三角形高阶

2024年人教版高二数学复习知识点总结第一章函数与方程1.1 函数与映射函数的定义、函数的性质、函数的四则运算、复合函数、反函数映射的定义、映射的性质、一一映射、单射、满射1.2 一元二次函数及其应用一元二次函数的定义、一元二次函数的图像、一元二次函数的性质、一元二次函数的解析式、一元二次函数的图像与解析式的关系、一元二次函数的最值、一元二次函数的应用1.3 不等式不等式的定义、解不等式、不等式的性质、不等式的运算、一元一次不等式、一元二次不等式1.4 线性规划线性规划的定义、线性规划中的常见问题、线性规划的解法、线性规划的应用第二章三角函数与解三角形2.1 三角函数三角函数的定义、三角函数的性质、三角函数的图像、三角函数的周期、三角函数的关系式2.2 平面向量平面向量的定义、平面向量的运算、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的夹角、平面向量的投影、平面向量的正交2.3 解三角形解直角三角形、解一般三角形、解等腰三角形、解等边三角形、解特殊三角形、解复合三角形第三章数列与数项级数3.1 数列的概念数列的定义、数列的性质、数列的通项、数列的分类、数列的极限3.2 数列的通项公式等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的关系、通项公式的推导方法、通项公式的应用3.3 数列的求和部分和、数列的前n项和、无穷数列的求和、等差数列的求和、等比数列的求和、部分和公式的应用3.4 级数级数的定义、级数的性质、无穷级数的收敛性、级数的求和、级数的应用第四章导数与导数应用4.1 导数的基本概念导数的定义、导数的性质、导数的基本运算、导数与函数的图像关系4.2 导数的应用函数的单调性、函数的极值、函数的曲线与切线、函数的凹凸性、函数的拐点、函数的极限与导数4.3 高阶导数和隐函数高阶导数的定义、高阶导数的求法、高阶导数的性质、隐函数的导数、隐函数的高阶导数第五章积分与积分应用5.1 不定积分不定积分的定义、不定积分的性质、不定积分的基本公式、不定积分的线性运算5.2 定积分定积分的定义、定积分的性质、定积分的线性运算、定积分的几何意义、定积分的求法5.3 微分方程微分方程的定义、微分方程的解、一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、微分方程的应用5.4 积分应用反常积分、曲线长度、曲线面积、体积、几何应用、物理应用以上是____年人教版高二数学的复习知识点总结，共计____字。

圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展)考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习考点梳理知识讲解1.椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的弦为AB ,过A ，B 两点做椭圆切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:性质1:弦AB 绕着定点P m ,0 转动时, 则其所对顶点Q 落在直线x =a 2m 上.其中, 当P 点为左(右)焦点时, Q 点位于左(右)准线上.性质2:直线AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即k PQ =k AQ +k BQ .性质3:当P 点为焦点时, PQ ⊥AB .2.双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的弦为AB ,过A ，B 两点做双曲线切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:性质1:弦AB绕者定点P m,0转动时, 则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.其中, 当P点为左(右)焦点时, Q点位于左(右)准线上.性质2:直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列, 即k PQ=k AQ+k BQ.性质3:当P点为焦点时, PQ⊥AB.3.抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形, 则有:（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴（2）若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C, 则另一顶点Q的轨迹为一条直线（3）若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+c=0, 则定点的坐标为C ca ,-bpa.（4）底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3 8p.（5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点Q的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为p2（6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB（7）AF⋅BF=QF2.（8）抛物线上任取一点I(不与A,B重合), 过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接AI,BI, 则△ABI的面积是△QST面积的2倍考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用1(2022·全国·高三专题练习)过抛物线y2=2px p>0的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形．△PAB的面积S的最小值为()A.p23B.p22C.p2D.2p22(2023·甘肃·高三校考阶段练习)抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB．若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=03(2023·全国·高三专题练习)阿基米德(Archimedes，公元前287年-公元前212年)，出生于古希腊西西里岛叙拉古(今意大利西西里岛上)，伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形(过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形)，他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23(即右图中阴影部分面积等于△PAB面积的23)．若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线x=p2与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p=()A.1B.2C.32D.34(2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直线l:y=k x-1与抛物线y2=4x交于A，B点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的面积为()A.82B.42C.22D.25(2022秋·广东茂名·高三统考)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)PA⊥PB；(3)PF⊥AB．若经过抛物线y2=8x 的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P在直线x-y+6=0上，则直线AB的方程为()A.x-y-2=0B.x-2y-2=0C.x+y-2=0D.x+2y-2=06(2022·全国·高三专题练习)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB (P 为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，△PAB 具有以下性质：①P 点必在抛物线的准线上；②PA ⊥PB ；③PF ⊥AB .已知直线l ：y =k (x -1)与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 点，若AB =8，记此时抛物线C 的“阿基米德三角形”为△PAB ，则P 点为()A.-1,±2B.-1,2C.-1,-2D.-1,±17(2022·全国·高三专题练习)阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称三角形PAB 为“阿基米德三角形”.已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，过A ，B 两点的直线的方程为3x -3y +6=0，关于“阿基米德三角形”△PAB ，下列结论不正确的是()A.AB =323B.PA ⊥PBC.PF ⊥ABD.点P 的坐标为3,-28(2023·全国·高三专题练习)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，△PAB 为阿基米德三角形.抛物线x 2=2py (p >0)上有两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，以A ，B 为切点的抛物线的切线PA ,PB 相交于P .给出如下结论，其中正确的为()(1)若弦AB 过焦点，则△ABP 为直角三角形且∠APB =90°；(2)点P 的坐标是x 1+x 22,x 1x22；(3)△PAB 的边AB 所在的直线方程为x 1+x 2 x -2py -x 1x 2=0；(4)△PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合).A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)考点二、阿基米德三角形之定点问题9(2023秋·江西上饶·高三统考期末)(多选)若M 1,0 ，N 4,0 ，点Q 满足QN =2QM，记点Q 的轨迹为曲线C ，直线l :x +y -4=0，P 为l 上的动点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法中正确的是()A.PQ 的最小值为22-2B.直线AB 恒过定点1,1C.PA ⋅PB的最小值为0D.当PO ⋅AB 最小时，直线AB 的方程为x +y -1=010(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y =x -3上的动点，过点M 作抛物线C :x 2=2y 的两条切线MA ,MB ，切点分别为A ,B ,N 为AB 的中点.(1)证明MN ⊥x 轴；(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.11(2021·北京·高三专题练习)抛物线C :x 2=2py (p >0)，Q 为直线y =-p2上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N .(1)证明：直线MN 过定点；(2)若以G 0,5p2为圆心的圆与直线MN 相切，且切点为线段MN 的中点，求该圆的面积.12(2023·湖南岳阳·高三校考)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =-12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．13(2023秋·山东临沂·高三校考期末)已知M -2,0 ,N -1,0 ，动点Q 满足QM QN=2，动点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 是直线y =12x -2上的动点，过点P 作曲线C 的两条切线PC ,PD ，切点为C ,D ，则直线CD 是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.14(2023·辽宁大连·高三校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知两个定点A (0,4),B (0,1)，动点P 满足|PA |=2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l :y =kx -4与曲线E 交于不同的两点C ,D ，且∠OCD =30°(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；(3)若点Q 是直线l :x -y -4=0上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ,QN ，切点为M ,N ，探究：直线MN 是否过定点.15(2023秋·山西太原·高三校考期末)已知点A 0,-1 ，B 0,1 ，动点P 满足PB AB =PA ⋅BA．记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)设D 为直线y =-2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．16(2023·全国·高三专题练习)设点P 为直线y =x -3上的动点，过点P 作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，求点P 的坐标和圆的方程.