第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用第一节 概述分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。
当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。
各单元在结点处为铰结。
图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。
谈形体所受体力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= (8-1)所受面力分量可表示为[]Tyxy x p p p p p =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= （8-2）体内任一点应力分量可表示为[]T xy y x τδδδ= （8-3）任一点的应变分量可表示为[]T xy y x γεεε= （8-4）任一点的位移分量可表示为[]Tv u =δ （8-5）弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡xyy x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 （8-7）或简写成为εσD = （8-8）式中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2100010112μμμμE D （8-9） 称为弹性矩阵。
平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成21μ-E，μ换成21μμ-，因此得出⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(22μμμμμμμμμE D （8-10）平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功方程代替平衡微分方程和应力边界条件。
虚功方程的矩阵表达式为⎰⎰⎰⎰⎰***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）式中：[]Tv u f***=，表示虚位移；[]Txyx x ****=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。
为了便于计算，作用于弹性体上的体力和面力替换为作用在结点上的集中力，即等效结点荷载。
设作用于各个结点上的外力分量用如下列阵来表示[]Tn n V U V U V U F ⋯=2211与这些结点外力分量相对应得结点虚位移分量列阵为[]Tnn v u v u v u *******⋯=2211δ 则外力在虚位移上做的虚功为F v V u U v V u U v V u U T n n n n *******=++⋯++++δ22221111如平面弹性体的厚度为t ，该虚功除以t ，即可得出单位厚度薄板上的外力虚功。
于是，式（8-11）所示虚功方程可写成⎰⎰**=tdxdy F T T σεδ （8-11）虚功方程不仅仅应用于弹性力学，也可用于塑性力学。
其应用条件是：只要变形体的全部外力和应力满足平衡方程；位移是微小的，并满足边界条件，位移与应变满足几何方程。
所以，通常称为变形体虚功方程。
第二节 单元分析图8-2所示为一个三角形单元。
三个结点按逆时针顺序编号分别为i 、j 、m ，结点坐标分别为),(),(),(m m j j i i y x m y x j y x i 、、。
图8-2由于每个结点有两个位移分量，单元共有六个结点位移分量：m m j j i i v u v u v u 、、、、、，如图8-2a ）所示，因此三角形单元的结点位移分量δe 可表示为[]Tm m j j i ie v u v u v u =δ （8-13）与这六个结点位移分量相对应得结点力也有六个分量，如图8-2b)所示[]Tm m j j i i e V U V U V U F = （8-14）在每个单元上，都可以把结点力用结点位移来表示，即建立如下关系式e e e k F δ= （8-15）式中k e称为单元刚度矩阵。
寻求k e的过程称为单元分析。
单元分析按如下步骤一、位移函数为了求单元内任一点（x ，y ）的位移，设该点的位移u 、v 为其坐标x 、y 的某种函数，单元有六个结点位移分量，在位移函数中取六个任意参数αi （i=1，2，…，6），并将位移函数取为线性函数，即⎭⎬⎫++=++=y x y x v y x y x u 654321),(),(αααααα （8-16）一般情况下，一个弹性变形体在外界作用下，内部点的位移变化比较复杂，不能用简单结点 位移 内部各 点位移 应变 应力 结点力 k e的线性函数描述。
但是，当把弹性体离散为许多微笑单元时，在每一个单元内部有限小的局部内，各点位移可以用线性函数描述。
式（8-16）可写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=65432110000001ααααααy x y x v u f （8-17）为了求出内部结点位移f 与结点位移δe之间的关系，需求出δe与α间的关系。
