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69第3章 Wigner 分布3.1 Wigner 分布的定义我们在第一章讨论了对非平稳信号作时－频联合分析的必要性，在第二章介绍了具有线性形式的时－频分布，如STFT 及Gabor 变换。
这一类形式的时－频分布还有小波变换，我们将在第九章以后详细讨论。
本章及下一章集中讨论具有双线性形式的时－频分布，主要是Wigner 分布及具有更一般形式的Cohen 类分布。
所谓双线性形式，是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。
在有的文献中又称为非线性时－频分布。
令信号()t x ，()t y 的傅立叶变换分别是()Ωj X ，()Ωj Y ，那么，()t x ，()t y 的联合Wigner分布定义为：()()(),,22j x y W t x t y t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰＊ （3.1.1）信号()t x 的自Wigner 定义为 ()()(),22j x W t x t x t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰＊ （3.1.2）Wigner 于1932年首先提出了Wigner 分布的概念［120］，并把它用于量子力学领域。
在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。
直到1948年，首先由Ville 把它应用于信号分析。
因此，Wigner 分布又称Wigner －Ville 分布，简称为WVD 。
1973年，DE ．Bruijn 对WVD分布作了评述，并给出了把WVD 用于信号变换的新的数学基础［32］。
1966年，Cohen 给出了各种时－频分布的统一表示形式［46］，1980年，Classen 在Philips ．J ．Res ．上连续发表了三篇关于WVD 的文章［38,39,40］，对WVD 的定义、性质等作了全面的讨论。
由于这些工作，使得80年代后对WVD 的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。
由下面的讨论可知，在已提出的各种时－频分布中，WVD 具有最简单的形式，并具有很好的性质。
现代信号处理的方法及应用信号处理是一种广泛应用于各种领域的技术，包括通信、图像处理、音频处理，控制系统等等。
信号处理主要目的是从原始数据流中提取有用的信息并对其进行分析与处理。
随着现代计算机技术和数学统计学等科学技术的不断发展，信号处理的方法也在不断更新和升级，这篇文章将对现代信号处理的方法和应用做一个简单的介绍。
1. 数字信号处理数字信号处理是信号处理的一种重要形式，主要是基于数字信号处理器(DSP)和嵌入式系统等硬件设施来实现。
数字信号处理算法主要应用于图像和音频处理以及通信系统等领域。
数字信号处理的优点在于其对数据的准确性，稳定性和可靠性上，数字信号处理器也因此成为了许多领域的首选，如音频处理中的音频去噪。
2. 频域分析频域分析是信号处理中一种常用的分析方法，适用于需要研究信号频率特性的场合。
频域分析最常用的工具是傅里叶变换(FT)，用于将信号从时域转化为频域。
傅里叶变换将信号分解为不同频率的正弦波分量，这样就能对不同频率范围内的信号进行分析和处理。
频域分析在音频，图像，视频，雷达等领域广泛应用。
3. 视频处理视频处理是信号处理的重要领域之一，几乎应用于所有与视频相关的技术，包括视频编解码，视频播放，图像增强以及移动目标检测等。
视频处理的任务是对视频内容进行解析和分析，提取其重要特征，比如目标检测，物体跟踪以及运动检测。
其中，深度学习技术的应用非常广泛。
4. 无线通信无线通信是使用无线电波传输信号的无线电技术，目前已被广泛应用于通信系统、卫星通信、电视广播、GPS定位等领域。
在无线通信中，信号处理扮演着重要的角色，主要用于调制解调，信号检测以及通信信号处理等。
5. 模拟信号处理模拟信号处理是信号处理中的另一种重要形式，通常应用于音频处理、传感器测量等领域。
模拟信号处理的操作与数字信号处理类似，不同的是其输入信号是连续模拟信号，输出也是模拟信号。
模拟信号处理可以执行滤波，信号调整、信号检测等，是信号处理中必不可少的一部分。
现代信号处理一 信号分析基础傅里叶变换的不足：()()1()()2j t j tX j x t e dtx t X j e d π∞-Ω-∞∞Ω-∞Ω==ΩΩ⎰⎰1.不具有时间和频率的“定位”功能；2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性；3.傅里叶变换在分辨率上的局限性。
频率不随时间变化的信号，称为时不变信号（又称为平稳信号），频率随时间变化的信号称为时变信号（又称为非平稳信号），傅里叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，只适合于分析平稳信号。
而我们希望知道在哪一时刻或哪一段时间产生了我们所要考虑的频率，现代信号处理主要克服傅里叶变换的不足，这些方法构成了现代信号处理。
