2018版高中数学人教版A版必修一学案：第三单元 3.1.1 方程的根与函数的零点 Word版含答案

教学设计3.1.1方程的根与函数的零点整体设计教学目标知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．教师活动：板书标题(方程的根与函数的零点)．【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题．用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？(1)x2－2x－3＝0；(2)ln x＋2x－6＝0.学生活动：回答，思考解法．教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题．对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答．教师活动：用屏幕显示函数y＝x2－2x－3的图象．学生活动：观察图象，思考作答．教师活动：我们来认真地对比一下．用屏幕显示表格，让学生填写x2－2x－3＝0的实数根和函数图象与x轴的交点．学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论．教师活动：我们就把使方程成立的实数x称为函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点．板书(一、函数零点的定义：对于函数y ＝f(x)，使方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点)．教师活动：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答．教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答．教师活动：这是我们本节课的第二个知识点．板书(二、方程的根与函数零点的等价关系)．教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系．如果已知函数y＝f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答．教师活动：对于函数y＝f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)＝0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体．在屏幕上显示：教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力．【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点．(1)y＝3x；(2)y＝log2x；(3)y＝1x；(4)y＝(4)(1),4,(4)(6), 4.x x xx x x-+<⎧⎨---≥⎩学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法．画图象时要求用语言描述4个图象的画法．教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考)．教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决ln x＋2x －6＝0的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解．教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程．这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题．看来我们的探究过程是非常有价值的．教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了吗？现在最棘手的问题是y＝ln x＋2x－6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x 轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示y＝x2－2x－3的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面．学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论．教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y＝f(x)具备什么条件时，能在区间(a，b)上存在零点？学生活动：得出f(a)·f(b)＜0的结论．教师活动：若f(a)·f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间(a，b)上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a，b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)＜0的条件时，才会存在零点的结论．【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理．这是我们本节课的第三个知识点．板书(三、零点存在性定理)．教师活动：用屏幕显示(函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．)教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容．学生活动：读出定理．教师活动：大家注意到了吗，定理中，开始时是在闭区间[a，b]上连续，结果推出时却是在开区间(a，b)上存在零点．你怎样理解这种差异？学生活动：思考作答．教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然吗？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内会是只有一个零点吗？2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内就一定没有零点吗？3．在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题．学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论．1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则只能确定f(x)在区间(a，b)内有零点，有几个不一定．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．3．在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点．【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了．那解决ln x ＋2x －6＝0的根的存在性问题应该是游刃有余了．用屏幕显示学生活动：【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的数学思想．数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用．愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题设置四个练习题，检验学生对本节课内容的掌握情况，增强学生对所学新知的应用意识．1．函数f (x )＝x (x 2－16)的零点为( )A ．(0,0)，(4,0)B ．0,4C ．(－4,0)，(0,0)，(4,0)D ．－4,0,42．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，则f (x )的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．不确定3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间为( )A ．(－2,0) B ．(1,2) C ．(0,1) D ．(0,0.5)【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识已知f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求a 取何值时能分别满足下列条件．(1)有2个零点；(2)有3个零点；(3)有4个零点．板书设计三、零点存在性定理。

函数与方程的综合应用 一、学习引领1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点. 2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y ＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间(,)a b 上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 就是函数()y f x =的零点.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间(,)a b 上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难解析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时应满足：02()0()0b m n a f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅<（2）取区间的中点，02a bx +=（3）计算0()f x ，①若0()0f x =，则0x 就是()0f x =的解，计算终止；②若0()()0f a f x ⋅<，则解位于区间（0,a x ）中，令110,a a b x ==；若0()()0f x f b ⋅<则解位于区间（0,x b ）令101,a x b b ==（4）取区间是（11,a b ）的中点，1112a b x +=重服第二步、第三骤直到第n 步，方程的解总位于区间（,n n a b ）内（5）当,n n a b 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、典例导析1、函数方程中参数问题：例1、已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 思路导析：根据方程210mx x ++=，可创设函数2()1f x mx x =++，利用函数的性质求解。

