一三节点三角形单元.docx

第一部分、相似三角形判定的基本模型认识相似三角形模型分析（一）A字型、反A字型（斜A字型）C（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（平行）（三）母子型（蝴蝶型）（四）一线三等角型:（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到■ ■■■■■■.■8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形母子型相似三角形例1 :如图，梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC、BD交于点O, BE// CD交CA延长线于E.求证：OC 2=OA OE .例2 :已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD 上, ■ DEB= ■ ABC .求证：(1) DB2=DE DA ; (2) . DCE=/DAC .求证：BE2= EF EG .相关练习:21、如图，已知AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线•求证：FD -FB FC .第二部分相似三角形典型例题讲解例3:已知：如图，等腰△ABC 中，AB = AC, AD丄BC 于D , CG// AB,BG分别交AD、AC于E、F .AD2、已知：AD是Rt △ ABC中∠ A的平分线，∠ C=90°, EF是AD的垂直平分线交AD于M EF、BC的延长线交于一点M求证：⑴△ AME^△ NMD; (2)ND 2=NC∙ NB3、已知：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC上一点，CF⊥ BE于F。

求证：EB∙ DF=AE∙ DB44. 在MBC中，AB=AC高AD与BE交于H, EF丄BC ,垂足为F,延长AD到G使DG=EF M是AH的中点。

5. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)已知：如图，在Rt △ ABC中，∠ 0=90°, BG=2, AG=4, P是斜边AB上的一个动点, PDL AB 交边AC 于点(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且∠ EP[=∠ A.设A P两点的距离为x,A BEP的面积为y.(1)求证：AE=2Pξ(2)求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当厶BEP与厶ABC相似时，求△ BEP的面积.DE=6 2 ,求：点B 到直线AC 的距离。

§2.9平面问题单元划分有限元法在平面问题进行分析时，才采用三角形单元和四边形单元、或者矩形单元，三角形单元的优点是简单且对结构的不规则边界逼近好，而矩形单元却更能反映实际弹性体内部的应力应变变化。

这两点我们会逐渐向大家说明。

所以一般说来，有限元分析，单元划分的密度和单元种类选取，对计算结果起重要作用。

一般单元划分越密集，结果越精确。

单元多也导致求解的线性方程组阶数增高，要求计算机的内存也更大，计算的时间也越长，分析的效率就越低。

解决这一矛盾的方法就是在应力集中区域单元划分密集一些，应力变化梯度小的位置，划稀疏些，这样就能兼顾精度与效率的关系。

一般的原则是：1）根据结构的受力和支承特点，按对称和反对称的性质，简化分析模型，以减少计算分析的规模。

2）合理布局单元的密集程度，以使计算结果精度高而计算量小。

3）在同一单元内，单元的特性数据和材质数据应保持一致。

4）集中载荷的作用点和载荷密度突变处应有节点。

5）在欲知道应力状态、内力情况和位移值的位置应有节点。

6）单元的选取欲分析的目标密切相关。

模型的单元划分好后，把所有的单元和节点按一定的规律和顺序进行编号，选择适当的坐标系（直角、柱面和球面），以方便确定各节点的坐标值。

§2.10 节点位移、节点力和节点载荷弹性体在承受外力作用后，其内力的传递实际是通过单元之间的边界来实现的。

但我们把结构离散化后，如果单元划分得足够小时，可以看成为其内力的传递通过单元与单元之间的节点进行传递。

对于平面问题而言，每个节点都有位移和力两个未知量，这两个量又都是x、y的函数，注意平面问题的节点是不能传递力矩的，为什么？一，节点位移对三节点三角形单元而言，因有三个节点，每个节点的位移都有x ，y 两个分量，所以一共有6个自由度。

单元节点位移向量可表示为：{}[]Tm m j j i ie v u v u v u =δ二，节点力所谓节点力，就是单元对节点或节点对单元作用的力，它是弹性体内部的作用力，也就是我们常说的内力。

三节点三角形单元算例1.引言1.1 概述概述部分（1.1）概述部分旨在介绍本篇文章的主题和背景信息。

本文将重点讨论三节点三角形单元算例，并对其进行详细的分析和结果总结。

三节点三角形单元是有限元分析中常用的一个基本单元，用于建模和模拟复杂的结构系统。

它由三个节点和三条连接这些节点的边组成。

通过这些节点和边的组合，我们可以将结构系统离散成数学模型，进而进行计算和分析。

本文将首先介绍节点的定义和作用。

节点是结构系统中的一个关键概念，它代表了结构的局部特点和重要信息。

在有限元分析中，节点不仅仅是一个几何点，更是一个存储了与该节点相关信息的数据点。

节点的定义和位置决定了单元的布局以及整个结构系统的建模精度。

接着，本文将详细讨论三角形单元的定义和特征。

三角形单元是由三个节点和三条连接这些节点的边组成的简单形状。

这种单元具有较好的适应性和计算效率，广泛应用于各类结构系统的模拟和分析。

通过对三角形单元的了解，我们可以更好地理解和应用有限元方法进行结构分析。

在本文的结论部分，将以一个具体的算例为例，展示三节点三角形单元的应用和分析过程。

通过该算例的分析，我们将得出一些结论和总结，并对三节点三角形单元的适用性和精度进行评估。

在本文的后续章节中，将对节点定义、三角形单元定义、算例分析以及结果总结等内容进行详细阐述，并对相关问题进行讨论和分析。

通过全面的介绍和讨论，我们旨在提供一个全面、准确和有用的指南，帮助读者更好地理解和应用三节点三角形单元算例。

文章结构部分的内容可以按如下方式编写：1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先概述了本文的背景和意义。

随后，介绍了文章的结构，包括本文主要从节点定义和三角形单元定义两个方面展开，以及结语部分。

正文部分主要包括节点定义和三角形单元定义两个子部分。

节点定义部分介绍了在三节点三角形单元中节点的定义和作用。

三角形单元定义部分则详细介绍了三角形单元的结构和数学表示，以及其在有限元分析中的应用。

第三章三角形3.1.1 •认识三角形（三角形内角和定理）教学目标1 •知识目标1）能在三角形内角的基础上了解三角形的外角，掌握三角形内角和，掌握三角形外角与其邻角的关系。

2）通过学习可以发展学生的思维品质，提高动手能力，培养学生自住学习能力，合作探究，推理论证，学以致用的能力。

2.技能目标1）通过观察操作，推理等活动，利用拼图让学生猜想，启发学生添加辅助线验证三角形内角和定理，进而再验证外角性质。

2）通过老师耐心指点，学生猜想，然后合作探索，添加辅助线，运用转化思想进而验证定理。

3）学习到了人胆猜想，动手操作，积极探索，一步步推理论证的能力，同时也学会了转化思想。

3.情感态度与价值观1）通过教材知识和实际生活相联系，感受数学的实用性，体验数学的魅力, 还可以与各科知识相联系，有效激发学牛学习兴趣。

2）通过老师提出问题，学生自主思考，互动研讨，经历观察，分析，猜想,论证的过程，推导结论，同时借助多媒体的直观演示，加深学习对知识的理解，再通过习题练习，巩I古I重点内容，最后进行变式训练，从而熟练应用并突破难点。

