高考数学讲义复数.教师版

高中数学复数解读教案模板教学目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的表示形式，进行复数的运算。

一、复数的概念与表示1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，i^2=-1。

2. 复数的表示形式：标准形式、三角形式、指数形式等。

3. 复数平面：复数可以用平面上的点表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。

二、复数的运算1. 复数的加减法：实部相加，虚部相加。

2. 复数的乘法：使用分配律及虚数单位i的平方等于-1进行计算。

3. 复数的除法：先将分母有理化，再进行除法运算。

三、复数的应用1. 复数在几何中的应用：向量的表示、测量等。

2. 复数在物理中的应用：交流电路中的阻抗等。

教学过程：1. 复数的概念与表示（30分钟）- 教师引导学生了解复数的概念，并通过例题演示不同表示形式。

- 学生掌握复数的概念及表示方法。

2. 复数的运算（40分钟）- 教师讲解复数的加减法、乘法和除法，并进行相关例题讲解。

- 学生完成相关练习，巩固复数的运算规则。

3. 复数的应用（30分钟）- 教师介绍复数在几何和物理领域中的应用，引导学生理解复数的实际意义。

- 学生通过实际问题解决复数的应用题目。

教学反馈：- 教师根据学生的掌握情况进行课堂检测与反馈，帮助学生弥补不足，巩固学习成果。

教学资源：- PowerPoint课件、复数计算工具、复数应用案例等。

教学评价：- 学生能够准确理解复数的概念和运算规则，能够运用复数解决实际问题。

教学延伸：- 学生可自主学习复数的高级运算、复数的根和方程等内容，拓展复数的应用领域。

教学反思：- 教师应根据学生的学习状况调整教学内容和方法，有效提高学生的学习兴趣和成绩。

§１３．２复数１．复数的有关概念（１）复数的概念形如a＋b i （a，b∈R）的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．（２）复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．２．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．３．复数的几何意义（１）复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．（２）复数z＝a＋b i平面向量错误!.（３）复数z＝a＋b i的模或绝对值：|z|＝错误!.４．复数的运算（１）复数的加、减、乘、除运算法则设z１＝a＋b i，z２＝c＋d i （a，b，c，d∈R），则１加法：z１＋z２＝（a＋b i）＋（c＋d i）＝（a＋c）＋（b＋d）i；２减法：z１—z２＝（a＋b i）—（c＋d i）＝（a—c）＋（b—d）i；３乘法：z１·z２＝（a＋b i）·（c＋d i）＝（ac—bd）＋（ad＋bc）i；４除法：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i（c＋d i≠0）．（２）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z１、z２、z３∈C，有z１＋z２＝z２＋z１，（z１＋z２）＋z＝z１＋（z２＋z３）．３１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）方程x２＋x＋１＝0没有解．（×）（２）复数z＝a＋b i（a，b∈R）中，虚部为b i. （×）（３）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．（×）（４）原点是实轴与虚轴的交点．（√）（５）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．（√）２．（２0１２·北京）设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0．故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．３．（２0１３·陕西）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）Ａ．若z２≥0，则z是实数Ｂ．若z２<0，则z是虚数Ｃ．若z是虚数，则z２≥0Ｄ．若z是纯虚数，则z２<0答案C解析设z＝a＋b i（a，b∈R），z２＝a２—b２＋２ab i，由z２≥0，得错误!即错误!或错误!所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z２<0时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i２＝—１<0，故C为假命题，D为真命题．４．（２0１３·四川）如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是（）Ａ．AＢ．BＣ．CＤ．D答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示错误!.选Ｂ．５．（２0１３·广东）若i（x＋y i）＝３＋４i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５答案D解析由题意知x＋y i＝错误!＝４—３i，所以|x＋y i|＝|４—３i|＝错误!＝５．题型一复数的概念例１（１）已知a∈R，复数z １＝２＋a i，z２＝１—２i，若错误!为纯虚数，则复数错误!的虚部为（）Ａ．１Ｂ．i Ｃ．错误!Ｄ．0（２）若z１＝（m２＋m＋１）＋（m２＋m—４）i（m∈R），z２＝３—２i，则“m＝１”是“z１＝z２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件思维启迪（１）若z＝a＋b i（a，b∈R），则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．（２）直接根据复数相等的条件求解．