§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P86－P88，完成下面问题： 知识点1 函数的零点(1)概念：函数f (x )的零点是使f (x )＝0的实数x .(2)函数的零点与函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2－4x 的零点是________．(2)若2是函数f (x )＝a ·2x －log 2x 的零点，则a ＝________.解析 (1)令f (x )＝0，即x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝4，所以f (x )的零点是0和4.(2)由f (2)＝4a －1＝0得a ＝14.答案 (1)0和4 (2)14知识点2 函数零点的判断(1)条件：①函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0. (2)结论：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设f (x )＝1x ，由于f (－1)f (1)<0，所以f (x )＝1x 在(－1,1)内有零点( )(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.()(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点．()提示(1)×由于f(x)＝1x的图象在[－1,1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零的结论．(2)×反例：f(x)＝x2－2x，区间为(－1,3)，则f(－1)·f(3)>0.(3)×反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1,3)，满足条件，但f(x)在(－1,3)内有0,1,2三个零点．题型一函数零点的概念及求法【例1】(1)函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．x＝－1C．x＝1D．x＝0(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________．(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝________.解析(1)令1＋1x＝0，解得x＝－1，故选B．(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.答案(1)B(2)－2(3)3规律方法函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0⇒b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，∵－ax (2x ＋1)＝0⇒x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12. 答案 0，－12题型二 确定函数零点的个数 【例2】 判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－34x ＋58；(2)f (x )＝ln x ＋x 2－3.解 (1)由f (x )＝0，即x 2－34x ＋58＝0，得Δ＝⎝⎛⎭⎫－342－4×58＝－3116<0， 所以方程x 2－34x ＋58＝0没有实数根，即f (x )零点的个数为0.(2)法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而方程ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， 所以f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的， 所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个． 规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 【训练2】 函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 如图画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，由图知y ＝ln x 与y ＝1x －1(x >0，且x ≠1)的图象有两个交点．故函数f (x )＝ln x －1x －1的零点有2个．答案 C题型三 判断函数零点所在的区间【例3】 (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：不求a ，A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析 (1)易知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条连续不断的曲线，又f (－3)f (－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f (x )在(－3，－1)内有零点，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax 2＋bx ＋c ＝0在(2,4)内有根．故选A ．(2)∵f (x )＝6x －log 2x ，∴f (x )为(0，＋∞)上的减函数，且f (1)＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知包含f (x )零点的区间是(2,4)．答案 (1)A (2)C规律方法 确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 【训练3】 (1)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( ) A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析 (1)∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．(2)由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C ．答案 (1)C (2)C课堂达标1．函数f (x )＝2x 2－4x －3的零点有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定解析 由f (x )＝0，即2x 2－4x －3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x 2－4x －3＝0有两个根，即f (x )有两个零点．答案 C2．函数f (x )＝4x －2x －2的零点是( ) A ．(1,0)B ．1C ．12D ．－1解析 由f (x )＝4x －2x －2＝(2x －2)(2x ＋1)＝0得2x ＝2，解得x ＝1. 答案 B3．函数f (x )＝2x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫12，1C ．⎝⎛⎭⎫13，12 D ．⎝⎛⎭⎫14，13解析 f (1)＝2－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝212 －2＝2－2<0，即f ⎝⎛⎭⎫12f (1)<0，且f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.答案 B4．函数f (x )＝x 2－2x 在R 上的零点个数是________．解析 由题意可知，函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数，等价于函数y ＝2x ，y ＝x 2的图象交点个数．如图，画出函数y ＝2x ，y ＝x 2的大致图象．由图象可知有3个交点，即f (x )＝x 2－2x 有3个零点． 答案 35．若32是函数f (x )＝2x 2－ax ＋3的一个零点，求f (x )的零点．解 由f ⎝⎛⎭⎫32＝2×94－32a ＋3＝0得a ＝5，则f (x )＝2x 2－5x ＋3，令f (x )＝0，即2x 2－5x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝1，所以f (x )的零点是32和1.课堂小结1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．。

3.1.1方程的根与函数的零点一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版A 版必修1第三章第一节第一课时的内容，本节课是属于基本初等函数第一部分的知识，在此之前，学生已经学习了指数函数，对数函数，幂函数及其基本性质，这为过渡到本节课的学习奠定了基础。