考点三、阿基米德三角形之定值问题17(2023·河南郑州·高三校考期末)如图，已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)上的点到焦点的距离的最小值为1，过点P -4,0 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，D 为线段PA 上的动点，过点D 作抛物线的切线，切点为E (异于点A ，B )，且直线DE 交线段PB 于点H ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：AD +BH 为定值．18(2023·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，抛物线Γ2的顶点为原点.(1)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；(2)设点P 为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ2的两条切线PA ，PB ，其中A ,B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.考点四、阿基米德三角形之面积问题19(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点到原点的距离等于直线l :x -4y -4=0的斜率.(1)求抛物线C的方程及准线方程；(2)点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最小值.20(2023·全国·高三专题练习)已知点A(0，2)，动点M到点A的距离比动点M到直线y=-1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)Q为直线y=-1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值21(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，点M是AB的中点.(1)求证：切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线PM与y轴平行；(3)求△PAB面积的最小值.考点五、阿基米德三角形之切线垂直22(2023·全国·高三专题练习)抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+1交抛物线于A x1,y1，B x2,y2两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB .23(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.(1)若点P坐标为0,-1，求切线PA,PB的方程；(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直.考点六、阿基米德三角形之角度问题24(2023·全国·高三专题练习)已知F ，F 分别是椭圆C 1:17x 2+16y 2=17的上、下焦点，直线l 1过点F 且垂直于椭圆长轴，动直线l 2垂直l 1于点G ，线段GF 的垂直平分线交l 2于点H ，点H 的轨迹为C 2.(1)求轨迹C 2的方程；(2)若动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，且过点P 作轨迹C 2的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想∠PFA 与∠PFB 的大小关系，并证明你的结论的正确性.25(江西·高考真题)设抛物线C :y =x 2的焦点为F ，动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程.(2)证明∠PFA =∠PFB ．考点七、阿基米德三角形之点坐标问题26(2023·全国·高三专题练习)已知动点P 到直线y =-8的距离比到点0,1 的距离大7．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)记动点P 的轨迹为曲线C ，点M 在直线l 1:y =-1上运动，过点M 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，点N 是平面内一定点，线段MA ，NA ，NB ，MB 的中点依次为E ，F ，G ，H ，若当M 点运动时，四边形EFGH 总为矩形，求定点N 的坐标．27(2023春·广东茂名·高三校考阶段练习)已知平面内动点P x ,y ，P 到定点F 6,0 的距离与P 到定直线l :x =463的距离之比为32，(1)记动点P 的轨迹为曲线C ，求C 的标准方程．(2)已知点M 是圆x 2+y 2=10上任意一点，过点M 作做曲线C 的两条切线，切点分别是A ,B ，求△MAB 面积的最大值，并确定此时点M 的坐标.注：椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上任意一点P x 0,y 0 处的切线方程是：x 0x a 2+y 0y b2=1.28(2023秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴，点Q m ,2 抛物线上，且Q 到抛物线的准线的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)动点P 在抛物线的准线上，过点P 作拋物线C 的两条切线分别交y 轴于A ,B 两点，当△PAB 面积为2时，求点P的坐标.好题冲关【能力提升】1(2022·陕西·校联考模拟预测)抛物线上任意两点A､B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”.当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=02(2023·全国·高三专题练习)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线y2=4x，过焦点的弦AB的两个端点的切线相交于点M，则下列说法正确的是()A.M点必在直线x=-2上，且以AB为直径的圆过M点B.M点必在直线x=-1上，但以AB为直径的圆不过M点C.M点必在直线x=-2上，但以AB为直径的圆不过M点D.M点必在直线x=-1上，且以AB为直径的圆过M点3(2022·全国·高三专题练习)圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB，已知P为抛物线y2=x的准线上一点，则阿基米德三角形PAB面积的最小值为()A.12B.14C.2D.14(2023·青海西宁·统考二模)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为()A.p22B.p2C.2p2D.4p25(2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模)已知动点P到直线y=-54的距离比到定点0,14的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)若M为直线y=x-2上一动点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点为A，B，N为AB的中点.①求证：MN⊥x轴；②直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.6(2022·全国·高三专题练习)在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px p>0，点M32,y是抛物线C 上的一点，点M 到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)点P x 0,y 0 为圆E ：x +2 2+y 2=1上的任意一点，过点Р作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，求点О到直线AB 距离的最大值.7(2023·全国·高三专题练习)如图已知P -2,t 是直线x =-2上的动点，过点P 作抛物线y 2=4x 的两条切线，切点分别为A ,B ，与y 轴分别交于C ,D .(1)求证：直线AB 过定点，并求出该定点；(2)设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记A ,B 两点到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2；求当ABd 1+d 2取最大值时△PCD 的面积.8(2023·全国·高三专题练习)已知点A (-4，4)、B (4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2，点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y =-1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．9(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ，点A x ,32是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点Q 为直线y =-12上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 面积的最小值．10(2022春·安徽滁州·高二校考开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 上的任意一点到焦点的距离比到y 轴的距离大12.11(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线外一点P m ,n 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，若三角形ABP 的重心G 在定直线l :y =32x 上，求三角形ABP 面积的最大值.【真题感知】11(全国·统考高考真题)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =-12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点：(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.12(辽宁·高考真题)如图，抛物线C 1:x 2=4y ,C 2:x 2=-2py p >0 .点M x 0,y 0 在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ,B M 为原点O 时，A ,B 重合于O .当x 0=1-2时，切线MA 的斜率为-12.(I )求p 的值；(II )当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A，B 重合于O 时，中点为O）。