3）在本节学习中，让学生体验到数学的逻辑，严密，科学美，对学生培养严谨认真的态度有积极意义；同时通过解决牛活中的实际问题，增强数学的牛活味，促使学生在生活中用数学眼光看待世界，用数学大脑去认识世界，学会用数学思考问题，并大胆提问，善于发现问题，并从屮发现的乐趣，同时培养了学生的创新能力。

教学重点、难点教学重点：验证三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理进行推理和计算；动手操作，探索发现，验证三角形外角性质。

教学难点：添加辅助线证明三角形内角和定理和外角性质，运用三角形外角性质进行计算时能准确表达推理过程和方法，并运用到实际中去。

教学过程一、知识回顾1.师：展示课件图片，地板可以用正方形密铺而成，蜂巢可以用正六边形密铺而成，那么形状、大小完全相同的任意三角形能否镶嵌成平面图形呢？生：能师：通过课件展示形状、大小完全相同的任意三角形镶嵌成平面图形的过程, 其依据是什么？生：三角形三个内角的和等于180°师：小学和初一阶段又是如何验证三角形三个内角的和等于180度的呢？生：通过度量和撕角验证三角形三个内角的和等于180°师：展示课件，演示三角形撕角（即搬角）形成平角的过程，师：利用几何画板演示任意三角形的三个内角和等于180°师：用几何画板验证很多个三角形的内角和为180度，能不能作为三角形内角和定理的证明依据？生：不能。