本节内容是对学生已经学习过的函数知识的延伸和拓展，又是后续学习运用二分法求解方程的近似解的基础。

它是整个高中数学教材体系中起着承上启下作用的核心知识之一，地位至关重要。

二、 教学目标知识与技能目标：理解函数零点的概念以及方程的根与函数的零点之间的关系，掌握函数零点存在的判定方法，能够利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论，体验从特殊到一般的认知的过程和数形结合的思想方法。

情感态度与价值观目标：通过师生，生生之间的讨论互动，学生提高合作交流的能力，在探索解决问题的过程中，体验学习的成就感。

4 教学重难点重点 函数零点的概念；函数零点的判别定理以及函数与方程的关系。

难点 函数零点概念的理解 。

三、教学过程 （一）新课导入1、判断下列方程根的个数，并求出方程的解（1）2230x x --= （2）2210x x -+= （3）2230x x -+= 2、分别作出（1）中方程相对应的函数图象，并完成下列表格：通过对以上两个问题观察与解答，请学生进一步思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系呢？根据学生的回答，引导学生得到以下结论：以上三个方程的根就是其对应的函数图象与x 轴交点的横坐标。

设计意图：从学生所熟知的二次函数入手，使学生发现问题，这样既训练了学生的观察和识图能力，更重要的是使学生体会知识之间的相互联系，也为后面继续学习一元二次不等式奠定基础。

二、一般探索，得出结论这样的结论对于特殊的一元二次方程及其相对应的函数是成立的，那么对于一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？带着这样的问题，我将引导学生填写下列表格。

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

§3.1.1 方程的根与函数的零点1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.8688复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ； （2）函数243y x x =-+的零点为 .小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点； ()()f a f b 0；在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.※ 典型例题例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式：求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．※ 动手试试练1. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+.练2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.三、总结提升※ 学习小结①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理※ 知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间[,]a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间[,]a b 上至少有一个零点. .）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4. 函数220y x x =-++的零点为 .5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .1. 求函数3222y x x x =--+的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值.。