答案（１）A （２）A解析（１）由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i是纯虚数，得a＝１，此时错误!＝i，其虚部为１．（２）由错误!，解得m＝—２或m＝１，所以“m＝１”是“z１＝z２”的充分不必要条件．思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．（１）（２0１３·安徽）设i是虚数单位．若复数a—错误!（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）Ａ．—３Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．３（２）（２0１２·江西）若复数z＝１＋i（i为虚数单位），错误!是z的共轭复数，则z２＋错误!２的虚部为（）Ａ．0 Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．—２答案（１）D （２）A解析（１）a—错误!＝a—（３＋i）＝（a—３）—i，由a∈R，且a—错误!为纯虚数知a＝３．（２）利用复数运算法则求解．∵z＝１＋i，∴错误!＝１—i，z２＋错误!２＝（１＋i）２＋（１—i）２＝２i—２i＝0．题型二复数的运算例２计算：（１）错误!＝________；（２）（错误!）6＋错误!＝________.思维启迪复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．答案（１）３—３i （２）—１＋i解析（１）错误!＝错误!＝错误!＝—错误!＝—３i（i＋１）＝３—３i.（２）原式＝[错误!]6＋错误!＝i6＋错误!＝—１＋i.思维升华（１）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．（２）记住以下结论，可提高运算速度，１（１±i）２＝±２i；２错误!＝i；３错误!＝—i；４错误!＝b—a i；５i４n＝１，i４n＋１＝i，i４n＋２＝—１，i４n＋３＝—i（n∈N）．（１）已知复数z＝错误!，错误!是z的共轭复数，则z·错误!＝________.（２）错误!＋（错误!）２0１４＝________.答案（１）错误!（２）0解析（１）方法一|z|＝错误!＝错误!，z·错误!＝|z|２＝错误!.方法二z＝错误!＝—错误!＋错误!，z·错误!＝错误!错误!＝错误!.（２）原式＝错误!＋[（错误!）２]１007＝i＋（错误!）１007＝i＋i１007＝i＋i４×２５１＋３＝i＋i３＝0．题型三复数的几何意义例３如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,３＋２i，—２＋４i，试求：（１）错误!、错误!所表示的复数；（２）对角线错误!所表示的复数；（３）求B点对应的复数．思维启迪结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．解（１）错误!＝—错误!，∴错误!所表示的复数为—３—２i.∵错误!＝错误!，∴错误!所表示的复数为—３—２i.（２）错误!＝错误!—错误!，∴错误!所表示的复数为（３＋２i）—（—２＋４i）＝５—２i.（３）错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴错误!所表示的复数为（３＋２i）＋（—２＋４i）＝１＋6i，即B点对应的复数为１＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z是复数，z＋２i、错误!均为实数（i为虚数单位），且复数（z＋a i）２在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋y i（x、y∈R），∴z＋２i＝x＋（y＋２）i，由题意得y＝—２．∵错误!＝错误!＝错误!（x—２i）（２＋i）＝错误!（２x＋２）＋错误!（x—４）i，由题意得x＝４．∴z＝４—２i.∵（z＋a i）２＝（１２＋４a—a２）＋8（a—２）i，根据条件，可知错误!，解得２<a<6，∴实数a的取值范围是（２,6）．解决复数问题的实数化思想典例：（１２分）已知x，y为共轭复数，且（x＋y）２—３xy i＝４—6i，求x，y.思维启迪（１）x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；（２）利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．规范解答解设x＝a＋b i （a，b∈R），则y＝a—b i，x＋y＝２a，xy＝a２＋b２，[３分]代入原式，得（２a）２—３（a２＋b２）i＝４—6i，[５分]根据复数相等得错误!，[7分]解得错误!或错误!或错误!或错误!. [9分]故所求复数为错误!或错误!或错误!或错误!. [１２分]温馨提醒（１）复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．（２）本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．（３）本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．方法与技巧１．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．２．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．３．实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即错误!４．复数运算常用的性质：（１）１（１±i）２＝±２i；２错误!＝i，错误!＝—i；（２）设ω＝—错误!＋错误!i，则１|ω|＝１；２１＋ω＋ω２＝0；３错误!＝ω２.（３）i n＋i n＋１＋i n＋２＋i n＋３＝0（n∈N＋）．失误与防范１．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．２．对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．３．