第十一章 三角形第一节 与三角形有关的线段1、课标导航二、核心纲要1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类 ⑴三角形按边分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⑵三角形按角分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形3.三角形的三边关系定理及应用⑴三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边. ⑵三角形三边关系定理的应用①判断给定的三条线段能否围成三角形；②已知两边确定第三边的长或周长的取值范围；③化简代数式；④证明线段间的关系. 4.三角形的三条重要的线段⑴从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.⑵连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.⑶三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点直接的线段叫做三角形的角平分线. 5.三线交点位置⑴锐角三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，交点叫做三角形的垂心. ⑵三角形的三条中线都在三角形内部，它们交于一点，且交点在三角形内部，交点叫做三角形的重心.⑶三角形的三条角平分线都在三角形内，并且交于一点，交点叫做三角形的内心. 6.三角形具有稳定性 7.整数边三角形⑴边长都是整数的三角形称为整数边三角形.⑵若整数A 、B 、c 是三角形的三边，且A ≥B ≥C ，则32a ab cb ca ≤＋＋＋＋＜；3a b c++≤０＜ｃ .(当且仅当A ＝B ＝c 时等号成立)8.数学方法⑴几何问题代数化(转化). ⑵分类讨论. 9.几何模型本节重点讲解：一个分类，一个性质(三角形的三边关系)，两个方法，两个模型，五个概念(三角形的高线、中线和角平分线，整数边三角形). 三、全能突破 基础演练1. ⑴下列各组线段能组成一个三角形的是( )A.3cm ，3cm ，6 cmB.2 cm ，3 cm ，6 cmC.5 cm ，8 cm ，12 cmD.4 cm ，7 cm ，11 cm⑵下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是( ) A.a ，a －3，3(a ＞3) B.a ，a ＋4，a ＋6(a ＞0) C.a ，b ，a ＋b (a ＞0，a ＞0) D.a ＋1，a ＋1，2a (a ＞0) 2.如图11－1－1所示，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O ，测得OA ＝15米，OB ＝10米，A 、B 间的距离不可能是( ).A.5米B.10米C.15米D.20米3.三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，则这个三角形是 ( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.均有可能4.若一个三角形的两边长分别为5和7，则周长l 的取值范围为_____;若x 为最长边，则x 的取值范围是______.5.设三角形三边之长分别为3，8，2a －1，则a 的取值范围为_____.6.如图11－1－2所示，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里运用 的几何原理是_____.7.一个等腰三角形的两边长分别为4和5，则它的周长为_____. 8.如图11－1－3所示，已知△ABC ，按下列要求作图： ⑴作△ABC 角平分线AD ; ⑵作△ABC 的中线BF ; ⑶作△ABC 中AD 边上的高BF .9. ⑴已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足()()()+a c b c c a -+--=2220 ，试判断△ABC 的形状.⑵若△ABC 的三边a 、b 、b 满足(a －b )(a －c )(c －a )＝0，试判断△ABC 的形状.能力提升图11-1-1图11-1-210.如图11－1－4所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，以AD 为高的三角形有 ( )个. A.3 B.4 C.5 D.611.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简|a ＋b －c |＋|b －c －a |－|c －a －b |＝_____. 12.已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_____.13.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边是4和2012，则满足上述条件的三角形个数是_____个.14.将长为15 cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有____种.15.已知五条线段长分别为3、5、7、9、11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不相同的三角形____个.16.在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为21和12两部分，则三角形各边长为____.17.如图11－1－5所示，已知△ABC 的三边长均为整数，△ABC 的 周长为奇数.⑴若AC ＝8，BC ＝2，求AB 的长； ⑵若AC －BC ＝5，求AB 的最小值；⑶若A (－2，1)，B (6，1)，在第一、三象限的角平分线上是否存在点P ，使△AB P 的面积为16？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.18.如图11－1－6所示，一个四边形的四边长分别为AB ＝8，BC ＝6，CD ＝4，AD ＝5，它的形状是不稳定的，求AC 和BD 的取值范围.图11-1-6D19.如图11－1－7所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，点F 在△ABC 的内部，连接FB ，FC .说明：⑴AB ＋CD ＜AC ＋BD ; ⑵AB ＋AC ＞FB ＋FC ;⑶若AB ＝6，AC ＝7，BC ＝11，求FB ＋FC 的取值范围.20.已知点O 在△ABC 内部，连接OA 、OB 、OC ，说明：12(AB ＋AC ＋BC )＜OA ＋OB ＋OC ＜AB ＋AC ＋BC .中考链接21.(2011·河北)已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形的个数为( )A.2B.3C.5D.1322.(2012·杭州)有一组互不全等的三角形，它们的边长为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.⑴请写出其中一个三角形的第三边的长； ⑵设组中最多有n 个三角形，求n 的值.巅峰突破23.加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧(如图11－1－8所示)，点 A 到马路MN 的距离大于点B 到直线MN 的距离，AB ＝7米，一个人P 在马路MN 上行走，问，当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于_____米.24.不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.N第二节与三角形有关的角一、课标导航二、核心纲要1．三角形内角和定理及其应用（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和是180°．（2）三角形内角和定理的应用①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间的关系，求各角；②证明角之间的关系．2．三角形的外角（1）定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（3）三角形外角和定理：三角形外角和是360°．（4）三角形外角的性质的应用①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；②可证一个角等于另一个角的和；③利用它作为中间关系式证明两个角相等；④利用它证明角的不等关系．3．几何模型续表注：上述结论在应用时必须证明，不能直接用．4．思想方法（1）分类讨论．（2）方程思想．本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．三、全能突破基础演练1．一副三角板，按图11-2-1所示方式叠在一起，则图中α∠的度数是（）．A．75°B．60°C．65°D．55°2．如图11-2-2所示，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，则∠A的度数为（）A．36°B．72°C．108°D．144°3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°4．（1）在△ABC中，若∠A﹕∠B﹕∠C=2 ﹕3 ﹕4，则∠A= ，∠B= ，∠C= ．（2）在△ABC中，若1123A B C∠=∠=∠，则∠C= ．（3）若三角形的三个外角的比是2﹕3﹕4，则这个三角形按角分是三角形．5．已知：如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30°，则∠C的度数为．6．已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB= ．图11—2—3 图11—2—47．如图11-2-5所示，已知∠EGF =∠E +∠F ，求∠A +∠B +∠C +∠D 的度数．8．（1）已知，如图11-2-6所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，是说明：1()2DAE C B ∠=∠-∠．D（2）如图11-2-7所示，在△ABC 中，已知三条角平分线AD 、BE 、CF 相交于点I ，IH ⊥BC ，垂足为H ，∠BID 与∠HIC 是否相等？并说明理由．图11—2—6图11—2—7能 力 提 升9．在三角形中，最大角α的取值范围是（ ）．A ．090α︒<<︒B ．60180α︒<<︒C ．6090α︒≤<︒D ．60180α︒≤<︒10．直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（ ）．A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．都不对 11．如图11-2-8所示，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（ ）．A ．12A ∠=∠+∠B ．1(12)2A ∠=∠+∠ C ．1(212)3A ∠=∠+∠ D ．2(12)3A ∠=∠+∠12．已知△ABC 的三个内角为∠A 、∠B 、∠C ，且A B α=∠+∠，B C β=∠+∠，A C γ=∠+∠，则,,αβγ 中，锐角的个数最多为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．313．在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B 、∠C 越来越大，若∠A 减少α，∠B 增加β，∠C 增加γ，则,,αβγ三者之间的关系是 ． 14．在△ABC 中，高BD 、CE 所在的直线相交于点H ，且点H 与点B 、C 不重合，∠A =50°，则∠BHC = ．15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是 ． 16．如图11-2-9所示，在△ABC 中，A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，A 2B 平分∠A 1BD ，A 2C 平分∠A 1CD ，A 3B 平分∠A 2BD ，A 3C 平分∠A 2CD ，若∠A =64°，则∠A 3= ；依此类推，若∠A =α，∠A n = ．3BC图11—2—8图11—2—917．（1）如图11-2-10所示，在△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线分别交于G 1，G 2，G 3，…，G n-1，试猜想：∠BG n-1C 与∠A 的数量关系．（其中n 是不小于2的整数）．首先得到：当n =2时，如图（a ）所示，∠BG 1C = ，当n =3时，如图（b ）所示，∠BG 2C = ，…，如图（c ）所示，猜想∠BG n-1C= ．（2）如图（d ）所示，在四边形ABCD 中，BP 、CP 仍然是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，则∠P 与∠A 、∠D 之间的数量关系为 ．18．如图11-2-11所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，AG ⊥AE ，CG 是△ABC的外角∠ACF 的平分线，若∠G -∠DAE =60°，则∠ACB = ．B图11—2—10……图11—2—1119．阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CB相交于O点，在△AOB和△COD中，∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠B=∠C+∠D．图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题：如图11-2-13所示，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠A=48°，∠C=46°，BE与AD相交于点G，BC与DE相交于点H．（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形．（2）求∠BED的度数．（3）试探究∠A，∠E，∠C之间的关系．（直接写出结论）图11—2—12 图11—2—1320．如图11-2-14所示，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON 上一动点，（1）若∠ABM，∠BAN的平分线交于点C．问：点B、A在OM、ON上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由．（2）如图11-2-15所示，若∠ABO、∠BAN的平分线所在的直线相交于点C，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．M CM21．如图11-2-16所示，在△ADE和△ABC中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，∠BAD=∠BCF．（1）求∠ECF+∠DAC+∠ECA的度数；（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．C 图11—2—14 图11—2—15图11—2—1622．如图11-2-17（a ）所示，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ 交x 轴于点C ，且CE 平分∠DEQ ，过点D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，使∠ADE =∠BDC ，已知(,0)C m ，(,0)E n ，其中m ，n 满足3(4)0m n -++=．（1）求点C 、E 的坐标．（2）若∠ABC =30°，求∠Q 的度数．（3）如图11-2-17（b ）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB 绕点D 旋转，过D作DH ⊥AB ，交x 轴于点G ，交y 轴于点H ，直线AB 绕点D 转动时，下列结论：①∠Q 的大小不变；②QOHD∠∠的值不变．选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．中考链接23．（2011·四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中∠AOB 的度数为A．75°B．95°C．105°D．120°24．一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度.B巅峰突破25．如图11-2-20所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=13DBA∠，13EBG EBA∠=∠，则射线AF与BG（）A．平行B．延长后相交C．反向延长后相交D．可能平行也可能相交26．如图11-2-21所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若Aα∠=，Bβ∠=，则∠C= ．（用,αβ表示）E图11—2—18 图11—2—19图11—2—20 图11—2—21第三节多边形的边和角一、课标导航二、核心纲要1.多边形的有关概念⑴多边形：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.⑵多边形的内角和：多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.⑶多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.⑷正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.⑸凸、凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形，否则称为凹多边形.注：没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形都是凸多边形.2.多边形的内角和n边形外角和公式：(n－2)·180°.3.多边形的外角和n边形的外角和等于360°.注：多边形外角和与边数无关.4.多边形的对角线的条数多边形的对角线的条数为：()32n n-(n＞3)5.镶嵌⑴定义：用形状相同或不同的封闭的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的拼接在一起，这类问题叫做平面镶嵌.⑵镶嵌的条件：拼在同一个顶点的几个多边形的内角和恰好为360°.注：①用同一种多边形进行镶嵌的图形有：三角形、四边形、正六边形.(其中三角形和四边形是任意的)②用两种正多边形进行镶嵌的图形常用的有：常用的有正三角形和正四边形；正三角形和正六边形；正四边形和正八边形；还有正三角形和正十二边形；正五边形和正十边形. 本节中点讲解：一个条件(镶嵌的条件)，两个概念(多边形的有关概念和镶嵌)，两个定理(多边形内角和及其外角和定理).三、全能突破基础演练1.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( ). A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形2.某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论.甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”；乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”；丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”；丁说：“只要是多边形，外角和都是360°”.你认为正确的是( )A.甲和丁B.乙和丁C.丙和丁D.以上都不对3.小华家装修房屋，用同边长的几种不同的正多边形铺砖，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )A.正三角形、正六边形B.正三角形、正五边形、正八边形C.正六边形、正五边形D.正八边形、正三角形4.如图11－3－1所示，在锐角△ABC 中，BD 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，且BD 、CF 交于点F ，若∠A ＝52°，则∠BFC 的度数是( ). A.108° B.128° C.138° D.158°5.如图11－3－2所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.2π B.3π C.4πD.2π6.如图11－3－3所示，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则α＝_____.7.如图11－3－4所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＋∠F 的度数.8. ⑴已知∠AOB ＝65°，P 是平面上的任意一点，过点P 做P F ⊥OA ，P F ⊥OB ，垂足分别为点F ，F ，求∠F P F 的度数。