课题：3.1.1《方程的根与函数的零点》教材：人教A版教材必修1一、内容和内容解析（一）内容了解函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）内容解析(1) 本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，进一步得到零点的概念，在此基础是探索函数零点存在性的判定，让学生体会函数与方程之间的联系.函数是高中数学的核心概念，与其他知识有广泛的联系性.而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的.利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，函数的零点作为其中的一个联结点，将数与形、函数与方程有机地联系到一起. (2) 零点存在性定理，就是通过寻找函数的零点来研究方程的根，这个定理不需要证明，在缺少证明的环节下，关键在于让学生结合具体实例，直观感知体验，加强对定理的全面认识，抽象概括出定理，并加以利用来解决问题.对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题，从各种角度重新审视，完成函数零点存在的判定定理的构建.(3) 学生通过学习这部分内容，引导学生通过自主探究，发现问题，分析问题，解决问题的过程，激发学生的学习求知欲，体现学生的主体地位.(4) 教学重难点：准确认识零点的概念，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点.二、目标和目标解析（一）单元目标（1）通过作出二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．（2）通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到一般的研究方法．（3）掌握函数的零点和函数图像与轴交点的横坐标是可以互相转化的，同时可以转化为方程的根.（4）理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）目标解析（1）从学生已有的二次函数的知识，引入函数的零点，进而过渡的到我们的零点存在定理；（2）学生经历了由特殊到一般的过程，由具体到抽象的过程，知道这是一种重要的数学思想方法；（3）在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（4）掌握零点存在性定理的运用，是指会利用零点存在性定理判定在哪个区间存在零点.三、教学问题诊断1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多函数图象的抽象出来的，由函数图象与x 轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为()()0f a f b ⋅<且图象在区间[,]a b 上连续不断，是函数()f x 在区间[,]a b 上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．四、教学支持条件分析考虑到学生的认知水平和理解能力，可借助几何画板和现实生活中的模型，从而激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、课时教学设计第一课时《方程的根与函数的零点》的教学设计（一）课时教学内容函数零点的概念；零点存在性定理；判断某些函数零点的个数与所在区间.（二）课时教学目标1. 了解函数零点的概念，能说明方程的根、函数的零点、函数图像与轴的交点三者之间的关系.总结出函数零点概念及零点存在性定理，提升学生数学抽象和直观想象两个方 面的核心素养.2. 教学过程中通过学生探究，使学生体会函数与方程思想、数形结合思想，以及化归思想. 把判定函数零点存在的方法由特殊函数推广到一般函数，培养学生的逻辑推理核心素养.3．通过古代数学发展史的简单介绍，渗透数学文化教育.（三）教学重点与难点教学重点：准确认识函数的零点与方程的根的关系.教学难点：判断零点的存在或确定零点.（四）教学过程设计1.创设情境，引入新课我国古代数学家已比较系统地解决了一些方程的求解.(1) 公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法……这比西方要早三百多年.(2) 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.(3) 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创.高中数学学习阶段我们接触过的一个非常重要的数学思想叫做数形结合.我们这节课就要从“数”和“形”的两方面去研究“方程的根”.引入课题：《方程的根与函数的零点》. 设计意图:通过介绍数学史，丰富学生的数学文化知识，激发学生的学习兴趣.同时引出本节课的内容.2.合作探究，揭示概念问题1： 求下列一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，完成下表.思考讨论：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图像有什么关系？生：（观察讨论）方程的实数根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.师：很棒！方程的根是从“数”的角度研究问题，而函数图像与x 轴交点是从“形”的角度研究问题.正好体现了数形结合思想.教师归纳: 方程的实数根⇔函数图象与x 轴交点的横坐标师：方程的根还和什么有等价关系呢？带着这个问题我们继续下面的学习.设计意图:问题1主要是通过观察，得到方程的实数根与函数图象与x 轴交点的横坐标的关系，同时体会数形结合的数学思想,为下一环节引出零点做铺垫.问题2：师：求解方程360+=x ,说出方程所对应的函数．生：2-,对应的函数是36=+y x师： 2-使360+=x ，2-叫做方程的根，对于函数36=+y x 我们给出一个新的定义，称2-为函数36=+y x 的零点.你能根据我刚才给出的零点的定义,求出函数223y x x =--的零点吗? 生：-1和3使0322=--x x ，-1和3是函数223y x x =--的零点师：你能概括一般函数零点的概念吗？生：对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.教师活动：板书概念.问题2-1：在这个概念中，请同学们思考，零点是点吗？生：（积极讨论，发表见解）零点不是点.师：那零点是什么？生：是一个实数！师:回顾刚才老师提出的问题,“方程的根”还和什么是等价的呢?师生互动：得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y ＝f(x)的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．在屏幕上显示：教师归纳:这种等价关系,为我们分析问题解决问题又提供了一种数学思想叫函数与方程的思想.对于不能利用公式求根的方程,我们可以将它与函数()y f x =联系起来,利用函数的性质找出函数的零点,从而求出方程的根.例1: 函数()2)16(－=f x x x 的零点为( )A.()()0,0,4,0B.0,4C.()()()4,0,0,0,4,0-D. 4,0,4-说明：函数零点不是一个点，而是具体的实数．练习1:1.函数()y f x =的图象如下，则其零点为 .2.指数函数、对数函数、幂函数有零点吗？问题2-2：那怎样可以怎样求函数零点呢？生：求方程()0f x =的实数根.师：这种方法叫做代数法.生：也可以通过画函数()y f x =的图像找到它与x 轴交点的横坐标.师：这种方法叫做几何法. 设计意图：要求学生从“数”和“形”两个层面来理解函数零点这个概念，加强了学生对数形结合思想的理解.提出用函数的方法来解决方程根的问题，让学生体会转化与化归的思想，培养学生数学抽象和逻辑推理核心素养.3.合作探究，揭示定理问题3：:二次函数2()23f x x x =--的图象在区间()2,1-内有零点吗?(2)f -=_______，(1)f =_______，(2)(1)f f -__ _0(“＜”或“＞”)．师生归纳:发现(2)(1)f f -＜0,函数2()23f x x x =--在区间()2,1-内有零点.问题3-1：二次函数2()23f x x x =--的图象在区间在区间()2,4内是否也具有这种特点呢? 生:观察图像,思考作答.问题3-2:已知函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表,函数()f x 在哪个区间存在零点呢？学生小组自由讨论，代表作答,并解释说明.生：()f x 的有零点师：在哪个区间内呢？生：()2,3，因为图象连续，函数值从正变到负，所以图像和x 轴一定有交点，函数有零点. 问题3-3:怎样判断一般函数()y f x =在区间(,)a b 内是否存在零点?生: 满足条件()()0f a f b ⋅< .问题3-4:如果函数()y f x =在区间(,)a b 满足()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,这样就可以吗?生：（讨论）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.问题3-5:这个判断方法在叙述上还有没有需要修改的地方？教师引导:这种方法是判断函数在某个区间上是否存在零点,需要计算端点处的函数值.生：函数必须在端点处有定义，所以函数必须是在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线.问题3-6:那存在零点的区间是否也需要改成闭区间？生：不需要，零点是利用()()0f a f b ⋅<确定的零点，所以零点不会出现在端点处. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在(),c a b ∈,使()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根．问题3-7：①满足零点存在性定理条件，函数一定在区间(,)a b 有零点，不满足定理条件，函数()y f x =在区间(,)a b 内一定不存在零点吗？②此定理能判定零点的存在性，能判定零点有多少个吗？生：不满足定理条件，()()0f a f b ⋅>时依然可能存在零点.师：怎样修改条件时,函数在区间(,)a b 上只有一个零点？教师活动：教师指导学生作图,引导学生大胆猜想.学生活动：小组讨论,代表作答,学生经历自主举例,促进对定理的准确理解.生：只要让函数在区间[,]a b 上是单调函数就可以.教师归纳：定理中的“连续不断”是必不可少的条件；定理不能确零点的个数；不满足定理条件时依然可能存在零点．师:回顾刚才提出的问题,这个函数在哪个区间存在零点呢?生:积极作答.设计意图：通过设计问题串，引导学生交流，讨论，让学生的思维得到碰撞，逐渐形成零点存在定理的概念，一步一步加强对定理的完善，培养学生学习的主动性和创造性，通过一系列的提问和质疑，让学生全面的了解零点存在定理，提升学生的数学语言表达能力，这也体现了学生用数学语言来表达世界的契机.在这个过程中体现了数学的四大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想想象。