降格结点坐标和位移代入式（8-16），可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡321111αααm mj j i i m j i y x y x y x u u u （a ）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡654111αααm m j j i im j i y x y x y x v v v （b ） 三角形单元的面积为 mmj j iiy x y x y x A 11121=（8-18）求解方程组(a)得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i m ji m j i m j i u u u c c c b b b a a a A 21321ααα （c ） 求解方程组(b)得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i m ji m j i m j i v v v c c c b b b a a a A 21654ααα (d) 式中，m m m i i i c b a c b a 、、、、、、⋯由下式计算⎪⎭⎪⎬⎫+-=-=-=mj i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a （i 、j 、m ）上式中的（i 、j 、m ）表示脚标依次轮换，可写出计算a j 、b j 、c j 以及a m 、b m 、c m 的另两组公式。
将式（c ）和(d)代入（8-16）并展开，得到以结点位移表示的位移函数⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡j i j i j i m j i m j i v u v u v u y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x v y x u ),(0),(0),(00),(0),(0),(),(),( （8-20） 式中，m j i N N N 、、反映了单元的位移形态，故称为单元位移的形态函数或形函数。
矩阵N 称为形函数矩阵。
选取得位移函数是否合理，要看随着单元网格的逐步细分，有限元解是否逼近于精确解。
为了保证收敛型所选择的单元位移函数应满足以下条件： （1） 包含单元的刚体位移； （2） 包含单元的常量应变；（3） 保证相邻单元在公共边界处位移的连续性。
二、单元的应变和应力选择了位移函数并以结点位移表示单元内点的位移后，重新写出平面问题的几何方程⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=v u x y y x xy y x 00εεεε （f ） 由式（8-20）得⎪⎭⎪⎬⎫++=++=m m j j i i m m i j i i v N v N v N v u N u N u N u （g ）将式（g ）代入式（f ），并利用下式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂A c y N A b x N i i i i 22 （i 、j 、m ） (h)得单元应变⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m m j j i i m mjjii m j i m j i xy y x v u v u v u b c b c b c c c c b b b A 00000021γεε （8-24） 或简写成 e B δε= （8-25） 式中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mjjii m j i m j i b c b c b c c c c b b b A B 00000021 （8-26） 式（8-25）就是由结点位移求应变的转换式，其转换矩阵B 称为几何矩阵。
将（8-25）代入平面问题的物理方程式（8-8）有e e DB D δεσ== （8-27）或写成 eeS δσ= （8-28）S=DB (8-29) 称为应力矩阵。
三、单元刚度矩阵在有限单元法中，常利用虚功方程代替平衡方程。
图8-3a)所示为三角形单元的实际力系，其结点力为F e ，应力为σ；图8-3b)所示为单元虚位移状态，其结点位移为δ*e ,应变为ε*。
利用式（8-12）可得图8-3tdxdy F T e eT σεδ⎰⎰**= （8-30）式中：为单元虚应变。
为单元结点虚位移；**εδe由式（8-25）可知e B **=δε因此 T eT TB **=δε将此公式代入式（8-30），由于e*ε中的元素是常量，公式右边的eT*δ可以提到积分号的前面，得 ⎰⎰**=tdxdy B F T eT e eT σδδ由于虚位移e*δ是任意的，则 ⎰⎰=tdxdy B F e σ因为B 和σ都是常量矩阵，并且积分A dxdy =⎰⎰，所以tA B F T e σ= （8-31）利用（8-27），可得 tA DB B F eTeδ= （8-32） 令 DBtA B k T= （8-33） 则式（8-32）就变成式（8-15），即 eeek F δ=单元刚度矩阵ek 为一个6×6矩阵，它时单元结点位移与单元结点力之间的转换矩阵，具有以下性质：（1）ek 示对称矩阵，其元素ji ij k k =；（2）ek 是奇异矩阵，由它的元素组成的行列式等于零，即它不存在逆矩阵； （3）ek 具有分快性质。
第三节 等效结点荷载为简化各单元得受力情况，便于分析计算，应将单元所受各种载荷向结点移置，化为结点荷载，荷载的移置应安静力等效原则进行。
静力等效是令原来的荷载与移置后的荷载在任意虚位移上的虚功相等。