两个虚数不能比较大小．４．利用复数相等a＋b i＝c＋d i列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．５．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z１，z２∈C，z错误!＋z错误!＝0，就不能推出z１＝z２＝0；z２<0在复数范围内有可能成立．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．若复数z＝（x２—１）＋（x—１）i为纯虚数，则实数x的值为（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．—１或１答案A解析由复数z为纯虚数，得错误!，解得x＝—１，故选Ａ．２．在复平面内，向量错误!对应的复数是２＋i，向量错误!对应的复数是—１—３i，则向量错误!对应的复数是（）Ａ．１—２i Ｂ．—１＋２iＣ．３＋４i Ｄ．—３—４i答案D解析因为错误!＝错误!＋错误!＝—１—３i＋（—２—i）＝—３—４i.３．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数错误!的点是（）Ａ．EＢ．FＣ．GＤ．H答案D解析由题图知复数z＝３＋i，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２—i.∴表示复数错误!的点为H.４．（２0１３·山东）复数z＝错误!（i为虚数单位），则|z|等于（）Ａ．２５Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．错误!答案C解析z＝错误!＝—４—３i，所以|z|＝错误!＝５．５．复数错误!的共轭复数是（）Ａ．—错误!i Ｂ．错误!iＣ．—i Ｄ．i答案C解析方法一∵错误!＝错误!＝错误!＝i，∴错误!的共轭复数为—i.方法二∵错误!＝错误!＝错误!＝i.∴错误!的共轭复数为—i.二、填空题6．（２0１３·天津）i是虚数单位，复数（３＋i）（１—２i）＝________.答案５—５i解析（３＋i）（１—２i）＝３—５i—２i２＝５—５i.7．（２0１２·湖北）若错误!＝a＋b i（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝________.答案３解析利用复数相等的条件求出a，b的值．错误!＝错误!＝错误![（３—b）＋（３＋b）i]＝错误!＋错误!i.∴错误!解得错误!∴a＋b＝３．8．复数（３＋i）m—（２＋i）对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．答案m<错误!解析z＝（３m—２）＋（m—１）i，其对应点（３m—２，m—１），在第三象限内，故３m—２<0且m—１<0，∴m<错误!.三、解答题9．已知复数z１满足（z１—２）（１＋i）＝１—i（i为虚数单位），复数z２的虚部为２，且z１·z２是实数，求z２.解（z１—２）（１＋i）＝１—i⇒z１＝２—i.设z２＝a＋２i，a∈R，则z１·z２＝（２—i）（a＋２i）＝（２a＋２）＋（４—a）i.∵z１·z２∈R，∴a＝４．∴z２＝４＋２i.１0．复数z１＝错误!＋（１0—a２）i，z２＝错误!＋（２a—５）i，若错误!１＋z２是实数，求实数a的值．解错误!１＋z２＝错误!＋（a２—１0）i＋错误!＋（２a—５）i＝错误!＋[（a２—１0）＋（２a—５）]i＝错误!＋（a２＋２a—１５）i.∵错误!１＋z２是实数，∴a２＋２a—１５＝0，解得a＝—５或a＝３．又（a＋５）（a—１）≠0，∴a≠—５且a≠１，故a＝３．B组专项能力提升（时间：１５分钟）p１：|z|＝２; p２：z２＝２i；p３：z的共轭复数为１＋i; p４：z的虚部为—１．其中的真命题为（）Ａ．p２，p３Ｂ．p１，p２Ｃ．p２，p４Ｄ．p３，p４答案C解析利用复数的有关概念以及复数的运算求解．∵z＝错误!＝—１—i，∴|z|＝错误!＝错误!，∴p１是假命题；∵z２＝（—１—i）２＝２i，∴p２是真命题；∵错误!＝—１＋i，∴p３是假命题；∵z的虚部为—１，∴p４是真命题．其中的真命题共有２个：p２，p４.２．设f（n）＝错误!n＋错误!n（n∈N＋），则集合{f（n）}中元素的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．无数个答案C解析f（n）＝错误!n＋错误!n＝i n＋（—i）n，f（１）＝0，f（２）＝—２，f（３）＝0，f（４）＝２，f（５）＝0，…∴集合中共有３个元素．３．对任意复数z＝x＋y i（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）Ａ．|z—错误!|＝２yＢ．z２＝x２＋y２Ｃ．|z—错误!|≥２xＤ．|z|≤|x|＋|y|答案D解析∵错误!＝x—y i（x，y∈R），|z—错误!|＝|x＋y i—x＋y i|＝|２y i|＝|２y|，∴A不正确；对于B，z２＝x２—y２＋２xy i，故B不正确；∵|z—错误!|＝|２y|≥２x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝错误!≤|x|＋|y|，故D正确．４．设复数z满足i（z＋１）＝—３＋２i（i为虚数单位），则z的实部是________．答案１解析设z＝a＋b i（a、b∈R），由i（z＋１）＝—３＋２i，得—b＋（a＋１）i＝—３＋２i，∴a＋１＝２，∴a＝１．５．已知集合M＝{１，m,３＋（m２—５m—6）i}，N＝{—１,３}，若M∩N＝{３}，则实数m的值为________．答案３或6解析∵M∩N＝{３}，∴３∈M且—１∉M，∴m≠—１,３＋（m２—５m—6）i＝３或m＝３，∴m２—５m—6＝0且m≠—１或m＝３，解得m＝6或m＝３．6．（２0１２·上海改编）若１＋错误!i是关于x的实系数方程x２＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.答案—２３解析利用实系数方程的根与系数的关系求解．∵实系数一元二次方程x２＋bx＋c＝0的一个虚根为１＋错误!i，∴其共轭复数１—错误!i也是方程的根．由根与系数的关系知，错误!∴b＝—２，c＝３．。