有限元三角形单元
有限元三角形单元是有限元分析中常用的基本构件，用于建立复杂结构的数学模型，以进行工程分析。

这些三角形单元是用来离散化连续问题的，将其转换为有限元模型，以便计算机可以进行数值求解。

在有限元分析中，三角形单元有不同类型，其中常见的包括：
1. 线性三角形单元：
- 由三个节点组成的简单三角形单元。

- 三角形的三条边都是直线。

- 这种单元的形状函数是线性的，适用于简单的结构和问题。

2. 二阶和高阶三角形单元：
- 包括更多节点以提高精度的三角形单元。

- 二阶三角形单元具有额外的中间节点，使得形状函数更复杂，从而提高了精度。

- 高阶三角形单元同样通过增加节点来提高精度，但也增加了计算复杂度。

这些三角形单元被用于建立有限元模型，将结构或物体分割成小的几何形状，每个形状都有对应的节点和单元连接关系。

通过这些节点之间的位移和边界条件来建立结构的数学模型，从而进行力学、热力学等各种工程分析。

选择适当类型和精度的三角形单元对于准确地模拟实际问题非常重要，因为它们直接影响到模型的计算精度和效率。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）{或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

/或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）￥以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。

例4、下列图形中各有多少个三角形分析与解：方法（1）使用分层计数法：图（1）~图（2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层： 0（个）;中层：0（个）上下层：4+3+2+1=10（个）下层：0（个）[ 上中层：4+3+2+1=10（个）中下层：0（个）—上中下层：4+3+2+1=10总数：10+0+10=20（个）总数：—10+10+10=30（个）方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数公式法：第一层三角形的总数×层数图（1）图（2）第一层：4+3+2+1=10（个）4+3+2+1=10（个）,第一层：层数： 2（层）层数： 3（层）总数：10×2=20（个）￥总数：10×3=30（个）例5、下列图形中各有多少个三角形分层法：；上层：4+3+2+1=10（个）下层： 4（个）（吹泡泡法）上下层：。

引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)（一）行列式的定义及相关公式 (2)(二)n级行列式的性质: (4)二、行列式的计算 (6)（一)行列式的基本计算方法 (6)1、定义法: (6)2、三角形法： (7)3、降阶法: (12)4、换元法： (14)5、递推法: (15)6、数学归纳法： (16)7、目标行列式法： (18)（二)行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。

行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。

本文针对行列式这一数学工具，进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义，重点证明了行列式性质,介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法，如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法.辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等,并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。