三角形单元知识总结（一）【基本目标要求】一、认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三条边，三个角之间的关系，会按角将三角形分类．二、了解三角形的内角平分线，高、中线．通过观察、操作、想像、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．三、通过实例理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等．理解图形全等的概念，能利用全等图形进行简单的图案设计.四、掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算．五、掌握三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”条件，了解三角形的稳定性，能进行简单的推理．并能根据上述条件，利用尺规作三角形．六、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决—些实际问题．【基础知识导引】一、三角形的基本概念及性质1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共顶点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做三角形的外角：2．三角形中的几条主要线段(1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．(3)三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．3．三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．(2)三角形的三个内角之和等于180(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和．(4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．(5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．4．三角形的分类二、全等三角形1．定义两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．2．性质两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．判定公理(1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS ”)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA ”)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS ”) 有三边对应相等的两个三角形全等．(4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS ”)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL ”) 有斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等．三、作三角形 1．尺规作图在几何里，把限定用直尺和圆规来画图称为尺规作图． 2．基本作图最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．主要是指以下几种：作—个角等于已知角、平分已知角、经过—点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线、经过已知直线外的一点作这条直线的平行线．3．已知两角夹边、两边夹角和三边，能利用尺规作三角形四、直角三角形 1．定义有—个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质(1)直角三角形中，两个锐角互余．(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)如果一个锐角等于︒30，则它所对的直角边等于斜边的一半．(4)如果—条直角边等于斜边的—半，则这条直角边所对的角等于︒30． (5)等腰直角三角形的锐角都等于︒45． 3．勾股定理(1)勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和，等于斜边c 的平方．即：222c b a =+ (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．(3)勾股数(或勾股弦数)：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．【重点难点点拨】本章重点是全等三角形的定义、性质和判定，直角三角形的判定．本章难点是学习推理、判断的方法．判断中做到层次清楚，语言简练、准确，理由充分，要掌握重点、难点，必须注意以下问题．一、全等三角形的判定1．利用全等三角形的判定来证明线段(或角)间的数量关系与线段的位置关系(平行或垂直)．为了学好全等三角形的知识，要注意搞清全等三角形的对应边、对应角的概念．2．联系已经学过的图形性质(例如平行线、对顶角、线段垂直平分线、角平分线等图形和性质)将隐含在图形内的间接条件挖掘出来，转化成证明三角形全等的直接条件．此类问题证明过程的表达可分成如下两个层次：先写出把间接条件转化为直接条件的推理过程；再写出在哪两个三角形中，有哪三组对应元素分别相等，最后做出全等的结论．二、判断线段相等的常用方法1．全等三角形的对应边相等．2．在同—三角形中，等角对等边．3．等腰三角形顶角的平分线与底边的高线是底边的中线．4．等边三角形任意两边相等．5．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.6．线段垂直平分线的性质定理.7．角平分线的性质定理．8．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．9．等量加等量，其和相等．10．等量减等量，其差相等．11．等量的同倍量相同．12．等量的同分量相等．13．在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替(等量代换).三、判断两角相等的常用方法1．对顶角相等．2．同角或等角的余角相等．3．同角或等角的补角相等．4．两直线平行，同位角相等．5．两直线平行，内错角相等．6．两边分别对应平行或垂直的两角相等或互补.7．全等三角形的对应角相等．8．等腰三角形的底角相等．9．等腰三角形底边上的中线、高线平分顶角．10．等量加等量，其和相等．11．等量减等量，其差相等．12．等量的同倍量相等．13．等量的同分量相等．14．等量代换.四、添辅助线的作用1．揭示图形中隐含的性质当条件与结论间的逻辑关系不明朗，通过适当添加辅助线后，将条件中隐含的有关图形的性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，达到推导出结论的目的．2．聚拢集中原则通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论．3．化繁为简的原则对—类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当的辅助线，把复杂的图形分解成简单的图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的．4．发挥特殊点、线的作用在题设条件所给的图形中，对尚未直接显示出来的各元素，通过添置辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点线的作用，达到化难为易、导出结论的目的．5．构造图形的作用对一类几何证题，常需要用到某种图形，而这种图形在题设条件所给定的图形中却没有出现，必须添置这些图形，才能导出结论．常用的方法有构造出线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等．【发散思维分析】本章的主要内容是全等三角形、等腰三角形、直角三角形的判定和性质．三角形是平面几何中内容比较丰富，概念、定理较多的最常见的图形，它是研究多边形和圆的基础．故掌握全等三角形、等腰三角形和直角三角形的判定定理和性质定理是为证明线段相等，角相等及线段和角的和、差、倍、分而提供的理论根据．本章知识开始深化，对命题的研究进入了推理论证的阶段．在证题之前要注意分析，必须思路清晰，分析要有理有据，叙述要看有层次，力求减轻证题的难度，降低解题的坡度，简化证明的途径．严格按照规定的格式正确地书写证明题、计算题和作图题．能运用分析法和综合法思考问题，注意由已知看可知，由未知看需知，一旦可知与需知沟通，解题途径就畅通无阻了．要掌握—些证题方法、技巧及添加辅助线的方法，尤其当沟通条件与结论间的逻辑通路中断时，适当地添置辅助线，使在暂时中断的逻辑通道上架起一座思维的桥梁，从而实现由已知条件向所求结论的过渡，达到提高逻辑思维能力及分析问题解决问题能力的目的．本章安排一定数量的逆向发散、变换发散和其他类型的发散思维题．逆向发散可化异为同，化生为熟，化多（元、次）为少(元、次)，化繁为简，变难为易，从而得到结论．变换发散是适当地运用对称、平移、旋转等变换，将那些分散、远离的条件(元素)从图形的某一部位转移到适当的新位置上，相对集中、汇聚，从而发现解题的思路，找到解题的途径，达到巧妙解题的目的．【发散思维应用】1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计典型例题1．如图5—1，其中共有多少个三角形?分别是什么?分析三角形是由不在同—条直线上的三点首尾顺次相接所构成的．根据定义去找图中的三角形，要注意不重复、不遗漏．解图中共有8个三角形．它们是：△ABC、△ABD、△ABE、△ADE、△CDE、△BCD、△ACD和△BCE．2．