第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C 来表示。

2．复数的几种形式。

对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。

若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。

若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。

模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。

复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++． ∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。

3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标． 提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)． 所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。

第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算.便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 来表示. 2．复数的几种形式.对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ）,a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1,连接OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角.若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ,称为复数的指数形式.3．共轭与模,若z=a+bi,（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z zz =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1,则zz 1=. 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2ei(θ1+θ2),.)(212121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n=r n(cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ),则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=,k=0,1,2,…,n-1.7．单位根：若w n=1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=ni n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=,k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k,若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1,有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m,当n ≥2时,有mn m m Z Z Z 1211-++++ =⎩⎨⎧,|,,|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等.9．复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 10.代数基本定理：在复数范围内,一元n 次方程至少有一个根.11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现,即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根,则z =a-bi 也是一个根.12．若a,b,c ∈R,a ≠0,则关于x 的方程ax 2+bx+c=0,当Δ=b 2-4ac<0时方程的根为.22,1aib x ∆-±-=二、方法与例题 1．模的应用.例1 求证：当n ∈N +时,方程(z+1)2n +(z-1)2n=0只有纯虚根.例2 设f(z)=z 2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求a,b 的值.2.复数相等.例3 设λ∈R ,若二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根,求λ满足的充要条件.3．三角形式的应用.例4 设n ≤2000,n ∈N,且存在θ满足(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ,那么这样的n 有多少个？4．二项式定理的应用.例5 计算：（1）100100410021000100C C C C +-+- ；（2）99100510031001100C C C C --+-5．复数乘法的几何意义.例6 以定长线段BC 为一边任作ΔABC,分别以AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角ΔABM 、等腰直角ΔACN.求证：MN 的中点为定点.例7 设A,B,C,D 为平面上任意四点,求证：AB •AD+BC •AD ≥AC •BD.6．复数与轨迹.例8 ΔABC 的顶点A 表示的复数为3i,底边BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求ΔABC 的外心轨迹.7．复数与三角.例9 已知cos α+cos β+cos γ=sin α+sin β+sin γ=0,求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0.例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.8．复数与多项式.例11 已知f(z)=c 0z n +c 1z n-1+…+c n-1z+c n 是n 次复系数多项式(c 0≠0). 求证：一定存在一个复数z 0,|z 0|≤1,并且|f(z 0)|≥|c 0|+|c n |.9.单位根的应用.例12 证明：自⊙O 上任意一点p 到正多边形A 1A 2…A n 各个顶点的距离的平方和为定值.10．复数与几何.例13 如图15-2所示,在四边形ABCD 内存在一点P,使得ΔPAB,ΔPCD 都是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.求证：必存在另一点Q,使得ΔQBC,ΔQDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形.例14 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0,定义A s =A s-3,s ≥4,构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置,k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.证明：ΔA 1A 2A 3为等边三角形.三、基础训练题1．满足(2x 2+5x+2)+(y 2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组. 2．若z ∈C 且z2=8+6i,且z3-16z-z100=__________. 3.复数z 满足|z|=5,且(3+4i)•z 是纯虚数,则 z __________.4．已知iz 312+-=,则1+z+z 2+…+z1992=__________.5.