关键词行列式，计算方法，线性方程组。

The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics。

.J•纟衣学下半月.数学◊沈强[6\过程性变式，漫丿促进学生高阶思维发展过程性变式设计理念F的“三角形”单元复习教学探索变式教学是一种广泛使用的教学方式。

在数学课堂教学中，有两种本质不同的变式类型：概念性变式和过程性变式。

概念性变式是指通过改变概念呈现方式，来帮助学生识别概念的本质特征，并体会其内涵的策略。

过程性变式是指创建变式问题或情境，让学生进行探究，找到问题的解决方案，以此让学生逐步或从多种途径学会建立不同概念之间的联系⑴。

本文试图从学生的认知视角，探讨在几何复习课中使用过程性变式来促进学生高阶思维的发展。

=、研究设i十1.参与者与背景。

分析的这一课是人教版教材四年级下册“三角形”单元的复习课。

执教者是已任教小学数学17年的高级教师。

参与研究的核心成员中，有三位是浙江省特级教师，其中两位是正高级教师，其他的是名师工作站的成员。

2.数据收集。

每次研讨和试教后，教师简要阐述自己的教学计划和实施情况，核心成员进行点评，其他成员对问题进行评议和交流，提出后案一期修改建议和方向。

收集到的资料包括教学设计、课堂实录、学生观察表、会议记录单等。

例3.教学计划说明。

教学计划中明确了本节课可的主要教学目标：第一，通过任务驱动帮助学生=梳理本单元的知识内容，加深对三角形特征的认二识，巩固知识并提高技能。

第二，通过设计变式问剧题，尝试用想象和推理来处理任务，培养学生的空间观念，提高推理能力。

本节课包括三个主要阶段：第一阶段，情境变式（基本三角形的构建）。

教师出示问题:从7根小棒（18、10、8、6、6、6、2,长度单位为厘米）中选3根，能围成几个不同的三角形？要求学生根据三角形的三边关系，有序地将符合条件的三角形记录下来。

教师将答案按一定的顺序排列。

第二阶段，问题变式（复杂问题的解决）。

教师先出示基本问题：根据边的长短，判断分别是什么三角形（等腰、等边、不等边三角形）。

再出示变异问题：根据边的长短，将其按角分类（锐角、直角、钝角三角形）。

Science &Technology Vision 科技视界0引言行列式的计算是线性代数基本问题之一,特别是关于高阶行列式的计算.从理论上来讲都是可是按定义来求的,但其过程是相当复杂的,而且仅仅使用定义也无法快速计算,还需要其他相关的数学技巧和方法.因此,探讨高阶行列式的计算方法和技巧是相当必要的.本文主要通过举例来探讨和总结了几种特殊的计算技巧和方法—-定义法、化三角形法、范德蒙行列式、递推法、数学归纳法.这对于激发学生的学习热情,促进学生的数学思维发展,培养学生的创新能力,将起着积极的作用.1求解方法1.1定义法[1]根据n 阶行列式的定义可知其展开式中包含n !项,所以直接使用其定义是相当麻烦的,除非其行列式中0元素比较多,这样可以大大减少行列式展开的项数.除此之外,还可以利用其定义来证明两个行列式相等.下面举例来说明.例1设D 1=a 11a 12…a 1na 21a22…a 2n…………a n 1a n 2…a nn,D 2=a 11a 12b-1…a 1n b 1-n a 21b a 22…a 2n b2-n…………a n 1b n-1a n 2bn-2…a nn证明:D 1=D 2证:由行列式的定义有D 1=∑-1()ta 1p a 2p …a npD 2=∑-1()t a 1p b1-p 1()a 2p b2-p 2()…a n p bn-pn()=∑-1()ta 1p a 2p …a np b(1+2+…+n )-(p +p +…+p )其中t 是排列p 1p 2…p n 的逆序数.而p 1+p 2+…+p n =1+2+…+n 所以有D 2=∑-1()ta 1p 1a 2p 2…a npn =D 1证毕.1.2用化三角形行列式计算[2-3]将行列式化为上三角形、下三角形或者对角形,从而得出其值.例2计算D n +1=b a a a …a a b a a …a a a b a …a ………………aaaa…b解:将第2,3,n +1列都加到第1列,可得D n +1=b +na a a …a b +na a a …ab +naa b …a ┆┆┆┆b +na a a …b提取第一列的公因式b +na ,得到D n +1=b+na ()1a a …a 1a a …a1a b …a ……………1a a …b将第1列(-a )的倍加到第2,3,…,n +1列,可得D n +1=b+na ()100...01b-a 0 010b-a …0……………100…b-a=b+na ()b-a ()n1.3利用范德蒙行列式计算[4]首先利用行列式的基本性质将所求行列式转化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出所求行列式的值.例3求行列式D n =11…1222…2n 332…3n…………n n 2…nn.解:首先观察D n 中各行元素的特点:分别是一个数的不同方幂,方幂的次数由1递升到n .于是提取各行的公因子,则方幂次数便从0增至n -1,从而可以变成相应的范德蒙行列式,故利用范德蒙行列式的结果可以得到:D n =n !111…11222 (2)n-11332…3n-1……………1nn2…nn-1=n !n ≥i j ≥1∏x i-x j()n !2-1()3-1()…n -1()●3-2()4-2()…n -2()…n -n -1()[]=n !n -1()!n -2()!…2!1!1.4用递推法计算[5]这种计算方法其实就是利用D n 和D n -1的递推形式先建立起两者之间的相应关系,然后再根据此公式代入计算出行列式的值.※基金项目:重庆邮电大学博士启动基金(A2014-25);重庆邮电大学青年科学基金(A2014-106);重庆市研究生教育教学改革研究重点项目(yjg142006);重庆市高等教育教学改革一般项目(133111)。