如图5-2，在△ABC中，︒35，B，∠BAC:∠BCA=3:2，CD⊥AD于D，且∠ACD=︒=∠70求∠BAE的度数．分析因∠BAE不是三角形的内角，但∠BAD是其邻补角．为此欲求出∠BAE，可先求出∠BAD，即先求出∠BAC和∠CAD．∠BAC是△BAC的内角，且∠B=︒70，∠BAC:∠FCA=3:2，则根据三角形的内角和为︒180，可求出∠BAC．而∠CAD是△ACD的内角，根据CD⊥AD，∠ACD=︒35，由直角三角形的两个锐角互余可求∠CAD，则问题可解．解在△ABC中∵∠B=︒70，∠BAC:∠BCA=3:2，∴可设∠BAC=3x，则∠BCA=2x．∵∠B+∠BAC+∠BCA=︒180)，180 (三角形三个内角的和为︒∴︒70+3x+20x=︒180，∴x=22，∴∠BAC=︒3．22⨯66=︒又∵ CD⊥AD，∴∠D=︒90∴∠CAD+∠ACD=︒90(直角三角形两个锐角互余)，∴∠CAD=︒=35．︒5590-︒90-∠ACD=︒∵∠DAE是平角，∴∠BAE=︒︒-595566．︒180-∠BAC-∠CAD=︒-180︒=3．如图5—3，△ABC的高AD、BE、CF相交于点G，FH∥AD，请说出△ABG、△BGC、△AGC、△BCF各边上的高．分析找三角形的高，可先选定一个顶点，找出它的对边，再找出过这—顶点向对边所画的垂线的垂足，顶点和垂足间的线段便是三角形的高．如△ABC中，过A点的高为AD，过B点的高为BE，过G点的高为GF．解△ABG中，AB边上的高是GF，BG边上的高是AE，AG边上的高是BD；△BGC中，BC边上的高是GD，CG边上的高是BF，BG边上的高是CE；△AGC中，AC边上的高是GE，AG边上的高是CD，GC边上的高是AF；△BCF中，BF边上的高是CF，CF边上的高是BF，因为FH∥AD，AD⊥BC，所以FH⊥BC，因此，BC边上的高是FH．题型发散发散l 选择题把正确答案的代号填入题中的括号内．(1)已知四条线段长为2、3、4、5．从中任取三条(不重复)可构成不同三角形个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个(2)已知△ABC的三个内角为A、B、C．令α=A+B，β=C+A，γ=C+B，则α、β、γ中，锐角的个数最多为 ( )(A)l (B)2 (C)3 (D)0(3)两根木捧分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成—个三角形如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况是 ( )(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种解 (1)用直接法．从四条线段中选三条有4种选法，即3、4、5；2、4、5；2、3、5；2、3、4；但必须要组成三角形，要进行验证．故本题应选(C)．(2)用直接推算法．α、β、γ中任一个均为三角形的两内角之和．又A+B+C=︒180-C，180，所以，α=︒β=︒180-B，γ=︒180-A．α为锐角等价于C为钝角．因此，α、β、γ中最多有几个锐角等价于A、B、C中最多有几个钝角．因为三角形中最多有一个钝角．所以，α、β、γ中最多有—个锐角．故本题应选(A)．(3)用直接法．设第三根木棒长xcm，则有7-5<x<7+5 2<x<12其中偶数有4，6，8，10．故本题应选(B)． 发散2 填空题(1)如果△ABC 中两边a=6cm,b=8cm ，则第三边c 的取值范围是__________. (2)如果△ABC ，∠A=2∠B=3∠C ，则△ABC 是_________三角形(按角分类)． (3)如图5-4(1)～(4)，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的：观察发现，第(n)个图形中需要______个小三角形“△”．(用n 的表达式表示答案)． 解 (1)由三角形的三边关系定理及推论可知，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：两边之差<第三边<两边之和．由8-6<c<8十6，得2<c<14．(2)根据三角形内角和为︒180，可分别求出∠A 、∠B 、∠C ，然后再判断三角形形状．设∠A=x ，则∠B=21∠C=x 31．根据三角形内角和︒180，得：︒=++1803121x x x︒⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒=11298180611x x︒⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠11298A 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．(3)经观察，第n 个图形，需要2n 个小三角形．纵横发散发散1 已知：如图5—5，AD 是△ABC 的高线、AE 是△ABC 的角平分线．AF 是△ABC 的中线，写出图中相等的角和相等的线段．分析 本题找相等的线段和相等的角，可抓住条件，利用三角形高线、角平分线、中线概念中关于线段和角的相等关系来解决．三角形的高线与一边垂直，以垂足为顶点的两个角都是直角，三角形角平分线分三角形一角所成的两个角相等，三角形中线经过三角形—边中点，这边被中点所分成的两条线段相等．解 由AD 是△ABC 的高线，∠ADB=∠ADC=︒90． 由AE 是△ABC 的角平分线，∠BAE=∠CAE ． 由AF 是△ABC 的中线，BF=CF ．发散2 如图5-6，在△ABC 中，∠B>∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，求证：∠DAE=21(∠B-∠C)．分析 欲证∠DAE=21(∠B-∠C)，需沟通∠DAE 与∠B 、∠C 之间的联系．观察图形可知，∠DAE=∠CAD-∠CAE ，由AE平分∠BAC ，可知∠CAE=21∠BAC=()C B C B ∠-∠-︒=∠-∠-︒21219018021，再由AD 是BC 边上的高，可得∠CAD=︒90-∠C ，于是便可证得结论．解 ∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=21∠BAC()CB C B∠-∠-︒=∠-∠-︒=21219018021∵ AD 是BC 边上的高，∴∠C+∠DAC=︒90(直角三角形两个锐角互余)，∠DAC=︒90-∠C ． ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE()C B CB C B C ∠-∠=∠-∠=⎪⎭⎫⎝⎛∠-∠-︒-∠-︒=21212121219090解法指导 本题需综合运用三角形内角和为︒180、三角形角平分线和高的定义以及直角三角形两个锐角互余，才能求解．在解几何题时，要灵活运用有关知识，采用分析的方法，寻求解题的途径．综合发散发散1 已知正整数a 、b 、c ，a<b<c ，且c 最大为6，问是否存在以a 、b 、c 为三边长的三角形?若存在，最多可组成几个三角形?若不存在，说明理由．解 存在符合条件的三角形．满足条件的三角形有(它们分别以a 、b 、c 的长为边长)：①2、3、4；②2、4、5；③2、5、6；④3、4、5；⑤3、4、6；⑥3、5、6；⑦4、5、6．最多可构成7个三角形．解法指导 由a<b<c ，且c 是不大于6的正整数，a 、b 、c 满足a+b ，b>c,于是可定的顺序(a 、b 、c 的取值从小到大)组合，a 从最小的正整数1开始.(1)若a=1，则b 最小时取2，c 最小取3，这时1+2=3不能构成三角形，依次类推(a 取1时，b 、c 无论怎样取值均不能构成三角形．(2)若a=2，则b 最小为3,c 最小为4，满足2+3>4，能构成三角形．若b 再依次增大，则有2、4、5，若b 再增大，则有2、4、6，可知2+4=6不能构成三角形，依次取值就可排列出所有的答案．发散2 已知：如图5-7，Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm 求：(1)△ABC 的面积； (2)CD 的长．解(1)∵ Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=5cm ，BC=12cm ， ∴()2305122121cmBC AC S ABC =⨯⨯=⋅=∆(2)∵CD 是AB 边上的高， ∴,21CD AB S ABC ⋅=∆即CD ⨯⨯=132130∴1360=CD (cm)解法指导 求直角三角形的面积有两种方法： (1)ab S Rt 21=∆(a 、b 为两直角边)；(2)ch S Rt 21=∆(c 为直角三角形的斜边，h 为斜边上的高)．这样可得ab=ch ，在a 、b 、c 、h 四个量中，已知其中三个量，就可求出第四个量．因此，可利用这个等式方便地求出直角三角形斜边上的高，这是平面几何中常用的求高方法．4．全等三角形5．探索三角形全等的条件 典型例题 1．已知：如图5—8，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么OB 与OC 相等吗?谈谈你的理由．解∵AO平分∠BAC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，∴OD=OE．∠ODB=∠OEC=90，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OB=OC．2．如图5—9，有一池塘．要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结B、C并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离．请说明DE的长就是A、B的距离的理由．(2002年湛江市中考试题) 解在△ACB和△DCE中，∵CA=CD，CB=CE，∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE，∴AB=DE，∴DE的长就是A、B的距离．