设复数z 使得21++z z 的一个辐角的绝对值为6π,则z 辐角主值的取值范围是__________. 6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1,则关于z 的方程z -Λz=w 的解为z=__________.7.设0<x<1,则2arctan=+-+-+2211arcsin 11x x x x __________. 8.若α,β是方程ax 2+bx+c=0（a,b,c ∈R ）的两个虚根且R ∈βα2,则=βα__________. 9．若a,b,c ∈C,则a 2+b 2>c 2是a 2+b 2-c 2>0成立的__________条件.10．已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 取值的集合是__________.11．二次方程ax 2+x+1=0的两根的模都小于2,求实数a 的取值范围.12．复平面上定点Z 0,动点Z 1对应的复数分别为z 0,z 1,其中z 0≠0,且满足方程|z 1-z 0|=|z 1|,①另一个动点Z 对应的复数z 满足z 1•z=-1,②求点Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置.13．N 个复数z 1,z 2,…,z n 成等比数列,其中|z 1|≠1,公比为q,|q|=1且q ≠±1,复数w 1,w 2,…,w n 满足条件：w k =z k +kz 1+h,其中k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证：复平面内表示w 1,w 2,…,w n 的点p 1,p 2,…,p n 都在一个焦距为4的椭圆上. 四、高考水平训练题1．复数z 和cos θ+isin θ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则z=__________. 2.设复数z 满足z+|z|=2+i,那么z=__________.3．有一个人在草原上漫步,开始时从O 出发,向东行走,每走1千米后,便向左转6π角度,他走过n 千米后,首次回到原出发点,则n=__________.4.若12102)1()31()34(i i i z -+--=,则|z|=__________.5.若a k ≥0,k=1,2,…,n,并规定a n+1=a 1,使不等式∑∑==++≥+-nk k nk k k k k a aa a a 112112λ恒成立的实数λ的最大值为__________.6．已知点P 为椭圆15922=+y x 上任意一点,以OP 为边逆时针作正方形OPQR,则动点R 的轨迹方程为__________.7．已知P 为直线x-y+1=0上的动点,以OP 为边作正ΔOPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列).则点Q 的轨迹方程为__________.8．已知z ∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“R zz ∈-221”的__________条件. 9．若n ∈N,且n ≥3,则方程z n+1+z n-1=0的模为1的虚根的个数为__________. 10．设(x2006+x2008+3)2007=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则2222543210a aa a a a --++-+…+a 3k -=++-++n k k a a a 222313__________. 11.设复数z 1,z 2满足z1•0212=++z A z A z ,其中A ≠0,A ∈C.证明： （1）|z 1+A|•|z 2+A|=|A|2； （2）.2121Az Az A z A z ++=++12．若z ∈C,且|z|=1,u=z 4-z 3-3z 2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值时的复数z.13.给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足⎪⎩⎪⎨⎧=++===,1,1||||||133221321z z z z z zz z z 求|az 1+bz 2+cz 3|的值.三、联赛一试水平训练题1．已知复数z 满足.1|12|=+zz 则z 的辐角主值的取值范围是__________. 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤π),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为S,则S 到原点距离的最大值为__________.3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数1995201995219951,,,z z z 所对应的不同点的个数是__________.4．已知复数z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________. 5．设i w 2321+-=,z 1=w-z,z 2=w+z,z 1,z 2对应复平面上的点A,B,点O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|,则ΔOAB 面积是__________. 6．设5sin5cosππi w +=,则(x-w)(x-w 3)(x-w 7)(x-w 9)的展开式为__________.7．已知(i +3)m =(1+i)n(m,n ∈N +),则mn 的最小值是__________.8．复平面上,非零复数z1,z2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z •z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=__________. 9.当n ∈N,且1≤n ≤100时,n i ]1)23[(7++的值中有实数__________个. 10．已知复数z 1,z 2满足2112z z z z =,且31π=Argz ,62π=Argz ,π873=Argz ,则321z z z Arg+的值是__________. 11．集合A={z|z 18=1},B={w|w 48=1},C={zw|z ∈A,w ∈B},问：集合C 中有多少个不同的元素？ 12．证明：如果复数A 的模为1,那么方程A ixix n=-+)11(的所有根都是不相等的实根（n ∈N +）. 13.对于适合|z|≤1的每一个复数z,要使0<|αz+β|<2总能成立,试问：复数α,β应满足什么条件？六、联赛二试水平训练题1．设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++===,)(41543215432145342312S a a a a a a a a a a a a a a a a a a 其中S 为实数且|S|≤2,求证：复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上. 2．求证：)2(2)1(sin 2sinsin1≥=-⋅⋅⋅-n nn n n nn πππ. 3．已知p(z)=z n+c 1z n-1+c 2z n-2+…+c n 是复变量z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.4．运用复数证明：任给8个非零实数a 1,a 2,…,a 8,证明六个数a 1a 3+a 2a 4, a 1a 5+a 2a 6, a 1a 7+a 2a 8, a 3a 5+a 4a 6, a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中至少有一个是非负数.5．已知复数z 满足11z 10+10iz 9+10iz-11=0,求证：|z|=1. 6.设z 1,z 2,z 3为复数,求证：|z 1|+|z 2|+|z 3|+|z 1+z 2+z 3|≥|z 1+z 2|+|z 2+z 3|+|z 3+z 1|.。