等腰三角形的性质的说课稿一、说教材本文“等腰三角形的性质”在几何学中占据着重要的地位。

首先，它是初中数学教学的重要组成部分，对于学生理解几何图形的性质，培养空间观念有着关键作用。

等腰三角形作为基本的几何图形之一，其性质不仅有助于学生掌握三角形的知识体系，而且对于后续学习其他图形，如圆、多边形等有着基础性的影响。

（1）作用与地位等腰三角形作为特殊的三角形，其性质的学习是构建几何知识框架的基石。

它不仅连接了基本的三角形知识和更高阶的几何图形理论，而且在实际生活中的应用也极为广泛，如建筑、工程等领域。

（2）主要内容本文主要围绕等腰三角形的三个基本性质展开：- 两边相等，即腰相等；- 两角相等，即底角相等；- 脐点、中线、高线合一，即等腰三角形的顶点角平分线、底边的中点以及底边上的高线三点共线。

（3）与其他章节的联系等腰三角形的性质不仅是三角形章节的核心，它还为后续学习全等三角形、相似三角形等内容打下基础。

通过等腰三角形的性质，可以引导学生理解几何图形的对称美和内在的数学逻辑。

二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：（1）知识目标- 掌握等腰三角形的基本性质，并能运用这些性质解决相关问题；- 理解并掌握等腰三角形中各线段（如高线、中线、角平分线）的关系及其应用。

（2）能力目标- 培养学生的观察能力和逻辑思维能力；- 提高学生的空间想象力和几何图形的构造能力。

（3）情感目标- 激发学生对几何学习的兴趣，增强对数学美的感受；- 培养学生团队合作意识，通过讨论与分享，增强自信心。

三、说教学重难点（1）重点- 等腰三角形性质的准确理解和记忆；- 性质的实际应用，特别是在解决问题时的灵活运用。

（2）难点- 理解并证明等腰三角形各性质之间的内在联系；- 在复杂问题中，如何识别并利用等腰三角形的性质进行解题。

这些重难点的把握直接关系到学生对整个几何知识体系的理解和运用，因此不容忽视。

在教学过程中，需要通过多种教学手段和学法指导，帮助学生克服这些难点，达到教学目标。

问题引领：激活学生数学高阶思维——以“角平分线画法的再认识”为例高阶思维是发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次的认知能力，按照布鲁姆教育目标分类体系，依据认知的复杂程度从低到高划分为记忆、理解、应用、分析、评价和创造六个层次，其中分析、评价和创造称为高阶思维能力。

笔者以“角平分线画法的再认识”初三复习课为例，组织学生提出问题、分析问题、研究问题、解决问题，形成问题学习机制，在师生互动、生生互动中完成数学认知成长，促进学生数学高阶思维能力的提升。

