD EC ，FD ∴⊥平面ABCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，FD AD ∴⊥． 连接BD ，2BC CD ==，2BCD π∠=，22DB ∴=4AB =，且易知22AD =，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥．又FD AD ⊥，DB FD D ⋂=，AD ∴⊥平面BDF ，又FB ⊂平面BDF ，∴AD BF ⊥； （2）连接BE ，CD BC ⊥，CD CE ⊥，且BC CE C =，CD 平面BCE ，又CD ⊂平面CDFE ，∴平面BCE ⊥平面CDFE ．//AB CD ，AB ∴⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，AB BE ∴⊥，又4AB =，=AEBE ∴=． 在等腰三角形BCE 中，易得6BEC π∠=，过B 作BG EC ⊥交EC 的延长线于点G，则BG =//AB CD ，A ∴、B 到平面CEFD 的距离相等，A ∴到平面CEFD的距离d BG ==设AE 与平面CEFD 所成的角为α，则sin 14d AE α===． 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直、直线与直线垂直、直线与平面所成的角等，考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中等题.20.已知等差数列{}n b 满足32b =，251681b b b b =++，数列{}n a 的前n 项和2124n n S b +=⋅-，*n N ∈．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在正数k ，使226936n n kT n a n n >-+对一切*n N ∈恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）12n n a +=，31222n n n b -+=+=；（2）()2,+∞. 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的性质求出53b =，再根据32b =求出等差数列{}n b 的通项公式，最后根据n S 和n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先运用错位相减法求出n T ，再分离参数，最后运用基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为数列{}n b 是等差数列，所以1845b b b b +=+，45653b b b b ++=，由251681b b b b =++，得25513b b =，所以53b =．又32b =，所以公差12d =，所以31222n n n b -+=+=，11b =，所以224n n S +=-．当1n =时，311244a S ==-=，当2n ≥时，211124242n n n n n n a S S +++-=-=--+=， 经检验，当1n =时也满足上式，所以12n n a +=；（2）由（1）得，()112122n n n n n a b n ++=⋅=+⋅， 所以()12322324212n n T n =⨯+⨯++++⨯⨯，①()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()()()123111412422212412212n nn n n nT n n n -+++--=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以12n n T n +=⋅．因为不等式226936n n kT n a n n >-+对一切*n N ∈恒成立， 所以26936n k n n >-+对一切*n N ∈恒成立，即6369k n n>+-对一切*n N ∈恒成立． 令()6369g n n n =+-，*n N ∈，则()62369g n n n=≤=+-，当且仅当6n =时等号成立，所以()max 2g n =，所以2k >， 故k 的取值范围是()2,+∞．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，错位相减法求和等，考查考生处理不等式恒成立问题的能力，属于中等题.21.如图，已知直线():0m y t t =>交抛物线2:4M x y =于A 、D 两点（点A 在点D 左侧），过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使得直线l 与抛物线M 在点D 处的切线平行，设直线l 与抛物线M 交于B 、C 两点．（1）记直线AC 、AB 的斜率分别为AC k 、AB k ，证明：0AC AB k k +=； （2）若AC AB ⊥，求BCD 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）16. 【解析】 【分析】 （1）设2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义及直线的斜率公式求解；（2）根据AC AB ⊥及0AC AB k k +=，可得45CAD BAD ∠=∠=，表示出AB 、AC ，再表示出2BC ，得到128x x -=，设线段BC 的中点为N ，求出()212116DN x x =-，最后根据BC 的中点N 与点D 的连线平行于y 轴，得1212BCDS DN x x =⋅-，从而得结果． 【详解】（1）由24x y =得，214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012l k x =． 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2212120121114442l x x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．因为2210101011444ACx x x x kx x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+，所以()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==； （2）由0AC AB k k +=且AC AB ⊥可知，45CAD BAD ∠=∠=， 不妨设点C 在AD 上方，则21x x <， 直线AB 的方程为()20014y x x x -=-+． 由()2002144y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩，得点B 的坐标为()20044,4x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 所以)()00042AB x x =---=-，同理可得02AC =+． 所以())()222220012121641B x x x x x C A ⎛⎫=+=-=+⋅- ⎪⎝⎭，得128x x -=．设线段BC 的中点为N ，则点N 的坐标为221212,28x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即22120,8x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 连接DN ，易知()()2222121212||81616x x x x x x DN +-+=-=，所以312121116232BCDSDN x x x x =⋅-=-=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，两直线的位置关系，三角形的面积等，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于难题.22.已知函数()()221x ax f x x a R e=--∈．（1）若()f x 在()2,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）证明：当2a ≥时，不等式()32xe f x ax <在[]0,2x ∈上恒成立．【答案】（1）)32,e ⎡-+∞⎣；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得出()0f x '≥对任意的()2,x ∈+∞恒成立，利用参变量分离法得出22x e a x -≤-在()2,+∞上恒成立．构造函数()()222xe g x x x =>-，利用导数求出函数()y g x =的最小值，由此可得出实数a 的取值范围；（2）分(]1,2x ∈和[]0,1x ∈来证明不等式()32x e f x ax <成立，在(]1,2x ∈时显然成立，在[]0,1x ∈时，可考虑证2()2x e f x ax ≤，即证2113x e a x ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭，构造函数()211x h x e x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，利用导数分析函数()y h x =的单调性与最值，即可得证. 【详解】（1）因为()221x ax f x x e =--，所以()222222x x x ax ax xe ax ax f x x e e--+'=-=． 因为函数()y f x =在()2,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()2,+∞上恒成立，即2220x xe ax ax +≥-在()2,+∞上恒成立，即22xe a x -≤-在()2,+∞上恒成立． 令()()222x e g x x x =>-，则()()()()()222222322x x x e x e e x g x x x ---'==--， 所以当()2,3x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增．所以()()3min 32g x g e ==，所以32a e -≤，即32a e ≥-，故a 的取值范围为)32,e ⎡-+∞⎣；（2）显然，当2a ≥时，3()02x e f x ax <≤在[]0,1x ∈上恒成立． 当(]1,2x ∈时，3222ax ax >，所以可考虑证2()2x e f x ax ≤，即证2113x e a x ⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭． 令()211x h x e x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则()23121x h x e xx ⎛⎫'=-+⋅ ⎪⎝⎭，当(]1,2x ∈时，2110x->，()0h x '>，即函数()y h x =在(]1,2上单调递增，所以当(]1,2x ∈时，()()(223326344h x h e a ≤=<⨯=≤， 所以当(]1,2x ∈时，()32x e f x ax <．综上，当2a ≥时，不等式()32x e f x ax <在[]0,2x ∈上恒成立． 【点睛】本题主要考查导数的运算、函数的单调性等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于难题.。

2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。

江苏省2020届高三上学期八校联考模拟试卷数学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B＝ ． 答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：146．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣27．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ． 答案：79．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ．答案：10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r ，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：1412．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ． 答案：21113．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ． 答案：0a <或1a =二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，3)，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b ＝53，求a 的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． ………6分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分 所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分 由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。