数系的扩充与复数的引入要求层次重难点复数的基本概念，复数相等的条件B 了解数系的扩充的基本过程与复数的概念； 掌握复数的几何意义与复数的代数形式的四则运算法则复数的代数表示法及几何意义A 复数代数形式的四则运算 C 复数代数形式加减法的几何意义A题型一：复数的概念知识内容1．虚数单位i ：（1）它的平方等于1-，即2i 1=-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系：i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：例题精讲高考要求模块框架复数41i i n +=， 42i 1n +=-， 43i i n +=-， 4i 1n =．2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的定义：形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C 表示4．复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N ZQ RC 苘苘7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，b ， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =典例分析【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1-【考点】复数的概念 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例2】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．()15，B ．()13，C ．(1D ．(1【考点】复数的概念 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 z =02a <<，∴1z <<【答案】C【例3】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 【考点】复数的概念 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++ii i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+L【答案】952i +【例4】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部为 ．【考点】复数的概念 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 设1z a bi =+，则2()()z a b b a i =-+-．【答案】1【例5】在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±；③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =．⑥1z =的充要条件是1z z=．A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】复数的概念 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．【答案】B题型二：复数的几何意义 知识内容1．复平面、实轴、虚轴：复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．典例分析【例6】复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例7】若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或 【考点】复数的几何意义 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例8】复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 由已知2i (2i)(12i)1[(4)2(1)i]12i (12i)(12i)5m m z m m ---===--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限． 【答案】A【例9】设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A+-=<．【答案】B【例10】满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（ ） A．1122⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭， C．⎫⎪-⎬⎪⎪⎩⎭ D．1122⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =上（1322z z +=-表示z 到点102⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点302⎛⎫⎪⎝⎭，的距离相等，故轨迹为直线12x =），故选D ． 【答案】D【例11】已知复数1z ，2z满足11z =，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值． 【考点】复数的几何意义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，则12z z ==；12124z z z z +=-=．【答案】；4．【例12】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【考点】复数的几何意义 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ∴，故可设12(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2222122i 0z k k z ==-<．也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=，122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故22112220z z z z ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． 【答案】题型三：复数的四则运算知识内容1．复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2．复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3．复数的加法运算满足交换律：1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律：123123()()z z z z z z ++=++ 5．乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+（a 、b 、c 、d ∈R ）是任意两个复数，那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7．复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数i x y +（x 、y ∈R ）叫复数i a b +除以复数i c d +的商，记为：()(i)i a b c d +÷+或者iia b c d ++ 8．除法运算规则：设复数i a b + （a 、b ∈R ），除以i c d + （c ，d ∈R ），其商为i x y +（x 、y ∈R ）， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()i i i x y c d cx dy dx cy ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y dc bd ac x于是有： ()(i)i a b c d +÷+2222i ac bd bc adc d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴（()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积 为1是有理数，而()()22i i c d c d c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．<教师备案>近年来高考对复数知识的考查都比较简单，基本都在选择的前四题或者填空题的第一\二道，新课标中，文理都要学习复数，但是只学习复数的代数形式与加法乘除运算，不再学习复数的三角形式．典例分析【例13】已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 222(1)2(1)22111z z i i i z i i-----===-----．