一、提出问题，启动生本高阶思维大多数人认为学生数学思维处于被动主要因素是学生不愿意主动思考、懒于思维，而实际上并非如此，由于教师没能提供能够让学生主动思维的思考点，即问题，没有规划解决问题的思维支架，所以才导致学生对数学学习的“惰性”。

数学学习需要遵循一些规律，要求教师创设的问题在学生认知的最近发展区，或许“跳一跳”能够“摘到桃子”，只有这样才能激发学生主动思维的积极性，而在解决问题受阻时，教师也能及时提供必要的思维支架，以及恰到好处的问题设计和指导，都能够有效培养学生数学高阶思维。

1.师本设定问题。

爱因斯坦说过：从新的角度看待旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真进步。

教师在学生已有的学习经验基础上提出问题，是对旧知识的再认识，能充分激发学生的思维，激活学生高阶思维。

这种以旧问重提方式的问题驱动，有助于学生的思维从低阶走向高阶，因为低阶思维的学生对知识的掌握往往是分散的、孤立的、不系统的，抓不住问题的本质，也就无法形成高阶思维，进而影响分析问题解决问题能力的提高。

以《角平分线画法的再认识》为例，学生已有的知识储备是足够的，在初一时已掌握角平分线的定义，会利用量角器画角平分线，以及利用将纸张对折后折痕即为角平分线，到初二学习了角平分线的性质和判定后，利用边边边定理构造全等三角形，能够得到两个角相等的认知，进而得到角平分线，掌握角平分线的尺规作图的一种方法。

三角形全等高阶几何模型包括以下几种：
1. 手拉手模型：在等腰直角三角形、等边三角形和等腰三角形中，通过构造两个直角三角形的手拉手关系来证明三角形全等。

2. 倍长中线模型：当涉及中点、中线有关的辅助线添加时，可以通过倍长中线的方法来构造全等三角形。

3. 平行线类模型：通过构造平行线类的辅助线来证明全等。

4. 雨伞模型：经典的ASA模型，涉及延长类的辅助线。

5. 半角模型：与正方形、直角有关的图形涉及旋转思想。

6. 胖瘦模型：涉及轴对称类的全等。

以上内容仅供参考，如需更详细的信息，可查阅全等三角形问题的相关资料，或者咨询数学教育专家。

浅析高阶行列式的几种计算方法作者：姜小霞王海扬田应信谭杨来源：《科技资讯》2021年第01期摘要：行列式是线性代数中非常重要的内容，也广泛应用于许多实际问题的解决，它为求解线性方程组问题提供了工具。

然而高阶行列式的计算却是这部分的难点，需要根据所求高阶行列式的形式，分析其所具有的特点，采用适当的方法将高阶行列式的计算进行简化。

该文将主要针对3种特殊形式的高阶行列式進行分析，从而给出相应的计算方法。

关键词：行列式递归法三对角型爪型中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2021）01（a）-0225-03Analysis of Several Calculation Methods of High-order DeterminantJIANG Xiaoxia WANG Haiyang TIAN Yingxin TAN Yang（Tongren Polytechnic College，Tongren，Guizhou Province，554300 China）Abstract： Determinant is a very important content in linear algebra， it is widely used to solve many practical problems. It provides a tool for solving linear equations. However， It is difficult to calculate high-order determinant. We need to analyze its characteristics according to the form of higher-order determinant. In this paper， three special forms of high-order determinant are analyzed and the corresponding calculation methods are given.Key Words： Determinant; Recursive method; Tridiagonal type; Claw type《线性代数》是理工科专业一门必修的基础课程，而行列式理论虽然是该课程中的基础部分，却也是该课程中非常重要的部分，为求解线性方程组问题提供了工具，在实际生活中许多问题的研究中，都有着广泛的应用。

第11讲相关定理在解三角形中的综合应用（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习1.海伦-秦九韶公式三角形的三边分别是a 、b 、c ，则三角形的面积为S =其中2a b cp ++=，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