第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点自主学习1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．理解函数的零点与方程根的关系． 3．掌握函数零点的存在性的判定方法．1．对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的________．2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的__________，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的__________．3．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有________⇔函数y ＝f (x )有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )________0，那么y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )________0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．对点讲练求函数的零点【例1】 求下列函数的零点：(1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1； (3)f (x )＝x 3－4x .规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．判断函数在某个区间内是否有零点【例2】 (1)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞)(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上共有________个零点．规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定已知函数零点的特征，求参数范围【例3】 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．1．函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f (x )＝x 2－4x ＋4只有一个零点，但方程f (x )＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a ，b ]上有f (a )·f (b )<0，也只说明函数y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f (a )·f (b )>0，也不能说明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上无零点，如二次函数y ＝x 2－3x ＋2在[0,3]上满足f (0)·f (3)>0，但函数f (x )在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．课时作业一、选择题1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( ) A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点 B ．函数f (x )在(3,5)内无零点 C ．函数f (x )在(2,5)内有零点D ．函数f (x )在(2,4)内不一定有零点2．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2)3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为()A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 0075．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断二、填空题6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．7．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．8．方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点答案自学导引1．零点2．实数根横坐标3．交点零点4．< ＝ 对点讲练【例1】 解 (1)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)． 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1. (2)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1， 故函数的零点是－1,1.(3)令f (x )＝0，即x 3－4x ＝0，∴x (x 2－4)＝0，即x (x ＋2)(x －2)＝0. 解得：x 1＝0，x 2＝－2，x 3＝2，所以函数f (x )＝x 3－4x 有3个零点，分别是－2,0,2. 变式迁移1 解 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8. 【例2】 (1)B (2)1解析 (1)∵f (1)＝－2<0， f (2)＝ln 2－1<0，∴在(1,2)内f (x )无零点，A 不对；又f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在(2,3)内有一个零点．(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上是增函数，且f (2)·f (3)<0，故f (x )有且只有一个零点．变式迁移2 B [令f (x )＝x 2－3x ＋1，∴其对称轴为x ＝32，∴f (x )在(2,3)内单调递增，又∵f (2)·f (3)<0， ∴方程在区间(2,3)内仅有一个根．]【例3】 解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，则a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．图①(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图②若m >0，f (x )的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为 ⎝⎛⎦⎤－∞，94. 课时作业 1．C2．B [f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0， f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 所以其零点一定位于区间(3,4)．]3．C [若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数， 由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．]4．D [因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，又在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在 (－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．] 5．D [考查下列各种图象上面各种函数y ＝f (x )在(0,4)内仅有一个零点， 但是(1)中，f (0)·f (4)>0， (2)中f (0)·f (4)<0，(3)中f (0)·f (4)＝0.] 6．2解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，即函数f (x )有2个零点．7．0，－12解析 由2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12，∴g (x )＝bx 2－ax 的零点为0，－12.8．(1，＋∞)解析 令f (x )＝2ax 2－x －1，a ＝0时不符合题意；a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能f (0)·f (1)<0，解得a >1.9．解 (1)方法一 ∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点．方法二 令x 2－3x －18＝0，解得x ＝－3或x ＝6， ∴函数f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点． (2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0， ∴f (－1)·f (2)<0.故f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0， f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0， ∴f (1)·f (3)<0.故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．10．解 (1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根． 则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5， 解得k ＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4×(k 2＋3k ＋5)≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43， ∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509， 即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509，18.。