分辨率包括频率分辨率和时间分辨率，含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔。
分辨率的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于信号的长度，三是取决于所用的算法。
克服傅里叶变换不足的主要方法有：方法一：STFT （Short Time Fourier Transform ）方法二：联合时频分析Cohen 分布，联合时频分析Wigner 分布 方法三：小波变换方法四：信号的子带分解，将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号。
方法五：信号的多分辨率分析，与方法四类似，为了适应在不同频段对时域和频域分辨率的不同要求，可以将信号的频谱做非均匀分解。
明确概念：时间中心、时间宽度、频率中心和频带宽度 信号能量：2221()()()2E x t x t dt X j d π===ΩΩ<∞⎰⎰时间中心：21()()t t x t dt Eμ=⎰ 频率中心：21()()2x d EμπΩ=ΩΩΩ⎰ 时间宽度：22201()()t t t x t dt E ∞-∞∆=-⎰频率宽度：22221=()2X d Eπ∞Ω-∞∆ΩΩΩ-Ω⎰ 时宽和带宽：2,2t T B Ω=∆=∆品质因数=信号的带宽/信号的频率中心。
不定原理：给定信号x(t)，若()0t t →∞=,则12t Ω∆∆≥当且仅当x(t)为高斯信号，即2()t x t Ae α-=等号成立。
0 / 1第3章 短时傅立叶变换3．1连续信号的短时傅立叶变换由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率在随时间变化，而传统的傅立叶变换，由于其基函数是复正弦，缺少时域定位的功能，因此傅立叶变换不适用于时变信号。
信号分析和处理的一个重要任务，一方面是要了解信号所包含的频谱信息，另一方面还希望知道不同频率所出现的时间。
早在1946年，Gabor 就提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform ，STFT ）的概念，用以测量声音信号的频率定位[64]。
给定一信号)()(2R L t x ∈，其STFT 定义为>-=<-==ΩΩΩ-Ω⎰⎰ττττττττττj j t x et g x d et g x d g x t STFT )(),()()()()(),(**,（3.1.1）式中τττΩΩ-=j t et g g )()(,（2.1.2） 及1||)(||=τg ，1||)(||,=Ωτt g并且窗函数)(τg 应取对称函数。
STFT 的含义可解释如下：在时域用窗函数)(τg 去截)(τx （注：将)(t x ，)(t g 的时间变量换成τ），对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得在t 时刻得该段信号得傅立叶变换。
不断地移动t ，也即不断地移动窗函数)(τg 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。
这些傅立叶变换的集合，即是),(Ωt STFT x ，如图2.1.1所示。
显然，),(Ωt STFT x 是变量),(Ωt 的二维函数。
由于)(τg 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于τΩj e在频域是线谱，所以STFT 的基函数ττΩ-j et g )(在时域和频域都应是有限支撑的。
这样，（3.1.1）式内积的结果即可实现对)(t x 进行时－频定位的功能。
当然，我们自然要关心这一变换时域及频域的分辨率。
对（0 / 13.1.2）式两边作傅立叶变换，有 ⎰-ΩΩ-=ττυυττd e e t g G j j t )()(,⎰''='Ω--Ω--t d e t g et j tj )()()(υυ t j e G )()(Ω--Ω-=υυ （3.1.3）式中υ是和Ω等效的频率变量。
1.3 时频分布及其性质1.3.1 单分量信号与多分量信号从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。
所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。
一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ϕ=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。
如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。
一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱，图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征则其瞬时频率定义如下：)]([arg 21)(t z dtdt f i π=（1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dtdf g πτ=（1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。