:S =2.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-， 2cos34cos 3cos ααα=-3.射影定理B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，Ab B ac cos cos +=4.角平分线定理（1）在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的角平分线，则有CDACBD AB =（2）2cos2BACb c AD b c∠⨯⨯=+（3）2AD AB AC BD CD =⨯-⨯（库斯顿定理）（4）ABDACDS AB AC S = 5.张角定理ADAC AB )sin(sin sin βααβ+=+6.倍角定理在ABC 中,三个内角A B C 、、的对边分别为、、a b c ,(1)如果2A B =,则有:22a b bc =+(2)如果2C A =,则有:22c a ab =+(3)如果2B C =,则有:22b c ac =+倍角定理的逆运用在ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为、、a b c ,(1)如果22a b bc =+,则有:2A B =。

(2)如果22c a ab =+,则有:2C A =。

(3)如果22b c ac =+,则有:2B C =。

7.中线长定理AD 为BC 的中线,则中线定理:()22222AB AC AD DC +=+证明:在ABD 和ADC 中,用余弦定理有:()22222222220222AD BD AB AD DC AC AB AC AD DC AD BD AD DC BD DC +-+-+=⇒+=+⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩=8.三角恒等式在ABC ∆中，①sin sin sin 4coscos cos 222A B CA B C ++=；②cos cos cos 14sinsin sin 222A B CA B C ++=+；③222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+；④222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；⑤222sin sin sin 12sin sin sin 222222A B C A B C++=-；⑥222cos cos cos 22sin sin sin 222222A B C A B C ++=+；⑦tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅；⑧cot cot cot cot cot cot 1A B A C B C ⋅+⋅+⋅=；⑨cot cot cot cot cot cot 222222A B C A B C ++=；⑩tantan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++=。

运用数字教材助力培养学生数学高阶思维——以“‘ 边 .边 .角’ 能判定三角形全等吗？”的教学为例摘要：从数字教材与数学课堂融合的视角，结合具体的课堂实例，阐述运用数字教材资源的课堂教学模式，探析在课堂各环节中融入数字教材举措，以此帮助学生深入观察，深化操作，深度思考，培养学生高阶思维，提高学生数学核心素养。

关键词：初中数学；数字教材；深度学习；高阶思维笔者在专题课“‘边.边.角’能判定三角形全等吗？”的课堂教学中利用了数字教材资源，以探析数字教材与课堂中各环节的融入，并与交互式电子白板，、微视频、互动课堂等信息技术相结合。

一、运用插入资源功能布置预习作业，指导学生自主预习上传云笔记“‘边.边.角’能判定三角形全等吗？”是第十四章三角形的阅读材料内容。

通过对材料的阅读和思考，让学生理解“边.边.角”不能作为全等三角形的判定方法，防止误用；同时，也是对前面所学过的三角形全等判定方法探索中所进行的分类讨论的完善。

对七年级同学而言，他们的预习意识不高，预习方法也不够到位，因此，笔者除了运用数字教材里的插入资源功能插入了一段微视频，还设计了一份导学单。

同学们可以在数字教材平台上下载笔者提前插入的微视频资源，对微视频中所学到的知识点进行梳理，完成导学单上的习题并将步骤与体会分享上传至云笔记。

笔者在微视频中不仅梳理了如何判定全等三角形的学习历程，指出画三角形是学习全等三角形判定的认知基础，还布置了自主预习的活动任务：活动一思考：画图，在△中，是边上的一点， =.△和△全等吗？【设计说明】在△和△中，（已知），（公共边），（公共角），完全符合“边.边.角”的条件，但显然△和△不全等。

其实，在“边、边、角”条件中，已知一边，就可以确定三角形两个顶点的位置，关键是能否由其余条件确定第三个顶点的位置。

因此，对于为什么“边边角”不能作为判定方法的预习，笔者设计了活动二。

活动二1.画图：画△，使，，°.2.分享：写出在画图过程中的步骤与思考，运用数字教材笔记功能插入笔记并上传至云笔记.【设计说明】让学生根据已知条件画图，在以点A为圆心，2cm为半径画圆弧的过程中，学生看到与射线BE的交点有两个点，分别形成了△和△，这两个三角形都是所要画的三角形，而这两个三角形并不全等。