题型发散发散1选择题(1)在△ABC中，AB=AC，高BF、CE交于高AD上一点O，图5—10中全等三角形的对数是 ( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(2)如图5—11，在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是 （ ）(A)三个角分别对应相等(B)一边相等，且这边上的高也相等(C)两边分别相等，且第三边上的中线也相等 (D)两边且其中一条对应边的对角对应相等 (3)如图5—12，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD ，证明△ABD ≌△EBC 时，应用的方法是 （ ）(A)AAS (B)SAS (C)SSS (D)定义(4)两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形 （ ） (A)一定全等 (B)一定不全等(C)可能全等，可能不全等 (D)以上都不是 解 (1)用直接法．根据全等三角形的判定方法，有：△AOE ≌△AOF ，△EOB ≌△FOC ，△BOD ≌△COD ，△AOB ≌△AOC ，△ABD ≌△ACD ，△AEC ≌△AFB ，△ECB ≌△FBC ．故本题应选(D)． (2)用验证法．如图5—11，在△ABC 与C B A '''∆中，D A AD ,B A AB ''=''=．分别延长AD 到E ，D A ''到E '，使DE=AD ，D A E D ''=''，连结E B BE、''，另证E B A ΔΔABE '''≅，再证C B A ABC '''∆≅∆故本题应选(C)． (3)用淘汰法．排除(B)、(C)、(D)三种情况． 故本题应选(A). (4)用淘汰法．两个三角形有两边和一角对应相等，如果是两边夹一角对应相等，则两个三角形全等，但两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．故本题应选(C)．发散2填空题(1)如图5—13，∠A=∠C，∠DEC=∠BFA，AF=CE则图中两个全等的三角形是________；判定这两个三角形全等的判定定理是______________________________；这两个全等三角形的对应边是__________________．(2)如图5—14，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，对应边是____________，另一组对应边是_____________．(3)如图5—15，△OCA≌△OBD，C和B、A和D是对应顶点，这两个三角形中相等的边是______________，相等的角是____________．(4)如图5—16，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为边在△ABC形外的正三角形，CE、BF相交于O，则∠EOB=_________度．解 (1)在△ABF 和△CDE 中，∠A=∠C(已知)，∠BFA=∠DEC ，AF=CE(已知)， ∴△ABF ≌△CDE （ASA ）故其对应边为AB 与CD ，BF 与DE ，AF 与CE ．(2)因为对应角∠A 和∠B 所对的边是CO 和DO ，所以CO 和DO 是对应边，又∠C 和∠D 的对边分别是AO 和BO ，所以AO 和BO 是对应边．对应边所对的角是对应角，所以对应边AC 和BD 所对的角分别是∠AOC 和∠BOD ，故∠AOC 和∠BOD 是一组对应角．(3)∵△OCA ≌△OBD ，∴ 重合的边是对应边，重合的角是对应角．相等的边是AC=DB ，OA=OD ，OC=OB ．相等的角是∠A=∠D ，∠C=∠B ，∠AOC=∠DOB ．(4)在△AEC 和△ABF 中，∵ AE=AB ，∠EAC ＝∠BAF ，AC ＝AF ， ∴ △AEC ≌△ABF ． ∴ ∠1＝∠2．∴ ∠3＝∠EOB ，且∠3＝60°， ∴ ∠EOB ＝60°. 解法发散发散1 如图5—17，在∠AOB 的OA 边上取两点P 和S ，再在OB 边上取两点Q 和T ，使OQ=OP ，OT=OS ，PT 和QS 相交于X ．那么OX 平分∠AOB 吗?谈谈你的理由．分析1 欲证OX 平分∠AOB ， 须证 △OSX ≌△OTX ， 即须证()()⎪⎩⎪⎨⎧===TX SX OT OS OX OX 已知公共边欲证SX=TX ，须证∠3＝∠4， 即须证∠1＝∠2． 欲证∠l ＝∠2，须证△SOQ ≌△TOP ，此结论显然可得． 证法1 如图5—17，作射线OX ，连结TS ． 在△SOQ 和△TOP 中，∵ OS=OT(已知)，OQ=OP(已知)，∠AOB ＝∠BOA （公共角相等）， ∴ △SOQ ≌△TOP （SAS ）．∴ ∠l ＝∠2(全等三角形对应角相等)．∵ OT=OS(已知)，∴∠OST＝∠OTS(等腰三角形性质)．又∵∠3＝∠OST-∠1，∠4＝∠OTS－∠2，∴∠3＝∠4(等量差相等)．∴ XS=XT(等腰三角形中等角对等边)．在△SOX和△TOX中，∵ OS=OT(已知)，OX=OX(公共边相等)，XS=XT(已证)，∴△SOX≌△TOX（SSS）．∴∠5＝∠6(全等三角形的对应角相等)．即OX是∠AOB的平分线(角平分线的定义)．分析2欲证OX平分∠AOB，须证△ODX≌△TOX．即须证OX=OX(已知)，OS=OT（已知），SX=TX．欲证SX=TX，须证△SPX≌△TQX，即须证PS=QT(等量之差相等)，∠PXS=∠QXT(对顶角相等)，∠1=∠2．欲证∠1=∠2，须证△SOQ≌△TOP．此问题显然可证．证法2 作射线OX，在△SOQ和△TOP中，∵ OS=OT(已知)，OQ=OP(已知)，∠AOB＝∠BOA(公共角相等)，∴△SOQ≌△TOP（SAS）．∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)．在△PXS和△QXT中，∵∠PXS＝∠QX(对顶角相等)，∠l＝∠2(已证)，PS=QT（等量之差相等）∴△PXS≌△QXT（AAS）．∴ XS=XT(全等三角形对应边相等)．以下同证法1．发散2如图5—18，已知AB=AD，CB=CD．E是AC上一点．求证：∠AEB=∠AED．分析l用分析法．欲证∠AEB＝∠AED，只要证△AEB≌△AED，要证这两个三角形全等，须找出三对元素对应相等．现在只有AE=AE（公共边），AB=AD，还缺一个条件，这个条件可以是ED=EB或∠DAE=∠BAE或∠DAE=∠BAE，要证ED=EB，比较困难，所以着重考虑证明∠DAE＝∠BAE．为此只要证△DAC≌△BAC(因为∠DAE、∠BAE是这两个三角形的对应角)，根据已知条件，这是可以证明的．证法1∵AD＝AB(已知)，CB＝CD(已知)，AC＝AC(公共边)，∴△DAC≌△BAC（SSS）．∴∠DAE＝∠BAE(全等三角形对应角相等)．又∵AD＝AB(已知)，AE＝AE(公共边)，∠DAE＝∠BAE(已证)，∴△AED≌△AEB（SAS）．∴∠AED＝∠AEB．分析2 用综合法．观察图5—18，并根据已知条件，可以得到AB=AD，CB=CD，AC=AC，所以△ABC≌△ADC，，因此∠BAE＝∠DAE．再一次运用已知条件AB=AD，AE=AE，可得△AEB≌△AED，所以∠AED＝∠AEB．证法2 略．转化发散发散1 如图5—19，已知CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．分析用加倍法．为了证明CD=2CE，考虑CE是△ABC底边AB上的中线，故把CE延长到F，使CF=2CE，把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF，如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系．证明如图5—20，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证△EBF≌△EAC．∴BF＝AC＝AB＝BD．又∠CBF＝∠CBA+∠ABF＝∠BCA+∠CAB＝∠CBD，BC公用，∴△CBF≌△CBD．（SAS）∴CF＝CD，即2CE＝CD．发散2 如图5—21，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD=CE．求证：AB=AC，AD=AE．分析本题利用等式相加减的性质进行角的相加减，将∠BAC＝∠DAE转化为∠BAD=∠CAE，达到将间接条件转化为直接条件的目的．证明∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC（等量代换）∴∠BAD＝∠CAE(等式性质)．在△BAD与△CAE中，∵∠BAD＝∠CAE（已证），BD=CE（已知），∠ABD＝∠ACE（已知）∴△BAD≌△CAE（AAS）．构造发散发散1如图5—22，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．分析本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新△EDG，通过证明△BDG≌△CDF，达到转移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）证明延长FD到G，使DG=DF，连结BG．∵∠BDG=∠CDF，BD=DC．∴△BDG≌△CDF∴BG=CF连结EG∵ED⊥DF，又DG=DF∴EG=EF在△EBG中，BE+BG>EG，∴BE+CF>EF.发散2 如图5-23，已知AB∥ED，AE∥BD，AF=CD，EF=BC．求证：∠C=∠F分析欲证∠C=∠F，须证△AEF≌△DBC，即须证EF=BC（已知），AF=CD（已知）现缺少条件AE=BD．若连结BE，构造一对三角形△ABE和△BDE，欲证AE=DB，须证△ABE ≌△DEB，这显然可以得证证明连结BE，∵ AB∥ED，∴∠1＝∠2．∵ AE∥BD，∴∠3＝∠4．在△ABE和△DEB中，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠A＝∠3，∴△ABE≌△DEB(ASA)．∴AE＝DB．在△AEF和△DBC中，∵AF＝CD，EF＝BC，AE＝DB，∴△AEF≌△DBC．∴∠C＝∠F．。