【答案】B【例14】设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz 等于（ ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±【考点】复数的四则运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 设()z a bi a b =+∈R ，，则242a a =⇒=，2282a b b +=⇒=±，于是221221z i ii z i i±±===±m m ． 【答案】D【例15】设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 2008，全国二，高考【答案】 A【例16】已知复数12232i23i ,(2i)z z +=-=+，则12z z =（ ） A ． 49 B ．7 C ． 25 D ． 5【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】选择【关键词】北京师大附中，2008-2009，期中考试【解析】【答案】D【例17】定义运算(,)(,)a b c d ac cd ⊗=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例18】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（ ）A ．13 B ．14 C ．16 D ．112【考点】复数的四则运算 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，湖北，高考【解析】 因为22()()2()m ni n mi mn n m i +-=+-为实数，所以22n m =故m n =则可以取1、2⋅⋅⋅6，共6种可能，所以1166616P C C ==⋅ 【答案】C【例19】已知复数z 满足01,120082009=++=z z z ，则复数z ＝_____________ 【考点】复数的四则运算【难度】3星【题型】填空【关键词】北京师大附中，2008-2009，期中考试【解析】 由题意知2008(1)1z z +=-，两边取模知11z +=，令z a bi =+，有22221(1)1a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得1,22a b =-=±，此时有31z =，从而20092z z =，2008z z =，且200920081z z ++=210z z ++=满足，故122z =-±都满足题意．【答案】i 2321±-【例2012．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 原式12121269100121511(i)=+==-+=--． 【答案】511-【例21】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，． ⑴设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；⑵若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵z 是方程210x +=的根，∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，． 于是2421C 3P ==．⑵取12z =-，则212z =-及31z =．于是23{}z M z z z =，，或取12z =-．（说明：只需写出一个正确答案）． 【答案】⑴13；⑵12z =-．【例22】解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=． 【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 错解：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ⎧==⎧-+=⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或． 分析：“i i a b c d a c +=+⇔=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)∆=---=-=-．由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-，2(5i)(1i)22x ---==．∴原方程的解为13i x =-，22x =．法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，22(56)(252)i 0a b a b ab b a ⇒---++-+-=225602520a b a b ab b a ⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②，由②得：5221b a b +=+，代入①中解得：31a b =⎧⎨=-⎩或20a b =⎧⎨=⎩，故方程的根为123i 2x x =-=，．【答案】123i 2x x =-=，．【例23】已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值． 【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 法一：321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =或12x =-±．由题意知12ω=-，证明与计算略；法二：由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=⇒++=． 又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，． 由韦达定理有1ωω=321ωωωωω⇒===．22233111110ωωωωωωωω++++==++=． 222111121ωωωωωωω++-====-++-+．【答案】0；12-+【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<．⑴求z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； ⑶求2w u -的最小值．【考点】复数的四则运算【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2w a =，122w a -<=<，112a -<<，所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑵222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b b u z a b a b a ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以u 为纯虚数． ⑶2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故2122(1)34311w u a a -⋅+⋅-=-=+≥． 当111a a +=+，即0a =时，2w u -取得最小值1． 【答案】⑴1z =；z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶1．习题1. 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1【考点】复数的概念 【难度】1星【题型】选择【关键词】2009，江西，高考【解析】 由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩故选A 【答案】A习题2. 在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无课后作业【解析】 大小为2的角为第二象限角，故sin 20cos20><，，从而该复数在第四象限．【答案】D习题3. 若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2005，天津，高考【解析】 由223i (3i)(12i)6(32)i 632i 12i (12i)(12i)1255a a a a a a++-++-+-===+++-+． 因为复数3i 12i a ++是纯虚数，所以605a +=且3205a-≠．解得6a =-．【答案】C习题4. 已知集合(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（ ）AB．CD．【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】||z ==【答案】D习题5.4等于（ ）A．1B．1-+ C．1-D．1-【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 原式42522516(1i)1(2i)221211(2)22ωω+==-⋅===-+⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，选B ． 【答案】B习题6. 关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 误：∵方程有实根，22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-∴≥．解得aa ≤ 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±． 【答案】1a =±。