（如图1.2.3所示）。
图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征1.3.2 时－频分布定义Fourier 变换的另一种形式⎰∞∞--=dt e t s f S ft j π2)()(⎰∞∞-=dfe f S t s tf j π2)()(Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j )(2*),()21()21(),(-+-∞∞-∞∞-∞∞--+=⎰⎰⎰（1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。
原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。
这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。
进一步可将（1.3.1）简记为ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞∞-∞∞-⎰⎰=（1.3.2）式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2()2(),(*τττ-+=t z t z t k z 关于时间t 作Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即dt e t z t z v A tv j z πτττ2*)2()2(),(-+=⎰∞∞-（1.3.3）因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类时－频分布又称为广义双线性时－频分布。
两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为：⎰⎰⎰∞∞-∞∞--+-∞∞--+=ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy )(2*),()21()21(),( ⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dvd e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),(（1.3.4）式中du e u y u x v A vu j xy πτττ2*)2()2(),(⎰∞∞--+= （1.3.5）是)(t x 和)(t y 的互模函数。
两个信号之和)()()(2211t z c t z c t z +=的时－频分布定义为：),(),(),(||),(||),(122121,*12,*212221f t P c c f t P c c f t P c f t P c f t P z z z z z z z +++= （1.3.6）1.3.3 核函数及其特性在时－频分布定义中用核函数来表征信号的时－频分布有三个主要优点：首先，通过核函数的约束可以得到并研究具有确定特性的分布；其次，时－频分布的特性可以很容易地通过考察核函数来确定；最后，对于给定的核函数，可以很容易求得信号的时－频分布。
在（1.3.1）中若取核函数1),(=v τφ，则该定义式就退化为一种重要的时－频分布，即Wigner-Ville 分布。
当核函数),(v τφ不等于1时，可以理解为是模糊域的滤波函数，即对模糊函数),(v A z τ进行滤波。
若核函数),(v τφ是乘积v τ的函数形式，则称),(v τφ为乘积核，通常记为)(v PR τφ。
对（1.3.2）作Fourier 反变换，可得到由给定时－频分布求其核函数的公式：⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-+∞∞-∞∞-+-+==du e u z u z dtdfe f t P v A dtdf e f t P v vuj f tv j z f tv j πτπτπττττφ2*)(2)(2)2()2(),(),(),(),( （1.3.7）结合时－频分布所希望的数学特性（表1.3.2），可以推导出核函数),(v τφ必须满足如下特性：1、边缘特性：为使信号时－频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足 时间边缘，1),0(=v φ （1.3.8） 频率边缘，1)0,(=t φ （1.3.9）2、能量归一化：为使时－频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足1)0,0(=φ （1.3.10） 3、实值性：为了使时－频分布是实的，核函数必须满足),(),(*v v --=τφτφ （1.3.11）4、时、频移不变性：为使时－频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。