三节点三角形单元
三节点三角形单元是一种平面有限元模型，它由三个节点和连接它们的三条边组成。

在这种单元中，节点的位移模式是坐标X、Y,的一次项，导致单元具有常应变、常应力特性。

这种单元的应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵均为常数矩阵，因此计算比较简单。

尽管三节点三角形单元计算简单，但它的精度较低，难以反映应力梯度的迅速变化。

为了提高计算精度，可以采用高阶单元，因为高阶单元的应变、应力不再是常数，采用少量单元就可能达到较高的精度。

三节点三角形单元内的应力和应变示例文章篇一：《三节点三角形单元内的应力和应变》嘿，你知道吗？在我们的世界里，有好多神奇的东西是眼睛看不到的，就像三节点三角形单元内的应力和应变。

这可不是什么简单的事儿呢。

我有个朋友叫小明，有一次我们一起做手工。

我们用小木棍搭了一个三角形的架子。

我就想啊，这个小小的三角形架子看起来那么简单，可它为什么那么牢固呢？这时候我就想到了三节点三角形单元。

你看，这个三角形架子就有点像三节点三角形单元的一个简单模型。

我们在架子上放东西的时候，小木棍就会受到力的作用，就像三节点三角形单元内会有应力一样。

应力就像是一种力量在里面拉扯或者挤压的感觉。

比如说，我们把一个重重的小盒子放在架子的中间，那些小木棍就会感觉被压得紧紧的，这就是一种应力的体现。

那应变又是什么呢？应变就像是小木棍因为受到力而发生的变化。

就好比我们捏一个软乎乎的小泥球，我们用力捏的时候，小泥球就会变形。

小木棍在受力的时候也会变形，只不过可能没有小泥球那么明显。

在三节点三角形单元里，应变也是这样，因为应力的存在而产生了形状的改变。

我还和我的科学老师讨论过这个问题呢。

老师说，想象一下我们的身体，当我们提重物的时候，我们的手臂肌肉就会受到应力，肌肉会变得紧绷绷的。

而肌肉的形状可能也会有一点点变化，这就是应变啦。

三节点三角形单元内的应力和应变也是这么个道理，只不过它是在那些小小的三角形单元里面发生的。

再来说说这三节点三角形单元的应力计算吧。

这可就像解一个超级神秘的谜题。

我们要考虑好多因素呢，就像在一个复杂的迷宫里找路一样。

我们得知道施加在这个单元上的外力有多大，还得知道这个三角形单元本身的一些特性，比如说它的边长啊，角度啊。

这些因素就像是一把把钥匙，我们要把这些钥匙找齐了，才能算出应力到底是多少。

如果少了一把钥匙，那这个谜题可能就解不出来啦。

应变的计算也不简单。

它和应力是相互关联的。

就像两个小伙伴，一个动了，另一个也会跟着动。

辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T母子型T一线三等角T能力授课日期及时段教学内容母子型相似：1.如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ C ）A.1对B.2对C.3对D.4对第1题 第2题2、如图，已知在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk（k≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为______________．3、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB=∠ACB 。

