新导学案高中数学人教版必修一311 方程的根与函数的零点

模块必修一第三单元第3.1.1节方程的根与函数零点教学案 课时：第一课时 课型：新授 编者： 日期： 年 月 日 三维目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.自主性学习1、旧知识铺垫 复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关2、新知识学习探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？总结：零点的定义反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？探究任务二：零点存在性定理问题：① 画出二次函数()223f x x x =--的图像,观察函数在区间[-2,1]上有无零点,计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现他们的乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也有这种特点呢？通过函数的图象和计算发现：()()21f f -⋅__0，()223f x x x =--在（－2，1）有零点_______，它是2230x x --=的根。

§3．1函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用4．培养学生动手操作的能力教学重点：确定方程实数根的个数教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法教学过程：引入问题一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：1．函数零点的定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有2．一般结论方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3．函数变号零点具有的性质对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有（1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。

如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。

（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

4．注意点（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。

（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。

5．勘根定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）教学目标：知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法：零点存在性的判定． 情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定．难点：零点的确定．一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？ 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标．二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况。

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3。

1.1方程的根与函数的零点【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。

●为必须记忆的内容【学习目标】:1,结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；2，结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。

3,体会化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想。

【学习重点】：零点的概念及零点存在性的判定.【学习难点】：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

【教学过程】：一，自主探索,讨论展示问题一，请解出下列方程的根,并画出对应函数的图像。

(1）2x +1=0 对应函数y=2x+1结论:（2）0322=--x x 对应函数322--=x x y结论：（3）观察课本86页图3.1。

1对于二次函数来说你能得出什么结论？●零点定义:对于 ，我们把 叫做函数y=f （x ）的零点.这样函数的零点就是 ,也是 。

●方程f （x)=0有实根⇔ ⇔ 。

基于以上结论,对于不能顺利解出根的方程，我们可以 。

问题二，观察问题一（1）函数图象，函数12)(+=x x f 在区间[]1,1-有零点。

)1(-f 0，)1(f 0 ，即)1()1(f f •- 0.问题三，观察下面函数()y f x =的图象， 在区间[,]a b 上 零点;)()(b f a f • 0；在区间[,]b c 上 零点；)()(b f a f • 0；在区间[,]c d 上 零点；)()(b f a f • 0.●一般的，我们有如果函数y=f(x ）在区间[a,b ］上的图象是 ,并且有 那么,函数y=f(x ）在区间（a ，b ） 内有零点． 即存在c ∈(a,b)，使得f （c)=0，这个c 也就是方程f(x ）=0的根．思考1,为什么强调图象的连续性？2,若函数y=f （x ）在区间［a,b]上连续,且f(a ）·f （b)〈0，则f(x ）在区间（a ，b ）内会是只有一个零点么？3。

方程的根与函数的零点【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。

必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指数、对、幂三种基本初等函数，本章是函数应用问题。

“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。

第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

这些内容是求方程近似解的基础。

本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。

为后续学习二分法求方程的近似解做了铺垫，起着承上启下的作用。

【教学目标】1理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3通过本节课的学习，学生体会函数方程思想及数形结合思想的应用。

感受学习、探索、发现的乐趣。

【学情分析】1学生具备的知识与能力1函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图能力。

2从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2 学生欠缺的知识与能力思维习惯、动手作图能力入观察、归纳、转化等能力都还不强。

【重点难点】重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

方程的根与函数的零点教案【教学目标】1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定条件. 【教学重难点】教学重点：方程的根与函数的零点的关系。

教学难点：求函数零点的个数问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为，函数223y x x =--的图象与x 轴有个交点，坐标为. ② 方程2210x x -+=的解为，函数221y x x =-+的图象与x 轴有个交点，坐标为. ③ 方程2230x x -+=的解为，函数223y x x =-+的图象与x 轴有个交点，坐标为. 根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的.你能将结论进一步推广到()y f x =吗？已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为； （2）函数243y x x =-+的零点为.小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号 ②观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上零点；()()f a f b g 0；在区间[,]b c 上零点；()()f b f c g 0；在区间[,]c d 上零点；()()f c f d g 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b g <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.（三）典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数. 解析：引导学生借助计算机画函数图像，缩小解的范围。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学内容分析：本节课选自高中数学人教A版必修1第三章《函数与方程》第一节《方程的根和函数的零点》。

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

学生在学习了基本初等函数之后，对于函数的概念已经有了更进一步的认识，并掌握了研究函数性质的一些方法，初步了解数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法。

函数作为高中的重点知识，有着广泛的应用，与其他数学有着有机联系。

本节课选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的焦点的横坐标之间的关系作为教学的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，充分体现了函数图像与性质的应用。

因此把握课本要从三方面入手：新旧知识的练习，学生的认知规律，数学思想方法。

学生学习情况分析学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，故采用一些形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。

学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。

再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。

这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。

但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）教学目标：知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法：零点存在性的判定．情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定． 难点：零点的确定． 一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？ 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ； 方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ； 方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标． 二、师生互动，新课讲解： 1、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况。

3.1.1 方程的根与函数的零点一、学习目标1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.【自主学习】二、知识梳理(1)对于函数y=f (x ),我们把使 的实数x 叫作函数y=f (x )的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)中,当 时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当 时,没有零点.方程f (x )=0有实数根⇔函数y=f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y=f (x )有零点.(3)零点存在性定理:如果函数y=f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根.三、自我检测1、方程03=+xx 的根是（ ） A.-3 B.0 C.0或-3 D.没有根()x x f x +=22、函数存在零点的区间是（ ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(-1,0)()有几个零点？、函数4232++=x x x f三穗民高课时三维导学案之问题导读航标单 主备：陆荣培 审核：粟周川 编号：【课堂检测】：1、方程0232=+-x x 的根为_______________________2、函数()232+-=x x x f 的零点是（ ）A.1B.22C.1或 2D.1且 3、判断函数()x x f x +=2的零点所在的区间（ ） ()1,2.A -- ()0,1.B - ()1,0.C ()2,1.D4、判断函数()x x x f 12-=的零点的有几个？ 5、求函数()62ln -+=x x x f 的零点个数___________________________【当堂训练】：1、求函数()2223+--=x x x x f 的零点：__________________________ 2、已知函数()x f 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：函数()x f 在哪几个区间内有零点？为什么？________________________________________________________________3、函数()11ln --=x x x f 的零点个数是____________________________【小结与反馈】：【课后拓展训练】：1、函数()()()23222+--=x x x x f 的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42、若函数()x f 在[]b a ,上连续，且有()()0>⋅b f a f ，则函数()x f 在[]b a ,上（ ）A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3、函数()441-+=-x e x f x 的零点所在区间为（ ）A.()01-，B.()10，C.()21，D.()32，4（选做题）、若函数()x f 是定义域为R 上的奇函数，且()x f 在()∞+，0上有一个零点，则()x f 的零点个数为___________________。