优质资料---欢迎下载§3.1.1方程的根与函数的零点【教学目标】知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教具准备】多媒体课件【教学过程】一、创设情境，引入新课1、方程解法史话（1）花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。

（2）阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。

2、问题1：(1)画出函数y=x-2的图象；(2)求出方程x-2=0的解。

问题2：函数图象与x轴的交点坐标与方程的根有什么关系？结论：函数图象与x轴交点的横坐标就是方程x-2=0的根。

3、问题3：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0引申：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系？结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

4、问题4：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？结论: 函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。

对于函数的这一特征，在数学上我们称为函数的零点，这也就是我们今天所要学习的内容———方程的根和函数的零点二、 讲解新课1、函数的零点定义：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

3.1.1方程的根与函数的零点课题：方程的根与函数的零点教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学1）》一、教学目标知识与技能：结合具体的函数图象和方程根的问题，了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存有的判定方法。

过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存有的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。

情感态度与价值观：让学生亲自经历数学知识产生的过程，提升学生的学习水平，养成积极主动，勇于探索，持续创新的学习习惯和品质，感受探究的乐趣。

二、教学重点与难点：教学重点：方程的根与函数零点的关系及零点存有性定理的深入理解与应用教学难点：零点存有定理的发现与准确理解三、教学过程探究一：方程的根与相对应函数的联系由一次函数做引导，启发学生完成表格方程x+1=0x2－2x－3=0函数y=x+1y= x2－2x－3 函数图象函数图象与x轴交点方程的实数根函数的零点（生先独立做，后可结组讨论）思考：观察方程根与相对应函数图象有什么联系?学生叙述两者联系.)31(=x0log2=xxy)31(=xy2log=教师： 方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相对应函数的图象与x 轴交点的横坐标。

我们把这个横坐标叫做函数的零点。

我们给出零点的概念 1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。

（zero point ） 注：零点是图像与x轴交点的横坐标，不是点设计意图：以学生熟悉的函数图象和方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，自然的得到零点的概念，理解零点是连接函数与方程的结点。

探究二：结合零点的定义和探究的过程，你认为方程的根与函数的图像与函数的零点三者之间有何联系？方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。