（1）求证：ADACAE AB =（2）若AB ⊥AC ，AE ：EC=1:2，F 是BC 的中点，求证：四边形ABFD 是菱形。

4、如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ，交CD 于F ，作CG//AE 交BF 于G ，求证： （1）GF BF FC ⋅=2；（2）GBGFAB FC =22一线三等角：1、如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE=DB ，作EF ⊥DE 并截取EF=DE ，连结AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ） A.412--=x x y B.12--=x x y C.13--=x x y D.48--=x xy2、如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（-2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是（ ） A.（23，3）（−432，） B.（3,23）（4,21-） C.（27,47）（4,32-） D.（27,47）（4,21-）第1题 第2题3、如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB=9，BD=3，则CF 等于4、如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC 的边长为多少？5、△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．1、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．2、如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE 于D，求证：CE2=PE•DE．你认为本节课的难点是（学生填写或描述）：。

有限元课程总结一 三节点三角形单元 1位移函数移函数写成矩阵形式为：确定六个待定系数矩阵形式如下：[]{}em m j j i i m jim j iN v u v u v u N N N N N N v u δ=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧000002 单元刚度矩阵的计算1）单元应变和节点位移的关系由几何方程可以得到单元的应变表达式，{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=m m j j i i m mjjiim j i m j i v u v u v u b c b c b c c c c b b b A x v y u y v x u 00000021ε⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321111a a a y x y x y x u u u m m j j i i m j i ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j i m j i m j i u u u c c c b b b a a a A a a a 21321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j i m jim ji 654v v v c c c b b b a a a A 21a a a2）单元应力与单元节点位移的关系[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==i i i i i ii i b c c b c b A E B D S 2121)1(22μμμμμ),,;,,(21212121)1(4]][[][][2m j i s m j i r b b c c cb bc b c c b c c b b A Et B D B K s r s r sr s r s r s r s r s r s T r rs ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+-==μμμμμμμ3)单元刚度矩阵[][][][][][]Tm j iT m T j T i mm mj mi jm jj ji im ij ii e B B B D B B B tA K K K K K K K K K K ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=][][][][][][][][][3载荷移置1)集中力的移置如图3所示，在单元内任意一点作用集中力 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=y x P P P图3由虚功相等可得，()()}{][}{}{}{**P N R TTe eTe δδ=由于虚位移是任意的，则 }{][}{P N R Te =2)体力的移置令单元所受的均匀分布体力为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=y x p ρρ}{由虚功相等可得，()()⎰⎰=tdxdy p N R T TeTe }{][}{}{}{**δδ⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{ 3)分布面力的移置设在单元的边上分布有面力{}TY X P ],[=，同样可以得到结点载荷，⎰=s T e tdsP N R }{][}{4. 引入约束条件，修改刚度方程并求解1)乘大数法处理边界条件图3-4所示的结构的约束和载荷情况，如图3-7所示。

⼀⽤三结点三⾓形平⾯单元计算平⾯结构的应⼒和位移讲解⼀：⽤三结点三⾓形平⾯单元计算平⾯结构的应⼒和位移。

1，设计说明书计算简图，⽹格划分，单元及结点的编号如下图所⽰。

由于结构对称，去四分之⼀结构分析。

其中E=2e10pa,mu=0.167,h=1m.变量注释：Node ------- 节点定义gElement ---- 单元定义gMaterial --- 材料定义，包括弹性模量，泊松⽐和厚度gBC1 -------- 约束条件gNF --------- 集中⼒gk------------总刚gDelta-------结点位移⼦程序注释：PlaneStructualModel ———定义有限元模型SolveModel ———————求解有限元模型DisplayResults ——————显⽰计算结果k = StiffnessMatrix( ie )———计算单元刚度AssembleStiffnessMatrix( ie, k )—形成总刚es = ElementStress( ie )————计算单元应⼒function exam1% 输⼊参数：⽆% 输出结果：节点位移和单元应⼒PlaneStructualModel ; % 定义有限元模型SolveModel ; % 求解有限元模型DisplayResults ; % 显⽰计算结果return ;function PlaneStructualModel% 定义平⾯结构的有限元模型% 输⼊参数：⽆% 说明：% 该函数定义平⾯结构的有限元模型数据：% gNode ------- 节点定义% gElement ---- 单元定义% gMaterial --- 材料定义，包括弹性模量，泊松⽐和厚度% gBC1 -------- 约束条件% gNF --------- 集中⼒global gNode gElement gMaterial gBC1 gNF% 节点坐标% x ygNode = [0.0, 2.0 % 节点10.0, 1.0 % 节点21.0, 1.0 % 节点30.0, 0.0 % 节点41.0, 0.0 % 节点52.0, 0.0] ; % 节点6% 单元定义% 节点1 节点2 节点3 材料号gElement = [3, 1, 2, 1 % 单元15, 2, 4, 1 % 单元22, 5, 3, 1 % 单元36, 3, 5, 1]; % 单元4 % 材料性质% 弹性模量泊松⽐厚度gMaterial = [1e0, 0, 1] ; % 材料1% 第⼀类约束条件% 节点号⾃由度号约束值gBC1 = [ 1, 1, 0.02, 1, 0.04, 1, 0.04, 2, 0.05, 2, 0.06, 2, 0.0] ;% 集中⼒% 节点号⾃由度号集中⼒值gNF = [ 1, 2, -1] ;returnfunction SolveModel% 求解有限元模型% 输⼊参数：⽆% 说明：% 该函数求解有限元模型，过程如下% 1. 计算单元刚度矩阵，集成整体刚度矩阵% 2. 计算单元的等效节点⼒，集成整体节点⼒向量% 3. 处理约束条件，修改整体刚度矩阵和节点⼒向量% 4. 求解⽅程组，得到整体节点位移向量global gNode gElement gMaterial gBC1 gNF gK gDelta% step1. 定义整体刚度矩阵和节点⼒向量[node_number,dummy] = size( gNode ) ;gK = sparse( node_number * 2, node_number * 2 ) ;f = sparse( node_number * 2, 1 ) ;% step2. 计算单元刚度矩阵，并集成到整体刚度矩阵中[element_number,dummy] = size( gElement ) ;for ie=1:1:element_numberk = StiffnessMatrix( ie ) ;AssembleStiffnessMatrix( ie, k ) ;end% step3. 把集中⼒直接集成到整体节点⼒向量中[nf_number, dummy] = size( gNF ) ;for inf=1:1:nf_numbern = gNF( inf, 1 ) ;d = gNF( inf, 2 ) ;f( (n-1)*2 + d ) = gNF( inf, 3 ) ;end% step4. 处理约束条件，修改刚度矩阵和节点⼒向量。