5、尺度不变性：为使时－频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即)(),(v v τφτφ= （1.3.12）6、有限支撑性：为使时－频分布满足有限支撑性，核函数必须满足弱有限支撑：时｜，当｜||20),(t dv e v jvt ≤=⎰∞∞--ττφ （1.3.13） 时｜，当｜||20),(ωττφτω≤=⎰∞∞--v d e v j （1.3.14）强有限支撑：时｜，当｜||20),(t dv e v jvt ≠=⎰∞∞--ττφ （1.3.15）时｜，当｜||20),(ωττφτω≠=⎰∞∞--v d e v j （1.3.16）7、逆变换：如果对所有的τ和v 值核函数被唯一确定，那么信号能够由时－频分布恢复，如果核在某些区域为零，那么不可能唯一地恢复信号。
8、低通性：为使多分量信号时－频分布的交叉项降低，核函数必须具有很大的峰值，也就是当远离τ轴或v 轴中的其中某一轴时，v τ的乘积要尽可能大，即有01),(>><<v v ττφ，当时 （1.3.17）9、投影凸集：假定),(1v τφ和),(2v τφ是满足一个特定约束的核，构造如下新核：),()1(),(),(21v a v a v τφτφτφ-+=，10<<a （1.3.18）可以证明，所有的),(v τφ构成了一个凸集，它可以自动地挑选核函数，如果存在的话，它将满足所有的约束条件，如果不存在，此方法可以在均方的意义上挑选最好的函数。
（表1.3.2）是作为能量分布的时－频表示应满足的基本数学性质，用核函数对模糊函数加权后，时－频分布也自然会发生一些变化。
因此，如果要求变化了的时－频分布仍能满足所提出的某些基本性质的话，核函数就必须受到某些限制，（表1.3.1）是典型Cohen 类时－频分布的核函数及其要求满足的数学性质，其中),(τψt 是对应于相关域的窗函数，而),(v τφ则是对应于时－频域的核函数，它们间的关系见式（1.3.28）。
表1.3.1 Cohen 类分布的核函数要求及其应满足的数学性质1.3.4 时－频分布的基本性质要求对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，通常要求时－频分布具有表示信号能量分布的特性。
因此希望时－频分布能够满足下面的性质：1、 时－频分布必须是实的（且希望是非负的）。
2、 时－频分布关于时间t 和频率f 的积分应给出信号的总能量E ，即总能量⎰⎰∞∞-∞∞-=dtdf f t P E ),( （1.3.19）3、满足边缘特性。
如果把某一特定时间的所有频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时功率；如果把某一特定频率的能量分布在全部时间内累加，就应该得到能量谱密度。
因此，在理想情况下，时间和频率的联合密度应该满足：⎰∞∞-=2|)(|),(f Z dt f t P （1.3.20） ⎰∞∞-=2|)(|),(t z df f t P （1.3.21）时－频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率)(t f i 和群延迟)(f g τ，即⎰⎰∞∞-∞∞-=dff t P df f t fP t f i),(),()( （1.3.22）⎰⎰∞∞-∞∞-=dtf t P dt f t tP f g),(),()(τ （1.3.23）5、有限支撑特性。
这是从能量角度对时－频分布提出的一个基本性质。
在信号处理中，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。
如果信号)(t z 只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱)(f Z 也只在某个频率区间取非零值，则称信号)(t z 及其频谱)(f Z 是有限支撑的，同样，如果在)(t z 和)(f Z 的总支撑区以外，信号的时－频分布等于零，就称时－频分布是有限支撑的，通常把这种支撑称为弱有限支撑（如图1.3.1），即当),(21t t t ∉时，若0)(=t s ，则有0),(=ωt P ； 当),(21ωωω∉时，若0)(=ωS ，则有0),(=ωt P 。
而若只要在信号)(t z 和它的频谱)(f Z 等于零的各区域，时－频分布也都等于零，则称这种支撑为强有限支撑，即若0)(=t s ，则有0),(=ωt P ； 若0)(=ωS ，则有0),(=ωt P 。
在上面的特性中，边缘特性和非负特性保证了时－频分布准确反映信号的谱能量、瞬时功率和总能量。
边缘特性可以保证信号的总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽等）正确给定。
非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理解释。
非负性和边缘特性一起可以保证时－频分布的强有限支撑。
为了讨论的方便，表1.3.2给出了时－频分布所希望的数学性质。
但应当指出，并不是所有的时－频分布都满足表中的所有性质，实际中适用的时－频分布并非一定要满足所有的性质，应该根据具体情况进行合理取舍。
